Oppgave Gravitasjonsbøger Gravitasjonsbøger be nyig oppdaget av LIGO-eksperimentet. Vi ska her anta at gravitasjon skydes en partikke, gjerne kat gravitonet, som har en masse m g. Under vi du få bruk for at en reativistisk partikke med masse m har energi E p c +m c 4, hvor p er bevegesesmengden. a) Bruk de Brogies reasjoner for energi og bevegesesmengde ti å vise at et reativistisk graviton har dispersjonsreasjonen ) π ωk) c k +, ) når vi beskriver det som en bøge. Her er λ g h m gc Comptonbøgeengden ti gravitonet. 6 poeng] λ g Svar: Fra de Brogie har vi at energi og bevegesesmengde ti en partikke er gitt fra vinkefrekvens ω og bøgeta k i en bøgebeskrivese som E ω og p k. ) Dette gir for gravitonet som øst for ω er ω k c +m gc 4, 3) ωk) c Vi setter inn Comptonbøgeengden k + m gc. 4) λ g h π m g c m g c, 5) og får ) π ωk) c k +. 6) λ g b) Vis at gruppehastigheten v g ti gravitasjonsbøgen er gitt ved 4 poeng] v g c + π λ gk ). 7) B.P. Abbott et a., Observation of Gravitationa Waves from a Binary Back Hoe Merger, Phys. Rev. Lett. 6, 6 6).
Svar: Gruppehastigheten er gitt fra den deriverte av ω med hensyn på k: v g dω dk d ) π dk c k + c k λ g ) k + π λ g c + π λ gk ). 8) c) Eksperimentet som oppdaget gravitasjonsbøger satte samtidig en effektiv nedre grense på gruppehastigheten ti gravitasjonsbøgene i forhod ti yshastigheten på v g c < 5. 9) Disse bøgene hadde en bøgeengde på λ 6 m. Bruk dette ti å sette en omtrentig nedre grense på Comptonbøgeengden λ g. Hva bir grensen på massen ti gravitonet gitt i ev/c? Hint: Det ønner seg å bruke rekkeutviking, for eksempe så er +x x+ 3 8 x... ) 6 poeng] Svar: Siden k π/λ så har vi ved rekkeutviking at v ) g c λ ) + +... ) λ. ) + λ λ g λ g λ g Dette gir λ < λ g, ) eer λ g > 6 m som en nedre grense på Comptonbøgeengden. For massen er den tisvarende grensen gitt fra uttrykket for Comptonbøgeengden: m g h λ g c hc 4 ev nm < λ g c 5 nm c. ev/c. 3) d) Forkar kort hva Heisenbergs uskarphetsreasjon for posisjon og bevegesesmengde sier. 5 poeng] 3
Svar: Heisenbergs uskarphetsreasjon sier at det er begrenset hvor presist vi kan kjenne posisjon og bevegesesmengde for en og samme tistand. Den gir en minste verdi for produktet av standardavviket ti posisjon, σ x, og bevegesesmengde, σ p, for tistanden som er σ x σ p. 4) e) LIGO-eksperimentet er omag 4 km angt. Ja, du este riktig!) Bruk Heisenbergs uskarphetsreasjon ti å estimere hvor godt bevegesesmengden ti gravitonene kan bestemmes i prinsippet) gitt i enheten ev/c. Kommenter også hva sags konsekvenser dette har om noen) for bestemmese av bøgeengden. 4 poeng] Svar: Med σ x 4 km gir uskarphetsreasjonen σ p h 4πσ x hc 4πσ x c 4 nm ev 4π 4 nm c.5 ev/c. 5) Siden de Brogies uttrykk for bevegesesmengde er p h/λ vi uskarpheten i bevegesesmengde påvirke uskarpheten i bøgeengde. Større uskarphet i bevegesesmengde vi gi større uskarphet i bøgeengde. Formet kan man vise at forhodet er σ λ λ h σ p, men det er ikke et krav at man finner dette for å fu score på oppgaven. Oppgave Hydrogen og π I det føgende ska vi bruke sfæriske koordinater for å regne på hydrogen: Vi minner om at r ˆL sinθ r ) + x rsinθcosφ, 6) y rsinθsinφ, 7) z rcosθ. 8) r sinθ θ sinθ θ θ sinθ ) + θ ) + sin θ r sin θ φ, 9) ] φ, ) ˆL z i φ. ) Couombpotensiaet som virker meom et eektron og et proton er Vr) k r, ) 4
