SIF55 MAEMAIKK Å 3 Løsningsforslag Hjemmeøving 5 Oppgave. Ser at massen fordeler seg symetrisk om z-aksen, derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Det eneste vi da trenger å regne ut er z. zδd = m π a r z m π a r5 drdθ = m π a 6 dθ = m a 6 π 6 m = δ = = d = π a r π a r 3 drdθ = π a 4 πa4 dθ = 4 z = a 6 π πa 4 6 = a 3 For at tyngdepunktet skal bli (,, 3) må vi da ha at a 3 = 3, altså at a = 9. Siden a er en positivt konstant får vi da at a = 3. Oppgave. a) i ser at legemet er symetrisk om z-aksen, og derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Siden massetettheten er konstant δ = 3/5, vil massen være m = 3 5, hvor er volumet av legemet. Siden vi trenger volumet for å nne tyngdepunktet, starter vi med å regne ut dette. Først trenger vi å vite hvor atene skjærer hverandre: x y = x + y r = r r + r = Denne lignigen gir r = eller r =. Siden r er en avstand må den være positiv, derfor har vi at r =. i kan da nne volumet: = d = π π r ( r 3 r + r)drdθ = r π 5 dθ = 5π 6 Altså er massen m = δ = 3 5 = 3 5π 5 6 = π. La oss nå nne tyngdepunktet. Siden det ligger på z-aksen er alt vi trenger å nne z. zδd = δ δ π r r z
SIF55 MAEMAIKK Å 3 π ( r5 5 r3 + r)drdθ = π 4 dθ = Altså er tyngdepunktet (x, y, z) = (,, /). π = 6 π 5π =.5.5.5 b) Siden legemet har masse π/ må det fortrenge vann med et volum på π/, altså delen av legemet som er under vann må ha et volum på π/. Da må volumet av den delen av legemet som er over vann ha et volum på 5π/6 π/ = π/3. i kontrollerer først om noe av kjegledelen av legemet stikker under vann. Den spisse enden er en sirkulær kjegle med grunnateareal π = π og høyde. Den har altså volum 3 π = π 3. Dette er likt volumet av den delen av legemet som stikker opp vannet, altså stikker kjegledelen, og kun kjegledelen, opp av vannet. Flatene krysser hverandre i sirkelen r = x + y =, noe som gir høyden av kjegledelen z = x + y =. Siden hele legemet har en høyde på vil da legemet stikke = under vannata..5 Oppgave 3. a) Først ser vi hvor atene skjærer hverandre: x + y = y x + y = x + y = Altså vil skjæringskurven til atene projesert ned på xy-planet være en sirkel med sentrum i origo og radius. Innenfor denne sirkelen ser vi at y x + y, så vi kan beregne volumet ved hjelp av integralet y = dzda = ( x y )da = ( x y )da A x +y A A hvor A er området i xy-planet innenfor sirkelen med sentrum i origo og radius. Dersom vi nå går over til polarkoordinater vil vi få integralet = π ( r )rdrdθ = π 4 dθ = π
SIF55 MAEMAIKK Å 3 3.5 z.5.5 y.5 b) i veit at skjæringskurven projisert ned i xy-planet er en sirkel med sentrum i origo og radius. Denne kan parameteriseres som cos t, sin t]. i får da at skjæringskurven kan parametriseres ved x, y, z] = cos t, sin t, sin t]. For t = π/4 får vi punktet (/, /, 3/). Hastighetsvektoren i punktet t er sin t, cos t, sin t cos t], som er ( /, /, ) for t = π/4. ed å normalisere denne får vi enhetsvektoren ( /, /, / ). emperaturforandringen er gitt ved gradienten.5 = ( 3 x, 3 y, 4 3 z) som i punktet (/, /, 3/) blir /3, /3, ]. emperaturforandringen i retning /, /, / ] per lengdeenhet blir dermed,, ] ] 3, 3, = 6 + 6 = Oppgave 4. i starter med å regne ut massen m hvor massetettheten δ = cos θ og vi bruker at d = ρ sin φdρdθdφ: m = π/ π/ δd = π/ π/ sin θ 3 sin3 θ cos θ sin φdθdφ = π/ x cos θρ sin φdρdθdφ = π/ sin 4 θ ] π/ sin φdφ = sin φdφ = i kan da regne ut z-koordinaten til tyngdepunktet, hvor vi bruker at z er ρ cos φ gitt i kulekoordinater: m π/ π/ zδd = m π/ π/ sin θ 4 sin4 θ cos θ cos φ sin φdθdφ = m m 4 = 4 = 3 ρ cos φ cos θρ sin φdρdθdφ = π/ cos φ sin φdφ =
4 SIF55 MAEMAIKK Å 3 Oppgave 5. a) ed å gjøre om til polarkoordinater får vi at z = xy = r cos θr sin θ = r cos θ sin θ. π = d = π r cos θ sin θ π (r r 3 cos θ sin θ)drdθ = ( cos θ sin θ)dθ = π 4 b) i starter med det enkleste; bunnen. Det er en sirkel med sentrum i origo og radius, og har derfor areal A bunn = π. På veggen er x + y = r =, så høyden på veggen vil være gitt ved z = r cos θ sin θ = cos θ sin θ. Dette gir oss at arealet til veggen er gitt ved integralet A vegg = π cos θ sin θ dzdθ = π ( cos θ sin θ)dθ = 4π La oss gå over til taket. La f(x, y) = z = xy, da er f x = y og f y = x. Arealet til taket er A tak = ds hvor S er aten, og er projeksjonen av S ned i xy-planet. Da blir ds = + f x + f y dxdy, så vi kan regne ut arealet av taket: A tak = π ds = ( + r ) 3/ 3/ ] + x + y dxdy = π dθ = π + r rdrdθ = 3 ( )dθ = π 3 ( ).5 z.5.5 y.5 x.5
SIF55 MAEMAIKK Å 3 5 Oppgave 6. i ser at innenfor området avgrenset av koordinatplanene og x+y + z = 6 så er z alltid positiv, så innenfor området er f(x, y, z) = z. i får dermed integralet 6 f(x, y, z)d = 6 y(6z z ) y z ] 3 z 6 = (9z 3z + z3 4 6 d = 6 3 z dz = ) dz = 3 z 6 y z 6 zdxdydz = 6 3 z ( z(3 z ) z(3 z )) dz = 9 z z 3 + 6 z4 6 y z dxdydz = ( (6 z)(3 z ) (3 z )) dz = f = ] 6 6 6 (6z yz z )dydz = 6 = 6 ( 9 6 + 6 6 ) = 33 3 z f(x, y, z)d = 6 33 = 3 z(3 z ) dz = (6 y z)dydz = (3 z ) dz = 6 Oppgave 7. i veit at treghetsmomentet med hensyn på z-aksen er gitt ved funksjonen I z = C d dm der C er wiren, d er avstanden fra origo, og dm er massen til en bit av wiren. Kurven C kan parametriseres ved r(t) = cos 3 t, sin 3 t]. i har at dm = kdl = k r (t) dt, hvor r (t) = 3 cos t sin t, 3 sin t cos t]. For t π/ får vi at r (t) = 9 cos4 t sin t + 9 sin 4 t cos t = 3 cos t sin t. i kan da regne ut treghetsmomentet: k I z = π/ C d dm = 4 π/ (cos 6 t + sin 6 t)k3 cos t sin tdt = cos 7 t sin t + sin 7 t cos tdt = k 8 cos8 t + ] π/ 8 sin8 t = k 8 + ] = 3k 8.5.5.5.5