Karl Erik Sandvoll m.fl. Sigma1 Helse- og sosialfag Gyldendal undervisning
# Gyldendal Norsk Forlag AS, 2006 1. utgave, 1. opplag Læreboka er skrevet etter gjeldende læreplan for faget matematikk Vg1P for det yrkesfaglige utdanningsprogrammet elektrofag. Printed in Norway by PDC Tangen, 2006 ISBN 13: 978-82-05-34925-4 ISBN 10: 82-05-34925-8 Redaktør: Ellen Semb Bilderedaktør: Sissel Falck Design: Gamma grafisk Vegard Brekke og Hild Mowinckel Sats og layout: Gamma grafisk Vegard Brekke, PrePress as Figurer: Gamma grafisk Vegard Brekke, forfatterne Omslagsdesign: Hild Mowinkel Omslagsillustrasjon, omslagsbilde: Getty Images Illustratør: Anja Ruud Bilder, illustrasjoner: Side 4: Ole Moksnes AS, s. 8: Peter Till/Getty Images, s. 14: Scanpix, s. 15: Corbis/Scanpix, s. 20: ø.ole Moksnes AS, n.george Widman/Scanpix, s. 22: Terje Mortensen/Scanpix, s. 23: GBA, s.24: Ørn E. Borgen/Scanpix, s.26: Lawrence Lawry/Science Photo Library/GV-Press, s. 27: Jean-Yves Bruel/Masterfile//Scanpix, s. 29: t.v. CERN/Science Photo Library/GV-Press, t.h. Dylan Martinez/Scanpix, s. 33: Ole Moksnes AS, s. 35: Photodisc/GBA, s. 36: Simon Kwong/ Scanpix, s. 38: Corel/GBA, s. 44: Sverre A.Børretzen/Scanpix, s. 53: Berit Keilen/Scanpix, s. 57: Scanpix, s. 63: Espen Sjølingstad Hoen/Scanpix, s. 68: Hugh Sitton/Getty Images, s. 84: Ole Moksnes AS, s. 85: Helene Aune, s. 87: Berit Roald/ Scanpix, s.88: Anne Langdalen, s. 89: Halvor F. Johansen, s.90: Daly & Newton/Getty Images, s. 98 n.t.h., s. 99 ø.t.v., s. 107 n.t.v.: Ulf Carlsson, s. 108 t.h., s. 111 n.t.v.: John Arne Eidsmo, 116: Jason Reed/Scanpix, s. 126: #Trondheim kommune, Kart-og oppmålingskontoret, s.127, s. 129: Ole Moksnes AS, s. 136, s. 151 ø.t.h.: M.C.Escher s «Symmetry Drawing E18» #2006 The M.C.Escher Company-Holland. All rights reserved.www.mcescher.com, s.147: t.v..# Casterman/Distr. by PIB Copenhagen 2006, t.h. GBA, s. 150 ø.t.h., s. 151 t.v.:. Heimdal Eiendomsmegling, s. 152: ø.t.h.unni Brakestad, s.154: #Succession Pablo Picasso/BONO 2006. Pablo Picasso: Violin and Grapes, 1912. New York Museum of Modern Art (MoMA). Olje pa lerret, 50,6 x 61 cm. Mrs. David M.Levy Bequest.32.1960. #Foto SCALA, Firenze, s. 157: Knut Falch/Scanpix, s.158, s. 159, s. 160: Ole Moksnes AS, s.160: n.t.h. E.H.Shepard Copyright under the Berne Convention.# by Reed International Books Ltd., s.161: Photodisc/GBA, s.162: Liv Hegna/Scanpix, s.164: Ole Moksnes AS, s. 165: Ragnar Axelsson/Scanpix, s.172, s. 173, s. 175: Ole Moksnes AS, s. 178: Adam Gault/Getty Images, s. 180: Ole Moksnes AS, s. 188: Trygve Indrelid/Scanpix, s. 191: GBA/Photodisc, s. 194: Jon Asgeir Lystad/Scanpix, s. 206, 207: Diplom-is, s. 216: Alfred Pasieka/Science Photo Library/GV-Press, s. 220: Stefano Lemma, s. 226, 227, s. 228, s. 229, s.230, s. 234, s. 242: Bjørn Norheim. Det må ikke kopieres fra denne boka i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no
FORORD Denne matematikkboka er skrevet for elever som har valgt det yrkesfaglige utdanningsprogrammet for elektrofag. Boka er en alt-i-ett-bok som inneholder lærestoff og et rikt utvalg av oppgaver. Vi har lagt stor vekt på å gi boka en ryddig struktur. Hvert delemne med forklarende tekst, eksempler og aktiviteter er samlet i oppslag over en dobbeltside. På neste side ser du hvordan dette er bygd opp. Delemnene er laget ut fra en helhetstanke, der tekst, eksempler, figurer og aktiviteter til sammen skal hjelpe deg til å nå målene i læreplanen. Mange oppslag inneholder en utfordring som kan være med på å gjøre faget mer spennende. Her kan du også få utfordret din egen forståelse. Kapitlene blir innledet med læreplanmål og en kort, motiverende tekst. Etter oppslagene i hvert kapittel presenterer vi et større sammensatt eksempel. Det skal hjelpe deg til