Algebra og likningar Repetisjon av gamalt sto Løysingsforslag Oppgåve a) ln( + y) = ln + ln y F b) sin( + y) = sin + sin y F c) k ( + y) = k + ky R d) e +y = e e y R e) cos( + y) = cos cos y sin sin y R f) + y = + y F g) ( q a) p = a p/q R Oppgåve a) a 3 a = a 3+ = a 5 b) a 3 + a kan ikkje skrivast enklare. c) a5 a a 3 = a 5+( ) 3 = a 0 = d) ( )(+3) (+3) = (+3) e) ln( 9) ln( + 6 + 9) = ln 9 ( 3)(+3) +6+9 = ln (+3) = ln 3 +3 f) +3 kan ikkje skrivast enklare. g) ( ) 4( ) = () + (4 4) = 4 4 + 4 + 4 = Oppgåve 3 ( 3 3) : ( ) = + ( 4) 3 ( )
Oppgåve 4 Løys desse likningane: a) + 3 = 3 + 3 = 3 = = b) 3 = 6 = 6 + 3 = 9 = ± 9 = ±3 c) 5 + 6 = 0 = 5 ( 5) ± ( 5) = 4 6 = eller = 5 + = 3 = 5 ± d) cos = 0 = π + n π eller = π + n π ( = n + ) π der n er eit heiltal. e) ( ) t/5 = 0. t 5 ln = ln 0 t = ln 0 5 ln t = 5 = ln 0 ln 6.6 ln 0 ln 0 ln 0 = = ln ln ln
f) 4 = 0 3 ( ) + 3 0 = 0 = 3 + 7 3 ± 3 = 4 ( 0) = eller = 3 7 = 5 = 3 ± 7 Sidan ikkje kan vere negativ, må vi ha at = slik at = ±. Oppgåve 5 a) 7 > + 3 > 3 + 7 > 0 < 0 b) + 5 + 5 + 5 5 + 0 + 5 5( + ) + 0 7 + 0 + 0 Vi faktoriserar teljaren på venstre side ved å nne nullpunkta: 7 + 0 = 0 ( 7) ± ( 7) = 4 0 = 7 3 = eller = 7 + 3 = 5 7 + 0 = ( )( 5) Ulikskapen kan altså skrivast ( )( 5) + 0. = 7 ± 3 Vi brukar eit forteiknskjema for å undersøke når brøken på venstre side er mindre eller lik null. Sjå gur. Løysinga blir < eller 5. Løysinga kan også formulerast ved hjelp av intervall: (, ) [, 5]. 3
Figur : Forteiknsskjema for ulikskapen ( )( 5) + 0. Å formulere problem matematisk Oppgåve a) Vi lar t vere talet på år. Å redusere noko med 0 % er det same som å gange det med 0.0 = 0.90. Om det har gått t år, skal vi gjere dette t gonger. Verdien V av bilen etter t år blir altså V (t) = 350 000 kr 0.90 t. b) Ein generell sinus-funksjon kan sjå slik ut: f() = a sin(k( c)) + d. Her er a aplituden, y = d er jamvektslinja og k er relatert til frekvensen f ved at f = k/(π). Her har vi at d = 0. Om vi vel a positiv, får vi a = 35 målt i Volt. (Slik som oppgåva er formulert, kunne vi også ha vald a = 35). Sidan spenninga er 0 når tida t = 0, kan vi velge fasen c til å vere null. Med f = 50 s, får vi at spenninga U, målt i volt, etter t sekund blir U(t) = 35 sin(00π t). c) Her skal altså trykket T vere ein lineær funksjon av djupna d, T (d) = ad+b. Sidan trykket er éin atmosfære (atm) ved vassata (d = 0), må b vere atm. Vidare, når d aukar med 0 m, aukar T med atm. Difor er a = /0 atm/m. Om vi lar T vere gitt i atmosfærar og d vere gitt i meter, får vi: T (d) = 0 d +. 4
Oppgåve Vi går ut frå at andelen merka sk i garnet er det same som andelen merka sk i heile vatnet. Om vi lar talet på aurar totalt vere, får vi altså at 00 00 Altså er der ca. 700 aurar i vatnet. Oppgåve 3 = 43 53 = 53 43 = 00 53 43 7.6 Vi kan nne volumet ved å konstatere at det består av ei halv kule med radius r = 5/ m, ein sylinder med same radius i grunnata og høgda h s = 7 m og ei kjegle med same radius i grunnata og med avstanden 5 m frå grunnata til spissen. Ved kan nne høgda av kjegla ved å konstantere at radius, sidekant og høgde dannar ein rettvinkla trekant slik at vi kan bruke Pytagoras-setninga: h k = 5.5 m. Volumet blir dermed 4 3 πr3 + πr h s + ( 3 πr h k = πr 3 r + h + ) 3 h k = ( π(.5 m) 3.5 m + 7 m + 3 ) 5.5 m = 98.5 m 3 99 m 3. Oppgåve 4 a) Sidan akselerasjonen er konstant, kan vi rekne endring i fart v som akselerasjon ganger tida, t. Vi veit også at farten er 0 i utgongspunktet. Dermed blir farten v = 0 m/s 8 s. Meir genrelt, når akselerasjonen er konstant, er akselerasjonen den deriverte til farten, eller motsett: endring i fart er integralet av integrasjonen: v = 8s 0s a(t) dt. b) For kvar tredje time blir kulturen dobla. For å nne ut kor stor kulturen er etter t timar, må vi altså gange 5 000 med t/3 gonger; etter t timar er der altså 5 000 t/3 individ. Likninga vi skal løyse blir 5 000 t/3 = 5 0000. c) Informasjonen seier eigentleg ikkje noko om folketalet i seg sjølv, berre kor fort det endrar seg. Det er altså snakk om den deriverte av folketalet. 5
Denne deriverte har to bidrag, eit positivt og eit negativt. Om vi lar F (t) vere folketalet etter t år, vil det positive bidraget vere 0.05 F, og det negative vil vere 5 000. Dermed får vi at F (t) = 0.05F (t) 5 000. Dette er ei dierensiallikning. Løysinga av denne er funksjonen F (t). Men for å få bestemt F eintydig, treng vi også eit startkrav; vi må vite F (t) for eit eller anna tidspunkt t. 3 Derivasjon og integrasjon Oppgåve a () = 3 b () = π π c (t) = cos t (t ) = t cos t d () = (e ) cos e (cos ) (cos ) = e cos e ( sin ) cos ) e (cos + sin ) cos = e ( cos + sin cos e () = ( ) sin + (sin ) = ( / ) sin + sin (sin ) = / sin + sin sin cos = + sin cos = sin + sin() = sin + sin() Som vi ser, kan svaret ofte skrivast på eire måtar. Kva som er enklast eller penast er ofte eit spørsmål om smak og behag. Oppgåve a) 3 d = 3+ 3+ + C = 4 4 + C b) sin() d = ( cos()) + C = cos() + C c) sin d Variabelbyte: u =. Det gir at u () = slik at d = du. sin d = sin u d = sin u du = ( cos u)+c = cos + C d) cos d Delvis integrasjon: uv d = uv u v d. u = gir u =, v = sin gir v = cos : cos d = sin sin d = sin ( cos )+C = sin + cos + C = 6
e) I oppgåve 3 i den fyrste delen av oppgåvesettet såg vi at integranden kan skrivast som +. 3 3 d = ( ) + d = + ln + C. 7