Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-149 (Statistikkdelen) Emnenavn: Statistikk og matematikkdidaktisk forskning Dato: 22. november 2011 Varighet: 5 timer Tall på sider inkl. framside 3 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator (grafisk kalkulator som ikke kommuniserer tillatt), vedlagt formelark. Merknader: Oppgave 1 Du kaster fire mynter. La X være antall "kron" som oppnås. Hvor mange ulike utfall kan inntreffe? Regn ut P(X = 2). Du får vite at en av myntene har blitt "kron". Hva er nå sannsynligheten for at du totalt har kastet 3 kron? Oppgave 2 I en eske er det tre gule og sju røde kuler. Du trekker en kule seks ganger etter hverandre. Etter hver trekning legger du kulen tilbake i esken igjen. Forklar hvorfor dette tilfredsstiller kravene for en binomisk forsøksrekke. Regn ut forventet antall gule og røde kuler. Hvilken fargekombinasjon av gule og røde kuler er mest sannsynlig å få når vi trekker seks ganger? Begrunn med regning.
Oppgave 3 Fabrikk A står for 65% av den totale produksjonen av en spesiell ventil, mens fabrikk B produserer resten. Fra fabrikk A er det feil på 4% av ventilene, mens den tilsvarende feilprosenten fra B er 8. Illustrer denne situasjonen med et valgtre (sannsynlighetstre). Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ventil er feilfri. En ventil viser seg å ha en feil. Hva er sannsynligheten for at denne ventilen er produsert ved fabrikk A? Oppgave 4 16 filologer og 10 matematikere skal arrangere en fest. En arrangementskomite som består av 3 filologer og 2 matematikere skal lage i stand festen. På hvor mange måter kan denne komiteen velges? Hvis alle utfallene i a) er like sannsynlige, hva er da i. sannsynligheten for at en bestemt filolog er med i komiteen? Sannsynligheten for at en bestemt matematiker er med i komiteen? Etter festen velges blant de 26 deltakerne en komite på 5 til å rydde opp. På hvor mange måter kan det gjøres? Anta at fem festdeltakere har sovnet. Finn sannsynligheten for at ingen av disse velges ut. Oppgave 5 Vi antar at sannsynligheten for at to matematikklærere gir samme karakter på en eksamensbesvarelse er 0,80. To lærere vurderer i alt 160 slike besvarelser. La X være tallet på besvarelser som lærerne gir den samme karakteren. Hvorfor kan man anta at dette er en binomisk fordeling? Finn forventningsverdien og standardavviket til X. Finn P(120 X < 140) ved å bruke at X er tilnærmet normalfordelt. Oppgave 6 Forbrukerkontoret har mottatt klager på en bestemt pizzaprodusent. Denne produsenten hevder at deres store pizza i gjennomsnitt inneholder 60 gram pepperoni. Flere mener at vekten av pepperoni må være betydelig lavere. Du blir bedt om å lage en test som kan brukes for å få avklart uenigheten. Pepperonimengden i 100 pizzaer blir undersøkt. La X være vekten av pepperoni per pizza. X antas å være normalfordelt med forventningsverdien i = 60g og standardavviket o- = 15g. Signifikansnivået til testen skal være 5%. Følgende hypoteser settes opp: Ho: i = 60g H1: u < 60g a) Hva betyr hypotesene sagt med vanlige ord? Argumenter for at det er naturlig å velge nullhypotesen og den alternative hypotesen slik det er gjort her, og ikke omvendt.
Regn ut kritisk verdi for når vi skal forkaste 110når vi beregner gjennomsnittsmengden pepperoni på 100 pizzaer. (Dersom du ikke får noe svar på denne oppgaven kan du bruke kritisk verdi 58,1 videre i oppgaven, selv om dette tallet ikke er korrekt svar.) Skisser styrkefunksjonen til testen basert på g-verdier mellom 56 og 63. Beskriv og forklar grafen. Regn ut styrken for ii =57. Hva betyr denne verdien her? Hva vil det si å gjøre godtakingsfeil i denne testen? Hva er godtakingsfeilen når den sanne ukjente verdien for g er 59 gram? Undersøkelse av 100 pizzaer viste at gjennomsnittlig mengde pepperoni på pizzaen var 58,4 gram. Hva slags konklusjon anbefaler du å trekke utfra dette resultatet?
