3 Sannsyn Kompetansemål: Mål for opplæringa er at eleven skal kunne lage døme og simuleringar av tilfeldige hendingar og gjere greie for omgrepet sannsyn berekne sannsyn ved å telje opp alle gunstige og alle moglege utfall frå tabellar og ved å systematisere oppteljingar og bruke addisjonssetninga og produktsetninga i praktiske samanhengar STIGFINNAREN Stig 1 Stig 2 Stig 3 3.1 Sannsyn og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 300, 301, 302, 303, 306, 308 300, 302, 303, 307, 308, 309, 312 3.2 Sannsynsmodellar 313, 314, 315, 317, 318 313, 314, 315, 317, 318, 320, 321 313, 315, 316, 317, 319, 320, 321 3.3 Uniforme sannsynsmodellar 324, 325, 326, 329, 330, 332, 333, 334, 335 324, 325, 326, 327, 329, 330, 331, 332, 333, 334, 335, 336 324, 327, 328, 329, 330, 331, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339 3.4 Addisjonssetninga 3.5 Produktsetninga for uavhengige hendingar 340, 341, 342, 346, 347 350, 351, 352, 353, 355 340, 341, 342, 343, 345, 346, 347 350, 351, 353, 354, 355, 356, 357 340, 341, 342, 343, 344, 345, 346, 347, 348, 349 351, 353, 354, 355, 356, 357, 359, 360, 3.6 Produktsetninga for avhengige hendingar 362, 363, 364, 366, 367 362, 363, 365, 366, 367, 368 361 363, 365, 367, 368, 369, 370 3.7 Samansette forsøk 371, 372, 373, 374, 376, 377 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380 Rett eller gale?: s. 80 Blanda oppgåver (381 X3.4): s. 81 Utvalde løysingar: s. 146 Grunnleggjande ferdigheiter: Munnlege ferdigheiter: 305, 311, 358 Skriftlege ferdigheiter: 304, 312, 322, 358 Leseferdigheiter: 300, 304, 305, 311, 312, 322, 323, 358 Digitale ferdigheiter: 304, 306, 307, 308, 309, 310, 322, 323 Interaktive oppgåver: Lokus.no
Kapittel 3: Sannsyn 61 3.1 Sannsyn og relativ frekvens 300 Når vi kastar eit pengestykke, er sannsynet 50 % for å få krone. Nedanfor står det fem påstandar. Avgjer for kvar påstand om han er galen eller rett. A Når vi kastar eit pengestykke, er det like stor sjanse for å få krone som mynt. B Dersom vi har kasta eit pengestykke 95 gonger og fått krone 45 gonger, kjem vi til å få krone i dei fem neste kasta. C Dersom vi kastar eit pengestykke 100 gonger, får vi om lag 50 krone og 50 mynt. D Dersom vi kastar eit pengestykke 100 gonger, får vi 50 krone og 50 mynt. E Dersom vi kastar eit pengestykke mange gonger, vil den relative frekvensen 1 for krone nærme seg. 2 301 Du kastar to pengestykke. Kva trur du sannsynet er for at du får krone på eitt av pengestykka og mynt på det andre? Er sannsynet ein tredel eller ein firedel? Korleis kan du avgjere det ved å kaste to kronestykke mange gonger? 302 Du kastar to terningar. Kva er mest sannsynleg: at summen av talet på auge blir sju, eller at du får minst éin seksar. Korleis kan du avgjere det ved å kaste to terningar mange gonger? 303 Tabell 3.1 er teken frå Statistisk årbok 2005. I tabellen er det mellom anna oppgitt kor mange som blei fødde i Noreg i femårsperiodar frå 1951 55 til 1996 2000. a Rekn ut den relative frekvensen for jentefødslar for kvar av dei ti femårsperiodane. Korleis varierer den relative frekvensen? (Tala for femårsperiodane er årsgjennomsnitt. For å få talet på fødslar i ein femårsperiode må tala gongast med fem. Sidan vi er interesserte i relative frekvensar, er det ikkje nødvendig å gjere det.) b Rekn ut den relative frekvensen for jentefødslar for heile perioden 1951 2000. c Korleis stemmer resultatet i oppgåve b med at sannsynet er 48,6 % for jentefødsel (som vi kom fram til i læreboka)? Statistisk årbok ligg på Internett med adressa www.ssb.no/aarbok/. Tabellane i årboka kan lastast ned som rekneark. Dersom du ønskjer det, kan du gjere utrekningane i oppgåvene a og b ved å bruke eit rekneark. Årsgjennomsnitt Levandefødde Dødfødde Fleirfødslar I alt Gutar Jenter I alt Gutar Jenter I alt Tvillingfødslar Trillingfødslar 1951 55 62 478 32 182 30 296 967 538 429 796 787 9 1956 60 63 021 32 374 30 647 912 489 423 738 731 7 1961 65 63 989 32 992 30 997 803 430 373 708 700 8 1966 70 66 697 34 368 32 329 752 408 344 670 663 7 1971 75 61 393 31 487 29 906 560 294 266 572 568 4 1976 80 51 744 26 619 25 125 377 195 182 498 494 4 1981 85 50 660 26 030 24 630 293 153 140 503 495 8 1986 90 56 862 29 154 27 708 269 141 128 653 634 19 1991 95 60 196 30 993 29 203 263 136 127 845 821 24 1996 00 59 522 30 598 28 924 244 132 112 981 957 24 Statistisk sentralbyrå Tabell 3.1
62 Kapittel 3: Sannsyn 304 Problemet i denne oppgåva blei første gongen presentert av den franske greven og naturforskaren Georges-Louis Leclerc de Buffon (1707 88). I hans formulering av problemet blei det kasta med ei nål i staden for ei fyrstikke, og problemet har derfor fått namnet Buffons nålproblem. Teikn fleire parallelle linjer på eit ark. Avstanden mellom linjene skal vere like stor som lengda av ei fyrstikke. I denne oppgåva skal du finne sannsynet for at ei fyrstikke som blir kasta tilfeldig, vil krysse ei av linjene. (Sjå figuren, der tre av fem fyrstikker kryssar ei linje.) a b c d e Kast fem fyrstikker og tel opp kor mange det er som kryssar ei av linjene. Fyrstikkene må liggje «hulter i bulter» i handa før du kastar, og du må kaste frå ei etter måten stor høgd. Dersom ei fyrstikke fell utanfor arket, kastar du ho på nytt. Gjenta oppgåve a tjue gonger, slik at du til saman får 20 5 = 100 fyrstikk-kast. Rekn ut den relative frekvensen for fyrstikker som kryssar ei linje i desse 100 kasta. Gå saman med andre elevar slik at de til saman får minst 10 omgangar med 100 fyrstikk-kast. Korleis varierer den relative frekvensen frå omgang til omgang med 100 kast? Finn den relative frekvensen for fyrstikker som kryssar ei linje, når vi ser alle kasta i oppgåve c under eitt. Kvifor er denne relative frekvensen tilnærma lik sannsynet for at ei fyrstikke som blir kasta «tilfeldig», vil krysse ei linje? Dersom vi føreset at ei fyrstikke blir kasta «tilfeldig», går det an å rekne ut sannsynet for at fyrstikka kjem til å krysse ei linje. Finn ut kva dette sannsynet er ved å søkje på «Buffon's needle» på Internett. Korleis stemmer den relative frekvensen du fann i oppgåve d, med sannsynet du finn på Internett? Diskuter grunnane til eventuelle avvik.
