NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Fakultet for naturvitenskap og teknologi Løsningsforslag til eksamen i TFY4170 Fysikk Fysikk Lørdag 8. august 005 Merk: Hver del-oppgave teller like mye. Dette løsningsforslaget er på 5 sider. Oppgave 1. a) Amplituden i avstand r fra en kule-bølge er y(r, t)= A r exp i(kr ωt + φ). (1) Den totale effekten som brer seg gjennom et kule-skall er bevart. Arealet av et kule-skall er 4πr. Intensiteten i avstand r fra høytaler nummer er derfor I (r)= P 4πr = y (r, t). () Vi velger dermed A = P /(4π). Vi setter inn P =1W og r = 100m og får I(r)= P 4πr =0.8 10 5 Wm. (3) Nedre hørselsgrense er I 0 =10 1 Wm. Lydstyrken i desibel er dermed β = 10 log I I 0 = 10 log 0.8 10 5 10 1 = 69dB. (4) b) Her er avstanden d mellom høytalerne mye mindre enn avstanden r. Avstands-forskjellen mellom høytaler 1 og høytaler og mellom høytaler og høytaler 3 er r = dsinθ. (5) Det resulterer i en relative fase-forskjell p.g.a. gang-avstanden som er α = k r. (6)
Løsning TFY4170 Fysikk Fysikk, 8/8-005 Side av 5 Den resulterende amplituden fra de tre høytalerne blir dermed y(r, t) = y 1 (r, t)+y (r, t)+y 3 (r, t) (7) [ ] P3 P1 = y (r, t) 1+ exp i(φ 3 φ + α)+ exp i(φ 1 φ α) (8) P P [ P 1 = 1 + 4 exp i(φ 3 φ + kd sin θ)+ 1 ] 4π r 4 exp i(φ 1 φ kd sin θ).(9) Intensiteten er dermed gitt ved 4πr 1+4expi(φ 3 φ + kd sin θ)+ 1 4 exp i(φ 1 φ kd sin θ) 4πr [ 73 16 + 8 cos (φ 3 φ + kd sin θ)+ 1 cos (φ 1 φ kd sin θ) + cos (φ 3 φ 1 +kd sin θ)]. (11) Vi setter nå fasene like hverandre. Intensiteten forenkles dermed til 4πr [73 16 + 17 cos (kd sin θ) + cos (kd sin θ)] (1) I = 0.8 10 5 Wm [ 73 16 + 17 cos (kd sin θ) + cos (kd sin θ)]. (13) Vi finner dessuten kd = πf v d = π440 1.0 =8.1. 340 (14) Maksima/minima opptrer når I/( θ) = 0. Derivasjon gir et maksima for θ =0og θ = π og når [ sin (kd sin θ) 1+ 16 ] cos (kd sin θ) = 0 17 (15) det vil si når kd sin θ = nπ, (16) der n er et heltall. Insetting gir når n er et like hel-tall maksimums-intensiteten I =0.8 10 5 Wm [ 441 16 ]. (17) Maksimums-retningene er θ max = 0 grader, 50 grader, 130 grader, 180 grader, 30 grader og 310 grader. (18) Minimums-intensiteten finnes når n er et odde tall: I =0.8 10 5 Wm [ 377 16 ]. (19) De lokale minimums-retningene er θ min = 3 grader, 90 grader, 157 grader, 03 grader, 70 grader og 337 grader. (0) c) Intensiteten er størst i dette punktet når alle fasene er like, φ 1 = φ = φ 3. (10)
Løsning TFY4170 Fysikk Fysikk, 8/8-005 Side 3 av 5 Oppgave. a) Schrødinger-ligningen er gitt ved H(p op,x)ψ(x, t)=e op = ψ(x, t). (1) Impuls-operatoren er p op = i x. () og energi-operatoren er E op = i t, (3) og innsatt gir dette Schrødinger-ligningen vi skulle vise. b) Separasjon av variable ψ(x, t)=ψexp( if(t)) (4) gir den tidsuavhengige Schrødinger-ligningen [ m x + 1 ] kx Ψ(x) =EΨ(x). (5) og ligningen for den tidsavhengige funksjonen f(t) : i d exp ( if(t)) = E exp ( if(t)). (6) dt Løsningen er dermed f(t) = E t. (7) Vi bestemmer så egen-energien E fra den tidsuavhengige Schrødinger-ligningen. Den første deriverte av bølgefunksjonen er d dx Ψ(x) = 1 xψ(x). (8) Den andre-deriverte av bølgefunksjonen er d dx Ψ(x) = [ 1 1 + x ] Ψ(x). (9) Den tidsuavhengige Schrødinger-ligningen gir dermed ( H(p op,x)ψ(x) = [ 1 ) 1 + m x + 1 ] kx Ψ(x) = 1 k/mψ(x) (30) = EΨ(x) (31) Vi identifiserer ω = k/m og har dermed funnet at egen-energien er E = ω/.
Løsning TFY4170 Fysikk Fysikk, 8/8-005 Side 4 av 5 c) Impuls-operatoren er p op =(/i) / x. Vi finner først p op Ψ=i xψ. (3) Forventningsverdien til impulsen kan dermed relateres til forventningsverdien til posisjonen som er gitt ved følgende uttrykk: Forventnings-verdien til posisjonen er x(t) = ψ (x, t)xψ(x, t)dx (33) x(t) = ( π )1/4 x exp ( 1 x (34) (35) Vi ser da at x(t) = 0 ved symmetri. Fluktuasjonene i posisjonen er gitt ved x = ψ (x, t)x ψ(x, t)dx (36) x = ( π )1/4 x exp ( 1 x )dx (37) (38) Vi substituerer u =() 1/4 / 1/ og får x = ( π )1/4 ( ) 3/ ) 3/ 1 u exp ( u )du (39) x = ( π )1/4 ( π (40) x = 1 1. (41) Dette gir x = ( 1 1 ) 1/. (4) Ved symmetry ser vi da at for forventningsverdien til impulsen p = Ved delvis integrasjon finner vi ψ (x, t)p op ψ(x, t)=0. (43) p = Ψ(x) d Ψ(x) (44) dx p = ( d dx Ψ(x)) (45) p = x (46) p = 1 (47)
Løsning TFY4170 Fysikk Fysikk, 8/8-005 Side 5 av 5 Dette gir ( ) 1 1/ p =. (48) Produkter av uskarphetene blir dermed Heisenbergs usikkerhetsrelasjon er ( x)( p)= 1. (49) ( x)( p) 1. (50) Denne tilstanden gir dermed den nedre grensen for denne uskarpheten.