s) gir sanne påstander og andre tallpar usanne

Transkript

1 2.6 Symbolske variable: Ligninger og ulikheter som betingelser Den tyske matematikeren, logikeren og filosofen Gottlob Frege ( ) fant ut at man med fordel kunne fjerne forbindelsen mellom tidsbegrepet og variabelbegrepet. På den måten kunne Frege gi en presis definisjon av variabelbegrepet som også erstatter Viètes ukjentbegrep! De opprinnelige variabel- og ukjentbegrepene var temmelig ulike, så dette er oppsiktsvekkende. Frege så på variable som symboler man kan regne med etter samme regler som når vi regner med tall. Når symbolene erstattes med tall får vi regnestykker eller påstander som kan være riktige eller feil. Symbolene i seg selv er uten mening. De får mening kun når de erstattes med tall. Galileos formel s = 5 t 2 er en god illustrasjon på tankegangen. På side 28 fikk vi ulike verdier for s da vi erstattet t med ulike tall. Vi kan i stedet si at noen tallpar ( t, s) gir sanne påstander og andre tallpar usanne påstander. Tallparet ( 1, 5), dvs. t = 1 og s = 5 gir en sann påstand. Derimot gir tallparet ( 2, 3) en usann påstand fordi De tallparene som gir sanne påstander er i dette tilfellet de som svarer til fysiske hendelser. Det viser seg at det er vanskelig å gå over fra å tenke på symboler som ukjente til å tenke på dem som symbolske variable. En mulig løsning er å prøve å innføre x som en symbolsk variabel, ikke en ukjent, helt fra starten av. Innen den matematikkdidaktiske forskningen har det imidlertid blitt reist tvil om heldigheten av dette. Et eksempel er artikkelen «Between arithmetic and algebra: In the search of a missing link. The case of equations and inequalities» av Sfard og Linchevski (1994). Anna Sfard argumenter i artikkelen «The developement of algebra Confronting historical and psychological perspectives», at det lønner seg å ta hensyn til histo- KAPITTEL 2 31

2 riske fakta om algebraens utvikling. Den lange tiden det historisk tok å gå fra ukjent til variabel gir oss et hint om at en for rask progresjon kan være uheldig for elevene. Ligninger som betingelser For å illustrere den nye tankegangen på ligningsløsning, ser vi på følgende problem: Finn et kvadrat slik at summen av arealet av kvadratet og arealet av et rektangel med sider 2 og 3, er lik arealet av et rektangel hvor grunnlinjen er den samme som siden i kvadratet og høyden er 5. x 3 = 5 x 2 Hvis vi kaller den ukjente siden til kvadratet for x, leder dette til ligningen x = 5x (2.5) Et kvadrat med side 2 tilfredstiller betingelsen over. Det overraskende er imidlertid at et kvadrat med side 3 også løser oppgaven. Dette strider mot at en regneoppgave skal ha ett riktig svar med to streker under. Det geniale skrittet som gjør det meningsfylt å snakke om ligninger med flere løsninger, eller ingen, er å slutte å betrakte x som et navn på et bestemt tall som vi skal finne. Istedet betrakter vi ligningen som en betingelse et tall skal oppfylle. Vi ser på x og 5x som to regneoperasjoner som skal utføres på det samme tallet. Løsningene av ligningen er de tallene som innsatt for x gir to regnestykker med samme svar. Tallet 1 innsatt for x i ligning (2.5), gir regnestykkene = 7 og 5 1 = 5 x 32 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