Kapittel 3: Sannsyn 63 305 For nokre år sidan hadde VG overskrifta «Hjelp, vi skal ha firling-dåp!» saman med eit flott bilete av foreldra og firlingane. Under overskrifta stod det mellom anna: «Sjå godt på desse vakre dåpsborna! Statistisk sett er det 15 år til neste gong det blir fødd slike firlingar i Noreg. Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlingar utan hormonbehandling eller prøverør: Berre eitt per million svangerskap endar med levandefødde firlingar.» a Diskuter i klassa kva som ligg i formuleringa «Berre eitt per million svangerskap endar med levandefødde firlingar». b Diskuter korleis journalisten kan ha kome fram til påstanden «Statistisk sett er det 15 år til neste gong det blir fødd slike firlingar i Noreg». c Trur de utsegna «Det er større sjanse for å vinne i Lotto enn å bli gravid med firlingar utan hormonbehandling eller prøverør», er rett? (Det er lettare å gi eit grunngitt svar når de har lese kapittel 3.6 i læreboka.) 306 På side 125 i læreboka viser vi deg korleis du kan bruke lommereknaren til å simulere (etterlikne) eit terningkast. Bruk lommereknaren til å simulere 60 terningkast, og noter talet på einarar, toarar, trearar, firarar, femmarar og seksarar. a b Rekn ut den relative frekvensen for einarar, toarar osv. i «kasta» dine. Slå saman resultata dine med resultata til andre i klassa. Rekn ut dei relative frekvensane for einarar, toarar osv. for alle «kasta» sedde under eitt. 307 308 På sidene 124 og 125 i læreboka forklarer vi korleis du kan simulere (etterlikne) eit terningkast med rekneark og med lommereknaren. Finn ut kva endringar du må gjere for å simulere eit kast med eit pengestykke. (La 0 svare til mynt og 1 til krone.) På side 125 i læreboka viser vi deg korleis du kan bruke lommereknaren til å simulere (etterlikne) eit terningkast. Vi skal no sjå nærmare på korleis du kan bruke lommereknaren til å «kaste ein terning» mange gonger og telje opp kor mange seksarar du får. Vi illustrerer framgangsmåten ved å telje opp kor mange seksarar vi får når vi kastar ein terning 10 gonger. CASIO Vel RUN-menyen. Trykk OPTN F4 (CALC) F6 ( ) F3 ( Σ( ) EXIT F6 ( ) F4 (NUM) F2 (Int) ( EXIT F3 (PROB) F4 (Ran#) 6 5 ), X,q,T, 1, 10 ) EXE Før du trykkjer EXE, skal det stå Σ( Int (Ran# 6 5), X, 110, ) på skjermen. TEXAS Trykk LIST (MATH) 5 (sum( ) LIST (OPS) 5 (seq( ) MATH (NUM) 5 (int( ) MATH (PRB) 1 (rand) 6 5 ), X,T,q,n, 1, 10 ) ENTER Før du trykkjer ENTER, skal det stå sum(seq(int(rand*6/5),x,1,10) på skjermen. Kvar gong du trykkjer EXE eller ENTER, får du gjort 10 nye «terningkast».
64 Kapittel 3: Sannsyn a b Bruk lommereknaren til å gjere 10 terningkast. Gjenta dette nokre gonger slik at du får ei kjensle av kor mykje den relative frekvensen for seksarar vil variere i 10 terningkast. Bruk så lommereknaren til å gjere 100 terningkast. Gjenta også dette nokre gonger slik at du får ei kjensle av kor mykje den relative frekvensen for seksarar vil variere i 100 terningkast. c Er det størst variasjon i den relative frekvensen i oppgåve a eller i oppgåve b? Kunne du ha visst det utan å gjere «terningkasta»? 309 310 Finn ut korleis du kan bruke lommereknaren til å kaste 100 pengestykke og telje opp kor mange krone du får. (Ta utgangspunkt i førre oppgåve.) På side 124 i læreboka viser vi deg korleis du kan simulere eit terningkast med rekneark. No skal vi simulere 100 terningkast og telje opp kor mange einarar, toarar osv. vi får. For å simulere 100 terningkast går du fram på denne måten: Gi kommandoen HELTALL(6*TILFELDIG()+1) i celle A1. Kopier kommandoen i celle A1 og lim han inn i cellene A2:A100. For å telje opp kor mange einarar, toarar osv. du får, går du fram på denne måten: Skriv tala 1, 2, 3, 4, 5 og 6 i cellene B1:B6. Tel opp talet på einarar, toarar osv. i dei 100 kasta ved å setje inn formelen ANTALL.HVIS($A$1:$A$100;B1) i celle C1 og kopiere han til cellene C2:C6. Kvar gong du trykkjer på F9, får du gjort 100 nye terningkast og talt opp kor mange einarar, toarar osv. du får. a Gjer 100 «terningkast» og noter talet på einarar, toarar osv. Gjenta dette nokre gonger slik at du får ei kjensle av kor mykje dei relative frekvensane for einarar, toarar osv. vil variere i 100 kast. b Finn ut korleis du kan gjere 1000 terningkast og telje opp talet på einarar, toarar osv. c Gjer oppgåve a om att med 1000 terningkast. Korleis er variasjonen i dei relative frekvensane samanlikna med oppgåve a? 311 I september 1990 stod det eit lesarbrev i spalta «Ask Marilyn» i det amerikanske bladet «Parade Magazin». Lesaren spør: «Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you 'Do you want to pick door No. 2?' Is it to your advantage to switch your choice?» Redaktøren av spalta, Marilyn vos Savant, rådde deltakaren i showet til å byte 2 dør. Sannsynet for å vinne bilen ville då bli, medan sannsynet for å vinne 3 1 berre ville vere dersom deltakaren heldt fast ved dør nummer 1. Dette svaret 3 førte til ein storm av protestar, også frå fagfolk. Dei meinte at sannsynet for å vinne bilen ville vere 50 %, uavhengig av om deltakaren bytte dør eller ikkje.