+ Vedlegg eksarnen i MA-149 Definisjon 2.1 (Gjennomsnitt) Vi tar utgangspunkt i snittet er i=1 E de n måleverdienexi, _ xj+x2+ +x,, 1 " x = = Ex, [2.1]. axi i= ax1 (ax1 b)= a nb' [2.3] i=1 1.1 E (xi b)2 = 2b x; nb2 1 - Varlans = s2 )7)2 n 1 1=1 Definisjon 3.7 (Union, snitt, komplement, d)sjunkthet) B inntreffer. treffer. Regel 3.8 (Addisjonsregel fo; disjunkte hendelser) Regel 3.9 (Komplernentregel) p(a UB) = P(A) P(B) Regel 3.11 (Generell addis(onsregel for tre hendelser) P(A(B) Regel 3.13 (Multip(ikasjonsregel) (A fl B) P(B) [3.6] P(A1 n A2 n A3) = P(As) P(A2),41) P(ASIAI n A2) [3.8] P(A) P (B1)- P(A(B1)+P(B2) P(A182)+.. -+ P(R) P(A(Bn) [3.9] Regel 3.15 (Total sannsynlighet) En, og bare en, av hendelsene 1, B2, B vil inntreffe. For enhver hendelse A gjelder: Unionenav og B er en ny hendelse A U B som inntreffer hvis A eller B eller begge inntreffer. Utdrag fra Gunnar Løvås (2004): Statistikkfor universiteter og høgskoter.universitetsforlaget. Snittet av A og B er en ny hendelse A n B som inntreffer hvis både A og Komplementettil A er en ny hendelse som inntreffer hvis A ikke inn- To hendelser er disjunkte hvis ikke beggeto kan inntreffe i sammeforsøk. x2, x.symbolet for utvalgets gjennomsnitt er 2, Formelen for gjennom- fl n P(Ai U A2 U 1JA ) = P(A P(A2) P(A ) Regel 2.2 I fortsettelsen kan dct were greit åkjenne de vanligste regnereglene for en sum. La a og b være to konstanter. Da gjelder følgende samrnenhenger: P(X) = 1 P(A) [3.2] E x, = x, + X2+ +. Regel 3.10 (Generell addisjonsregel) For mengdene A og B gjelder afitid: E.x + +... +4 [2.2] P(A U B) = P(A) + P(B) P(A fl B) [3.3] P(A1 U A2 U 43) = P(A1) + P(A2)+ P(A3) P(A1 rl A2) P(A1 n it3) P(A2 n A3) n A2 n As) [3.4] Delinisjon 3.12 (Retinget sannsynfighet) Den betingede sannsynligheten for hendelsen A gitt at hendelsen 13har inntruffet: Definisjon 2.3 (Varians og standardavvik) Standardavviket defineres som s, og vi kvadratroten av variansen. Symbolet for utvalgets standardavvik er skriver derfor symbolet for utvalgets varians som s2. P(A n B) = P(A) P(BIA) = P(B) P(A)B) (3.7) Standardavvik = s = Regel 3.14 (Generell multiplikasjonsregel) HviS alle P(A,) > 0, er
Regel 3.27 (Antall kombinasjoner) Vi velger ut k enheter, uten tilbakelegging, fra en samling med n merkede enheter.totaltantall ikke-ardnedekombinasjoner av k fran skrives n! Cn'ir= Ck) k)! k! Regel 4.5 X er en diskret eller kontinuerlig stokastiskvariabel.for alle vilkkrligekonstantera og b gjelder (vi forutsettera P (a X < b) = F(b) F(a) P(X > a) = I F(a) P (X < b) = F (b) Definisjon 4,6 (Forventningsverdi) Forventningentil en chskretvariabelx defineressom Forventningsverdi= sum av (verdi e sannsynlighet) P (X = xi) [4.1] VarX = (x1 P)2 = x1) + + (xn p)2 P(X xn). Vite at VarX også betegnes med ti2 ("sigma i annen1 Vite at Standardavvik er lik VOrX. Dette kan vi også skrive slik: Standardavik = NIVarX = a Regel 5.2 (Binomisk fordeling) Sannsynlighetsfordelingentil en binomisk variabel X, er P(X = x)= (xn)pa (l p)""' for x = 0, I 2 n Regel 5.3 (Forventning og varians) En binomisk variabel X har forventningsverdiog varianslik E (X) = np Var(X) = np(i p) Definisjon 5.4 (Hypergeometrisk fordeling) Vi har en populasjon med enbeter,hvoraviktenheterharenbestemt egenskap.viforetarn trekningeruten tilbakeleggingfrapopulasjonen,og definererx likantallenheteri utvalgetmed den bestemte egenskapen.da er X hypergeometriskfordelt med parametere (N, M, n). Sannsynlighetsfordelingener M N M P(X x) (x). n (A'n') Andelen p = MIN av populasjonensenheter har den bestemte egenskapen. En hypergeomeuisk N,ariabel X har forventning og varians N n Var(X) np(1 p) IV 1 Regel 3.18 (Bayes' regel) En, og bareen, avhendelsene131,132,, B vil inntreffe. Hendelsen A inntreffermed sannsynlighetenp(a), som regnes ut ved hjelp av regel 3.15. Sannsynlighetenforat hendelsenbt inntraff,gitt at har inntruffet,er P(R) P(A(BL) P(B,)A) P(A) Definisjon3.18 (Uavhengighetsbetingelse) A og B er uavhengigehendelserhvis og bare hvis P(A fl B) = P(A) F(B) Definisjon3.19 (Uavhengighet avtre hendelser) HendelseneAt, A2og A3 er uavhengigehvis