1T eksamen våren 018 løsningsforslag DEL 1 Uten hjelpemidler Tid: Del 1 skal leveres inn etter timer. Hjelpemidler: Del 1 Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningssystemet 5+ y = 4 + 4y = 6 Vi løser likningssettet ved hjelp av innsettingsmetoden. Vi løser først likningen 5+ y = 4 med hensyn på y. y = 4 5 4 5 y = 5 y = Vi setter så dette uttrykket for y inn for y i den andre likningen. 5 + 4 = 6 + 8 10= 6 7 = 14 = Det gir 5 y = = Løsningen er dermed: = y= Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 1 av 19
Oppgave (1 poeng) Løs likningen 10 = 000 10 000 = 10 = 1000 10 = 10 = Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform ( 0,5 10 6 ) 0, 10 + 10 4 5 5 5 10 10 10 5 10 5 10 5 10 5 10 = = = = = 4 5 5 5 5 0, 10 + 10 10 + 10 + 10 5 10 5 15 Oppgave 4 (1 poeng) Vis at 15 5 48 = 5 5 16 = 5 5 16 = 5 4 = ( 5 4) = Oppgave 5 ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 5 5 lg10 lg10 lg10 lg10 1 1 = lg10 lg10 lg10 ( 5) lg10 = ( 5) = 5 5 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side av 19
Oppgave 6 ( poeng) a) Vis at + 4 = 8 4 + 8 = 8 = 8 b) Løs likningen 8 = 0 Vi bruker opplysningen fra a) 8 = 0 ( ) + 4 = 0 = 0 + = 0 4 = 0 = 0 = = 4 Oppgave 7 ( poeng) Løs ulikheten 8 0 Fra oppgave 6 har vi at 8 ( )( 4) Fortegnskjema gir = +. -linje 0 0 Vi finner at 8 0 når 4. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side av 19
Oppgave 8 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved f k = + + 4 For hvilke verdien av k har grafen til f ingen skjæringspunkter med -aksen ett skjæringspunkt med -aksen to skjæringspunkter med -aksen Vi setter f( ) = 0 og finner Vi ser på + k + 4= 0 k 16 k = k 16 Ingen skjæringspunkter betyr at k 16 0 k 16 4 k 4 k 16 0. Løser ulikheten Det betyr at for 4 k 4 har grafen til f ingen skjæringspunkter med -aksen. Ett skjæringspunkt betyr at k 16 = 0 k = 16 k = 4 k 16 = 0. Løser likningen Det betyr at for k = 4 har grafen til f ett skjæringspunkt med -aksen. To skjæringspunkter betyr at k 16 0 k 16 k 4 k 4 k 16 0. Løser ulikheten Det betyr at for k 4 k 4 har grafen til f to skjæringspunkter med -aksen. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 4 av 19
Oppgave 9 ( poeng) a) Vis at 1 + + + 6+ = 1 1 1 + + 6 + + + 6+ = = 1 1 b) Skriv så enkelt som mulig 1 + + 1 + 6+ Fra a) har vi at dette uttrykket kan skrives som 1 Vi faktoriserer teller og nevner ved hjelp av kvadratsetningene ( + + ) 1 ( + 1) ( + 1) 1 ( 1)( + 1) ( 1) ( + 1) 6 + + = = + = 1 Oppgave 10 (4 poeng) En funksjon f er gitt ved f = + + 1 a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet,. ( ) f f + + 1 + + 1 17 1 16 = = = = 4 4 4 4 b) Bestem likningen for tangenten til grafen til f i punktet ( 1, f (1) ). Deriverer funksjonen for å finne stigningstallet for = 1 f 4 f 1 1 4 1 7 f 1 = 1 + 1 + 1 = 4 Vi bruker ettpunktsformelen y f ( 1) = f ( 1) ( 1) y 4 = 7( 1 ) = + = + = y = 7 7 + 4 y = 7 Likningen for tangenten til grafen til f i punktet 1, ( 1) f er y = 7 Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 5 av 19
Oppgave 11 ( poeng) Tenk deg at du kaster en rød og en blå terning. Avgjør hvilket av de to alternativene nedenfor er mest sannsynlig. Terningene viser samme antall øyne. Summen av antall øyne er 5 eller mindre. Vi setter opp en tabell med mulige utfall Terning 1 4 5 6 1 5 5 5 4 5 5 6 Vi markerer samme antall øyne med i tabellen, og gul farge der hvor summen er lik 5 eller mindre. Vi ser at det er 10 mulige utfall der summen av antall øyne er 5 eller mindre (gule ruter) og at det er 6 mulige utfall for at begge terningene viser like mange øyne (markert med ). Det betyr at alternativet der summen av antall øyne er mindre enn 5 er mest sannsynlig. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 6 av 19
Oppgave 1 (6 poeng) I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60. Høyden på en av sidene halverer denne siden. Høyden deler den likesidete trekanten i to like store rettvinklete trekanter. I denne rettvinklete trekanten er vinklene 0, 60 og 90. I tillegg er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten. Denne sammenhengen kalles 0, 60 og 90 setningen. Ovenfor ser du to avsnitt fra en lærebok for 10. klasse. s a) Vis at DC =. Vi bruker Pytagoras' læresetning for å finne DC. AC = AD + DC DC = AD AC DC DC DC s = s s 4s = 4 4 s = 4 s DC = 4 s DC = Som skulle vises. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 7 av 19