å sette delkunnskapen inn i en helhet. Deretter følger et sammendrag og test-deg-selvoppgaver. Til slutt i hvert kapittel finner du flere graderte øvingsoppgaver sortert etter emne, og blandede oppgaver fra hele kapitlet. Kapittel 8 Sinusbølger og desibel omhandler emner som ikke kreves i forhold til 1P-læreplanen. Vi har allikevel valgt å ta med disse emnene fordi de er sentrale innenfor felles programfag i VG1 Elektrofag. Dette kapittelet er ment som tilvalgsstoff og kan velges bort dersom man ønsker det. Hele kapittelet er derfor merket med stjerne. Denne boka skal hjelpe deg til å løse aktuelle matematiske problemstillinger innen fagområdet elektrofag, og i din hverdag i og utenfor skolen. Læreplanmålene sier at du skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster, og at du skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag- og samfunnsområder. Vi har i denne boka valgt å ha med et bredt spekter av oppgaver, alt fra tradisjonelle regneoppgaver til oppgaver som krever andre løsningsstrategier. Miniprosjektene er et eksempel på slike oppgaver. Det kan være å utforske matematiske problemer eller finne informasjon i andre bøker og på nettet. Denne informasjonen må du bearbeide og sammenfatte, for så å presentere for andre. Vi håper dette skal føre til faglige samtaler om matematikk gode muntlige ferdigheter er en forutsetning for å lære. Vi ønsker deg velkommen til www.gyldendal.no/sigma. Nettstedet inneholder sider både for elever og lærere. Elevsidene presenterer blant annet interaktive oppgaver og fordypningsstoff. På lærersidene finnes det forslag til undervisningsopplegg, tempoplan, omtale av kapitler, prøveforslag og annet. I læreplanen heter det: «Opplæringen veksler mellom utforskende, lekende, kreative og problemløsende aktiviteter og ferdighetstrening.» Vi håper dere griper mulighetene som boka og nettstedet gir, slik at matematikkopplæringen kan foregå på en aktiv måte. Vi vil takke konsulenter og andre bidragsytere for konstruktive innspill og gode råd underveis. Oslo, mars 2006 Arne S. Kaldahl Wenche Dypbukt Snorre Evjen Bjørn Fosdahl Silja Mustaparta Rubi Skøyum Karin Øiseth FORORD 3
4
5
INNHOLD Kapittel 1 M LING OG BEREGNINGER 1 Problemløsing... 10 2 Avrunding og overslag... 12 3 Målenheter for lengde... 14 4 Målenheter i elektronikken... 16 5 Omkrets... 18 6 Flatemål... 20 7 Areal av enkle figurer... 22 8 Areal av sammensatte figurer... 24 9 Målenheter for vekt og volum... 26 10 Sammensatt eksempel... 28 SAMMENDRAG... 30 TEST DEG SELV... 31 Òvingsoppgaver... 32 Kapittel 2 REGNING OG FORMLER 1 Regnerekkefølge... 46 2 Formelregning... 48 3 Lag dine egne formler... 50 4 Forholdstall og brøker... 52 5 Veien om 1.... 54 6 Sammensatte eksempler... 56 SAMMENDRAG... 58 TEST DEG SELV... 59 Òvingsoppgaver... 60 Kapittel 3 PROSENT 1 Når prosenten er ukjent... 70 2 Prosentfaktor... 72 3 Vekstfaktor... 74 4 Når grunnlaget er ukjent... 76 5 Prosentpoeng... 78 6 Sammensatt eksempel... 80 SAMMENDRAG... 82 TEST DEG SELV... 83 Òvingsoppgaver... 84 Kapittel 4 GRAFISKE FRAMSTILLINGER OG PROPORSJONALITET 1 Grafisk presentasjon... 92 2 Bruk av figurer for å sammenlikne data.. 94 3 Noen spesialtilfeller... 96 4 Kan du stole på grafiske framstillinger?.. 98 5 Proporsjonale størrelser... 100 6 Omvendt proporsjonale størrelser... 102 7 Sammensatt eksempel... 104 SAMMENDRAG... 106 TEST DEG SELV... 107 Òvingsoppgaver... 108 Kapittel 5 MER OM M LING OG AREAL 1 Pytagoras setning... 118 2 Er hjørnet rett?... 120 3 Omkrets og areal ved hjelp av Pytagoras setning... 122 4 Formlikhet... 124 5 Målestokk... 126 6 Arbeidstegninger... 128 7 Perspektivtegning... 130 8 Mangekanter... 132 9 Tesselering med regulære mangekanter.. 134 10 Tesselering med andre grunnfigurer... 136 11 Sammensatt eksempel... 138 SAMMENDRAG... 140 TEST DEG SELV... 141 Òvingsoppgaver... 142 6 INNHOLD