følgendefirekrav er tilfredsstilt: P(A1 n A2) = P(111) P(A2) P(A1 r A3) = P(A1) P(A3) P(A2 n A3) = P(A2) P(A3) P(A n A2 n A3) = P(A1) P(A2). P(A3) [3.10) Regel 3,20 (Multiplikasjonsregel for uavhengige hendelser) P(A1 n A2 n A ) = P(111) P(A2)-... P(A,,) (3.111 Regel 3.21 (Addisjonsregel for ttavhengige hendelser) P(A3 U A2 U U.A ) =1 P(27), P(A2)... - P(A) Regel 3.22 (Produktregelen) Et forsøkutføresi k etapper.i første etappeer det rn, mulige utfall, i andre etappe er det m2 mulige utfall, osv. Totalt antall utfall for hele forsøket er lik in -m2 m3... nik. Regel 3.23 (Potensregelen) Vi velger ut k enheter, med tilbakelegging,fra en samling med n merkedeenheter.totaltantallmulige ordnedeutfall ernk. Regel 3.24 (Antall permutasjoner) Vi velgerut k enheter, uten tilbakelegging, fraen samtingmedn rnerkedeenheter.totaltantalimulige ordnedeutfall kalles antall permutasjonerav k frass,oger lik n (n l) (n k + 1) = n! k)! Deflnisjon 3,25 (Faku ltet) Symboletn! at 0( = 1 uttalesun-fakultet, og er definertslik ogatn! = (rt 1)... 3-2 1. Regel 3.26 (Antall rekkefølger) n forskjelligeenheterkan organiseres i n! forskjelligerekkefølger.
Regel 5.6 (Geometrisk fordeling) Y er geometrisk fordelt med parameter p hvis P(Y = y) = p (1, for y = 1, 2,... En geometrisk variabel har forventning og varians E(Y)= 1 Var(Y) 1 p2 p Regel 6.8 (Z-intervall) Når standardavviket er kjent, er det tilfeldige intervallet O' Cf [7 Z,d2 7r-it "-X-+ Z«12* 7"-7] [6.10] et 100(1 a) % konfidensintervall for p.. Når vi finner punktestimatet 7, kan vi beregne tallverdier for intervallgrensene. Det er en forutsetning at målingene er nommtfordelte eller at antall målinger er over 20. Definisjon 5.13 (Standardnormalfordelingen) FIVisX Normal(g, a) vil Regel 6.11 (Konfidensintervall for p) Det tilfeldige intervallet variabelen Z være standardnormalfordelt med kumulativ fordelingsfunksjon G. X ' [fi ze 1P(i, Z = -, Normal(0,1) n P) 11311 13)1 G(z) = P(2 fl z) = 1 2ch, Definisjon 5.15 (Kvantiler) Verdien z, kalles a-kvantilet tll Z og defineres av følgende ligning: P(Z> z, )-=.er er et tilnærmet 100(1 a) % konfidensintervall for sannsynligheten p. Når vi observerer en bestemt verdi for X, kan vi beregne tafiverdien til og dermed finne intervallgrensene. Det er en forutsetning at X er tilnærmet normalfordelt, dvs. nf)(1 fr) > 5. Reget 5.17 (Normalfordelt sum) La X1, X2, X være uavhengige og normalfordelte variabler, og la aj, 02,, a»were vilkårlige konstanter. Da er summen Y = a1x1+ 02X2 + + a,,x,,normalfordelt. Regel 5.18 (Sentralgrenseteoremet) La X1, X2...Xv være uavhengige variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning 11.og standardavvik o. Da er = (X1 + X2 + X») tfinærmet Normal (p, fl Regel 5.19 La Xi, X2 X, være uavhengige varinbler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning a og standardavvik u. Da cr summen X1 + X2+ + X, tilnærmet Normal (ng, jiia) [5.6] Regel 62 (Estimering av,(2) Utvalgets gjennomsnitt er vår beste gjetning på populasjonens forventrtingsverdi. Den naturlige estimatoren for p. er derfor = q1 + X2 + + EX fl n 1=1 Regel 6.4 (Estimering av p) Den relative frekvensen av headelsen vil være vår beste gjetning på hendelsenssannsynlighet. Den naturlige estimatoren for sannsynligheten p er derfor. X P
D.3 Kumulativ standardnormalfordeling Tabellen viser Gaussfunksjonen G (z) for forskjellige valg av z. Areal (z) Standardnormalfordelingen 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,00,0013,0013,0013,0012,0012,0011,0011,0011-2,90,0010,0010,0019,0018,0018,0017,0016,0016,0015,0015-2,80,0014,0014,0026,0025,0024,0023,0023,0022,0021,0021-2,70,0020,0019,0035,0034,0033,0032,0031,0030,0029,0028-2,60,0027,0026,0047,0045,0044,0043,0041,0040,0039-2,50,0038,0037,0062,0036,0060,0059,0057,0055,0054,0052,0051-2,40,0049,0048,0082,0080,0078,0075,0073,0071,0069,0068-2,30,0066,0064,0107,0104,0102,0099,0096,0094,0091,0089-2,20,0087,0084,0139,0136,0132,0129,0125,0122,0119,0116-2,10,0113,0110,0179,0174,0170,0166,0162,0158,0154,0150-2,00,0146,0143,0228,0222,0217,0212,0207,0202,0197,0192,0188-1,90,0183,0287,0281,