hvor styrken ti veksevirkningen er gitt ved k e 4πǫ.44eVnm. 3) Vi vet at de stasjonære tistandene ti hydrogen da har energiene hvor a mk.59 nm er Bohrradien. E n k a n, n,,..., 4) a) Skriv ned hamitonoperatoren for hydrogen. Hvike to hoveddeer består den av? 3 poeng] Svar: Ae hamitonoperatorer består av en kinetisk de ˆK og en potensiade ˆV. For hydrogen er dette Ĥ ˆK + ˆV m k r. 5) b) Hva er egenfunksjonene og egenverdiene ti denne hamitonoperatoren? Vi er ikke ute etter former, men hva de er for noe. 4 poeng] Svar: Egenfunksjonene er de stasjonære tistandene ti hydrogen, og er separabe øsninger av Schrödingerigningen og øsninger av TUSL). De tihørende egenverdiene ti hamitonoperatoren er energiene ti de stasjonære tistandene. c) Vis at hamitonoperatoren kan skrives som Ĥ mr r ] )+ ˆL +Vr). 6) 4 poeng] Svar: Fra 9) og ) kan vi skrive r r ) + r sinθ r r sinθ ) + θ θ sin θ ] φ ) r ˆL, 7) som fra 5) gir Ĥ mr r ) + mr ˆL +Vr) mr r ] )+ ˆL +Vr). 8) 5
d) Forkar hvorfor den aveste muige energien for de stasjonære tistandene ti hydrogen, for en gitt verdi av det asimutae kvantetaet, er 4 poeng] E min k a +). 9) Svar: Energien ti de stasjonære tistandene er gitt fra 4). Kvantetaet kan ta verdiene,,,...,n. For en gitt er da den aveste energien når n eer n +. Vi får atså E min k a +). 3) Vi ska se på en tinærming ti øsningen av den tidsuavhengige Schrödingerigningen for hydrogen som er gitt ved funksjonene ψ αm r,θ,φ) Ar e αr Y m θ,φ), 3) hvor A er en normeringskonstant, α > er en ree parameter, og Y m er de sfæriske harmoniske. Merk at α ikke er det samme som hovedkvantetaet n i de eksakte øsningene. For å ette regningen i det som føger oppgir vi forventningsverdiene for r n for disse tistandene men regn de gjerne ut sev dersom det bir kjedeig på eksamen): r n α) n Γ+ n + 3 ) Γ+ 3 ), 3) når + n +3 >, hvor Γn) er gammafunksjonen med de viktige egenskapene Γn+) nγn), Γn+) n! når n er et heta, Γ) og Γ ) π. e) Er tistandene ψ αm egentistander ti ˆL og ˆL z? Finn i tifee egenverdiene. 4 poeng] Svar: Ja, de er egentistander med egenverdiene +) og m, hvor,,,... og m, +,...,,. Vi har at ˆL Y m + )Y m og ˆL z Y m my m fordi de sfæriske harmoniske er egentistander ti operatorene. Fordi ˆL og ˆL z bare innehoder de deriverte med hensyn på vinkene og ikke r vi de ikke påvirke resten av tistanden, som dermed er en egentistand. f) Skriv ned normeringsbetingesene for disse tistandene dersom du antar separat normering for radiade og vinkede. 4 poeng] Svar: Med separat normering for radiade Rr) Ar e αr og vinkede Y m θ, φ) er normeringsbetingesene Rr) r dr og π π 6 Y m θ,φ) sinθdθdφ. 33)
g) Finn normeringskonstanten A for en genere og α. 6 poeng] Svar: Normeringskonstanten er gitt fra normeringsbetingesen ti radiadeen Fra Rottmann har vi sik at som gir Rr) r dr A r + e αr dr. 34) x k e λx dx k + λ k+ Γ ), 35) r + e αr dr Γ+ 3 α) 3 ), 36) A α)+3 Γ+ 3 ). 37) h) Vis at forventningsverdien for den potensiee energien V for tistandene ψ αm er V k Γ+) Γ+ 3 ) α. 38) poeng] Svar: Forventningsverdien er gitt fra 3) med n : V k r k α) Γ + 3 ) Γ+ 3 ) k Γ+) Γ+ 3 ) α. 39) i) Vis at Ĥψ αm α +3) 4α r mk ] m ψ αm. 4) r 6 poeng] Svar: Vi bruker hamitonoperatoren fra 6) og det at ψ αm er egentistander ti ˆL : Ĥψ αm mr r ] )ψ αm + ˆL ψ αm k r ψ αm mr r ] )ψ αm + +)ψ αm k r ψ αm 7