Kapittel 3: Sannsyn 65 a Kva trur du? Bør deltakaren byte dør, eller bør ho halde fast på den døra ho valde først? Eller speler det ikkje noka rolle? Du kan avgjere saka ved å utføre ei simulering. Du kan simulere fjernsynsshowet ved at ein medelev speler programleiaren og du deltakaren som vonar å vinne bilen. Bilen kan erstattast av eit raudt kort frå ein kortstokk, og dei to geitene kan erstattast av to svarte kort. Kvart forsøk går føre seg på denne måten: Medeleven stokkar dei tre korta, ser på dei og legg dei på bordet med baksida opp. Så ber han deg tippe kva kort som er raudt (bil). Du vel eit kort, og medeleven snur eitt av dei korta du ikkje valde, for å vise at det er svart (geit). No kan du bestemme om du vil halde fast på det første valet, eller om du vil satse på det andre kortet som ikkje er snudd. b Utfør forsøket i to seriar: ein serie der du konsekvent held fast på det kortet du valde først, og ein serie der du byter kort kvar gong (slik Marilyn vos Savant tilrådde). Kva finn du ut av dette? Kven har rett, Marilyn vos Savant eller dei som kritiserte henne? 312 I tabell 3.1 på side 61 finn du talet på tvilling- og trillingfødslar for kvar femårsperiode frå 1951 55 til 1996 2000. (Nokre få firling- og femlingfødslar er rekna med blant trillingfødslane.) a Rekn ut den relative frekvensen for tvillingfødslar for kvar av dei ti femårsperiodane. Korleis varierer den relative frekvensen? b Gjenta oppgåve a for trillingfødslar. I læreboka forklarer vi at sannsyn svarer til relativ frekvens på lang sikt. Ein føresetnad for at det skal vere tilfellet, er at det tilfeldige forsøket blir gjenteke under like vilkår. Dersom vilkåra endrar seg, vil også sannsynet endre seg. c Ser det ut til at sannsynet for tvilling- og trillingfødsel har endra seg i femårsperiodane frå 1951 55 til 1996 2000? Kunstig befruktning, der fleire befrukta egg blir sette inn i livmora hos kvinna, blei innført i Noreg i 1980-åra. Diskuter om det kan forklare resultata i oppgåvene a og b. 3.2 Sannsynsmodellar 313 Tenk deg at du skriv tala frå 1 til 10 på kvar sin lapp og legg dei ti lappane i ei øskje. Du trekkjer så tilfeldig ein lapp frå øskja og ser kva tal som står på lappen. a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Gi ein sannsynsmodell for forsøket.
66 Kapittel 3: Sannsyn 314 Teikn eit lykkehjul med andre fargar og storleikar på felta enn i oppgåve 3.5 i læreboka. Tenk deg at du snurrar lykkehjulet ditt rundt og ser kvar det stoppar. Set opp ein sannsynsmodell for forsøket. * 315 I Store norske leksikon kan vi lese at raudgrøn fargeblindleik finst hos 8 % av menn. a Kva tyder eigentleg denne setninga? Vi undersøkjer fargesynet til ein gut. b Kva for utfall har dette forsøket? c Føreslå ein sannsynsmodell. 316 Eit svangerskap kan gi eitt barn eller ein fleirfødsel. (Vi skil ikkje her mellom tvillingar, trillingar osv.) a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Bruk tabell 3.1 på side 61 til å føreslå ein sannsynsmodell. 317 Ein astragalus er ein slags terning som blei mykje brukt til spel i oldtida. «Terningen» blei laga av ein knokkel i sauefoten og har fire sider han kan lande på. Desse sidene er merkte med tala 1, 3, 4 og 6. Vi reknar med at for alle astragalar er sannsynet 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 1 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 3 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 4 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 6 Vi kastar éin astragalus. Kva er sannsynet for at vi får a eit oddetal b eit partal c høgst tre (altså tre eller mindre) d minst tre (altså tre eller meir)
Kapittel 3: Sannsyn 67 318 Du kastar éin terning og ser kva du får. a Kva for utfall er med i hendinga A = «høgst to auge»? b Kva for utfall er med i A? Uttrykk A med ord. c Kva er sannsyna for hendingane A og A? 319 Du kastar eit kronestykke og ein femkroning og ser kva du får. a Skriv opp utfallsrommet for forsøket. b Kva for utfall er med i hendinga A = «nøyaktig éi krone»? c Kva for utfall er med i A? Uttrykk A med ord. d Kva er sannsyna for hendingane A og A? 320 Eit tilfeldig forsøk har utfallsrommet U = { 1, 2, 3, 4}, der 1 1 1 P() 1 =, P( 2) =, P() 3 = 3 4 6 Nedanfor er det gitt fem forslag for gale eller rett: A B C D E P( 4) P( 4) = = 1 6 1 4 P( 4) = 0, 167 P( 4) = 1 3 P( 4) = 25% P( 4). Avgjer for kvart forslag om det er 321 Ved Stortingsvalet i 2005 var oppslutninga om dei ulike partia slik: RV SV Ap Sp V KrF H FrP Andre 1,2 % 8,8 % 32,7 % 6,5 % 5,9 % 6,8 % 14,1 % 22,1 % 1,9 % Tenk deg at du var med på å gjennomføre ei valdagsmåling i 2005, og at du spurde ein tilfeldig veljar kva parti ho eller han hadde røysta på. a Gi ein sannsynsmodell for forsøket. b Kva er sannsynet for at veljaren 1 hadde røysta på RV, SV eller Ap 2 ikkje hadde røysta på desse partia 3 hadde røysta på Sp, V, KrF, H eller Frp 4 ikkje hadde røysta på desse partia 5 hadde røysta på Sp, V eller KrF 6 ikkje hadde røysta på desse partia
68 Kapittel 3: Sannsyn 322 Dei politiske meiningsmålingane gir oppslutninga om partia slik ho er «her og no». Kvar for seg er meiningsmålingane usikre, men fleire målingar sedde under eitt gir eit godt bilete av styrkeforholdet mellom partia. a Finn fram (i aviser eller frå Internett) resultatet av dei fem siste meiningsmålingane. b Rekn ut den gjennomsnittlege oppslutninga om partia i desse meiningsmålingane. Bruk svara til å setje opp ein sannsynsmodell for forsøket som går ut på å spørje ein person kva parti han eller ho ville ha røysta på dersom det hadde vore stortingsval neste dag. c Samanlikn modellen i oppgåve b med modellen i oppgåve 321. Kva fortel skilnadene deg? 323 Sannsynet for ei hending er den relative frekvensen for hendinga på lang sikt. Denne oppfatninga av kva sannsyn er, har berre meining dersom det er mogleg å gjenta forsøket mange gonger. I dagleglivet bruker vi derimot ordet sannsyn også i situasjonar der eit forsøk berre kan gjerast éin gong. Eit eksempel er spelet «Oddsen», der ein skal tippe resultatet av ein fotballkamp eller ein annan idrettskonkurranse. Om vinnarsjansane for «Oddsen» skriv Norsk Tipping: «Sannsynet for å vinne på Oddsen varierer stort alt etter kva ein speler på. Kort fortalt speglar storleiken på oddsa sannsynet for å vinne. Di lågare odds, di meir sannsynleg er det at du vinn. Til gjengjeld vinn du då mindre enn med høgre (og meir usannsynlege) odds.» Dei sannsyna det er snakk om her, kan ikkje tolkast som relative frekvensar på lang sikt. Ein fotballkamp eller ein idrettskonkurranse kan ikkje gjentakast mange gonger (under like vilkår). Sannsyna er her eit uttrykk for dei vurderingane ekspertane til Norsk Tipping har gjort. Når ordet sannsyn blir brukt på denne måten, kallar vi det subjektivt sannsyn. Finn eksempel på subjektivt sannsyn i dagspressa eller på Internett. 3.3 Uniforme sannsynsmodellar 324 I kva for nokre av desse situasjonane er det rimeleg å bruke ein uniform sannsynsmodell: a Du ser om ein gut er raudgrøn fargeblind eller ikkje. b Du kastar ein femtiøring, eit kronestykke og ein femkroning og ser kva du får. c Du skriv dei 29 bokstavane i alfabetet på kvar sin lapp og legg lappane i ei øskje. Du trekkjer så tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva bokstav du får. d Vi ser om eit svangerskap gir eitt barn eller ein fleirfødsel. (Vi skil ikkje her mellom tvillingar, trillingar osv.)