0274,0268,0262,0256,0250,0244-1,80,0239,0233,0359,0351,0344,0336,0329,0322,0314,0307-1,70,0301,0294,0446,0436,0427,0418,0409,0401,0392,0384-1,60,0375,0548,0367,0537,0526,0516,0505,0495,0485,0475,0465-1,50,0455,0668,0655,0643,0630,0618,0606,0594,0582-1,40,0571,0808,0559,0793,0778,0764,0749,0735,0721,0708,0694-1,30,0681,0,968,0951,0934,0918,0901,0885,0869,0853-1,20,0838,0823,1151,1131,1112,1093,1075,1056,1038,1020,1003-1,10,1357,0985,1335,1314,1292,1271,1251,1230,1210,1190-1,00,1587,1170,1562,1539,1515,1492,1469,1446,1423,1401,1379-0,90,1841,1814,1788,1762,1736,1711,1685,1660-0,80,1635,1611,2119,2090,2061,2033,2005,1977,1949,1922,1894-0,70,1867,2420,2389,2358,2327,2296,2266,2236,2206,2177-0,60,2148,2743,2709,2676,2643,2611,2578,2546,2514-0,50,2483,2451,3085,3050,3015,2931,2946,2912,2877,2843,2810-0,40,2776,3446,3409,3372,3336,3300,3264,3228,3192,3156-0,30,3121,3821,3783,3745,3707,3669,3632,3594,3557-0,20,3520,3483,4207,4168,4129,4090,4052,4013,3974,3936-0,10,3897,3859,4602,4562,4522,4483,4443,4404,4364,4325-0,00,4286,4247,5000,4960,4920,4880,4840,4801,4761,4721,4681 4641 0,00,5000,5040,5080,5120,5160,5199,5239,5279 0,10,5319,5359,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675 0,20,5714,5753,5793,5832,5871,5910,5948,5987,6026,6064,6103 0,30,6141,6179,6217,6255,6293,6331,6368,6406,6443,6480 0,40,6517,6554,6591,6628,6664,6700,6736,6772,6808,6844 0,50,6879,6915,6950,6985,7019,7054,7088,7123,7157 0,60,7190,7224,7257,7291,7324,7357,7389,7422,7454,7486,7517 0,70,7549,7580,7611,7642,7673,7704,7734,7764,7794 0,80,7823,7852,7881,7910,7939,7967,7995,8023,8051,8078 0,90,8106,8133,8159,8186,8212,8238,8264,8289,8315,8340,8365,8389 1,00,8413,8438,8461,8485,8508,8531,8554,8577 1,10,8599,8621,8643,8665,8686,8708,8729,8749,8770,8790,8810 1,20,8830,8849,8869,8888,8907,8925,8944,8962,8980 1,30,8997,9015,9032,9049,9066,9082,9099,9115,9131,9147 1,40,9162,9177,9192,9207,9222,9236,9251,9265,9279,9292 1,50,9306,9319,9332,9345,9357,9370,9382,9394,9406,9418 1,60,9429,9441,9452,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525,9535 1,70,9545,9554,9564,9573,9582,9591,9599,9608,9616,9625 1,80,9633,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699 1,90,9706,9713,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761,9767 2,00,9772,9778,9783,9788,9793,9798,9803,9808 2,10,9812,9817,9821,9826,9830,9834,9838,9842,9846,9850 2,20,9854,9857,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881 2,30,9884,9887,9890,9893,9896,9898,9901,9904,9906,9909 2,40.9911,9913,9916,9918,9920,9922,9925,9927,9929,9931,9932 2,50,9934,9936,9938,9940,9941,9943,9945,9946,9948,9949 2,60,9951,9952,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961,9962 2,70,9963,9964,9965,9966,9967,9968,9969,9970,9971,9972 2,80,9973,9974,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979 2,90,9979,9981.9980,9981,9982,9982,9983,9984,9984,9985,9985 3,00,9986,9986,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,9990,9990 Verdien til G(z) ér beregnet med Excel-funksjonen NORMALFORDELING(zA11). D.4 Standardnormalfordelingens kvantiltabell 1 Areal a zc, 0.100 1.282 0.050 1.645 0.025 1.960 0.010 2.326 0.005 2.576 0.001 3.090
Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-149 (Statistikkdelen) Emnenamn: Statistikk og matematikkdidaktisk forskning Dato: 22. november 2011 Varighet: 5 timer Tal på sider inkl. framside 3 Tillatne hjelpemiddel: Kalkulator (grafisk kalkulator som ikkje kommuniserer tillate), vedlagt formelark. Merknader: Oppgåve1 Du kastar fire mynter. La X vere kor mange "kron" du får. Kor mange ulike utfall kan inntreffe? Rekn ut P(X = 2). Du får vite at ein av myntane har blitt "kron". Kva er nå sannsynet for at du totalt har kasta 3 kron? Oppgåve2 I ei eske er det tre gule og sju røde kuler. Du trekk ei kule seks gonger etter kvarandre. trekning legg du kula attende i eska. Etter kvar Forklar kvifor dette tilfredsstiller krava for ei binomisk forsøksrekke. Rekn ut forventa tal av gule og røde kuler. Kva for ein fargekombinasjon av gule og røde kuler er mest sannsynleg å få når vi trekk seks gonger? Grunngi med rekning.
