Eksamen REA30 R, Våren 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene gitt ved ) f 3 5 4 f 5 ) 3 5 g e g 5e 35e 3 3 b) Skriv så enkelt som mulig a ln lnab 3lna b a ln lnab 3lna b lna lnb lna lnb 3lna lna lnb lna lnb 3lna 4lna lnb lna lnb 3lna lnalnb Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side
c) Funksjonen f er gitt ved f 3 3 ) Bestem nullpunktene til f. For å bestemme nullpunktene løser vi likningen f 0. 30 3 0 3 3 0 3 0 3 0 3 0 3 3 Nullpunktene er 0,0 3,0 3,0 ) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. For å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter løser vi likningen f 0 3 3 0 3 3 f 0. Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige - verdier i hvert av de aktuelle intervallene,,, og, for å se om uttrykket er positivt eller negativt. f f 0 3 0 3 0 0 30 3 0 f 0 30 3 0 Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side
Vi kan da sette opp fortegnslinjen til f Vi ser av fortegnslinjen at Toppunktet er Vi ser av fortegnslinjen at Bunnpunktet er f har et toppunkt når 3 f.,, 3, f har et bunnpunkt når, f, 3 3,. 3) Tegn grafen til f. Vi markerer nullpunktene, toppunktet og bunnpunktet i et koordinatsystem og tegner grafen. Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 3
3 d) Polynomet P 3 3 er gitt. Heltallige løsninger av likningen 0 konstantleddet. P går opp i Bruk dette til å finne en løsning av P 0 og polynomdivisjon til å finne de andre løsningene. Konstantleddet er 3. Vi undersøker først om 3 er en løsning av likningen P 0. 3 P 3 3 33 337 7 330 Siden P 3 0, er polynomet delelig med 3. 3 3 3 3 3 : 3 3 3 0 Vi har da at P 3 3 3 3 Vi bruker 3. kvadratsetning (konjugatsetningen) og får at Vi har da at P 3 3 3 3 Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi løser likningen P 0 3 0 3 3 e) Posisjonsvektoren til en ball er gitt ved r t 3,0 t, 4,9t Bestem fartsvektoren og akselerasjonsvektoren. 3,0, 9,8 v t r t t 0, 9,8 a t r t Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 4
Oppgave (7 poeng) Likningen for en rett linje er på formen y a b a) Forklar at,a er en retningsvektor for linjen. a a Den rette linjen har stigningstall., er derfor en retningsvektor for linjen. b) To rette linjer med stigningstall a og a står vinkelrett på hverandre. Vis at da er a a Retningsvektorene for de to linjene er,a og,a. De to retningsvektorene er ortogonale, og da må skalarproduktet,,, a, a 0 a a 0 a a a a være lik null. c) Bestem likningen for en rett linje som står vinkelrett på y og som skjærer y - aksen i y 5. Linja y har stigningstall. Vi lar a være stigningstallet for den andre linja. Vi bruker resultatet fra oppgave b) og får a a Linja skjærer y -aksen i y 5. Konstantleddet er derfor b 5. Likningen for linja er da y 5 Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 5
d) Tegn de to linjene fra c) i samme koordinatsystem. Oppgave 3 (5 poeng) Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen f og en tangent i punktet a, f a. Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 6
a) Vis at likningen for tangenten er y a a Vi bruker ettpunktsformelen y y f a y f a a f f f a a Dette gir y y f y ( a ) a a y a a a y a a Tangenten skjærer koordinataksene i A og B. b) Bestem koordinatene til A og B. A ligger på - aksen og har derfor koordinater,0. 0 a a a a a. B ligger på y - aksen og har derfor koordinater 0,y. y 0 a a y a Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 7
A har koordinatene a, 0 B har koordinatene 0, a c) Bestem arealet av OAB. Kommenter svaret. Areal OAB OAOB a a Arealet av trekanten er konstant lik. Arealet er altså uavhengig av verdien av a. Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 4 (4 poeng) Vi har gitt punktene A 3,, B 6,3 og C,4 a) Bestem BAC ved å bruke vektorregning. AB AC AB AC cosbac AB 6 3,3 9,5 AC 3,4 5,6 9, 5 5, 6 9 5 5 6 cosbac 45 30 06 6 cosbac cosbac 75 6466 BAC, Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 8
b) Bestem koordinatene til et punkt D slik at ABCD blir et parallellogram. Hvis AB DC er ABCD et parallellogram. Vi lar D ha koordinatene (, y ). Vi har da AB 9,5 DC,4 y AB DC 9, 5, 4 y 9 5 4 y 7 y Punktet D har koordinatene 7,. Det kan være lurt å lage en figur, for eksempel i GeoGebra, for å kontrollere at du har regnet riktig! Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 9
Oppgave 5 ( poeng) Punktene A,4 og 4, B ligger på en sirkel slik at AB er diameteren til sirkelen. Vis ved regning at likningen til sirkelen er y 3 3 Sentrum i sirkelen, S, er midtpunkt på diameteren AB. 4 4 S har koordinatene, 3, 3 Sirkelen har radius r AB (4 ) ( 4) 8 Likningen for en sirkel med radius r og sentrum ( 0, 0) Vi får da likningen 3 y 3 y 3 3 0 0 y y r y er gitt ved Oppgave 6 (5 poeng) a) Bestem en parameterframstilling for en rett linje l som går gjennom punktene E,4 og F 7,. EF 7, 45, 5 5, Linjen har retningsvektor, Videre bruker vi at linjen går gjennom punktet E,4. En parameterframstilling for linjen er da l : t y 4 t b) Bestem skjæringspunktene mellom l og koordinataksene. Når linjen skjærer -aksen, er y 0 y 0 4t 0 t 4 t 4 6 Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 0