Kapittel 3: Sannsyn 69 325 Du kastar éin terning. Kva er sannsynet for at du får a minst 3 auge (altså 3 auge eller meir) b minst 4 auge c høgst 3 auge (altså 3 auge eller færre) d høgst 4 auge 326 I ei klasse er det 12 jenter og 15 gutar. Ved loddtrekning blir éin elev vald ut til å vere med i ein spørjekonkurranse. a Kva er sannsynet for at det er ein gut som blir trekt ut? b Kva er sannsynet for at det er ei jente som blir trekt ut? 327 I ei skål ligg det 12 raude Non Stop, 8 gule Non Stop, 4 grøne Non Stop og 6 blå Non Stop. Du tek tilfeldig éin Non Stop frå skåla. Kva er sannsynet for at du a får ein blå Non Stop b får ein raud Non Stop c ikkje får ein grøn Non Stop d ikkje får ein gul Non Stop 328 Du skriv tala frå 1 til 20 på kvar sin lapp og legg dei tjue lappane i ei øskje. Så trekkjer du tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva for eit tal som står på lappen. Kva er sannsynet for at du får a eit oddetal b eit partal c eit primtal d eit kvadrattal 329 6 5 Andre kast 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Første kast Du kastar éin terning to gonger. Figuren viser utfallsrommet. a Teikn av figuren og merk av hendingane (sjå figuren i eksempel 1 på side 131 i læreboka) 1 femmar i første kast 2 sum talet på auge lik fem 3 minst éin seksar 4 sum talet på auge høgst fire b Finn sannsyna for hendingane i oppgåve a.
70 Kapittel 3: Sannsyn 330 Du stokkar ein kortstokk godt og ser kva kort som ligg øvst (sjå eksempel 2 på side 132 i læreboka.) Kva er sannsynet for at kortet a er kløver sju b er eit ess c ikkje er eit ess d er ein spar e ikkje er ein spar 331 332 333 334 * 335 Oda har kjøpt 15 lodd i jubileumslotteriet til idrettslaget Komiform. Oda veit at sannsynet er 0,5 % for at ho vinn førstepremien. Kor mange lodd blei selde i lotteriet? Du kastar eit kronestykke tre gonger og ser for kvart kast om du får mynt eller krone. a Bruk eit valtre til å finne alle utfalla i dette samansette forsøket. b Kva er sannsynet for at du får 1 tre krone 2 tre mynt 3 to krone og éin mynt (utan omsyn til rekkjefølgja) Du skriv bokstavane H, U og B på kvar sin lapp, og legg dei tre lappane i ei øskje. Så trekkjer du tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva bokstav du får. Du legg lappen tilbake i øskja, trekkjer éin lapp på nytt og ser kva bokstav du no får. a Forklar at du kan trekkje dei to bokstavane på 9 måtar. b Teikn eit valtre som viser dei 9 måtane du kan trekkje bokstavane på. c Kva er sannsynet for at du får to H-ar? d Kva er sannsynet for at du får éin H og éin B? Vi har ei øskje med 7 kvite og 3 svarte kuler. Vi trekkjer éi kule og ser kva farge ho har. Utan å leggje kula tilbake trekkjer vi éi kule til og ser kva farge denne kula har. Vi er interesserte i sannsynet for at begge kulene vi trekkjer, er kvite. Nedanfor er det gitt fire forslag for dette sannsynet. Kva for eit av dei er rett? A 70,0 % B 49,0 % C 46,7 % D 68,4 % Du stokkar ein kortstokk godt og trekkjer først eitt kort og så eitt kort til utan å leggje det første tilbake før du trekkjer det andre. a Kor mange utfall har dette forsøket? b Kor mange utfall er gunstige for hendinga at du får to spar? c Kva er sannsynet for at du får to spar?
Kapittel 3: Sannsyn 71 336 337 338 339 I klasse 1b er det 12 jenter og 16 gutar. Klassa skal velje ein festkomité med to medlemmer. Valet blir gjort ved loddtrekning. Først blir éin medlem av festkomiteen vald ved loddtrekning blant alle dei 28 elevane. Deretter blir det trekt lodd blant dei attverande 27 elevane om kven som skal vere den andre medlemmen av festkomiteen. Kva er sannsynet for at a begge medlemmene av festkomiteen blir jenter b minst éin av medlemmene av festkomiteen blir ein gut Vi kastar fire kronestykke og ser for kvart av dei om vi får mynt eller krone. a Bruk eit valtre til å finne alle utfalla til dette samansette forsøket. b Kva er sannsynet for at vi får éi krone og tre mynt? c Kva er sannsynet for at vi får to krone og to mynt? I ei skuffe ligg det 4 blå, 2 grå og 6 svarte sokkar. Du tek to sokkar i mørkret, først éin og så éin til. Kva er sannsynet for at du får a to blå sokkar b to grå sokkar c to svarte sokkar d to sokkar med same farge Du skriv bokstavane H, U og B på kvar sin lapp og legg dei tre lappane i ei øskje. Så trekkjer du tilfeldig éin lapp frå øskja og ser kva bokstav du får. Du legg lappen tilbake i øskja, trekkjer éin lapp på nytt og ser kva bokstav du no får. Du gjentek trekkinga av bokstavar på denne måten til du i alt har fått 12 bokstavar. a På kor mange måtar kan du trekkje 12 bokstavar på denne måten når du tek omsyn til rekkjefølgja du trekkjer dei i? b Kva er sannsynet for at du får akkurat denne serien: HUB BUB HHU HBU?