b) Bruk ADC til å vise at sin60 =. s motstående DC s sin60 = hypotenus = AC = s = s = I trekanten PQR er PQ = 8 og PR =. Se skisse nedenfor. c) Bestem arealet av PQR. Vi bruker arealsetningen for trekanter 1 A = PQ PR sin60 1 8 A = 8 = = 1 d) Vis at tanq = 8 I PSR er vinklene 0, 60 og 90. Vi har da at 1 PS = PR = = og SQ = PQ PS = 8 Vi bruker Pytagoras' læresetning og finner SR SR PR PS SR SR SR 4 SR tanq = = SQ 8 Som skulle vises. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 8 av 19
Oppgave 1 (4 poeng) Fire andregradsfunksjoner p, q, r og s er gitt ved p = q = + r = 4 = s Nedenfor ser du seks grafer. Hvilken graf er grafen til p? Hvilken graf er grafen til q? Hvilken graf er grafen til r? Hvilken graf er grafen til s? Husk å begrunne svarene dine. Vi velger å finne nullpunkter og skjæringspunkter til grafene til de ulike funksjonsuttrykkene. På grunnlag av disse opplysningene avgjør vi hvilken graf som hører til de ulike funksjonsuttrykkene. p = 0 = 0 = 0 = 0 = Vi ser at grafen til p går gjennom origo. Grafen i figur E er den eneste som passer til disse opplysningene. Det betyr at p( ) passer til grafen i figur E. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 9 av 19
q = 0 + = 0 4 = 1 = = = 1 = 1 + Grafen til q har symmetrilinje for = 1 og skjærer y-aksen i. Grafen i figur C er den eneste som passer til disse opplysningene. Det betyr at q( ) passer til grafen i figur C. r 4 = 0 = 0 = 4 = = Vi ser at andregradsleddet er negativt. Det betyr at grafen til r har et toppunkt. Symmetrilinjen til denne grafen har vi for = 0 og grafen skjærer y-aksen i 4. Grafen i figur F er den eneste som passer til disse opplysningene. Det betyr at r( ) passer til grafen i figur F. s = 0 = 0 4 = 1 = = = 1 = 1 + Vi ser at andregradsleddet er positivt. Det betyr at grafen til s har et bunnpunkt. Symmetrilinjen til denne grafen har vi for = 1 og grafen skjærer y-aksen i -. Grafen i figur D er den eneste som passer til disse opplysningene. Det betyr at s( ) passer til grafen i figur D. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 10 av 19
DEL Med hjelpemidler Oppgave 1 (6 poeng) År Pris (kroner) 1970 1 1980 4 1990 8 000 14 010 0 017 5 Tabellen ovenfor viser hvor mye en kroneis kostet noen utvalgte år i perioden fra 1970 til 017. a) Legg opplysningene i tabellen ovenfor inn som punkter i et koordinatsystem der - aksen viser antall år etter 1970 og y - aksen viser pris (kroner). La verdiene fra tabellen inn i GeoGebra, se nedenfor. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 11 av 19
Funksjonen f er gitt ved = + +, 0,50 f 0,0054 0,6 0,9 b) Tegn grafen til f i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave a). La inn funksjonen i GeoGebra med kommandoen Funksjon( <Funksjon>, <Start>, <Slutt> ). I resten av denne oppgaven skal du bruke funksjonen f som en modell som viser prisen f kroner for en kroneis år etter 1970. c) Når var prisen for en kroneis 16 kroner, ifølge modellen? Vi løser likningen f( ) = 16 i CAS i GeoGebra Prisen for en kroneis vil være 16 kroner 4 år etter 1970, i år 004. d) Hvor mye har prisen for en kroneis i gjennomsnitt steget med per år fra 1975 til 015? Regner gjennomsnittlig vekstfart i intervallet 5,45 i CAS i GeoGebra Prisen på kroneis har i gjennomsnitt steget med 0,5 kroner per år fra 1975 til 015. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 1 av 19