Oppgåve 3 Fabrikk A står for 65% av den totale produksjonen av ein spesiell ventil, medan fabrikk B produserer resten. Frå fabrikk A er det feil på 4% av ventilane, medan den tilsvarande feilprosenten frå B er 8. Illustrer denne situasjonen med eit valtre (sannsynstre). Finn sannsynet for at ein tilfeldig vald ventil er feilfri. Ein ventil viser seg å ha ein feil. Kva er sannsynet for at denne ventilen er produsert ved fabrikk A? Oppgåve 4 16 filologar og 10 matematikarar skal skipe til ein fest. Ein arrangementskomite av 3 filologar og 2 matematikarar skal lage i stand festen. På kor mange måtar kan denne komiteen veljast? Viss alle utfalla i a) er like sannsynlege, kva er då i. Sannsynet for at ein bestemt filolog er med i komiteen? Sannsynet for at ein bestemt matematikar er med i komiteen? Etter festen veljast blant dei 26 deltakarane ein komite på 5 til å rydde opp. På kor mange måtar kan det gjerast? Set føre at fem festdeltakarar har sovna. Finn sannsynet for at ingen av desse veljast ut. Oppgåve 5 Vi set føre at sannsynet for at to matematikklærarar gir same karakter på ein eksamensbesvarelse er 0,80. To lærarar vurderer i alt 160 slike besvarelser. La X vere talet på besvarelser som lærarane gir den same karakteren. Kvifor kan ein anta at dette er en binomisk fordeling? Finn forventningsverdien og standardavviket til X. Finn P(120 < X < 140) ved å bruke at X er tilnærma normalfordelt. Oppgåve 6 Forbrukarkontoret har motteke klagar på ein bestemt pizzaprodusent. Denne produsenten hevdar at deira store pizza i gjennomsnitt inneheld 60 gram pepperoni. Flere meiner at vekta av pepperoni må vere betydeleg lågare. Du blir beden om å lage ein test som kan brukast for å få avklart usemda. Pepperonimengda i 100 pizzaer blir undersøkt. La X vere vekta av pepperoni per pizza. Vi antar X er normalfordelt med forventningsverdien jt = 60g og standardavviket cr = 15g. Signifikansnivået til testen skal vere 5%. Følgande hypoteser blir sett opp: 1/0: = 60g H1: j.i < 60g a) Kva tyder hypotesene sagt med vanlege ord? Argumenter for at det er naturleg å velje nullhypotesa og den alternative hypotesa slik det er gjort her, og ikkje omvend.
Rekn ut kritisk verdi for når vi skal forkaste 1/0 når vi reknar ut gjennomsnittsmengda pepperoni på 100 pizzaer. (Dersom du ikkje får noko svar på denne oppgåva kan du bruke kritisk verdi 58,1 vidare i oppgåva, sjølv om dette talet ikkje er korrekt svar.) Skisser styrkefunksjonen til testen basert på pe-verdiar mellom 56 og 63. Beskriv og forklar grafen. Rekn ut styrken for g =57. Kva tyder denne verdien her? Kva vil det seie å gjere godtakingsfeil i denne testen? Kva er godtakingsfeilen når den sanne ukjende verdien for 1./er 59 gram? Undersøkelse av 100 pizzaer viste at gjennomsnittleg mengde pepperoni på pizzaen var 58,4 gram. Kva for konklusjon tilrår du å trekke ut frå dette resultatet?
