Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker kjerneregelen på x x ln, 1 x 1 u x x Vi får da g uu x 1 f x x 1 x x og setter g u ln u og u x x x b) gx x e uv uv uv u x v e Vi bruker produktregelen for derivasjon. der og 1 x x x 1 g x e x e e x x c) hx x 3 4 Vi bruker kjerneregelen på 3 4 3 Vi får da 3 g u u 4u x 8x x 3 8 3 3 h x x x x og setter 4 g u u og u x 3 Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 1 av 0
Oppgave (5 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P x x 7x 14x 8, Df a) Det kan vises at alle heltallige løsninger av Px 0 går opp i konstantleddet 8 Bruk dette til å finne et nullpunkt. Vi vet at x 1 er et av flere heltall som går opp i 8. Vi setter 1 Det betyr at x i polynomet og får 3 x 1 er en faktor i Px. b) Faktoriser Px i førstegradsfaktorer. 3 x x 3 x x x x x x 7 14 8 : 1 6 8 6x 14x 8 6x 6 x 8x 8 0 8x 8 Det betyr at Px x 6x 8x 1 P 1 1 71 1418 1714 8 0 Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i et andregradspolynom og et førstegradspolynom. Vi kan nå faktorisere andregradspolynomet ved hjelp av nullpunktmetoden. Vi løser likningen x x 6x 8 0 6x8 0 6 6 418 x 1 6 x x x 4 1 Det betyr at x 6x 8 x x 4 3 Px x 7x 14x 8 x 1x x 4.. Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side av 0
c) Løs ulikheten 3 x x x 7 14 8 0 x 1 Vi ser at telleren i brøken er lik Px x 3 7x 14x 8 x 1x x 4 Vi har x 1x x 4 x1x 1 0 Fortegnslinje gir: -1 1 4 X X 0 0 Vi finner at 3 x x x 7 14 8 0 x 1 når x 1, 1 1, 4, Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 3 av 0
Oppgave 3 (4 poeng) Vektorene a,1, b 3,6 og c k 1,4 er gitt, der k. a) Bestem ab og ab ved regning. a b, 1 3, 6 4, 3, 6 7, 4 ab, 1 3, 6 316 6 6 0. Det betyr at a b. b) Bestem k slik at b c. b c b t c 3, 6 tk1, 4 3 kt t 6 4t 3 3 kt t t 3 3 3 3 k t 3 3 k 3 3 9 k k 3 c) Bestem k slik at c a. k k 1, 4, 1 k 1, 4 4, k 1 4 4 k 116 0 k k k k 17 0 k 17 0 k 3 0 4 1 3 k 1 4 k k 1 k 3 1 Begge løsningene er gyldige. Det betyr at c a når k 1 k 3 Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 4 av 0
Oppgave 4 (4 poeng) En funksjon f er gitt ved 4 f x 3x 6 x, Df a) Bestem nullpunktene til f. f x 4 3x 6x 0 0 3x x 0 3x x x 0 x 0 x x b) Bestem fx. Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. 3 3 f x 43x 6x 1x 1x f x 3 1x 1x0 0 1x x 1 0 x 0 x 1 x 1 Fortegnslinje gir: -1 0 1 0 0 0 Dette viser at grafen synker når x 1 og når 0x 1, og at grafen stiger når 1 x 0 og når x 1. Det betyr at grafen har bunnpunkt for x 1og toppunkt for x 0 Minimalverdien i minimalpunktet 1 Minimalverdien i maksimalpunktet 1 Maksimalverdien i maksimalpunktet 0 Vi har funnet at grafen til f har bunnpunkt 4 x er, f 1 3 1 6 1 36 3 x er, 4 f 1 31 61 36 3 x er, 4 f 0 30 60 0 1, 3 og 1, 3 og toppunkt 0, 0. Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 5 av 0
c) Tegn en skisse av grafen til f for x,. Grafen ovenfor er tegnet i GeoGebra. I denne oppgaven skulle det tegnes en skisse av grafen til f. Ved en skisse kreves ikke samme nøyaktighet som ved tegning av en graf, men grafen må gå gjennom punktene vi har funnet ovenfor. Grafen må også tegnes området gitt ved x,. Oppgave 5 ( poeng) En ABC er innskrevet i en sirkel med sentrum S der ABS 7. Bestem ACB ved et geometrisk resonnement. Vi har at radius r AS BS. Det betyr at ABS er likebeint. Det gir videre ASB 180 7 16. 1 Setningen om periferivinkler og sentralvinkler gir ACB ASB 63 Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 6 av 0
Oppgave 6 (3 poeng) La p være et oddetall større enn 1. p1 p1 a) Forklar at og begge er hele tall. Når p skal være et oddetall større enn 1, kan vi skrive p n 1, der n Vi kan da sette og n1 1 n n1 p1 n 1 p1 n 1 1 n n Både n 1 og n er naturlige heltall. b) Regn ut p1 p1. p p p 1 p 1 p p 1 1 4p p 4 4 4 Bruk resultatet til å skrive 151 som differansen mellom to kvadrattall. Fra oppgaven ovenfor ser vi at differansen mellom to kvadrattall er p. Vi setter da p 151 og får 151 1 151 1 15 150 76 75 Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 7 av 0