Kapittel 6 VOLUM OG OVERFLATE 1 Rommål... 156 2 Volum av prismer og sylindrer... 158 3 Volum av kjegler, kuler og pyramider... 160 4 Volum av sammensatte figurer... 162 5 Overflata av enkle og sammensatte figurer... 164 6 Sammensatt eksempel... 166 SAMMENDRAG... 168 TEST DEG SELV... 169 Òvingsoppgaver... 170 Kapittel 7 ÒKONOMI 1 Indekser... 180 2 Indeksformelen... 182 3 Reallønn og kroneverdi... 184 4 Timelønn og akkord... 186 5 Provisjon, bonusordninger og frynsegoder... 188 6 Lønn, feriepenger og skatt... 190 7 Skatter og avgifter... 192 8 Sparing.... 194 9 Lån... 196 10 Forbruksmuligheter... 198 11 Budsjett og regnskap... 200 12 Sammensatt eksempel... 202 SAMMENDRAG... 204 TEST DEG SELV... 205 Òvingsoppgaver... 206 Kapittel 8 * SINUSBÒLGER OG DESIBEL 1 Definisjon av sinus, cosinus og tangens.. 218 2 Å regne ut spisse vinkler... 220 3 Trigonometri... 222 4 Sinus og cosinus til stumpe vinkler... 224 5 Sinuskurven... 226 6 Faseforskyvning og reaktans... 228 7 Impedans, en sum av resistans og reaktans... 230 8 Logaritmer og logaritmisk skala... 232 9 Desibel, en logaritmisk skala... 234 10 Utfyllende eksempel... 236 SAMMENDRAG... 238 TEST DEG SELV... 239 Òvingsoppgaver... 240 Fasit... 246 Stikkord... 270 L replan i matematikk... 271 INNHOLD 7
1 M LING OG BEREGNINGER
1.1 ProblemlÖsing Du skal l re ^ forskjellige môter Ô löse matematiske problemer pô For å bli god til å løse matematiske problemer trenger du mye øving. Et problem kan løses på flere måter. Erfaring hjelper deg til å velge en god løsningsmetode. EKSEMPEL 1 Zabi og Bawan skal finne omkretsen av et rektangel. Zabi måler alle sidene og legger sammen, mens Bawan regner slik: ð2 þ 6; 5Þ2 ¼ 17 STRATEGIER: ^ bruke sunn fornuft ^forenkle ^pröveogfeile ^ lete etter mönster ^v resystematisk ^tegnefigurer ^gôveienom1 ^sepôenheter ^ sortere opplysninger (hva vet jeg, og hva trenger jeg Ô vite) ^ ^ Hvordan tenker Bawan? Når du skal finne omkretsen av dette lille rektanglet, er begge løsningene greie. Tenk deg at du skal finne omkretsen av klasserommet ved hjelp av en linjal på 15 cm. Hvordan vil du gå fram? EKSEMPEL 2 Lars, Aslak og Leif har vært sammen med mamma på CABO-sport og kjøpt fotballsko, fotball, keeperhansker og en drikkeflaske til hver. Drikkeflaskene skal de betale selv. Vel hjemme tar de fram kvitteringen for å se hvor mye en drikkeflaske koster. De oppdager at prisen ikke vises. Hva skal de gjøre? Leif regner slik: 1310 750 290 180 ¼ 90 90 : 3 ¼ 30 Kvittering fotballsko... 750,00 fotball... 290,00 keeperhansker... 180,00 3 drikkeflasker... sum 1310,00 Aslak løser problemet på denne måten: 750 þ 290 þ 180 þ 3x ¼ 1310 1220 þ 3x ¼ 1310 3x 3 ¼ 90 3 x ¼ 30 Lars tipper at en drikkeflaske koster 25 kroner. Mamma ringer til butikken for å undersøke prisen. Hva ville du ha gjort? 10 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 3 Tore tenker på et positivt heltall og ganger det med 2. Så tenker han på et annet positivt heltall, som han ganger med 3. Når han legger sammen de to nye tallene, får han 51. Hvilket tall tenker han på? Diskuter mulige løsningsstrategier. Finnes det mer enn én løsning på problemet? Problemet kan formuleres slik: 2u þ 3v ¼ 51. Du kan prøve og feile deg fram til en mulig løsning. Skal du finne alle løsningene, er det lurt å være systematisk. Kanskje det er bedre å lage en tilleggsbetingelse, slik at problemet bare får én løsning? AKTIVITETER Oppgave 1.1 Hva blir de tre neste tallene? a) 2; 4; 6;... b) 1; 4; 7; 10;... c) 1; 4; 9; 16;... Oppgave 1.2 a) Ofte er det lurt å se på enhetene. Fart måler vi i kilometer per time (km=h). Kan du ut fra enheten si hvilke opplysninger som trengs for å finne farten? b) Hva slags