3 Regnestykkene for venstre og høyre side gir ulikt svar, og 1 er derfor ikke en løsning av ligning (2.5). Vi sier at «vi satte x = 1 og fikk at venstresiden var ulik høyresiden». Ved å sette x = 2, får vi venstresiden = 10 og høyresiden 5 2 = 10. Venstresiden er lik høyresiden, og x = 2 er derfor en løsning av ligning (2.5). Ved å sette x = 3 får vi venstresiden = 15 og høyresiden 5 3 = 15. Venstresiden er lik høyresiden, så x = 3 er derfor også en løsning av ligning (2.5). Fortsetter vi og prøver f.eks. x = 4, x = 5 og x = 6, vil vi se at de ikke passer i ligning (2.5). Ligning (2.5) har faktisk bare de to løsningene x = 2 og x = 3, men det kan vi selvsagt ikke finne ut ved bare å prøve oss fram. Det kan jo alltid tenkes at et tall vi ikke har prøvd, f.eks. x = , passer i ligningen. Dessuten er det ofte håpløst tidkrevende å finne en løsning ved å prøve og feile. Vi gir derfor ikke slipp på metodene vi har med å utføre tillatte regneoperasjoner på en ligning. Eksempel 2.1 La oss se på ligningen x + 5 = 2x + 2 (2.6) Tenker vi på x som en ukjent, dvs. at x er et bestemt, men for oss foreløbig ukjent tall, forteller ligningen over oss at å addere 5 til x og det å fordoble x og deretter addere 2, gir samme resultat. Men da må det også gi samme resultat om vi etter hvert av disse to regnestykkene trekker fra 2. Dvs. at x + 3 = 2 x. (2.7) Slik kan vi fortsette å trekke fra x på begge sider, og få at 3 = x (2.8) dvs. x = 3. Når vi tenker på x som en variabel, gjør vi de samme operasjonene, men ligning (2.6) sier nå ikke noe om et bestemt tall x, men er derimot en betingelse som for noen tall er sann og for noen tall usann. Å løse ligningen vil si å finne de tall som innsatt for x gir en sann påstand. Å utføre en tillatt operasjon på en ligning vil si at vi omformer ligningen til en annen (enklere) ligning som har nøyaktig de samme løsningene som ligningen vi startet med. KAPITTEL 2 33

4 Det betyr at de tre ligningene (2.6), (2.7) og (2.8) har de samme løsningene. Den siste er imidlertid svært enkel. 3 er naturligvis det eneste tallet som er lik 3! At også uttrykket «3 = x» er en ligning kan virke rart, vi vet jo svaret! Vi lar det imidlertid være en konvensjon for at vi alltid kan si at vi omformer en ligning til en annen ligning med samme løsning. To ligninger med de samme løsningene kalles ekvivalente ligninger. Altså er ligningene (2.6), (2.7) og (2.8) ekvivalente. Ligninger med ingen eller uendelig mange løsninger Tenker vi på en ligning som en betingelse som oppfylles av noen tall og ikke av andre, er det ikke så unaturlig at det finnes ligninger som ikke har noen løsning. Ser vi på ligningen 2x + 5 = 2x + 7 som å finne tall slik at det dobbelte av tallet pluss 5 er lik det dobbelte av det samme tallet pluss 7, er det klart at noe slikt tall ikke finnes. For en elev som til nå har oppfattet en bokstav som et navn på en ukjent, men fast størrelse, er dette ikke uten videre så greit. Da oppfattes ligningen som en regneoppgave, og eleven blir overrasket over å ikke få et svar. Når eleven forsøker å løse ligningen og trekker fra 2x på begge sider, vil x en rett og slett forsvinne. Det gir den oppsiktsvekkende påstanden 5 = 7. Siden det opplagt er galt, er det ikke så vanskelig å få eleven med på at ligningen er uløselig. Hvis vi derimot ser på ligningen ( ) = + (2.9) 2 x 3 x 6 x blir det verre. Omformet gir dette at eller 2x 6 = 2x 6 2x = 2x. Vi ser da at alle tall passer når de settes inn for x. Da sier vi at ligningen har uendelig mange løsninger. Hvis vi nå omformer ligningen videre og trekker fra 2x på begge sider blir vi da stående igjen med 0 = 0. x en er igjen borte. I dette tilfellet blir det total forvirring for en elev som tenker på bokstaven som en ukjent, ikke en variabel. Det er ganske vanlig at eleven tror at det ikke er noen løsning. Elevene har til nå vært vant med å ende opp med f.eks. x = 2. Når x en er borte, får vi jo ikke at x er lik noe. 34 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

