Algebra for alle Gunnar Nordberg 1
Om dette verkstedet Fra konkreter til tall Fra tall til variabler(bokstaver) Kan algebraen bli meningsfull Å undervise i algebraisk forståelse Ideer til gode oppgaver i algebra Å lage oppgaver til egen klasse 2
Tenk på ett tall - 1 For eksempel mellom 1 og 10 Doble tallet ditt Legg 16 til svaret Del det du nå har på 2 Trekk fra tallet du tenkte på Og hva blir svaret? Hva skjer og hvordan jobbe med dette i klassen? 3
Tenk på ett tall - 2 2 3+16-3 = 8 2 2 5+16-5 = 8 2 2 10+16-10 = 8 2 2 23+16-23 = 8 2 2 19+16-19 = 8 2 Vi ser på regnestykkene for fem ulike tall Hva er likheten i alle regnestykkene? Hva er forskjellen mellom de ulike regnestykkene? Hvorfor får vi alle samme svar? Vi ser på litt flere regnestykker 4
Tenk på ett tall - 3 6 3+15-6 = 5 3 6 3+45-6 = 15 3 5 4+32-5 = 8 4 15 4+200-15 = 50 4 12 5+? - 12 =? 5 25 10+200 - x = 20 10 Hva er likheten i de to første regnestykkene? Hvor finner jeg tallet som skal adderes? Hvorfor får vi alle samme svar? Hva kan vi erstatte de to spørsmålstegnene med? Hva blir x? Forsøk å skrive disse oppgavene som en formel der tallet vi tenker på kan skrives som n 5
Om å forenkle og å gå i dybden forenkling x + 16-7 x = n + 45 n + 30 45 = Svaret kan vi holde hemmelig gå i dybden 2x+16 - x + 42 = 2 (kan brukes i en 50 årsdag) Lag to liknende oppgaver 6
Et lite sidespor med noen sammensatte regneoppgaver Regn ut 4 15 + 6 15 17 9-12 9 23 25 + 6 25-25 25 Vi kan forenkle til 10 15 5 9 4 25 23 x + 6 x - 25 x 4 x (23+6-25=4) 16 25 16 20 + 16 5 (men dette kan gjøres enda enklere) 7
Finn det hemmelige tallet Jeg tenker på et tall som, når du legger til tre ganger tallet, får du 32. Hvilket tall er det? Det dobbelte av et tall pluss 6 er 26. Hvilket tall kan det være? Fire ganger et tall er det samme som det dobbelte av tallet pluss 8. Hvilket tall er det? Halvparten av et tall pluss 10 er lik 20 Hvilket tall er det? Fra Multi 5-7, grublishefte 8
Jordbærplukking Lønnen er 50 kr for å møte opp og 10 kr per kurv Anne plukker 20 kurver. Hva tjener hun? Bernt plukker 30 kurver. Hva tjener han? Cecilie plukker 25 kurver. Hva tjener hun? Dina plukker 45 kurver. Hva tjener han? Er dette en eller flere oppgaver? Må vi tenke nytt i hver oppgave? Hva trengs av matematiske kunnskaper her? Hvordan hjelpe elever med å se sammenhengen her? Kan vi lage en regel med ord med symboler? Eirik plukker 40 kurver. Hva tjener han? 9
På vei til en regel Med ord: Med symboler: Alle tjener femti kroner pluss ti kroner ganget med antall kurver vi plukker F = 50 + 10 a eller y = 50 + 10 x Og hva er likheten med 10x + 50 = 300 10
Noen muligheter forenkling Innenfor samme kontekst Kutte ut 5 kr Bruke ensifrede tall fordypning Innenfor samme kontekst Engangsbeløpet er 75 kr Bruke andre og mer realistiske tall Innenfor annen kontekst En appelsin koster 5 kr Hva koster 6 appelsiner? Hva koster 8 appelsiner? Hva koster n appelsiner? Innenfor annen kontekst Noe du vet elever er opptatt av. Lag tekst til funksjonen y = 15 x - 50 11
Hvor mange håndtrykk blir det? Grupper på 4, 5 og 6 deltakere Alle i gruppen hilser på hverandre (med ekstraspørsmål) Bruk et halvferdig skjema (for eksempel på flip) Forklar med ord hva som skjer lag en regel Hva om alle i rommet hilser på hverandre? Tegn «varebilen» Hva om det er n personer? Lag en formel eller en regel Kan oppgaven brukes i andre sammenhenger? (se kopi 49) 12
Håndtrykkeskjema Antall personer Antall håndtrykk Kommentar 2 3 4 6 5 6 10 Alle her n 13
En «umulig» oppgave - 1 Løs likningen x (x + 1) (x + 2) = 120 Lettere om det står n som vi oversetter med de naturlige tallene? Hva betyr det som står her? Kan vi lage en tekstoppgave isteden? 14
En «umulig» oppgave - 2 forenkling fordypning Lettere tall x (x + 1) (x + 2) = 24 Færre ledd x (x + 1) = 12 Addisjonsoppgave x + (x+1) = 7 Forandre leddene (x-1) x (x + 1) = 120 x (x + 2) (x + 4) = 105 Lage likninger selv 4 6 6 = 144 7 5 3 = 105 15
Fire meter tau mange muligheter Vi lager et kvadrat Hva er omkretsen? Hva er arealet? Vi lager et rektangel Hva er omkretsen? Hva er arealet? Og flere rektangler Hva er omkretsen? Hva er arealet? Hva skjer? Når skjer forandringen? Hvordan jobbe med dette i klassen? Og hva har dette med algebra å gjøre? 16
Hvor mange ruter blir til overs? Tegn et kvadrat med side 5cm Tegn et rektangel med sider 6cm og 4cm Tegn et rektangel med sider 7cm og 3cm Tegn et rektangel med sider 8cm og 2cm Hvor mange ruter? Hva blir arealet? Hvor mange ruter blir til overs? Kan du lage et kvadrat av rutene som blir til overs? 17
Oppsummering 1 Regn ut Vi kan skrive slik: 6 6 7 5 8 4 9 3 10 2 6 6 = 36 7 5 = 6 6-1 1 = 35 8 4 = 6 6-2 2 = 32 9 3 = 6 6-3 3 = 27 10 2 = 6 6-4 4 = 20 18
Oppsummering 2 Og hva blir 9 5 8 6 12 8 Men hva blir 19 21 27 33 38 42 76 84 Vi kan skrive slik: 9 5 = 7 7-2 2 = 45 8 6 = 7 7-1 1 = 48 12 8 = 10 10-2 2 = 96 Er dette i hoderegning? 19 21 = 20 20-1 1 = 399 27 33 = 30 30-3 3 = 891 Hvorfor blir det 1596? Og svaret blir? 19
Husker du? (a + b) (a b) = a 2 - b 2 (x + y) (x y) = (a + 4) (a 4) = a 2-16 Og hva er sammenhengen med det vi nå har jobbet med? (40 + 7) (40 7) = 86 94 = 20
Rutenett og multiplikasjon Hvordan forklarer Multi multiplikasjon med flersifrede tall? For eksempel 8 14, som kan deles opp i. 25 30, som kan deles opp i. 35 35, som kan deles opp i. Husker du a (a + 5) og (a + 5) 2? 21
Algebra for alle Og når elevene dine, eller foreldrene, spør hva skal vi med algebra, har vi kanskje noen argumenter: 22