sammenheng er det mellom strekning, tid og fart? c) Du kjører i 67 km=h og skal kjøre 11 km. Bruker du mer eller mindre enn én time? Hvor lang tid bruker du? Oppgave 1.3 Ole, Trine og Bente er til sammen 43 år. Ole er dobbelt så gammel som Trine, og Bente er 3 år eldre enn Trine. Hva er alderen til hver av de tre? Oppgave 1.4 Familien til Per driver en kennel, og i hagen har de en stor andedam. Når Per blir spurt om hvor mange hunder og ender de har, svarer han: «Vi har 40 dyr, og de har 116 bein til sammen.» Hjelp hverandre med å finne ut hvor mange hunder og ender de har. Oppgave 1.5 Løs sudokuen slik at alle vertikale og horisontale linjer og alle 3 3-ruter inneholder alle tall fra 1 til 9. 6 2 5 8 2 5 9 6 1 7 9 5 7 3 8 3 7 3 8 4 6 1 3 6 4 8 2 9 4 4 9 2 Oppgave 1.6 Regn ut høyden til et tre, en flaggstang eller skolebygningen din ved hjelp av for eksempel en blyant. Miniprosjekt 1.7 Motstander får vi kjøpt i standardverdier. a) Finn ut hva standardverdiene for motstander er. b) Hva må vi gjøre når vi har behov for en motstand som ikke har en standardisert verdi? c) Bruk standardmotstander til å konstruere motstander med verdier på 50 og 200. d) Hva vil det si at en motstand har 10 % toleranse? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 11
1.2 Avrunding og overslag Du skal l re ^ Ô avgjöre nôr det er behov for nöyaktighet i matematiske beregninger, og nôr vi kan gjöre overslag ^ Ô runde av desimaltall med ulik grad av nöyaktighet Tallet (pi) har et uendelig antall desimaler, tilsynelatende uten noe mønster. Japaneren Hiroyuki har lært seg de 42 000 første desimalene utenat! Men trenger vi alltid å være så nøyaktige? Tenk deg at du er på IKEA og kjøper bilder. Du har dette i handlekurven: «Rød rose»: «Epler»: «Solsikke»: kr 167;50=kg kr 218;50=kg kr 107;50=kg Du har en femhundrelapp på deg. Hvordan kan du raskt regne ut i hodet om du har nok penger? Knepet er å gjøre et overslag, det vil si at du runder av tallene. Tabellen i margen illustrerer avrundingsreglene for desimaltall. Dersom vi skal runde av til nærmeste hele tall, ser vi på første desimal. Er denne desimalen 5 eller større, runder vi av oppover. I motsatt fall runder vi av nedover. Skal vi runde av til én desimal, ser vi på andre desimal på samme måte, og så videre. TALLET er definert som omkretsen av en sirkel dividert med diameteren ¼ O=d.Vanligvis nöyer vi oss med to desimaler og skriver 3,14. Avrunding av 7,2356 nærmeste titall 10 nærmeste heltall 7 1 desimal 7,2 2 desimaler 7,24 3 desimaler 7,236 EKSEMPEL 4 a) Hvordan kan du gjøre et raskt overslag for å finne ut om bildene i eksemplet ovenfor koster mer enn 500 kroner? b) Du ønsker å ramme inn «Solsikke» på nytt. Bildet har form som et rektangel med bredden b ¼ 37;43 cm og høyden h ¼ 62; 56 cm. Hvor mange centimeter rammeverk bør du bestille? Løsning: a) Vi runder av oppover til nærmeste titall og legger sammen: 167;50 170 og 218;50 220 og 107;50 110 kr 170 þ kr 220 þ kr 110 ¼ kr 500 Siden vi har rundet av alle prisene oppover, er 500 kroner nok! b) Vi runder av til én desimal og legger sammen: 37;43 cm 37;4 cm og 62;56 cm 62;6 cm 2 b þ 2 h ¼ 2 37;4 cmþ 2 62;6 cm¼ 200;0 cm Er 200 cm nok? Burde vi runde av annerledes? 