5 Ulikheter En sentral egenskap ved tallene er at de er ordnet. Det vil si at hvis jeg tenker på et tall og du tenker på et tall, så er enten de to tallene like, eller ett av dem er større enn det andre. Dette bygger på ideer som unger svært fort oppdager. De reagerer hvis en av dem får 3 tiere og de andre bare 2. Det er tydelig at tanken om at et antall er mer enn et annet utvikles tidlig. Ikke bare ligninger, men også ulikheter kan betraktes som betingelser som oppfylles av noen tall, men ikke av andre. x + 3 < 7 (2.10) Tallene 1, 2 og 3 innsatt for x, oppfyller betingelsen gitt av ulikhet (2.10). Vi ser at alle tall mindre enn 4 er løsninger av ulikheten, dvs. oppfyller betingelsen den angir. I læreplanen for grunnskolen, L97, er lineære ulikheter med en ukjent med som pensum fra 9. klasse. I Norge var ulikheter med variable ikke pensum i grunnskolens mønsterplan av 87, det kom først i videregående skole. Riktignok forekom det i enkelte lærebøker oppgaver som 20 +? > 30. Da var det imidlertid kun et spørsmål om å finne et tall som ga en sann påstand, dvs. å finne et tall man kan legge til 20 for å få noe som er større enn 30. Det er ikke vanskelig for elevene siden det ikke dreier seg om å regne med symboler. Et problem med ulikheter er at det er umulig å komme noen vei om man tenker på x som et symbol som står for et fast, men ukjent tall. Eleven må beherske det mer abstrakte variabelbegrepet. Selve metodene til å løse ulikheter er imidlertid lang på vei de samme som for ligninger. Den eneste forskjellen er at man må snu et ulikhetstegn dersom man multipliserer med et negativt tall på begge sider av ulikheten. Denne likheten i løsningsmetode for så ulike problemstillinger er imidlertid en fallgrube for elevene. Faren for at de løser ulikheter ved å følge regler de ikke forstår er overhengende. Eksempel 2.2 La oss løse ulikheten x + 2x 3 12x > 3x 6. (2.11) Det vi ønsker er å omforme denne ulikheten til en enklere ulikhet med de samme løsningene. Det betyr at dersom vi får en sann påstand ved å sette et tall inn for x i ulikhet (2.11), så skal det samme tallet gi en sann påstand når det settes inn for x i den omformede ulikheten. Dessuten skal et tall som innsatt for x i ligning (2.11) gir en usann påstand, gi en usann påstand når det samme tallet innsettes for x i den omformede ulikheten. Sannhetsverdien av ulikheten endres ikke av å trekke sammen x ene: KAPITTEL 2 35

6 9x 3 > 3x 6. Sannhetsverdien av en ulikhet forandres heller ikke av å trekke fra det samme på begge sider, her 3x: 9x 3 3x > 3x 6 3x. Fra dette får vi ved å trekke sammen at 12x 3 > 6. Om ulikheten er en sann eller usann påstand forandres ikke av å legge til samme tall på begge sider, her tallet 3: Altså er 12x 3+ 3 > x > 3. (2.12) Nå må vi imidlertid passe oss. Hvis vi nå multipliserer med 1 12 på begge sider, så må vi snu ulikhetstegnet! Gjør vi ikke det, vil vi få x > 3 Vi ser imidlertid at x = 1 er er en løsning av ulikhet (2.12) 12 siden ( ) = > Snur vi imidlertid ulikhetstegnet, så går det bra: 3 x < = Alle tall mindre enn 1 gjør altså ulikheten (2.11) sann når x erstattes med tallet. Et eksempel på et slikt tall er 0. Innsatt for x i (2.11) 4 gir det > Det vil si at 3 > 6, som jo er sant. Nøkkelen til forståelsen av regelen om å snu ulikhetstegnet når vi multipliserer med et negativt tall på begge sider, er å se hva som skjer når vi multipliserer med 1 på begge sider. Å multiplisere med f.eks. 5 er det samme som å multiplisere med 5 og deretter med 1. Det er ikke så vanskelig å innse at å multiplisere med et positivt tall på begge sider er en lovlig operasjon. Å multiplisere med 1 svarer til den grunnleggende egenskapen ved negative tall som sier at a < b medfører at a > b 36 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