Linjen skjærer - aksen i punktet 6, 0 Når linjen skjærer y -aksen, er 0 0 t 0 t y 4 t 4 6 Linjen skjærer y - aksen i punktet 0, 6 c) Bestem ved regning avstanden fra punktet G 6,3 til l. Avstanden fra punktet G 6,3 til l er GN der N er fotpunktet for normalen fra G på l. N har koordinatene t, 4 t. 6, 4 3 4, GN t t t t Siden GN l, er t 4, t, 0 t t t t 4,, 0 4 ( ) 0 t 4 t 0 t 5 5 t Da har vi at 5 5 3 3 GN t 4, t 4,, 3 3 3 3 3 GN,, Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side
Igjen kan det være lurt å lage en figur! Oppgave 7 (6 poeng) Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side
Figuren viser en del av grafen til funksjonen f gitt ved 5 f e, 0 a) Vis at arealet av OAB er gitt ved 5 g e 4 5 5 Areal OAB OA AB f e e 4 b) Bestem det største arealet som OAB kan ha. Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til funksjonen g. Vi finner toppunktet ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt[g, 0, 0]. Det største arealet er 0,9. (Se koordinatsystemet ovenfor.) c) Bruk digitalt verktøy til å bestemme slik at trekanten er likebeint. Hvor stort er arealet da? Hvis trekanten skal være likebeint, må OA AB, dvs. f Vi løser denne likningen grafisk i GeoGebra. Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 3
Trekanten er likebeint når,3 Vi finner g,3 grafisk i GeoGebra Arealet er 0,85. (Se koordinatsystemet ovenfor.) Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 4
Oppgave 8 (5 poeng) På skissen ovenfor er ABCD innskrevet i en sirkel. A, og nabovinkelen til C kalles. Buen BCD a) Forklar at Vi kaller sentrum i sirkelen for S. Vi ser at A spenner over buen BCD. Når en periferivinkel, her A, og en sentralvinkel, her BSD i en sirkel spenner over den samme sirkelbuen, er sentralvinkelen dobbelt så stor som periferivinkelen. Derfor er. Buen BCD Da er buen DAB 360 BCD 80 er en periferivinkel som spenner over buen DAB. Vinkelen er derfor b) Forklar at 80 360 halvparten så stor som sentralvinkelen, BSD, som spenner over den samme buen. Derfor er BCD 80 360 c) Vis at Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 5
80 360 80 80 Vi har da at Oppgave 9 (6 poeng) a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 f Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til f. Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 6
b) På figur er det tegnet en skisse av grafen til en annen funksjon g. Skriv funksjonsuttrykket form som i a). g på samme Siden grafen har nullpunkt, og 3, må, og 3 være faktorer i funksjonsuttrykket. Vi har da at 3 g a Vi ser også at grafen går gjennom punktet 0,. Da har vi g 0 a 0 0 0 3 6a a 3 g c) På figur er det tegnet en skisse av grafen til en tredje funksjon h. Skriv funksjonsuttrykket som ovenfor. Siden grafen har nullpunkt og h på samme form og, må være faktorer i funksjonsuttrykket. Siden grafen tangerer - aksen i punktet,0, er et dobbelt nullpunkt. Vi har da at h a Vi ser også at grafen går gjennom punktet 0,4. Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 7
Da har vi h 0 4 a 0 0 0 4 8a 4 a h Oppgave 0 (3 poeng) På skissen ovenfor er det tegnet en kvartsirkel med radius 3. -aksen, B på kvartsirkelen og C på y -aksen. ABCD er et kvadrat der A ligger på a) Bestem lengden til diagonalen AC. De to diagonalene i kvadratet er like lange. AC OB r 3 b) Bestem arealet av det skraverte området. Vi regner først ut lengden av sidene i kvadratet s s 3 s 9 s s 9 3 Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 8
Areal Skravert område π3 3 4 9π 9 4 9π 9 4 9π 8 4 π 9,57 4 Oppgave (5 poeng) En skole vil arrangere aktivitetsdag. Det pleier å regne 8 % av dagene på denne tiden av året. Værmeldingen har vært korrekt 90 % av de dagene det faktisk regner. Når det har vært oppholdsvær, har meteorologene meldt regn 0 % av dagene. Vi definerer hendelsene: A: B: Det regner på aktivitetsdagen Det er meldt regn på aktivitetsdagen For å få bedre oversikt, setter vi opp et valgtre før vi begynner på oppgaven. Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 9
a) Bestem PA og PA 0,08 P A PA 0,08 0,9 b) Bestem PB A 0,90 P B A 0,0 P B A, P B A og PB PB 0,080,90 0,90,0 0,64 Det er meldt regn den dagen skolen ønsker å arrangere aktivitetsdag. c) Bestem sannsynligheten for at det ikke regner denne dagen selv om det altså er meldt regn. P AB P A P B A 0,90,0 PA B 0,56 P B P B 0,64 Eksamen REA30 Matematikk R, Våren 0 Side 0