12 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 5 Ella arbeider i reklamebyrået Svada og skal designe en reklameplakat for et matvarefirma. Hun skal bruke et bilde med bredde b ¼ 3;6 cm og høyde h ¼ 5;4 cm. For at bildet skal passe på plakaten, må det forstørres 500 ganger. Ella vurderer å runde av verdien av bredden og høyden til hele tall før hun forstørrer. Kan hun trygt gjøre det? Løsning: Vi runder av til hele tall for bredden og høyden: b 4;0 cm og h 5;0 cm Så forstørrer vi: B ¼ 4;0 cm 500 ¼ 2000;0 cm¼ 20;0 m H ¼ 5;0 cm 500 ¼ 2500;0 cm¼ 25;0 m Vil dette bildet passe på plakaten? Vi forstørrer uten å runde av: B ¼ 3;6 cm 500 ¼ 1800;0 cm¼ 18;0 m H ¼ 5;4 cm 500 ¼ 2700;0 cm¼ 27;0 m Ella får 2 m i avvik både for bredden og høyden! Avrundinger kan gi store avvik når vi forstørrer. AKTIVITETER Oppgave 1.8 Rund av til én desimal: a) 1,23 b) 1,46 c) 6,96 d) 19,07 e) 4,555 f) 3,849 Oppgave 1.9 Rund av til to desimaler: a) 7,235 b) 11,464 c) 744,968 d) 19,079 e) 20,555 f) 13,445 Oppgave 1.10 Du er i dagligvarebutikken og handler mat. I handlekurven har du 1 purreløk: kr 9,50 3 liter melk à kr 9,00=l 1 brød: kr 14,50 500 g kjøttdeig: kr 40,50 Du står ved kassa og har en hundrelapp i lomma. Gjør overslag og bruk hoderegning for å finne ut om du unngår en pinlig situasjon. Oppgave 1.11 Klara skal regne ut jordas omkrets rundt ekvator. Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Klara runder av til 6400 km før hun regner ut omkretsen. Hvor stort avvik fra det korrekte svaret, målt i kilometer, får hun på grunn av avrundingen? Utfordring 1.12 Du er ansatt av Svada og skal lage en valgkampplakat for en kjent politiker. Som utgangspunkt har du et portrett med bredden 10,55 cm og høyden 18,48 cm. Bildet skal forstørres 200 ganger. a) Hvor store avvik får du dersom du runder av til hele tall før du forstørrer? b) Hvor mange ganger kan bildet forstørres dersom det skal passe til en plakat med bredden 9 m og høyden 15 m? KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 13
1.3 MÔlenheter for lengde Du skal l re ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for lengde Den kinesiske mur ble påbegynt rundt 300 f.kr. Muren er om lag 6 000 000 m lang og ca. 1500 cm høy på sitt høyeste. Hvordan kan vi gjøre om lengden til kilometer og høyden til meter? PREFIKSER kilo ¼ 1000 hekto ¼ 100 deka ¼ 10 desi ¼ 1 10 centi ¼ 1 100 milli ¼ 1 1000 Tabellen viser sammenhengen mellom de vanligste målenhetene for lengde: mil kilometer hektometer dekameter meter desimeter centimeter millimeter mil km m dm cm mm 10 000 1000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 Vi gjør om fra centimeter til meter ved å gå to kolonner mot venstre. Vi flytter altså kommaet to plasser til venstre. Det er det samme som å dele med 100. Den kinesiske mur er altså rundt 1500 cm ¼ 1500 m ¼ 15 m høy. 100 Vi gjør om fra meter til kilometer ved å gå tre kolonner mot venstre. Vi flytter altså kommaet tre plasser til venstre. Det er det samme som å dele med 1000. Den kinesiske mur er 6 000 000 m ¼ 6000 km lang. LENGDEMÅL Meter er grunnenheten for lengde. Hektometer og dekameter er sv rt lite brukt. 1mil svarer til10 km. EKSEMPEL 6 a) Hvor mange meter er 120 cm? b) Hvor mange meter er 2,7 km? Løsning: a) Vi flytter kommaet to plasser mot venstre eller deler med 100: 120 cm ¼ 1;2 m 120 cm ¼ 120 100 m ¼ 1;2 m b) Vi flytter kommaet tre plasser mot høyre eller ganger med 1000: 2;7 km 2;700 km ¼ 2700 m 2;7 km¼ 2;7 1000 m 2700 m OMGJØRING AV ENHETER NÔr vi regner om fra större til mindre môlenheter, bruker vi ofte -tegnet. Det gjör vi fordi större enheter gjerne inneholder usikkerhet. 14 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 7 Den norske løperkongen Mensen Ernst tilbakela i 1832 distansen Paris Moskva på 14 dager. I luftlinje måler denne distansen om lag 2500 km. a) Hvor mange meter svarer det til? b) Hvor mange mil løp Mensen Ernst? c) En engelsk mile er 1609 m. Hvor lang er distansen Paris Moskva i miles? Løsning: a) Vi bruker sammenhengen mellom enhetene for lengde: 2500 km ¼ 2500 1000 meter 2 500 000 meter b) En mil svarer til 10 km: 2500 km ¼ 2500 mil ¼ 250 mil 10 LØPERKONGEN Mensen Ernst ble födt i Sogn og Fjordane i1795 og döde i Egypt i1843. PÔ1800-tallet ble han beundret for sine löperprestasjoner over hele Europa. Dette er like langt som Norges grense mot Sverige, Finland og Russland til sammen! c) Vi gjør om fra meter til miles: 2 500 000 2 500 000 m ¼ miles 1553;76 miles 1554 miles 1609 AKTIVITETER Oppgave 1.13 Gjør om til meter: a) 234 cm b) 170 mm c) 144 dm d) 2,047 km e) 0,2 mil f) 4,5 miles Oppgave 1.17 Obelisken på Petersplassen i Vatikanet er om lag 25 m høy. Oppgave 1.14 Monolitten i Vigelandsparken i Oslo er omtrent 17 m høy. a) Hvor høy er Monolitten i centimeter? b) Fot er en målenhet som ble brukt mye tidligere. 