72 Kapittel 3: Sannsyn På ein tippekupong står det oppført 12 fotballkampar. For kvar kamp skal ein tippe om det blir heimesiger (H), uavgjort (U) eller bortesiger (B). Ei tipperekkje inneheld eitt tips for kvar av dei 12 kampane. c Forklar at svaret i oppgåve a gir talet på kor mange ulike rekkjer ein kan tippe. d Vil svaret i oppgåve b gi oss sannsynet for å få tolv rette når vi tippar éi rekkje? Grunngi svaret! 3.4 Addisjonssetninga 340 Du stokkar ein kortstokk godt og trekkjer eitt kort. a Finn sannsynet for at kortet er 1 ein hjarter 2 ein ruter b Forklar kvifor vi får sannsynet for at vi får eit raudt kort (ruter eller hjarter), ved å leggje saman sannsyna i oppgåve a. * 341 Friidrettsgruppa til Koll har 50 utøvarar. 35 av dei konkurrerer i løpsøvingar og 12 i høgdehopp. Sju av utøvarane konkurrerer både i høgdehopp og løpsøvingar. a Lag ein oversiktstabell eller eit venndiagram som viser korleis utøvarane fordeler seg på løpsøvingar og høgdehopp (sjå sidene 137 138 i læreboka). b Ein utøvar i friidrettsgruppa blir trekt ut tilfeldig. Kva er sannsynet for at denne utøvaren konkurrerer 1 i høgdehopp 2 i løpsøvingar 3 både i høgdehopp og i løpsøvingar 4 i høgdehopp eller i løpsøvingar eller i begge delar 342 343 Narvestad vidaregåande skule har 80 elevar i første klasse. Ei veke har 57 sett Idol, 35 sett Hotel Cæsar og 25 sett begge fjernsynsprogramma. a Lag ein oversiktstabell eller eit venndiagram som viser korleis elevane fordeler seg på dei to programma (sjå sidene 137 138 i læreboka). Éin av dei 80 elevane blir trekt ut tilfeldig for å bli intervjua i skuleavisa. b Kva er sannsynet for at denne eleven har sett 1 Idol 2 Hotel Cæsar 3 begge programma 4 minst eitt av programma 5 ingen av programma I ei klasse er det 25 elevar. Av dei er det 10 som har hund, 8 som har katt og 9 som korkje har hund eller katt. Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald elev a korkje har hund eller katt b har både hund og katt c har katt, men ikkje hund d har hund, men ikkje katt
Kapittel 3: Sannsyn 73 344 345 346 Ved ein teknisk kontroll blei lys og bremser på ei rad bilar kontrollerte. Det viste seg at 18 % av bilane hadde feil med lysa, og at 12 % hadde feil med bremsene. 74 % av bilane hadde både lys og bremser i orden. Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald bil blant dei som blei kontrollerte, hadde a lys som var i orden b bremser som var i orden c korkje lys eller bremser i orden d lys, men ikkje bremser i orden Du kastar éin terning to gonger. Avgjer i kvart av tilfella nedanfor om hendingane A og B er disjunkte (sjå side 136 i læreboka). a A = «minst éin seksar» og B = «sum talet på auge mindre enn sju» b A = «minst éin seksar» og B = «femmar i første kast» c A = «sum talet på auge minst ni» og B = «trear i andre kast» d A = «sum talet på auge større enn ni» og B = «trear i andre kast» Tabell 3.2 gir ei oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter alderen til bruda og brudgommen. Sjå på eit tilfeldig valt brudepar frå dette året. a Kva er sannsynet for at bruda er 20 24 år? b Kva er sannsynet for at brudgommen er 20 24 år? c Kva er sannsynet for at både bruda og brudgommen er 20 24 år? d Kva er sannsynet for at minst éin av dei to ektemakane er 20 24 år? Aktuelle befolkningstal 9/98 3 Inngåtte ekteskap etter alderen til bruda og brudgommen. 1997 Alderen til brudgommen I alt Alderen til bruda 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39 40 44 45 49 50 54 55 59 60 64 65 69 70 Ekteskap i alt 23 815 527 4 935 8 684 4669 2241 1244 767 450 188 55 32 23 15 19 106 55 41 4 5 1 20 24 2 263 251 1 537 404 49 16 2 2 2 25 29 7 728 137 2 408 4 265 745 124 41 5 1 2 30 34 6 132 61 690 2 873 1970 435 79 13 9 2 35 39 3 078 14 156 762 1184 710 201 40 9 2 40 44 1 756 7 56 233 464 513 353 102 25 2 1 45 49 1 162 2 27 96 160 264 294 234 73 10 2 50 54 882 7 38 68 135 181 248 163 3 5 4 3 55 59 400 11 4 17 33 70 85 97 66 15 1 1 60 64 160 2 3 6 9 16 29 44 35 9 5 2 65 69 73 2 1 1 4 7 17 21 12 6 2 70 75 1 3 2 10 12 12 17 18 Statistisk sentralbyrå Tabell 3.2
74 Kapittel 3: Sannsyn 347 Tabell 3.2 på side 73 gir ei oversikt over inngåtte ekteskap i 1997 etter alderen til bruda og brudgommen. Vi ser på eit tilfeldig valt brudepar frå dette året. Vi er interesserte i sannsynet for at minst éin av ektemakane er under 20 år. Nedanfor er det gitt fire forslag for dette sannsynet. Kva for eit av dei er rett? A 2,4 % B 2,2 % C 0,4 % D 2,7 % 348 Du kastar to terningar. Sjå på hendingane A = «sum auge høgst fem» og B = «firar i minst eitt av kasta». a Teikn opp utfallsrommet og merk av hendingane A og B (sjå figuren i eksempel 3 på side 140 i læreboka.) b Kva for utfall utgjer hendingane «A og B» og«a eller B eller begge»? c Bestem PA ( og B) og PA ( eller Beller begge). 349 Eit fjernsynsapparat kan ha to hovudtypar av feil, A og B. Sannsynet er 3,0 % for feil av type A og 1,0 % for feil av type B, dvs. PA ( ) = 0, 030 og PB ( ) = 0, 010. Sannsynet for at eit apparat har begge feila, er 0,2 %, dvs. PA ( og B) = 0, 002. Finn sannsynet for at eit fjernsynsapparat har a minst éin av dei to feila b ingen av dei to feila 3.5 Produktsetninga for uavhengige hendingar 350 I ei øskje ligg det to blå og tre raude kuler. Du trekkjer éi kule tilfeldig frå øskja og ser kva farge ho har. Du legg kula tilbake i øskja og trekkjer tilfeldig éi kule til og ser kva farge denne kula har. Kva er sannsynet for at a begge kulene er raude b begge kulene er blå c den første kula er raud og den andre blå d den første kula er blå og den andre raud 351 På eit bord står det to skåler. I den eine skåla er det 5 raude og 4 gule seigmenn. I den andre skåla er det 3 oransje og 6 grøne seigdamer. Vi trekkjer ein «seigperson» frå kvar skål. Finn sannsynet for at det blir a ein raud seigmann og ei oransje seigdame b ein raud seigmann og ei grøn seigdame c ein gul seigmann og ei oransje seigdame d ein gul seigmann og ei grøn seigdame
Kapittel 3: Sannsyn 75 352 Eit ektepar har to born som ikkje er tvillingar. Kva er sannsynet for at a paret har to gutar b det eldste barnet er ein gut og det yngste ei jente c det eldste barnet er ei jente og det yngste ein gut d paret har to jenter 353 354 Vi har ei øskje med 7 kvite og 3 svarte kuler. Vi trekkjer ei kule og legg ho tilbake att. Det gjer vi tre gonger. Finn sannsynet for at vi trekkjer a tre kvite kuler b minst éi svart kule c først ei svart, så ei kvit og så ei svart kule I ein gjettekonkurranse blir det gitt to spørsmål. For det første spørsmålet er det oppgitt tre moglege svar, medan det er oppgitt 5 moglege svar for det andre. Kor stort er sannsynet for at ein som berre tippar, får a gale svar på begge spørsmåla b rett svar på begge spørsmåla c minst eitt rett svar d høgst eitt rett svar * 355 Mia driv ein motebutikk. Ho har ført statistikk over lang tid og funne at 60 % av dei som kjem innom butikken, handlar før dei går ut. Ein elles roleg måndag formiddag kjem det tre personar, som ikkje er i følgje, inn i butikken. Finn sannsynet for at a alle tre handlar b ingen av dei handlar c minst éin av dei handlar 356 357 Ein familie har fire born som ikkje er tvillingar, trillingar eller firlingar. Kva er sannsynet for at syskenflokken består av a fire gutar b minst éi jente c ein storebror med tre småsystrer Vi kastar fire terningar. Vi er interesserte i sannsynet for at vi får minst éin seksar. Nedanfor er det gitt fire forslag for dette sannsynet. Kva for eit av dei er rett? A 48,2 % B 66,7 % C 51,8 % D 36,0 %
