FYS240 Kvantefysikk, Oblig 8 Sindre Rannem Bilden, Gruppe 4 9. april 205
Obliger i FYS240 merkes med navn og gruppenummer! Denne obligen dreier seg om partikkel i en endelig brønn. Dere får bruk for Python eller andre tilsvarende verktøy for å løse noen numeriske problemer. Oppgave I denne oppgaven skal vi se på en partikkel som beveger seg i et endelig brønnpotensial, det vil si 0 x > a V (x) = V 0 a x a, () 0 x < a der V 0 > 0. Det vi skal studere er bundne tilstander, løsninger av Schrödingerligningen med negativ energi, V 0 < E < 0. Som vist, for eksempel i avsnitt 2.6 i Griths, er energiene for disse løsningene gitt ved transcendentale ligninger som må løses numerisk. Det ble også vist at det nnes to familier med løsninger: en der bølgefunksjonen er symmetrisk omkring x = 0, og en der bølgefunksjonen er antisymmetrisk omkring x = 0. Videre er ligningen som bestemmer energien til de symmetriske løsningene, hvor 2mE h l tan(la) =, (2) og 2m(V0 + E) l. (3) h a) Vis at den tilsvarende transcendentale ligningen som bestemmer de antisymmetriske løsningene, er l cot(la) =. (4) Svar: Den generelle antisymmetriske løsningen er Ae x x > a ψ(x) = B sin lx a x a Ae x x < a, Liming av funksjonen gir kravene F e a = C sin la (5) F e a = Cl cos la (6) Deler man (6) på (5) får man l cot la =. b) Den generelle symmetriske løsningen er Ae x x > a ψ(x) = B cos lx a x a Ae x x < a, (7)
hvor A og B er konstanter. Vis fra normeringskravet at disse konstantene er A = ea cos la og B =. (8) a + / a + / Kommentar: Du kan senere i obligen få bruk for normeringskonstantene til de antisymmetriske løsningene. Med samme fremgangsmåte kan man vise at disse er A = ea sin la a + / og B = a + /. (9) Svar: Ser først på limin av den symmetriske bølgefunksjonen som gir kravene: Ae a = B cos la (0) Ae a = lb cos la () Normaliseringsintegralet ψ(x) 2 dx blir nå a ψ(x) 2 dx = 2 [B 2 cos 2 lxdx + A 2 0 a = 2 ] e 2x dx ( 2l B2 (sin la cos la + la) + 2 A2 e 2a Likning (0) kvadrert gjør det lett å erstatte A eller B. Løser først for B: = l B2 sin la cos la + B 2 a + B2 cos 2 la ( = B 2 l sin la cos la + ) [l tan la = ] ( = B 2 tan la sin la cos la + ) ( = B 2 sin2 la + ) ( ) = B 2 + a ) B = a +
Løser for A: = e 2a e 2a A2 l cos 2 sin la cos la + A2 la cos 2 la a + A2 e 2a ( = A 2 e 2a a tan la + l cos 2 la + ) ( = A 2 e 2a tan2 la + a cos 2 la + ) = A2 e 2a cos 2 la = A2 e 2a cos 2 la A = ea cos la a + ( sin2 la + ) ( a + ) c) Vi ønsker nå å nne sannsynlighetsfordelingen ψ(x) 2 for de to bundne stasjonære tilstandene med lavest energi, som vi kan kalle ψ (x) og ψ 2 (x). Her får du bruk for Python eller andre numeriske verktøy. For å få en realistisk verdi på konstantene velger vi V 0 = 0 ev, a = nm og m til å være elektronmassen. Dette tilsvarer et elektron fanget i et potensiale av størrelsesorden Coulomb-potensialet til hydrogenatomet, men se gjerne for deg en katt om du vil. Hvor mange bundne tilstander nnes det totalt (både symmetriske og antisymmetriske) for de verdiene vi har valgt for konstantene? Plot ψ (x) 2 og ψ 2 (x) 2. Hva er sannsynligheten for å nne elektronet et sted utenfor brønnen for ψ (x) og ψ 2 (x)? Hint: Du må løse energiligningene (2) og (4) numerisk for å nne og l. Dette gjøres enklest ved å introdusere enhetsløse størrelser. Svar: Fra programmet i Vedlegg får vi energiene vist til venstre i Figur.
Figur : Oversikt over energier (til venstre) og sannsynlighetsplot (til høyre). d) La oss preparerer en tilstand Ψ(x, 0) = 2 ψ (x) + 2 ψ 2 (x), (2) som er summen av de to bundne stasjonære tilstandene med lavest energi. Bruk Python eller andre verktøy til å vise tidsutviklingen av sannsynlighetsfordelingen Ψ(x, t) 2 og forventningsverdien for posisjonen x i brønnen. Lag et par plott som viser Ψ(x, t) 2 og x(t) for en tid t > 0. Prøv å estimer hvor lang tid det tar forventningsverdien å bevege seg fra den ene siden av brønnen til den andre, og fra det, estimer det vi må oppfatte som hastigheten til partikkelen. Hint: Akkurat her kan det lønne seg å tenke litt før man drar igang med hele maskineriet for å løse Schrödingerligningen numerisk.