1 fot tilsvarer 0,348 m. Hvor høy er Monolitten målt i fot? Oppgave 1.15 Gjør alle mål om til centimeter og regn ut: a) 1;2 mþ 2;7 dmþ 320 cm þ 30 mm b) 200 mm þ 0;15 m þ 5cm c) 0;33 m þ 2dmþ 40 mm Oppgave 1.16 Gjør alle mål om til meter og regn ut: a) 18 dm þ 76 cm þ 40 mm b) 0;495 fot 4;5 dmþ 12 cm þ 30 mm c) 4 km þ 1;243 miles 99 fot a) Hvor høy er obelisken målt i fot? b) Hvor høyt er dette kunstverket målt i miles? Utfordring 1.18 a) Hvor mange kilometer løp Mensen Ernst i gjennomsnitt per dag på turen Paris Moskva, når vi antar at han løp 11 timer per dag? b) Finn gjennomsnittsfarten til Ernst i kilometer per time. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 15
1.4 MÔlenheter i elektroteknikken Du skal l re ^ om môlenheter i elektroteknikken ^ Ô skrive store og smô verdier pô den formen som er vanlig i elektroteknikk Målinger og beregninger innenfor elektroteknikken fører ofte til at vi arbeider med svært små eller svært store tall. For å få til det må vi bruke tierpotenser eller prefikser når vi skal skrive verdiene. Før vi går inn på elektroteknikken, skal vi ta for oss to eksempler med tierpotenser: 10 6 ¼ 10 10 10 10 10 10 ¼ 1 000 000 Vi ser at 10 6 er et ettall med seks nuller etter. 10 6 ¼ 1 10 6 ¼ 1 ¼ 0;000 001 10 10 10 10 10 10 Her kommer ettallet på den sjette plassen bak komma. Effekter kan ha størrelser helt opp i terawatt (TW). Nedenfor har vi illustrert denne størrelsen: PREFIKSER tera ¼ T ¼ 10 12 giga ¼ G ¼ 10 9 mega ¼ M ¼ 10 6 kilo ¼ k ¼ 10 3 milli ¼ m ¼ 10 3 mikro ¼ m ¼ 10 6 nano ¼ n ¼ 10 9 piko ¼ p ¼ 10 12 femto ¼ f ¼ 10 15 1 terawatt ¼ 10 12 W ¼ 1 000 000 000 000 W Kondensatorer kan være i størrelser fra femtofarad (ff) og oppover. Vi illustrerer også dette tallet: 1 femtofarad ¼ 10 15 F ¼ 0;000 000 000 000 001 F Det er vanlig å skrive enhetene i elektroteknikk enten med prefikser som vist på den gule lappen, eller med tiereksponenter som svarer til prefiksene. EKSEMPEL 8 En vanlig størrelse på kondensatorer er 10 mf. Skriv denne verdien først som tiereksponent, og deretter uten prefiks og eksponent. Løsning: 10 mf ¼ 10 10 6 F ¼ 0;000 01 F 10 µf EKSEMPEL 9 Energibruken av elektrisitet blir målt i wattimer (Wh). Et år var det norske elektrisitetsforbruket 212 000 000 000 000 Wh. Skriv dette forbruket både som tierpotens og med prefiks. Løsning: 212 000 000 000 000 Wh ¼ 212 10 12 Wh ¼ 212 TWh 16 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
Strøm kan variere fra milliampere (ma) til megaampere (MA). Legg merke til forskjellen på stor og liten m. En feil her kan få katastrofale konsekvenser! EKSEMPEL 10 Hvor mange ganger mer er 12 MA enn 12 ma? Løsning: 12 MA 12 000 A ¼ ¼ 1 000 000 000 12 ma 0;012 A 12 MA er en milliard ganger mer enn 12 ma. AKTIVITETER Oppgave 1.19 Skriv resistansen til motstanden nedenfor uten prefiks, med og uten tierpotenser: 120 MΩ Oppgave 1.20 Skriv induktansen til spolen nedenfor som en tierpotens, deretter med prefiks: 0.003 H Oppgave 1.21 Skriv kapasiteten til kondensatoren nedenfor uten prefiks, med og uten tierpotenser: 120 pf Oppgave 1.22 a) Hvor mange ganger mer er 120 mf enn 240 nf? b) Uttrykk 1200 pf i nanofarad ðnfþ. c) Skriv 30 000 nh som millihenry ðmhþ. d) Hvor mange kiloohm ðkþ er 0,240 G? Oppgave 1.23 a) Fem motstander på 270 