Matematisk Morfologi Lars Aurdal FORSVARETS FORSKNINGSINSTITUTT
Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Motivasjon MR-bilde av hjernen. Gutt, ca. 7 år, lider av adrenoleukodystrofi (ALD). ALD Ønsker å måle størrelsen av det syke området. Vil begynne med å etablere en maske for selve hjernen. Hud Hjerne vev
Motivasjon Terskling
Motivasjon Hvordan kutte slike forbindelser?
Motivasjon Morfologisk åpning
Motivasjon S Behold største komponent i komplementet til S.
Motivasjon Inverter
Motivasjon Masker
Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning
Grunnleggende setteori Betrakter to sett A og B i Z 2 med komponenter a=(a 1,a 2 ) og b=(b 1,b 2 ). Z 2 A B
Grunnleggende setteori Komplement: A C = { x x A} A A C
Grunnleggende setteori Differanse: A B = { x x A, x B} = A B C A B A-B
Grunnleggende setteori Translasjonen av A med x=(x 1,x 2 ), (A) x, er gitt ved: ( A) = { c c = a + x x, a A} A (A) (1,-4)
Grunnleggende setteori Refleksjonen av B, B^, er gitt ved: ^ Bxx { = bb, B } B B^
Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning
Dilasjon La A og B være sett i Z 2. La Ø være et tomt sett (et sett uten elementer). Dilasjonen av A med B, A B, er definert ved: ^ A B = { x ( B) A } x Settet B kalles gjerne strukturelementet.
A Dilasjon B
Dilasjon
Dilasjon
A Dilasjon B
Dilasjon
Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning
Erosjon La A og B være sett i Z 2. Erosjonen av A med B, A B, et definert ved: AΘ B = { x ( B) A} Settet B kalles gjerne strukturelementet. x
A Erosjon B
Erosjon
Erosjon
A Erosjon B
Erosjon
Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning
Åpning Åpningen av settet A med settet B, A B, er en sammensatt operasjon definert ved: A B = ( AΘB) B Åpning brukes typisk for å jevne ut konturen av et sett pixler, den bryter smale forbindelser mellom sett og fjerner tynne forgreninger.
A Åpning B
Åpning Erosjon Dilasjon
A Åpning B
Åpning Erosjon Dilasjon
Åpning Hvordan kutte slike forbindelser?
Åpning Åpning
Motivasjon. Plan Grunnleggende setteori. Grunnleggende operasjoner. Dilasjon. Erosjon. Sammensatte operasjoner Åpning Lukning
Lukning Lukningen av settet A med settet B, A B, er en sammensatt operasjon definert ved: A B = ( A B)ΘB Lukning brukes derfor også til å jevne konturer, men vil (i motsetning til åpning), lukke smale åpninger mellom sett, lukke små hull og fylle gap i konturer.
A Lukning B
Lukning Dilasjon Erosjon
A Lukning B
Lukning Dilasjon Erosjon
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Hit-or-miss -transformen Algoritme for formgjenkjenning. Gonzalez:...basic tool for shape detection.... Leter etter denne formen
Hit-or-miss -transformen Definer først to strukturelementer Samme form som formen det letes etter Lokal bakgrunn
Hit-or-miss -transformen Gjør først en erosjon med et strukturelement som har samme form som formen det letes etter Erosjon
Hit-or-miss -transformen Finn komplementet av alle formene det letes blant:
Hit-or-miss -transformen Eroder komplementet med den lokale bakgrunnen Erosjon
Hit-or-miss -transformen Finn snittet av de to delresultatene: =
Hit-or-miss -transformen c A B = ( AΘB ) ( A ΘB ) 1 2
Hit-or-miss -transformen
Hit-or-miss -transformen Karbonfiberarmert epoxy til bruk i missilskall.
Hit-or-miss -transformen Segmentering Karbonfiber Luftbobler Lim
Hit-or-miss -transformen Antall fiber? Fordeling (uniform)? Deformasjoner? Radius ca. 10 pixler
Hit-or-miss -transformen Første strukturelement: disk med diameter 17 pixler.
Hit-or-miss -transformen Første strukturelement: disk med diameter 17 pixler. Problem: Fibrene er ikke runde. Problem: Noen av fibrene inneholder hull. Problem: Neste trinn (erosjon med lokal bakgrunn) er meningsløst ettersom fibrene berører hverandre.
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Tynning
Tynning Tynningen av et sett A med strukturlemenet B kan defineres ved hjelp av hit-or-miss transformen: A B=A-(A O* B) =A (A *O B) c For symmetrisk tynning brukes det typisk en sekvens av strukturelementer: {B}={B 1,B 2,B 3,...,B n } B i er en rotert versjon av B i-1. Tynning defineres nå som en sekvensiell operasjon: A {B}=((...((A *O B 1 ) *O B 2 )...) *O B n )
Tynning {B}={B 1,B 2,B 3,...,B n } B1 B1B B5 B5B B2 B2B B6 B6B B3 B3B B7 B7B B4 B4B B8 B8B
A Tynning A {B} B1 B1B {B} B5 B5B B2 B2B B6 B6B B3 B3B B7 B7B B4 B4B B8 B8B
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Tykking Tykking er den morfologiske dualen til tynning: A B=A (A *O B) Som for tynning kan tykking defineres ved en sekvensiell operasjon: A {B}=((...((A B 1 ) B 2 )...) B n ) I praksis utføres tykking ved at komplementet til settet som skal tykkes, tynnes, resultatet av tynningen komplementeres for å få den endelige tykkingen. Altså: For å tykke A beregnes C=A c, C tynnes og til slutt beregnes C c.
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Gråtonebilder Erosjon
Gråtonebilder Et bilde......kan betraktes som en intensitetsfunksjon f(x,y)
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Dilasjon i gråtonebilder Dilasjon av en slik funksjon f(x,y) med b, f b, er definert ved: ( f b)(,) st = max{( fs xt, y) + bxy (, ) ( s x),( t y) D ;(, xy) D } der D f og D b er definisjonsområdene for henholdsvis f og b. b er fortsatt strukturelementet, men b er nå en funksjon og ikke et sett. f b
Dilasjon i gråtonebilder
Original Dilasjon i gråtonebilder Dilasjon
Dilasjon i gråtonebilder Original Dilasjon
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Erosjon i gråtonebilder Erosjon av en funksjon f(x,y) med b, f b, er definert ved: ( fθ b)(,) st = min{( fs+ xt, + y) bxy (, ) ( s+ x),( t+ y) D ;(, xy) D } der D f og D b er definisjonsområdene for henholdsvis f og b. b er fortsatt strukturelementet, men b er nå en funksjon og ikke et sett. f b
Erosjon i gråtonebilder
Original Erosjon i gråtonebilder Erosjon
Erosjon i gråtonebilder Original Erosjon
Algoritmer. Plan Hit or miss. Tynning. Tykking. Gråtonebilder. Dilasjon. Erosjon. Åpning Lukning
Åpning og lukning i gråtonebilder Åpning og lukning av gråtonebilder er definert akkurat som for binære bilder (sett). Åpning: Lukning: f b = ( fθb) b f b = ( f b)θb
Åpning og lukning i gråtonebilder Original Åpning Lukning
Åpning og lukning i gråtonebilder Original Åpning Lukning