Oppgave (4 poeng) Ved en videregående skole er det 640 elever. I en undersøkelse ble elevene spurt om når de legger seg kvelden før en skoledag. 1 4 av elevene svarte at de legger seg før klokka. Det viser seg at 4 av elevene som legger seg før klokka, har et karaktergjennomsnitt over fire 5 1 av elevene som legger seg etter klokka, har et karaktergjennomsnitt over fire a) Lag en krysstabell som illustrerer opplysningene som er gitt ovenfor. Legger seg ikke før kl Legger seg før kl Tenk deg at vi trekker ut en elev ved skolen tilfeldig. b) Bestem sannsynligheten for at eleven har et karaktersnitt over fire. Vi ser ut fra tabellen i a) at sannsynligheten for at eleven har et karaktersnitt over fire er: 88 = 9 = 0,45 640 0 Karaktersnitt ikke over 4 480 160 = 0 160 18 = Karaktersnitt over 4 SUM 1 480 = 160 640 160 = 480 4 640 160 = 18 160 5 4 = SUM 0 + = 5 160 + 18 = 88 640 Sannsynligheten for å trekke en elev med karaktersnitt over fire er 45 %. Tenk deg at den eleven vi trakk ut i oppgave b), har et karaktersnitt over fire. c) Bestem sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokka kvelden før en skoledag. Vi ser ut fra tabellen i a) at sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokka kvelden før en skoledag er: 18 = 4 0,444 88 9 Sannsynligheten for at denne eleven legger seg før klokken er 44,4 % Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 1 av 19
Oppgave ( poeng) Gitt trekanten ovenfor. Bruk CAS til å bestemme s. Vi bruker sinussetningen og løser likningen i CAS i GeoGebra. Vi finner at s =. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 14 av 19
Oppgave 4 (6 poeng) Figuren ovenfor viser to rettvinklete trekanter, ADC og DBC. AC = a, BC = b, AD = c 1, DB = c og CD = h er høyden fra C på AB. Maria påstår at høyden h kan uttrykkes på to ulike måter: 1) h = a cosu ) h = b cosv a) Vis at Maria har rett. Vi bruker definisjonen til cosinus og finner: hosliggende cosu = hypotenus h cosu = a h = a cosu hosliggende cos v = hypotenus h cos v = b h = b cosv Som skulle vises. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 15 av 19
c1 h c h For å bestemme arealet T av ABC vil Maria regne slik: T = + b) Bruk blant annet resultatet fra oppgave a), og vis at dette uttrykket for arealet kan skrives som a sinu b cos v b sinv a cosu T = + Vi finner et uttrykk for c 1 ved å bruke definisjonen til sinus c1 sinu= a c = a sinu 1 Vi finner et uttrykk for c : c sinu= b c = b sinv Vi setter inn i formelen for areal av trekanter ( a u) ( b v) ( b v) ( a u) c sin cos sin cos 1 h c h T = + = + Mats bruker arealsetningen og får at arealet av trekanten også kan skrives slik 1 T = a b sin( u + v) c) Bruk dette uttrykket og uttrykket du har for arealet fra oppgave b), til å vise at sin( u + v) = sinu cosv + sinv cosu Vi setter de to utrykkene for arealet T lik hverandre og finner ( a u) ( b v) ( b v) ( a u) sin cos sin cos 1 + = a b sin u + v ( a sinu) ( b cosv) + ( b sinv) ( a cosu) = a b sin( u + v) a b sinu cosv + a b sinv cosu = a b sin( u + v) a b( sinu cosv + sinv cosu) = a b sin( u + v) sinu cos v + sinv cosu = sin( u + v) Som skulle vises. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 16 av 19
Oppgave 5 (6 poeng) En funksjon f er gitt ved f = 6 + 8 a) Vis at tangenten til grafen til f i punktet ( 4, f (4)) er parallell med linjen som går gjennom punktene (, f ()) og ( 6, f (6)). Vi definerer funksjonen i CAS. Vi finner stigningstallet til tangenten i punktet ( 4, f ( 4) ) ved å bruke den deriverte til funksjonen, se linje nedenfor. I linje finner vi gjennomsnittlig vekstfart mellom de to punktene. Vi ser at begge linjene har stigningstall, og de er derfor parallelle. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 17 av 19
Nedenfor ser du grafen til en funksjon g gitt ved g a b c = + +, a 0 b) Bruk CAS til å bestemme stigningstallet til tangenten til grafen til g i punktet p + q M, g p + q. Vi definerer funksjonen i CAS. I linje har vi funnet stigningstallet til tangenten i punktet M. Stigningstallet til tangenten er a p + a q + b. c) Vis at linjen gjennom punktene P( p, g( p )) og Q( q, g( q )) er parallell med tangenten i oppgave b). Vi finner gjennomsnittlig vekstfart mellom punktene P og Q, se linje. Stigningstallet til linja gjennom punktene P og Q er lik stigningstallet til tangenten i oppgave b). Linjene parallelle. Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 18 av 19
Kilder for bilder, tegninger osv. Trekanter: «Grunntall 10» Elektronisk Undervisningsforlag AS Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT101 Matematikk 1T Våren 018 Side 19 av 19