Vi finner så Dette gir r Ĥψ αm ) ψ αm A r ) r e αr Y m m θ,φ) A r + αr +3 )e αr) Y m θ,φ) +) α +3)r +4α r 4) ψ αm. α +3)r mr 4α r 4) ] k ψ αm r ψ αm α +3) 4α r mk r 4) ] ψ αm. 4) j) Er tistandene ψ αm stasjonære tistander for hydrogen? poeng] Svar: Nei. Vi ser fra 4) at ψ αm ikke er egentistander for hamitonoperatoren fordi uttrykket i parantesen på høyre side ikke er en konstant. k) Vis at forventningsverdien ti energien for tistandene ψ αm er E + 3 ) α k Γ+) α. 43) m Γ+ 3 ) 7 poeng] Svar: Forventningsverdien ti energien er gitt ved integraet E ψ αmĥψ αmd 3 r. 44) Fra 4) ser vi at ψ αmĥψ αmd 3 r α +3) 4α r mk ] m ψ αm d 3 r r α +3) m m 4α r k r, 45) hvor vi har brukt at ψ αm er normert. De to forventningsverdiene er r Γ+ 5 ) α) Γ+ 3 ) + 3 )Γ + 3 ) α) Γ+ 3 ) + 3 ) α, 46) 8
og fra 39) Vi får r Γ+) Γ+ 3 ) α. 47) E α +3) m m α m 4α + 3 ) +) kγ α α Γ + 3 ) + 3 ) k Γ+) α. 48) Γ + 3 ) Det viser seg at dersom man minimaiserer forventningsverdien for energien i 43) med hensyn på parameteren α i tinærmingen så får man uttrykket ) E min k Γ+) a + 3 ) Γ + 3 ). 49) ) Sammenign numerisk forhodet meom energiene for tinærmingen i 49) med energiene for de vanige stasjonære tistandene i 9). Bruk noen ave) verdier av. Hva tror du skjer når? 4 poeng] Svar: Vi kan finne forhodet meom de to energiene: E min E min ) Γ+) + 3 ) Γ+ 3 ) +) +) + 3 ) ) Γ+) Γ+ 3 ). 5) Vi setter inn f.eks. E min E min +) + 3 ) og E min E min +) + 3 ) Γ+) Γ+ 3 ) ) 3 ) Γ+) Γ+ 3 ) 8 5 Γ ) 3 ) 8 3π.849, 5) ) 8 45π.95. Γ ) 5) Vi ser at forhodet er ganske nært, men forventningsverdien for tinærmingen er konsekvent mindre enn energien for de stasjonære tistandene. Det virker rimeig å tro at forhodet nærmer seg for og dette kan også bevises, men det spurte vi ikke etter). Videre testing viser at f.eks..93 for,.978 for og.998 for. 9
m) Finn standardavviketσ r tir for tistandeneψ αm og forhodetσ r / r. Kommenter forhodet i grensen. Hva har dette å si for posisjonen ti eektronet? 5 poeng] Svar: Standardavviket er definert som σ r r 4 r. Vi bruker 3) for å finne r 4 Γ+ 7 ) α) 4 Γ+ 3 ) + 5 )+ 3 )Γ+ 3 ) α) Γ+ 3 ) + 5 ) + 3 ) α). 53) hvor vi har brukt at Γn+) nγn) sik at Γ+ 7 ) + 5 )Γ+ 5 ). Sammen med resutatet i 46) gir dette + 5 σ r ) + 3 ) α) + 3 ) + 3 α) α. 54) Forhodet ti forventningsverdien for r bir σ r r + 3 α + 3 ) α, 55) + 3 som går mot i grensen. Dette betyr at den reative uskarpheten i avstand fra kjernen går mot nu, sik at for store går tistanden mot en kassiske banetistand hvor eektronet befinner seg i en bestemt avstand fra kjernen. Tistandene ψ αm i denne oppgaven be nyig brukt i en artikke av Friedmann og Hagen for å finne en tinærming ti π som er identisk med en tidigere forme funnet av Wais 3. Svaret i oppgave ) kan omskrives ti et uttrykk for π som kan gjøres vikårig presist. T. Friedmann and C.R. Hagen, Quantum mechanica derivation of the Wais formua for π, Journa of Mathematica Physics 56, 5). 3 J. Wais, Arithmetica Infinitorum, Oxford, 655).