Oppgave 7 ( poeng) Funksjonen h er gitt ved x, 0 h x x x a) Forklar at vi kan skrive h x x lnx e x lnx x x lnx x e e. b) Bestem h x Vi bruker kjerneregelen og setter u og ln g u e u x x og produktregelen for derivasjon, uv uv u v, på x lnx der u x og v lnx 1 x u x Vi får da 1 ln ln x g u u e x x e lnx 1 xlnx x ln 1 ln 1 h x e x x x Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 8 av 0
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (6 poeng) Tre punkter A1, 3, B5, 1 og C 4, 4 er gitt. a) Bestem et punkt D på y-aksen slik at CD BA. Punktet D har koordinatene 0, y. Vi finner CD og BA. 4, y 4 k4, 4 0 4, 4 4, 4 1 5, 3 1 4, 4 CD y y BA CD k BA 4 4 k y 4 4k k 1 y 8 Punktet D har koordinatene D 0, 8 b) La M være midtpunkt på BC. Bestem koordinatene til M. 1 OM OB BC 1 1 5 9 3 OM 5, 1 1, 5 5, 1, 9 3 Punktet M har koordinatene M, Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 9 av 0
Punktet P er gitt slik at 1 AM MP. 3 c) Bestem ved regning koordinatene til P. 1 AM MP 3 9 3 1 9 3 1, 3, 3 x y 7 3 x 9 y 3,, 3 6 3 6 7 x 3 3 y 1 3 3 7 x 3 3 y 1 6 6 6 6 3 3 1 x 9 9 y 3 x 30 y 6 x 15 y 3 Punktet P har koordinatene 15, 3. Oppgave (6 poeng) I en klasse er det 1 gutter og 16 jenter. Det skal trekkes ut en gruppe på 5 elever på en tilfeldig måte. a) Bestem sannsynligheten for at det blir med akkurat én gutt i gruppen. Vi bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling i GeoGebra Vi finner at sannsynligheten for akkurat én gutt i denne gruppen er, % Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 10 av 0
Sannsynligheten er 44 117 for at et bestemt antall gutter blir med i gruppen. b) Hvor mange gutter blir det da med i gruppen? 44 0,3761. Vi bruker tabellen ovenfor og finner at det er akkurat gutter med i gruppen på 5, 117 når sannsynligheten er 44 0,3761. 117 Arne og Betsy går i klassen. Vi definerer følgende hendelser: A: Arne blir med i gruppen. B: Betsy blir med i gruppen. 1 6 1 3 og bestem sannsynligheten. 7 4 I dette tilfellet er det gitt at Betsy er med i gruppen. Vi må da finne sannsynligheten for Arne er c) Forklar at P A B 1 en av de resterende 7 elevene i gruppen. Arne utgjør delmengden, mens de resterende 6 1 elevene utgjør den andre delmengden i telleren. Fra denne delmengden skal det trekkes 3 elever. Totalt skal det trekkes ut 4 elever av 7 elever. Sannsynligheten for at Arne blir med i gruppen gitt at Betsy er med blir, 14,8 %. Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 11 av 0
Oppgave 3 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved x 8 f x 6 x e, D f a) Bruk produktregelen og kjerneregelen til å vise at 3 8 f x 4 x e x 8 Vi bruker produktregelen for derivasjon. u v u v u v der u 6 x og v e x Vi bruker kjerneregelen på x e 8, u x x Vi får da g uu e e 4 4 u x 1 der gu e og u x 8 8 6 6 6 4 x 8 x x x x x x 6x 3 8 8 8 8 8 g x e x e e e x e 4 4 b) Tegn grafen til f for x 6, 6. Vi tegner grafen i GeoGebra ved å bruke kommandoen Funksjon f x, 6, 6 Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 1 av 0
c) Bruk grafen til f til å bestemme eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f. Vi finner ekstremalpunktene og nullpunktene til grafen til f ved å bruke kommandoene Ekstremalpunkt f x, 6, 6og NullpunktIntervall f x, 6, 6 i GeoGebra. Vi ser at stigningstallet er negativt for x og for x. Når x er stigningstallet positivt. For x er stigningstallet 0. Det betyr grafen til f har et bunnpunkt i, f, 7.3, f,7.3 og et toppunkt i Ekstremalpunktene til f er infleksjonspunkter (argumentet (x-verdien) til et vendepunkt) til f. Grafen til f har dermed følgende vendepunkter 3,5, f 3.5 3.5, 4.5, 3,5, f 3.5 3.5, 4.5 og 0, f 0 0,0 Utregningen av funksjonsverdiene er gjort i CAS-verktøyet i GeoGebra, se nedenfor. Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 13 av 0