k koples i serie. Hvor mange kiloohm blir den totale resistansen? b) Åtte kondensatorer på 300 pf blir koplet i parallell. (Da må du summere kondensatorverdiene.) Hvor mange nanofarad ðnfþ blir den totale kapasitansen? c) 14 motstander på 910 k koples i serie. Hvor mange megaohm ðmþ blir den totale resistansen? Oppgave 1.24 Inngangssignalet til en forsterker er 50 mv. På utgangen er det 38 V. Hvor mange ganger blir spenningen forsterket? Utfordring 1.25 En norsk familie bruker et år 25 000 kwh i strøm. a) Hvor stort er dette forbruket i megawattimer? b) Hvor mange wattimer bruker familien per dag? c) Hvor mange megawattimer bruker familien på ti år? Utfordring 1.26 Ohms lov er slik: U ¼ R I. I elektronikk er det vanlig å arbeide med kiloohm (k) og milliampere (ma). Forklar hvorfor dette blir så enkelt når vi bruker Ohms lov. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 17
1.5 Omkrets Du skal l re ^ hvordan du kan regne ut omkretsen av enkle geometriske figurer Firmaet Tummelumsk skryter av at de har produsert tivolimarkedets mest spektakulære pariserhjul, med en radius på 21 meter. Rektangel b l O = 2l + 2b Kvadrat s s O = 4s Parallellogram s g Hvor mange meter har du beveget deg etter en runde med dette pariserhjulet? Enn etter tolv runder? For å regne ut det må vi finne omkretsen av hjulet. Tabellen i margen viser formler for omkretsen av noen enkle geometriske figurer. Siden et pariserhjul alltid har form som en sirkel, blir omkretsen O ¼ 2 r ¼ 2 21 m ¼ 131;947 m 132 m Her runder vi av svaret. Hvorfor det, tror du? Etter tolv runder med dette hjulet har du beveget deg 12 O ¼ 12 132 m ¼ 1584 m 1;6 km O = 2s + 2g Trapes c d b a O = a + b + c + d Trekant c b a O = a + b + c Sirkel r O = 2pr Vi gjør om til kilometer og runder av grovere enn ovenfor. Tenk gjennom hvorfor. EKSEMPEL 11 Et rektangel har lengden 40 cm og bredden 2,2 dm. Hvor mange centimeter er omkretsen? Løsning: Vi gjør om bredden fra desimeter til centimeter: 2;2 dm¼ 22 cm HUSK NÔr du skal regne ut omkretsen av en geometrisk figur, mô alle lengdene ha samme enhet! Omkretsen blir da O ¼ 2 l þ 2 b ¼ 2 40 cm þ 2 22 cm ¼ 124 cm 18 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 12 Karin skal sy et bånd langs kanten av en kjøkkenduk med form som vist på figuren. Hvor mange desimeter kantebånd trenger hun? Løsning: Duken består av et rektangel med en halvsirkel i hver ende. Til sammen utgjør de to halvsirklene en hel sirkel. Dukens omkrets blir derfor summen av omkretsen av en sirkel og omkretsen av rektanglets to langsider: O ¼ 2 l þ 2 r ¼ 2 26 dm þ 2 9dm¼ 108;549 dm 109 dm Her runder vi av oppover. Hvorfor? 18 dm Legg merke til at radien er lik halve diameteren: ¼ 9 dm. 2 Vi tar ikke med kortsidene på rektanglet i dukens omkrets. Studer figuren og finn ut hvorfor! 18 dm 26 dm AKTIVITETER Oppgave 1.27 Regn ut omkretsen i meter av en sirkel der a) r ¼ 2,18 cm b) r ¼ 18 dm c) d ¼ 0,637 km Oppgave 1.28 Finn omkretsen av et rektangel i centimeter der a) b ¼ 20 cm og l ¼ 40 cm b) b ¼ 30 cm og l ¼ 17 dm Oppgave 1.29 Jordas radius ved ekvator er 6378 km. Hvor stor er avstanden i mil mellom to punkter på ekvator som ligger på nøyaktig motsatt side av jordkloden? Oppgave 1.30 Ernst er nesten ferdig med oppussingen og skal legge gulvlister i stua. Rommet har form som et rektangel med lengden 6 m og bredden 4 m. En 70 cm bred dør på den ene kortveggen går inn til kjøkkenet. På den ene langveggen finnes en tilsvarende dør ut mot gangen. Hvor mange meter listverk bør Ernst kjøpe inn? Oppgave 1.31 Regn ut omkretsen av sjokoladekaka: 13 cm Utfordring 1.32 Karin har kjøpt en rull med julegavepapir. Papiret er rullet på en pappsylinder med lengden 80 cm og diameteren 5 cm. a) Dersom lengden av gavepapiret er 10 m, hvor stor er omkretsen av papiret? b) Omtrent hvor mange runder er papiret tvinnet rundt pappsylinderen? c) Tenk gjennom hvilke feilkilder det er i svaret du fikk i b. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 19