7 Det svarer f.eks. til at 4 < 7, men at 4 > 7. Forståelsen for dette er lettest å oppnå hvis du tenker på tallene som punkter på tallinja. På samme måte som forståelsen av de positive hele tallene og null er nødvendig for å forstå reglene for løsning av ligninger, er forståelse av negative tall nødvendige for å forstå løsning av ulikheter. Dersom en elev har problemer med negative tall, vil det lett føre til at reglene for løsning av ulikheter følges blindt uten forståelse. Historisk sett tok det svært lang tid før man fullt ut aksepterte negative tall i vår vestlige kultur. Det gjør det lettere å forstå at negative tall er et problem for mange elever. Oppgave 2.16 Løs ulikhetene, bruk løsningsmetoden fra eksempel 2.2. a) 5x + 4 > 3x + 2 b) 2x + 6 < 7x + 16 c) 2x d) x 5 + 7x 10x + 2 Oppgave 2.17 Løs ulikhetene. Tenk på hva betingelsene betyr. Utforsk! a) x < x b) x x c) 10 < 1 d) x 3 < 0 Variable som regnestykke og svar på regnestykke på en gang Vi skal se litt nærmere på en side ved bruk av variable som kan skape vanskeligheter ved innlæringen av løsningsmetodene for ligninger og ulikheter. Som med mange andre ting i matematikken er dette noe en som behersker stoffet vanligvis ikke tenker over. En elev tenker gjerne på 5 y som et regnestykke, ikke som et tall. Et eksempel fra Sfärds og Linchevskis forskning er dette intervjuet med to elever Irit og Ayala i årsalderen. Det er hentet fra artikkelen «The gains and pitfalls of reification The case of algebra». Ayala forklarer hvordan Irit løser en ligning: L(ærer): Hvordan går Irit fra her [15x = 8x + 35] til her [7x = 35]? A: Hun trakk fra et regnestykke, 8 ganger x, og hun trakk det fra også på den andre siden av ligningen. L: Hva mener du når du sier regnestykke? A: 8 ganger x er et regnestykke, det er noe du må gjøre. Hun KAPITTEL 2 37

8 tar bort dette regnestykket. Det er som når du har = Da kan du ta bort 3, og så på den andre siden kan du ta bort en pluss to. L: 1+ 2 er et regnestykke og 3 er ikke et regnestykke? A: 3 er et tall, det er et resultat av et regnestykke. Dette [peker på 1+ 2] er regnestykket: og 8x er et regnestykke og 15x er et regnestykke. Vi trekker fra det samme regnestykket fra begge sider slik at det som er igjen er det samme. Ayala har utvilsomt forstått en del, men det er noe pussig å trekke fra et regnestykke og ikke resultatet av det. Et regnestykke er jo ikke det samme som et tall. Det er omtrent som å si at oppskriften på ei kake er det samme som kaka selv. Forklaringen på denne litt pussige problemstillingen er at et uttrykk som 8x eller 5 y benyttes i to betydninger; som et regnestykke og som resultatet av regnestykket. Vi kan trekke 8x fra begge sider fordi vi kan trekke fra samme tall på begge sider av en likhet. Når vi derimot ser på ligningen 15x = 8x + 35 spør vi etter et tall slik at to regnestykker gir samme resultat. Det er når vi skal begrunne våre løsningsteknikker at vi må tenke på 8x som et tall. Et annet eksempel hentet fra samme artikkel kan illustrere dette. En flink elev, den 15 år gamle Gay, blir intervjuet. Han ble bedt om å forenkle uttrykket kx x = 2. Her er k en parameter, dvs. at k er et navn for et bestemt tall, mens x er en variabel. Det læreren er ute etter er at kx x skal faktoriseres som ( k 1 ) x. Denne type problem dukker ikke opp i norsk grunnskole, eksemplet er fra Israel, men illustrerer poenget ovenfor: L: kx x: kan du skrive dette på en annen måte? G: Nei. Det er en multiplikasjon her, kx, hva kan jeg gjøre? L: Og hvis jeg skrev 3x x, ville du da være i stand til å gjøre noe? G: 3x x? Det er 2x. L: Så, er ikke kx x tilsvarende? G: Men, dette men dette fungerer ikke Jeg vet ikke verdien av k. 38 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