E Ex7 i=1 n E D i=t E i=1 XI = Xl + X2+ - - " --=.4+.4+ +x axi nex, axt + b)= aexi + nb' (.x, 1s)2= 2b-E Varians= s2= standardavvil, n t " 1=1.2)2 [2.1] [2.2] [2.3] B inntreffer. treffer. PGA)= 1 P(A) [3.2] P(A18) P(AB) P(B) [3.6] P (A) = P(B1). P(AIBI)+ P(B2) P(A182)+. + P(85)' P(A185) 13.9) P(Aln A2 n A3) = P(At) (A2141) P(AslAt ri A2) (3.8) Definisjon3.12 (Betingetsannsynlighet)Denbetingedesannsynligheten forhendelsena gittathendelsenb harinntruffet P (A UB) = P(A)+ P(B) P(A n B) [3.3] P(A n B)= P(A). P(BIA) = P(B). P(A1B) [3.7] Regel3.10 (Generelladdisjonsregell FormengdeneAogB gjelderalltid; Bl, 82. Regel3.18 (Totalsannsynlighet)En, og bareen, av hendelsene B vilinntreffe.forenhverhendelsea gjelder: P(A1U A2 U A3) = "Ai)+ P(A2) + P (A3) P(A1 n 42) P (At n 43) P(A2 n As) + P(Ain A2n As) [3.4] unionen ava ogb erennyhendelsea li B sominntrefferhvisa eller 1 B ellerbeggeinntreffer. Sninet av A og B erenny hendelseafl 8 sominntrefferhvisbåde A og Komplementettil A erennyhendelse sominntrefferhvis A ikkeinn- Tohendelsererdisjunkte hvisikkebeggetokaninntreffe1sammeforsøk. P(A UB) = P(A)+ p(b) P(Atu A2U u 115) r-- P(111) + "A2) + + "Aa) Regel3.13 (Multiplikasjonsregel) Regel3.14 (Generellmu)tiplikasjonsregellHvisalle.P(A,) 0,er Regel3.11(Generelladdisjonsregelfortre hendelser) Definisjon3.7 (Unkm,snitt,komplement,disjunkthet) Regel3.8 (Addisjonsregel fo disjunktehendelser) Regel3.9 (Komplementregel) Vedlegg eksamen i MA-149 Utdragfra GunnarImås (2004):Statistikk for universiteter og høgskoler. Universitetsforlaget. Regel2.2 fortsettelsenkandetværegreitåkjennedevanligsteregnereglene forensum.laa ogb væretokonstanter.dagjelderfølgendesamrnenhenger: Definisjon2.3 (Variansog standardavvik)standardavviket defineresom kvadratrotenav variansen.symboletforutvalgetstandardavviker.r,og vi skriverderforsymboletforutvalgetsvariansom Definisjon2.1 (Gjennomsnitt)Vitarutgangspunkt i den måleverdienexi,., x. Symboletforutvalgetsgjennomsnitt er2".formelenforgjennomsnitteter xt + + + x 1 x1+ nb2 fl n
Regel 3.27 (Antall kombleasjoner) VI velger ut k enheter, uten tilbakelegging, fra en samling med n merkede enheten Totalt antall ikke-ordnede kombinasjoner av k fra n skrives n! Cu.k (n) = k k)! Regel 4.5 X er en diskret eiler kontinuerlig stokastisk variabel. For alle vilkårlige konstanter a og b gjelder (vi forutsetter a < b): P(a < X <_b) = F(b) F(a) P(X > a) = 1 F(a) P(X b)= F(b) Definisjon 4.6 (Forventningsverdi) Forventningen til en diskret variabel X defineres som Forventningsverdi = sum av (verdi x sannsynlighet) P(X xi) [4.1] alk VarX (x2 p)2 P(Y = x1) + + (24, 1.)2 = xn). Vite at VarX også betegnes med (I2 ("sigma i annen1 Vite at Standardavvik er lik-v17afg. Dette kan vl også skrive slik: Standardavik = =, r?= Regel 5.2 (Binomisk fordeling) Sannsynlighetsfordelingen til en binomisk variabel X, er for x = 0, I 2 n Regel 5.3 (Forventning og varians) En binomisk variabel X har forventningsverdi og varians lik E(X)= np Var(X) = np(1 Definisjon 5.4 (Hypergeom etrisk fordeling) VI har en populasjon med N enheter,irvorav M enheterharen bestemtegenskap.vi foretarn trekninger uten tilbakelegging frapopulasjonen, og definerer X likantall enheteri utvalget med den bestemm egenskapen.da er X hypergeometrisk fordelt med parametere (N, M,n). Sannsynlighetsforcleingen er P (X = (") x (Nn (Nn) Andelen p = MIN av populasjonens enheter bar den bestemte egenskagen. En hypergeometrisk variabel X har forventning og varians N n E(X) = np, Var(X) np(l p) N 1 Regel 3.16 (Bayes' regel) En, og bare en, avhendelsene B1, B2 B vil innoeffe. Hendelsen A inntreffer med