Eksamen TMA41 14. desember 009 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 1 a) Grafen. - 0 4 6 b) Dersom vi antar at f(x) = 1 (f(x + 0) + f(x 0)), har vi f(x) = Setter vi x = 1 får vi 1 = Altså er S 1 =. Setter vi x = 1 1 = Altså er S = 4. ( sin( x) sin(3 x) sin(5 x) + sin(7 x) + sin(9 x) ). 1 3 5 7 9 ( 1 1 + 1 3 1 5 1 7 + 1 9 + 1 ) 11 = S 1. får vi ( 1 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 1 ) 11 + = S. a) Vi setter u(x, t) = F (x)g(t) inn i ligning (1). Da får vi Deler vi med F G får vi F G = F G. F (x) F (x) = G (t) G(t). 6. desember 009 Side 1 av 5
Siden x og t er frie variable må begge sider være en og samme konstant, altså F (x) = kf (x) og G (t) = kg(t). Løser vi disse ligningene og setter inn randbetingelsene får vi ikketrivielle løsninger kun når k = p og sin(p) = 0, som viser at vi må ha p = n for n = 1,, 3,.... Løsningene blir opp til multiplikasjon med en konstant, u n (x, t) = e (n )t sin (n ) b) Siden ligningen og randbetingelsene er lineære og homogene kan vi bruke superposisjonsprinsippet. Det vil si at en lineær kombinasjon u(x, t) = N n=1 b n e (n )t sin (n ) x er løsning av (1) og (). Setter vi t = 0 og sammenligner med initialbetingelsen (3) får vi u(x, 0) = N n=1 b n sin (n ) ( ) x = sin x + 5 sin (5 ) Dette viser at b n = 0 unntatt for n = 1 og n = 5, og at ( u(x, t) = e ( ) )t sin x + 5e (5 )t sin (5 ) 3 a) Vi må vise at f even ( x) = f even (x) og at f odd ( x) = f odd (x). Dette sees umiddelbart ved innsetting. Vi har at e ix = cos x + i sin x. Vi vet at cos x er en likefunksjon og sin x er en oddefunksjon. Funksjonen e x er en likefunksjon. Siden produktet av to likefunksjoner er en likefunksjon og produktet av en likefunksjon og en oddefunksjon er en oddefunksjon har vi e x e ix = e x cos x ie x sin x. Alternativt kan vi konstruere f even (x) = 1 ) (e x e ix + e x e i( x) = e x cos x, f odd (x) = 1 ) (e x e ix e x e i( x) = ie x sin x. Siden f(x) = f even (x) + f odd (x) får vi samme resultat som ovenfor. b) Anta at f er odde. Da er f(x)e ixw = if(x) sin xw + f(x) cos xw. Her er f(x) cos xw en oddefunksjon, så f(x) cos xw dx = 0. Følgelig er 1 F(f(x)) = i f(x) sin xw dx, og dette er en oddefunksjon siden sin xw er en oddefunksjon av w for alle x. Tilsvarende for en likefunksjon. 6. desember 009 Side av 5
c) F(f(x)e iax )(w) = 1 d) Inversjon gir e x cos x = F 1 = 1 Setter vi x = 0 får vi 0 f(x)e iax e ixw dx = 1 ( w ) + w 4 (x) = + 4 w + w 4 + 4 cos xw dw = w + w 4 + 4 dw =. = F(f(x))(w + a). 1 0 f(x)e ix(w+a) dx ( w ) + w 4 e ixw dw + 4 w + w 4 cos xw dw. + 4 4 Området R med grid. U 1,1 X U, U 3,3 Z Y U 4,3 U 4, U 4,1 U 1,0 U,0 U 3,0 Verdiene på randen er U 4,1 = U 4, = U 4,3 = U 1,1 = U, = U 3,3 = 0, U 1,0 = U 3,0 = 3 og U,0 = 4. 6. desember 009 Side 3 av 5
Bruk av 5-punktsformelen på de indre punktene U,1, U 3,1 og U 3, gir: U 3,1 + U 1,1 + U, + U,0 4 U,1 = 0 U 4,1 + U,1 + U 3, + U 3,0 4 U 3,1 = 0 U 4, + U, + U 3,3 + U 3,1 4 U 3, = 0 Vi har her valgt å liste opp ligningene i naturlig orden. Ved å benytte de kjente verdiene på randen og denere de ukjente verdiene som X = U,1, Y = U 3,1 og Z = U 3,, reduserer ligningene seg til 4X Y = 4 X + 4Y Z = 3 Y + 4Z = 0 Disse ligningene kan også skrives på matriseform som 4 1 0 X 4 1 4 1 Y = 3. 0 1 4 Z 0 5 Vi skriver de tre ligningene på følgende form: 4x = 4 + y 4y = 3 + x + z 4z = y Gauss-Seidel gir da (bruker hele tiden sist tilgjengelige informasjon): x (n+1) = 1 4 (4 + y(n) ) y (n+1) = 1 4 (3 + x(n+1) + z (n) ) z (n+1) = 1 4 y(n+1) Med de gitte startverdiene (n = 0) får vi da: x (1) = 1 4 (4 + 1) = 5 4 = 1.5 y (1) = 1 4 (3 + 5 17 + 0) = 4 16 = 1.06 z (1) = 1 4 17 16 = 17 64 = 0.66 Løsningsvektoren etter en iterasjon er altså (5/4, 17/16, 17/64) T. 6. desember 009 Side 4 av 5
6 Dieransetabellen blir seende slik ut. x j f j =f[x j ] f[x j,x j+1 ] f[x j,x j+1,x j+ ] f[x j,x j+1,x j+,x j+3 ] f[x j,x j+1,x j+,x j+3,x j+4 ] 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 4 0 3 5 1 7 5 19 Dividerte dieranser på det gitte datasettet gir: f 0 = 1 f[x 0, x 1 ] = 1 f[x 0, x 1, x ] = 1 f[x 0, x 1, x, x 3 ] = 0 f[x 0, x 1, x, x 3, x 4 ] = 0 Interpolasjonspolynomet er dermed gitt som: p(x) = f 0 + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x ] + (x x 0 )(x x 1 )(x x )f[x 0, x 1, x, x 3 ] + (x x 0 )(x x 1 )(x x )(x x 3 )f[x 0, x 1, x, x 3, x 4 ] = 1 + (x ( 1)) ( 1) + (x ( 1))(x 1) 1 + (x ( 1))(x 1)(x ) 0 + (x ( 1))(x 1)(x )(x 3) 0 = x x 1. 7 Heuns metode er implementert i MATLAB-koden. Følgende verdier må brukes for å løse (4): a=0, b=1, ya=1. Siden Heuns metode er en andre ordens metode, forventes det at feilen går ned med en faktor 4 når skrittlengden halveres (ekvivalent med at N dobles). Forventer derfor en feil som er 0.001. Koden kan endres til å løse (5) ved å endre funksjonen fode som denerer høyresiden i dierensialligningen. Linjen value = x + y erstattes med value = exp(-x)*sin(x). 6. desember 009 Side 5 av 5