9 L: Så hva? G: Så hva kan jeg skrive? kx x? L: Hva har du gjort her [3x x] for å få 2x? Hva gjorde du med 3? G: Jeg trakk fra 1. L: Så? G: Så hva? Skal jeg ta bort en? Jeg vet ikke Hvis jeg subtraherer 1 fra k vil jeg fortsatt stå igjen med det samme rotet. Som om det var Nå ser jeg det, men jeg vet ikke hvordan jeg skriver det. L: Her [3x x] trakk du en fra 3 og multipliserte x med resultatet, riktig? Her [kx x] trekker du en fra k og G: Multiplisere med x Men hvordan kan jeg subtrahere en fra k? Hvordan skriver jeg det? k 1? Den store vanskeligheten er altså at eleven ser på k 1 som et regnestykke og ikke innser at k 1 også kan være svaret på et regnestykke. Eventuelt kan vi si at ikke bare k, men også k 1 kan være navnet på et tall. Formler, uttrykk og variable En viktig bruk av variable går ut på å uttrykke sammenhenger mellom ulike størrelser. Et eksempel på dette er at volumet V av en kjegle med høyde h og en grunnflate med radius r, er gitt ved 2 V = 1 π r h 3 (2.13) Vi kan bruke formel (2.13) til å se hvordan volumet til en kjegle forandrer seg når vi forandrer radius eller høyde. Siden r forekommer i andre potens, vil en forandring i r være mye mer merkbar på volumet enn en forandring av h som kun forekommer i første KAPITTEL 2 39

10 potens. Dette har praktiske konsekvenser for målinger av volum av kjegleformede kremmerhus! Det sier oss at det er mye viktigere å måle radius nøyaktig enn høyden. En liten feilmåling av radius kan gi merkbart utslag på det beregnede volumet. Ofte er det ogå lurt å undersøke ekstreme tilfeller som f.eks. r = 0. Formelen for volumet av en kjegle gir da at V = 0, noe som er rimelig. Siden det matematiske språket ofte er et fremmedspråk for elevene, er det viktig å arbeide med oversettelse frem og tilbake mellom symboler og retorisk algebra. Regelen (2.13) ser slik ut formulert med ord: Volumet av en kjegle er pi multiplisert med kvadratet av grunnflatens radius multiplisert med høyden delt på tre. Oversettelsen er kun et middel for å lære symbolsk algebra. Elevene må få oppleve formuleringen av sammenhenger ved hjelp av variable som et stort fremskritt i forhold til å formulere sammenhengene med ord. Det matematiske språket gir kortere beskrivelser og er raskere å lese når man først har blitt fortrolig med det. Den virkelige fordelen er imidlertid at vi kan regne med de variable og finne andre sammenhenger enn den som er uttrykt ved den opprinnelige formelen. Ved å behandle formel (2.13) som en ligning og multiplisere med 3 πr på begge sider av ligningen får 2 vi: V h 3 2. (2.14) r Hvis vi har et kjegleformet kremmerhus delvis fylt med vann, kan vi bruke formel (2.14) til å finne hvor høyt vannet står i kremmerhuset ved å måle volumet av vannet og radius til grunnflata. Det er imidlertid langt vanskeligere for elevene å utlede en ny formel enn å oppfatte en formel som en regneregel. De må blant annet beherske brøkbegrepet. Uttrykket 3 V 2 må oppfattes som en størrelse, ikke πr bare som et regnestykke. Det er også mulig å finne fram til formler for volum av legemer av mer komplisert utseende ved å bygge på formler for enkle legemer. La oss beregne volumet av en kule-is som består av en kjegleformet kjeks med en grunnflate(toppflate) med radius r og en halvkule, også med radius r, på toppen av kjeksen. Volumet av en kule med radius r er r. Vi kan så legge sammen de to uttrykkene for volumet av en kjegle og halvparten av volumet av en kule, forenkle dette og finne et uttrykk for det totale volumet. Det gir: 40 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