sannsynligheten P(A), som regnes ut ved hjelp av regel 3.15. Sannsynligheten for at hendelsen 6, inntraff, gitt at A har inntruffet, er P(IMA) P(Bi), P(AIB;) P (A) Definisjon 3.18 (Uavhengighetsbetingelse) A og B er uavhengige hendeiserhvis og bare hvis P(A n B)= P(A) P(B) Definisjon 3.19 (Uavhengighet avtre hendelser) HendelseneAt, As og A3 er uavhengige hvis følgende fire krav er tilfredsstile P (A1 tl A2) = P(At). P(A1 n As n As) = "Al) P (A2) F(As) P(A2) P(At n A3) = P(A1) - P(A3) P(A2 n A3) = P(A2) p(a3) [3.10] Regel 3.20 (Multiplikasjonsregel for uavhengige hendelser) P(At n A2 n n A ) P(Al) P (A2)... P(A,,) [3.11] Regel 3.21 (Addisjonsregel for uavhengige hendelser) P(Ai A2 U U An) 1 P (74.7) P(A2) P(An) Regel 3.22 (Produktregelen) Et forsøk utføres i k etapper.i første etappe er det mt mulige utfall, i andre etappe er det m2 mulige utfall, osv. Totalt antall utfall for hele forsøket er lik ni1 m2 ms... ine- Regel 3.23 (Potensregelen) Vi velger ut k enheter, med tilbakelegging, fra en samling med n merkede enheten Totalt antall mulige ordnede utfall er trk. Regel 3.24 (Antall permutasjoner) VI velger ut k enheter, uten tilbakelegging, fra ensanding med n merkede enheter.totalt antallmulige ordnedeutfall kalles antall permutasjoner av k fra n, og er lik pu.k a. (n l) k 1) n! k)! Definisjon 3.25 (Fakultet) Symboletnluttales an-fakultet»og erdefinertslik ato! = 1 og atn! = n.(n 1) 3.2.1. Regel 3.26 (Antall rekkefølger) n forskjellige enheter kan organiseres 1n I forskjellige relckefølger.
Regel 5.6 (Geometrisk fordefing) Y er geometrisk fordelt med parameter p hvis /,(y = y) p pri, for y = 1, 2,... En geometrisk variabel har forventning og varians 1 1 p E(Y) Var(Y) = p 2 Definisjon 5.13 (Standardnormalfordelingen) Hvis X Nonnal(g, a) vil variabelen Z være standardnormalfordelt med kumulativ fordelingsfunksjon G. Z = Normal(0, 1) G(z) Definisjon 5.15 (Kvantiler) Verdien zil kalles tr-kvantilet til Z og defmeres av følgende ligning: P(Z > z) = rs Regel 5.17 (Normalfordelt sum) La XI, X2 Xil være uavhengige og normalfordelte variabler, og la al, a2, anvære vilkårlige konstanter. Da er summen Y = 41X1 + a2x2 + ailx normalfordelt. Regel 5.18 (Sentralgrenseteoremet) La XI X2, X,, være uavhengige variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning js og standardavvik a. Da er 1 X = (X1 + X2 + Xn) tilnærmet Normal (p, -21 ).171 Regel 5.19 La It, X2 Xn være uavhengige variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning s og standardavvik rr. Da er summen X1 + X2 + + XJ/ tilnærmet Normal (nl.t.,,fusr) [5.6] Reget 6.2 (Estimering avp.) Utvalgets gjennomsnitt er vår beste gjetning på populasjonens forventningsverdi. Den naturlige estimatoren for p. er derfor 1 1 " TC= + X2 + + X ) = n E Xi n Regel 6.4 (Estimering av p) Den relative frekvensen av hendelsen vil være vår beste gjetning på hendelsenssannsynlighet. Den naturlige estimatoren for sannsynligheten p er derfor P n Regel 6.8 (Z-interva)l) Når standardavviket er kjent, er det tilfeldige intervallet [Tf Z./2 a 4/2 771 - ] [6.10] et 100(1 a) %konfidensintervall for g. Når vi finner punktestimatetl, kanvi beregne tallverdier for intervallgrensene, Det er en forutsetning at målingene er normalfordelte eller at antall målinger er over 20. Regel 6.11 (Konfidensintervall for p) Det tilfeldige intervallet v n P+z 12 13(1 n er et tilnterme 100(1 a) % konfidensintervall for sannsynligheten p. Når vi observerer en bestemt verdi for X, kan vi beregne tallverdien til og dermed finneintervallgrensene. Det er en forutsetning at X er tilnærmet normalfordelt, dvs. nj3(1 j3) > 5.