76 Kapittel 3: Sannsyn 358 I spalta «Barnelegen» i Aftenposten stod for nokre år sidan dette spørsmålet frå «tante», med svar frå barnelegen Gunnar Oftedal (her omsett til nynorsk): Gut eller jente Då systera mi fødde den tredje sonen sin i fjor, blei ho fortald av jordmora at når ei kvinne har fødd to gutar, er det 70 80 prosent sjanse for at barn nr. tre blir ein gut. Stemmer det? Og i så fall, kvifor? Dersom ei kvinne har fødd tre gutar, kva er då sjansen for at barn nr. fire blir ei jente? Nei, det stemmer ikkje; jordmora tek feil. Ved kvar befruktning er det 50 prosent sjanse for begge kjønn, uavhengig av kor mange born kvinna har fødd tidlegare, og uavhengig av kva kjønn tidlegare born har. Det er kjønnskromosoma som avgjer kjønnet til barnet. Eggcellene inneheld eit x-kromosom, spermiane anten eit x-kromosom eller eit y-kromosom, og det er heilt tilfeldig om kombinasjonen eller samansmeltinga blir xx (jente) eller xy (gut). Heilt korrekt er heller ikkje dette, for sjansen for å få ein gut er litt større enn sjansen for å få ei jente. Det blir fødd om lag 105 gutar i forhold til 100 jenter, det vil seie at det kvar gong er 5 prosent større sjanse for gut. I praksis er det likevel som å slå krone og mynt, og det er like sannsynleg at begge sider kjem opp. a b Diskuter spørsmålet frå «tante» ut frå omgrepa avhengige og uavhengige hendingar. Diskuter svaret frå barnelegen. 359 360 Frå offisiell statistikk veit vi at 1 % av fødslane i Noreg er tvillingfødslar. Tenk deg at det på eit sjukehus er 200 fødslar på eitt år. Kva er sannsynet for at det a ikkje blir fødd nokon tvillingpar b blir fødd minst eitt tvillingpar Raudgrøn fargeblindleik er arveleg, men blir arva ulikt for gutar og jenter. Ein gut blir raudgrøn fargeblind dersom han arvar genet for raudgrøn fargeblindleik frå mor si. Sannsynet for det er 8 %. a Kva er sannsynet for at ein gut ikkje er raudgrøn fargeblind? b Ola, Kristoffer og Hans er bestevenner. Kva er sannsynet for at ingen av c dei er raudgrøn fargeblind? Per, Pål og Espen er brør. Kan vi finne sannsynet for at ingen av dei er raudgrøn fargeblind, på same måten som i oppgåve b? (Du skal ikkje rekne her.) For at ei jente skal bli raudgrøn fargeblind, må ho arve genet for raudgrøn fargeblindleik både frå mor si og frå far sin. Ho arvar genet frå dei to foreldra uavhengig av kvarandre. Sannsynet er 8 % for å få genet for raudgrøn fargeblindleik frå mor og 8 % for å få det frå far. d e f Kva er sannsynet for at ei jente skal vere raudgrøn fargeblind? Kva er sannsynet for at ei jente ikkje skal vere raudgrøn fargeblind? Kari, Linda og Mette er bestevenner. Kva er sannsynet for at ingen av dei er raudgrøn fargeblind?
Kapittel 3: Sannsyn 77 361 Alle sjukehus har eit naudaggregat som blir kopla inn for å sikre straum til operasjonsstover og overvakingsutstyr dersom det skulle bli brot på den ordinære elektrisitetsforsyninga. Straumforsyninga til eit sjukehus er eit eksempel på eit system med to «komponentar» den ordinære straumforsyninga og naudaggregatet. Systemet fungerer det leverer straum dersom minst éin av komponentane fungerer. Vi seier at komponentane er kopla i parallell. Vi har eit system med to parallellkopla komponentar. Dei to komponentane fungerer uavhengig av kvarandre. Vi ser på hendingane A=«en første komponenten fungerer» B = «den andre komponenten fungerer» og reknar med at PA ( ) = PB ( ) =095,. a Finn PA ( og B). b Finn PA ( eller Beller begge), det vil seie sannsynet for at systemet fungerer. c Kva er sannsynet for at systemet ikkje fungerer? Samanlikn dette sannsynet med sannsynet for at kvar av komponentane ikkje fungerer. 3.6 Produktsetninga for avhengige hendingar 362 I ei øskje ligg det to blå og tre raude kuler. Vi trekkjer ei kule og ser kva farge ho har. Utan å leggje kula tilbake trekkjer vi ei kule til og ser kva farge denne kula har. Kva er sannsynet for at a begge kulene er raude b den første kula er raud og den andre kula blå c den første kula er blå og den andre kula raud d begge kulene er blå 363 I ei øskje ligg det fem kvite og tre svarte kuler. Vi trekkjer ei kule og ser kva farge ho har. Utan å leggje kula tilbake trekkjer vi ei kule til og ser kva farge denne kula har. Kva er sannsynet for at a begge kulene er kvite b den første kula er kvit og den andre svart c den første kula er svart og den andre kvit d begge kulene er svarte 364 I ei klasse er det 12 gutar og 9 jenter. To elevar blir trekte ut tilfeldig. Finn sannsynet for at a begge er gutar b minst éin er ei jente
78 Kapittel 3: Sannsyn 365 366 * 367 368 369 Du stokkar ein kortstokk godt og trekkjer først eitt kort og så eitt kort til (utan å leggje det første kortet tilbake før du trekkjer det andre). Kva er sannsynet for at du får a ingen spar b minst éin spar c ingen ess d minst eitt ess I ei øskje ligg det fem kvite og tre svarte legoklossar. Vi trekkjer etter tur tre legoklossar og ser kva farge dei har (utan å leggje klossane tilbake att). Kva er sannsynet for at a alle legoklossane er kvite b minst éin legokloss er svart c dei to første legoklossane er kvite og den siste er svart d den første legoklossen er svart og dei to siste er kvite I ei klasse er det 14 jenter og 10 gutar. Fire elevar blir trekte ut tilfeldig. Finn sannsynet for at a alle er jenter b minst éin av dei fire er ein gut c dei to første er jenter og dei to siste er gutar Per skriv bokstavane i alfabetet på kvar sin lapp og legg dei 29 lappane i ein hatt. Så trekkjer han tilfeldig fire lappar, éin etter éin, og ser kva bokstavar som står på lappane (utan å leggje lappane tilbake att). Kva er sannsynet for at Per a får berre konsonantar b får minst éin vokal c får berre vokalar Vi trekkjer tilfeldig fem kort frå ein kortstokk. a Kva er sannsynet for at alle korta er spar? b Kva er sannsynet for at minst eitt kort ikkje er ein spar? 370 Når du tippar éi rekkje i Viking Lotto, kryssar du av seks tal frå 1 til 48. Ved trekninga blir det tilfeldig trekt seks vinnartal (og to tilleggstal). Førstepremien går til den eller dei som tippar alle dei seks vinnartala rett. Tenk deg at du har tippa éi rekkje i Viking Lotto. Kva er sannsynet for at du a vinn førstepremie b ikkje tippar eit einaste vinnartal rett c tippar minst eitt vinnartal rett