Oppgave 4 (4 poeng) Vi skal lage et kar med form som rett prisme uten lokk. Grunnflaten skal være et kvadrat med side x dm, og karet skal ha høyde h dm. Vi vil lage karet slik at det samlede overflatearealet blir 1 dm. a) Forklar at x 4xh 1. Bestem et uttrykk for h. Bunnen av karet har overflaten x. De fire sidekantene har overflate lik 4 x h 4 x x xh. Samlet overflate kan da skrives som x 4xh. Løser likningen x 4xh 1 med hensyn på h, og finner et uttrykk for h. Vi gjør dette ved å bruke kommandoen, Løs[ <Likning>, <Variabel> ], i CAS-verktøyet i GeoGebra. b) Bestem hvilke verdier x kan ha. Vi må ha at h 0 og x 0. Det gir at Løser ulikheten i GeoGebra. x 1 0 der x 0. 4x Vi finner at 0 x 3. Den negative løsningen er ikke en mulig løsning. c) Bestem et uttrykk for volumet Vx Volumet er gitt ved av karet. V grunnflate høyde. 3 x 1 x 1 x Et uttrykk for volumet er V x x x 3x 4x 4 4 Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 14 av 0
d) Vi ønsker å fylle vann i karet. Bestem ved regning x slik at karet rommer mest mulig vann. Hvor mange liter blir det da plass til? Vi setter V x 0 og finner eventuelle ekstremalpunkter til grafen til V. Utregningen er gjort i CAS-verktøyet i GeoGebra. Vi finner at grafen til V har ekstremalpunkt for x. Vi ser bort fra negative x-verdier.,, 4 Ved å finne V 1 og V3 ser vi at V er et toppunkt. Alle målene er i dm. Det betyr at det er plass til 4 liter vann i karet. Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 15 av 0
Oppgave 5 (7 poeng) En liten ball triller horisontalt utfor et flatt tak, 15,0 m over bakken. Posisjonsvektoren til ballen t sekunder etter at den har forlatt taket, er 3, 15 4,9 r t t t a) Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Ballen treffer bakken når 15 4,9t 0. Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra og løser likningen. Vi finner at ballen treffer bakken etter 1,75 sekund. Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 16 av 0
b) Tegn grafen til r. Vi tegner grafen r ved å bruke kommandoen Kurve[3t, 15-4,9t^, t, 0, 1.75] i GeoGebra. c) Bestem farten til ballen etter 0,8 s. Tegn inn fartsvektoren v 0,8 grafen til r. Vi har at v t rt 3, 9.8t. Vi finner 0,8 farten etter 0,8 sekund. Vi bruker CAS-verktøyet i GeoGebra. i det aktuelle punktet på v og lengden av denne vektoren for å finne Farten til ballen etter 0,8 s er 8,39 m/s Vi tegner vektoren i GeoGebra ved å bruke kommandoen vektor v 0.8. Standardinnstillingen i GeoGebra gjør at vektoren starter i origo. Vi kan flytte vektoren til startpunktet på kurven, dvs. r 0.8 nedenfor.. Det kan vi gjøre ved å høyreklikke på vektoren, velg egenskaper deretter posisjon, se Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 17 av 0
d) Bestem akselerasjonen at. Tegn inn akselerasjonsvektoren a0,8 grafen til r. i det aktuelle punktet på Vi har at at vt 0, 9.8. Vi skriver inn vektor0, 9.8 i GeoGebra og bruker samme framgangsmåte som ovenfor for å tegne inn akselerasjonsvektoren. Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 18 av 0
Oppgave 6 (5 poeng) Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på x lg x n x n n x, x 0, n 0 n a) Vis at denne likningen kan omformes til lg x x x lg lg n n n x n n x n lg x lg x lg x lg x x x x lg lg n n n x n n n x x n n n n n b) Vis at likningen videre kan skrives x n x n lg lg lg 0 lg x x x lg lg n n x x lg xlg nlg n n lg x lg x lg n nlg x lg n lg x nlg x lg n 0 lg x lg x lg n n lg x lg n 0 n c) Bruk likningen i oppgave b) til å bestemme x uttrykt ved n. Vi kan løse likningen i b) ved å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra. Likningen kan også løses enkelt for hånd. Nedenfor har vi vist begge framgangsmåtene. x n x n lg lg lg 0 lg x n 0 lg x lg n 0 lg x n lg x lg n x 10 n x n Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 19 av 0
Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Stein Aanensen Eksamen REA30 Matematikk R1 våren 014 Side 0 av 0