11 1 4π 3 π 2 r + r h Dette forklarer hvorfor det er så avgjørende at elevene har trening i å forenkle uttrykk. Det kan imidlertid virke svært abstrakt og meningsløst for en elev å bli bedt om å forenkle et uttrykk som 5k + 2k + k (2.15) I avsnittet på sidene var vi inne på at variable har en dobbeltbetydning. En elev vil ofte oppfatte uttrykk (2.15) som et regnestykke, men vil ha problemer med å akseptere 8k som svaret på dette regnestykket. Vi vet jo ikke hva k er! Poenget er imidlertid at 8k er svaret på mange regnestykker. Hver gang vi velger en verdi for k, får vi et regnestykke med 8k som svar. For å unngå for store abstraksjonsproblemer knyttet til forenkling av uttrykk, er det fornuftig å knytte en del av disse oppgavene til konkrete situasjoner eller til løsning av ligninger. r h Oppgave 2.18 Finn en formel for omkretsen av denne figuren: 40 k k k 45 Oppgave 2.19 Løs ligningen 2x + 6x 1+ 7x = 8 3x. Bruk av variable til å formulere regler Freges variabelbegrep egner seg også bra til formler som beskriver matematiske regler og sammenhenger som 1. kvadratsetning: ( ) = a + b a 2 ab b. Vi har sett at vi kan tenke på symbolene a og b i kvadratsetningen som navn på bestemte tall. Det er spesielt naturlig om vi tenker på a og b som lengdene av linjestykker slik man gjorde opp til KAPITTEL 2 41

12 tallet. Vi kan også som Viète regne med disse symbolene og tenke oss at de representerer bestemte tall. I dag er det mest vanlig å tenke som Frege. Når vi velger ulike verdier for a og b, får a 2 + 2ab + b 2 ulike verdier. Uttrykket har imidlertid alltid den samme verdien som vi får ved å sette de samme tallene for a og b inn i ( a + b) 2. Et eksempel er å sette inn a = 6 og b = 7. Da er a + 2ab + b = = 169. Dette stemmer med at ( a + b) = ( 6 + 7) = 13 = 169. Ønsker vi å understreke at vi tenker på variable og ikke navn på størrelser, kan vi istedet for bokstaver i begynnelsen av alfabetet bruke bokstaver i slutten og skrive: ( ) = x + y x 2 xy y. Det er også mulig å formulere enkle regneregler som den kommutative loven for addisjon x + y = y + x. eller den distributive loven x( y + z) = xy + xz. Den kommutative loven sier at vi får samme resultat uansett rekkefølgen når vi adderer to tall. Denne loven er viktig fordi det i mer avansert matematikk finnes eksempler på at den ikke gjelder. I grunnskolen har det trolig lite for seg å skrive opp slike regler ved hjelp av symboler. Problemet er at elevene ikke forstår vitsen med å formulere noe så enkelt på en så abstrakt måte! Derimot må elevene naturligvis kunne bruke disse lovene, men det går vanligvis greit. En sammenheng som er for opplagt og enkel, motiverer rett og slett ikke bruken av avansert verktøy. Det er f.eks. ikke lett å forstå vitsen med en avansert datamaskin hvis det eneste man skal bruke den til er å gjøre utregninger som eller