Kapittel 3: Sannsyn 79 3.7 Samansette forsøk 371 I ei øskje ligg det to blå og tre raude kuler. Vi trekkjer ei kule og ser kva farge ho har. Utan å leggje kula tilbake trekkjer vi ei kule til og ser kva farge denne kula har. a Teikn eit valtre for det samansette forsøket som går ut på å trekkje dei to kulene. b Kva er sannsynet for at dei to kulene har same farge? 372 Eit ektepar har to born. Vi kan sjå på dette som eit samansett forsøk med to delforsøk, eitt for kvart barn. a Teikn eit valtre for det samansette forsøket. b Kva er sannsynet for at paret har éin gut og éi jente? 373 I ei skål ligg det 8 seigmenn og 12 seigdamer. Du trekkjer tilfeldig to «seigpersonar» frå skåla. Vi kan sjå på dette som eit samansett forsøk med to delforsøk, eitt for kvar «seigperson» du trekkjer. a b Teikn eit valtre for det samansette forsøket. Kva er sannsynet for at du får 1 to seigdamer 2 to seigmenn 3 éi seigdame 4 minst éin seigmann 374 375 376 I ei øskje ligg det fem kvite og tre svarte legoklossar. Vi trekkjer etter tur tre legoklossar og ser kva farge dei har (utan å leggje klossane tilbake att). a Teikn eit valtre for det samansette forsøket som går ut på å trekkje dei tre klossane. b Kva er sannsynet for at vi får 1 éin kvit legokloss 2 to kvite legoklossar Ein astragalus er ein slags terning som blei mykje brukt til spel i oldtida. «Terningen» blei laga av ein knokkel i sauefoten, og har fire sider han kan lande på. Desse sidene er merkte med tala 1, 3, 4 og 6. Vi reknar med at for alle astragalar er sannsynet 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 1 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 3 40 % for at han kjem til å lande på sida merkt 4 10 % for at han kjem til å lande på sida merkt 6 Vi kastar to astragalar samtidig. a Kva er sannsynet for å få to firarar? b Kva er sannsynet for at dei to astragalane viser det same? Ein familie har tre born som ikkje er tvillingar eller trillingar. Kva er sannsynet for at det er éi jente og to gutar i syskenflokken?
80 Kapittel 3: Sannsyn * 377 378 379 380 Eit menneske har éin av blodtypane A, B, AB eller 0. I Noreg har 48 % blodtype A, 8 % blodtype B, 4 % blodtype AB og 40 % blodtype 0. Ein lege undersøkjer blodtypen til tre nordmenn som ikkje er i slekt. a Kva er sannsynet for at alle har blodtype 0? b Kva er sannsynet for at minst éin ikkje har blodtype 0? c Kva er sannsynet for at éin har blodtype A og to har blodtype 0? d Kvifor må vi ha som føresetnad at dei tre ikkje er slektningar? For å få begynne i Ludo lyt ein kaste ein seksar med terningen. Finn sannsynet for at ein spelar a får begynne etter det første kastet b får begynne etter det andre kastet c får begynne etter anten det første eller det andre kastet Ei klasse har ei fleirvalsprøve med ti spørsmål. For kvart spørsmål kryssar elevane av ved eitt av tre alternativ. Læraren gir karakteren 6 dersom ein har svart rett på alle spørsmåla, og karakteren 5 dersom ein har svart rett på ni av spørsmåla. Yngve har ikkje lese på leksene og kryssar av heilt tilfeldig for kvart spørsmål. Kva er sannsynet for at Yngve får a karakteren 6 b karakteren 5 c karakteren 4 eller dårlegare Du kastar éin terning fire gonger. Kva er sannsynet for at du får to seksarar? Rett eller gale? 1 Når vi kastar éin terning 1200 gonger, får vi 200 seksarar. 2 Eit utfall er eit mogleg resultat av eit tilfeldig forsøk. 3 Ei hending omfattar minst to utfall. 4 Når vi kastar éin terning, er «høgst fire auge» og «minst fire auge» komplementære hendingar. 5 Talet på gunstige utfall for hendinga «minst éin firar» når vi kastar to terningar, er 12. 6 Når vi kastar tre terningar, er det 216 moglege utfall. 7 Ved tilfeldig trekking har vi alltid ein uniform sannsynsmodell. 8 I ei klasse med 28 elevar har 12 snøbrett og 13 langrennsski, medan 5 av elevane korkje har snøbrett eller langrennsski. Då har 3 elevar både snøbrett og langrennsski. 9 Dersom A og B er hendingar ved eit forsøk, finn vi sannsynet for at minst éi av dei kjem til å skje, ved å leggje saman sannsyna for dei to hendingane. 10 Når vi kastar fem kronestykke, er sannsynet 3,1 % for at vi ikkje får ein einaste mynt.
Kapittel 3: Sannsyn 81 11 Dersom A og B er uavhengige hendingar, finn vi sannsynet for at både A og B kjem til å skje, ved å multiplisere sannsyna for dei to hendingane. 12 I ei øskje ligg det fire blå og tre raude kuler. Vi trekkjer etter tur tre kuler frå øskja (utan å leggje kulene tilbake att). Gitt at dei to første kulene vi trekte var blå, er sannsynet med vilkår for at også den tredje kula er blå, 2 lik 7. 13 I ei øskje ligg det fire blå og tre raude kuler. Vi trekkjer etter tur tre kuler frå øskja (utan å leggje kulene tilbake att). Sannsynet for at vi får tre blå 4 kuler, er då lik. 35 14 I ei skål ligg det tre seigmenn og tre seigdamer. Du vel tilfeldig to «seigpersonar». Sannsynet er då 50 % for at du får éin seigmann og éi seigdame. 3 15 Dersom vi kastar tre kronestykke, er sannsynet for at vi får to mynt. 8 Blanda oppgåver 381 Sannsynet er 25 % for at ei 16 år gammal jente skal vere minst 170 cm høg. For ein 16 år gammal gut er dette sannsynet 75 %. I ein venneflokk er det fem jenter og fire gutar som alle er 16 år. Kva er sannsynet for at a alle gutane er minst 170 cm høge b minst éin av gutane er lågare enn 170 cm c alle jentene er lågare enn 170 cm d minst éi av jentene er 170 cm eller høgre (Opplysningane i denne oppgåva er henta frå målingar gjorde i 1970 av elevar i Oslo-skulane.) 382 Ved å teste for eit bestemt hormon i ei urinprøve kan ein undersøkje om ei kvinne er gravid. Men ein graviditetstest er ikkje 100 % sikker. Det kan vere at testen ikkje oppdagar at ei gravid kvinne verkeleg er gravid, eller det kan vere at testen viser at kvinna er gravid, utan at ho er det. Dersom ei kvinne er gravid, er det 99,0 % sannsynleg at testen vil vise det. a Ei gravid kvinne tek ein test. Kva er sannsynet for at testen viser at ho ikkje er gravid? b Tre gravide kvinner tek kvar sin test. Kva er sannsynet for at 1 alle testane viser at kvinnene er gravide 2 minst éin av testane ikkje viser teikn på graviditet Dersom ei kvinne ikkje er gravid, er det 0,5 % sannsynleg at testen likevel viser at ho er det. c Tuppen og Lillemor er to venninner. Tuppen er gravid, medan Lillemor ikkje er gravid. Dei tek kvar sin graviditetstest. Kva er sannsynet for at nøyaktig éin av testane viser feil resultat?