D.3 Kumulativ standardnormalfordeling Tabellenviser GaussfunksjonenG (z) for forskjelligevalg av z. Areal G(z) Standardnormalfordelingen 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08-3,00 0,09,0013,0013 0013,0012,0012,0011-2,90,0011,0011,0010,0019.0010,0018,0018,0017,0016,0016,0015-2,80,0015,0014.0026,0014,0025,0024,0023,0023,0022-2,70 0021,0021,0020,0035,0019,0034,0033,0032,0031,0030-2,60,0029,0028,0027,0047,0026,0045,0044,0043,0041,0040,0039,0038-2,50,0037,0062,0036,0060,0059,0057,0055,0054-2,40.0052,0051,0049,0082,0048,0080,0078,0075,0073,0071,0069-2,30,0068,0066,0107,0064,0104,0102,0099,0096.0094-2,20,0091,0089,0087,0139,0084,0136,0182,0129,0125.0122,0119.0116-2,10,0113,0179,0110.0174,0170,0166,0162,0158,0154-2,00,0150,0146,0228,0143,0222,0217.0212,0207,0202,0197,0192,0188-1,90,0183,0287,0281,0274.0268,0262,0256,0250,0244-1,80,0239,0359,0233,0351,0344,0336.0329,0322,0314-1,70,0307,0301,0294,0448,0436,0427,0418,0409,0401-1,60,0392,0384,0375,0548,0367,0537,0526,0516.0505,0495,0485,0475,0465-1,50,0668,0455,0655,0643,0630,0618,0606,0594-1,40,0582,0571,0808,0559,0793 0778,0764,0749,0735,0721,0708-1,30,0694,0,968,0681,0951,0934,0918,0901,0885,0869,0853-1,20,0838,1151,0823,1131,1112,1093,1075,1056,1038-1,10,1020,1003,1357,0985,1335,1314,1292,1271,1251,1230,1210-1,00,1190,1587.1170,1562,1539,1515,1492,1469,1446,1423,1401-0,90,1379,1841,1814,1788,1762,1736,1711,1685,1660-0,80,1635.2119,1611,2090,2061,2033,2005,1977,1949,1922-0,70,1894,1867,2420,2389,2358,2327,2296,2266,2236-0,60,2206,2177,2743,2148,2709,2676,2643,2611,2578,2546,2514-0,50,2483,3085,2451,3050,3015,2981,2946,2912,2877,2843-0,40,2810,2776,3446,3409,3372,3336,3300,3264,3228-0,30,3192,3156,3821,3121,3783,3745,3707,3669,3632,3594-0,20,3557,3520,4207,3483,4168,4129,4090,4052,4013,3974,3936-0,10,3897,4602,3859,4562,4522,4483,4443,4404,4364-0,00,4325,4286,5000,4247,4960,4920,4880,4840,4801,4761,4721 468,1 0,00,4641,5000,5040,5080,5120,5160,5199,5239 0,10,5279,5319,5398,5359,5438,5478,5517,5557,5596 0,20,5636,5675,5714,5793,5753,5832,5871,5910,5948,5987,6026 0,30,6064.6103,6179,6141,6217,6255,6293,6331,6368,6406 0,40,6443,6480,6554,6517,6591,6628,6664,6700,6736,6772 0,50,6808,6844,6915,6879,6950,6985,7019,7054,7088,7123 0,60,7157,7190,7257,7224.7291,7324,7357,7389,7422,7454 0,70,7486,7517,7580,7549.7611,7642,7673,7704,7734 0,80,7764,7794,7823,7881,7852,7910,7939,7967,7995,8023 0,90,8051,8078,8159 M106,8133,8186,8212.8238,8264,8289 8315 8340,8365 1,00,8389,8413,8438,8461 8485,8508,8531,8554 1,10,8577,8599,8643,8621,8665,8686,8708.8729,8749,8770 1,20,8790,8810,8849,8830,8869,8888,8907 8925,8944,8962 1,30,8980,8997,9032,9015,9049,9066,9082,9099,9115,9131 1,40,9147,9162,9192,9177,9207,9222,9236,9251,9265,9279 1,50,9292,9306,9332,9319,9345,9357,9370,9382,9394,9406 1,60 9418,9429,9452,9441,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525 1,70,9535,9554,9545,9564,9573 9582 9591,9599,9608 1,80,9616,9625,9641,9633,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693 1,90,9699,9713,9706,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761 2,00,9767,9772,9778,9783,9788,9793,9798 2,10,9803,9808,9812,9821,9817,9826,9830,9834,9838,9842,9846 2,20,9850,9854,9861,9857.9864,9868,9871,9875,9878 2,30,9881,9884,9887,9893,9890,9896,9898,9901,9904,9906 2,40,9909,9918.9911.9913,9920,9922.9916,9925,9927,9929 2,50,9931,9932,9934.9938,9936 9940,9941,9943 9945,9946,9948,9949 2,60,9951,9952,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961 2,70,9962,9963,9965,9964,9966,9967,9968,9969,9970,9971 2,80,9972,9973,9974,9974,9975,9976,9977,9977,9978 2,90,9979,9979,9981.9980,9982.9981 -,9982,9983,9984,9984,9985 3,00,9985,9986,9987,9986,9987,9987,9988,9988 9989 9989,9989,9990,9990 Verdien ti G(z) èr beregnet med Excel-funksjonen NORMALFORDELING(z;0;1;1). D.4 Standardnormalfordelingens kvantittabell Areala a za 0.100 1.282 0.050 1.645 0.025 1.960 0.010 2.326 0.005 2.576 0.001 3.090