1.6 FlatemÔl Du skal l re ^ at areal er et môl for störrelsen av en flate ^ hvordan du kan regne mellom ulike môlenheter for areal En flate er todimensjonal og har ingen tykkelse. En firkantet flate er bare representert ved lengden og bredden. Til å oppgi størrelsen av en flate bruker vi betegnelsen areal. Tabellen viser sammenhengen mellom ulike målenheter for areal. kvadratkilometer kvadrathektometer kvadratdekameter kvadratmeter kvadratdesimeter kvadratcentimeter kvadratmillimeter km 2 m 2 dm 2 cm 2 mm 2 1 000 000 10 000 100 1 0,01 0,0001 0,000 001 For hver kolonne vi flytter oss i tabellen, må vi flytte kommaet to plasser. Når vi skal gjøre om fra m 2 til dm 2,måvi flytte kommaet to plasser mot høyre. Det er det samme som å gange med 100: 14;25 m 2 ¼ 1425 dm 2 eller 14;25 m 2 ¼ 14;25 100 dm 2 ¼ 1425 dm 2 Vi gjør om fra m 2 til km 2 ved å flytte kommaet seks plasser mot venstre. Det er det samme som å dele med 1 000 000: 70 000 m 2 ¼ 0;07 km 2 70 000 eller 1 000 000 km2 ¼ 0;07 km 2 EUKLIDS DEFINISJONER ^ Et punkt er noe som ikke kan deles. ^ Ei linje er en lengde uten bredde. ^ En ate er noe som bare har lengde og bredde. ENHETER FOR AREAL Kvadratmeter, m 2,er grunnenheten for areal. Kvadratdekameter og kvadrathektometer brukes sv rt sjelden. EKSEMPEL 13 a) Hvor mange kvadratmeter er 17 400 cm 2? b) Hvor mange kvadratmeter er 564 000 mm 2? b) En serviett har et areal på 4dm 2. Hvor mange kvadratmeter utgjør det? d) New York by har et areal på 787 km 2. Gjør om til kvadratmeter. Løsning: a) Vi flytter kommaet fire plasser mot venstre: 17 400 cm 2 ¼ 1;74 m 2 b) Vi flytter kommaet seks plasser mot venstre: 564 000 mm 2 ¼ 0;564 m 2 c) Vi deler på 100: 4dm 2 ¼ 4 100 m2 ¼ 0;04 m 2 d) Vi ganger med 1 000 000: 787 km 2 ¼ 787 1 000 000 m 2 787 000 000 m 2 20 KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER
EKSEMPEL 14 a) Arealet av et A4-ark er 624 cm 2. Hvor stort er dette arealet i kvadratmeter? b) En målenhet for arealet av landområder er mål. Dersom vi eier en tomt på 200 mål, hvor mange kvadratkilometer disponerer vi når 1mål er 1000 m 2? A4 Løsning: a) Vi gjør om fra kvadratcentimeter til kvadratmeter: 624 cm 2 ¼ 624 10 000 m2 ¼ 0;0624 m 2 b) Vi gjør om 200 mål til kvadratmeter: 200 mål ¼ 200 1000 m 2 200 000 m 2 Deretter regner vi om til kvadratkilometer: 200 000 m 2 ¼ 0;20 km 2 AKTIVITETER Oppgave 1.33 Gjør om til kvadratmeter: a) 180 cm 2 b) 2500 mm 2 c) 132 dm 2 d) 0;034 km 2 e) 0;37 mål f) 2;16 mål g) 3;04 km 2 Oppgave 1.34 Arealet av et lite landområde, for eksempel en hustomt, blir ofte oppgitt i mål. Ett mål svarer til 1000 m 2. a) Hvor mange kvadratmeter er en tomt på 4,5 mål? b) Hvor mange kvadratmeter er et landområde på 632 mål? c) Hvor mange mål er en tomt på 1432 m 2? d) Hvilket av arealene i oppgave a, b og c er vanligst størrelse for en tomt til en enebolig? Oppgave 1.35 a) Silisiumdelen av en minnebrikke er et kvadrat med side lik 5 mm. Hvor stort er arealet i kvadratmeter? b) I denne minnebrikken kan det være 12 millioner transistorer. Hvor stort areal har hver transistor? c) Dersom hver transistor er kvadratisk, hvor stor er sidekanten i transistoren? Nettoppgave 1.36 a) Bruk Internett eller oppslagsverk til å finne arealet av Moskva by i kvadratmeter. Hvilken by er størst, New York eller Moskva? b) Hvor stor er forskjellen i areal mellom byene målt i kvadratkilometer? Nettoppgave 1.37 Euklid var en gresk matematiker som levde rundt 300 f.kr. Bruk Internett eller oppslagsverk og finn ut mer om hva denne mannen arbeidet med. KAPITTEL1 M LING OG BEREGNINGER 21