82 Kapittel 3: Sannsyn 383 Ein kortstokk inneheld 52 kort. Korta er delte inn i fire «fargar»: kløver, ruter, hjarter og spar. I kvar «farge» er det tretten kort: 2, 3,..., 10, knekt, dame, konge og ess. a Du trekkjer tilfeldig eitt kort frå ein kortstokk. Kva er sannsynet for at du 1 får eit hjarterkort 2 ikkje får eit hjarterkort b Frå ein kortstokk trekkjer du tilfeldig først eitt kort og så eitt kort til (utan å leggje det første kortet tilbake før du trekkjer det andre). Kva er sannsynet for at du 1 først får eit hjarterkort og så eit sparkort 2 først får eit sparkort og så eit hjarterkort 3 får eit sparkort og eit hjarterkort (når vi ikkje bryr oss om kva for eitt av dei som blir trekt først). c Du trekkjer tilfeldig fire kort frå ein kortstokk. Kva er sannsynet for at 1 ingen av korta har same «farge» 2 minst to av korta har same «farge» 384 I perioden 1996 2000 blei det i gjennomsnitt fødd 59 766 born kvart år i Noreg. Av dei var det i gjennomsnitt 244 dødfødde kvart år. (Sjå tabell 3.1 på side 61.) a Kva er den relative frekvensen for dødfødde i femårsperioden? Vi reknar med at sannsynet er 0,4 % for at eit barn skal vere dødfødd. b Korleis har vi kome fram til dette? c Kva er sannsynet for at eit barn skal vere levandefødd? På eit sjukehus blir det fødd 200 born på eitt år. d Kva er sannsynet for at alle borna er levandefødde? e Kva er sannsynet for at minst eitt av borna er dødfødd? 385 Frøa til ein erteplante kan vere anten gule eller grøne. I eit kryssingsforsøk er 3 sannsynet 4 for at ein erteplante får gule frø. a Kva er sannsynet for at ein erteplante får grøne frø? Vi har tre erteplantar frå eit slikt kryssingsforsøk. b Kva er sannsynet for at alle plantane har gule frø? c Kva er sannsynet for at alle plantane har grøne frø? d Kva er sannsynet for at to av plantane har gule frø og éin har grøne frø? Ein annan eigenskap ved frøa til ein erteplante er at overflata kan vere glatt 1 eller rynka. I kryssingsforsøket er sannsynet 4 for at overflata blir rynka. Eitt av dei berømte forsøka til den austerrikske botanikaren Gregor Mendel (1822 84) viste at fargen og overflata til frøa er uavhengige av kvarandre. e Kva er sannsynet for at ein erteplante får frø som 1 er gule og har rynka overflate 2 er gule og har glatt overflate
Kapittel 3: Sannsyn 83 386 Kvar dag etter middag set Per seg på rommet sitt for å gjere lekser. Medan han arbeider med leksene, har han mobiltelefonen på. Sannsynet for at han får éi SMS-melding på eitt minutt, er 5 %. Vi ser bort frå det tilfellet at Per får to eller fleire meldingar i det same minuttet. Vi går også ut frå at talet på meldingar han allereie har fått, ikkje speler noka rolle for om han får ei SMS-melding eller ikkje på eitt minutt. a Kva er sannsynet for at Per ikkje får nokon meldingar på eitt minutt? Ein dag bruker Per fem minutt på ei matematikkoppgåve. b Kva er sannsynet for at han ikkje blir forstyrra av nokon SMS-meldingar medan han arbeider med oppgåva? c Kva er sannsynet for at han får éi melding medan han arbeider med oppgåva? d Kva er sannsynet for at han får minst to meldingar medan han arbeider med oppgåva? Ein annan dag arbeider Per med ein norsk stil. e Kva er sannsynet for at han får arbeide i fred med stilen i ein heil time utan å få nokon SMS-meldingar? X3.1 Martin har problem med eit kne og må få behandla ein skade på menisken. Sannsynet for å bli frisk etter ein slik operasjon er 0,70. a Kva er sannsynet for at Martin ikkje blir frisk etter operasjonen? På sjukehuset der Martin blir lagd inn, blir det ein dag operert tre pasientar med meniskskade. b Kva er sannsynet for at alle tre blir friske etter operasjonen? c Kva er sannsynet for at akkurat éin av dei blir frisk etter operasjonen? (Eksamen 1MX/1MY våren 2004) X3.2 I ei klasse er det 30 elevar. 12 av desse elevane har valt kjemi, og 21 har valt matematikk til neste skuleår. 7 elevar har valt begge faga. a Illustrer situasjonen med eit venndiagram. Kor mange elevar har valt korkje matematikk eller kjemi? Vi trekkjer ut ein tilfeldig elev i klassa. b Kva er sannsynet for at eleven har valt matematikk, men ikkje kjemi? Vi trekkjer no ut to tilfeldige elevar. c Kva er sannsynet for at begge har valt matematikk? (Eksamen 1MX/1MY hausten 2004) X3.3 Eva og Tor Solstad er 70 år, og er fødde på same dag. Sannsynet for at ein 70-åring i Noreg skal bli 80 år, er 0,63 for menn og 0,77 for kvinner. a Kva er sannsynet for at Tor Solstad ikkje skal bli 80 år? b Kva er sannsynet for at begge blir 80 år? c Kva er sannsynet for at ingen av dei blir 80 år? d Kva er sannsynet for at berre éin av dei blir 80 år? (Eksamen 1MX/1MY hausten 2003)
84 Kapittel 3: Sannsyn X3.4 I eit politidistrikt er det 5382 innbyggjarar over 18 år. Om desse innbyggjarane har vi desse opplysningane: 180 personar er registrerte som alkoholmisbrukarar 92 personar har mist førarkortet på grunn av køyring i alkoholpåverka tilstand 72 av dei 92 er registrerte som alkoholmisbrukarar Vi trekkjer ut ein tilfeldig person over 18 år i politidistriktet. a Finn sannsynet for at personen har mist førarkortet på grunn av køyring i alkoholpåverka tilstand. b Vi reknar med at personen har mist førarkortet på grunn av køyring i alkoholpåverka tilstand. Finn sannsynet for at vedkomande er registrert som alkoholmisbrukar. Vi trekkjer no ut ein ny tilfeldig person over 18 år i politidistriktet. c Finn sannsynet for at denne personen korkje er registrert som alkoholmisbrukar eller har mist førarkortet på grunn av køyring i alkoholpåverka tilstand. (Eksamen 1MX/1MY våren 2005)