orelesning Kombinatori Roger Antonsen - 7. april 8 Kombinatori Kombinatori er studiet av opptellinger, ombinasjoner og permutasjoner. Vi finner svar på spørsmål Hvor mange måter...? uten å telle. Vitig del av f.es. omplesitetsanalyse av algoritmer. Hvor mye tid bruer en algoritme? Hvor mye plass bruer en algoritme? runnleggende, nyttig og fascinerende matemati som dere må beherse. Vi sal i dag gjøre oss ferdige med apittel 9. ørst litt repetisjon. Repetisjon Inlusjons- og eslusjonsprinsippet: + A B A B A B Hvis vi først teller opp elementene i A og deretter elementene i B, har vi talt elementene i A B to ganger. or å få antall elementer i A B må vi derfor tree fra det vi har talt for mye, nemlig antallet i A B. Repetisjon Multipliasjonsprinsippet: Hvis vi sal treffe en serie uavhengige valg, vil det totale antall muligheter være produtet av antall muligheter ved hvert valg. A B A B Antall elementer i det artesise produtet A B er antall elementer i A multiplisert med antall elementer i B. Begge prinsippene an generaliseres til flere enn to mengder. eneraliseringen av inlusjons- og eslusjonsprinsippet ses lett ved hjelp av Venndiagrammer. eneraliseringen av multipliasjonsprinsippet blir A A A n A A A n
Esempel - det er n binære tall av lengde n Esempel - {a, b, c} {,, } {, } Multipliasjonsprinsippet gir oss følgende: a,, a,, {a, b, c} {,, } {, } {a, b, c} {,, } {, } 8 a b a,, a,, a,, a,, b,, b,, b,, b,, Vi an illustrere det sli: b,, b,, c c,, c,, c,, c,, c,, c,, Mer repetisjon Definisjon (Permutasjon). En permutasjon en endring av reefølgen av elementene i en ordnet mengde. Vi sier også at en permutasjon av en mengde er en ordning av elementene i mengden.
Esempel. Permutasjonene av {A, B, C} er ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Det er n! permutasjoner av en mengde med n elementer. Og vi vet (selvfølgelig) at n! n (n ) (n ) I esempelet har vi elementer og! 6 permutasjoner. Plan for dagen Mer om permutasjoner og ordnet utvalg ( Mer om ombinasjoner n r) n velg r Binomialoeffisientene Pascals treant n P r eneralisering av første vadratsetning (a + b) a + ab + b Oppsummering av ombinatorise prinsipper Esempler og oppgaver Ordnet utvalg Vi sal nå se på det som alles ordnet utvalg fra en mengde. Esempel. Oppgave: I et barnesirenn er det med barn. Det er lov til å opplyse om hvem som to de tre første plassene, mens resten ie sal rangeres. Hvor mange forsjellige resultatlister an man få? Esempel (ortsatt). Løsning: Det fins mulige vinnere, deretter 9 mulige andreplasser og til sist 8 mulige tredjeplasser. Det fins altså 9 8 684 forsjellige resultatlister.
Legg mere til at 9 8 9 8 7 6 7 6! ( )! Vi sal nå definere dette mer generelt og brue notasjonen P for dette tallet. Definisjon. La r og n være naturlige tall sli at r n. Med n n! P r mener vi (n r)! Mer. n P r forteller oss hvor mange måter vi an tree r elementer i reefølge ut fra en mengde med n elementer på. Når n r bruer vi at!. Da får vi n n! P n (n n)! n!! n! n! Det er som forventet, siden det er n! permutasjoner av en mengde med n elementer i. Esempel. En idrettsleder har syv løpere i stallen sin, og sal velge ut fire av dem til å delta i en stafett. I et stafettlag spiller reefølgen stor rolle, især om idrettsgrenen er langrenn og det er to etapper i lassis og to i fristil. Da er det 7 P 4 7! 7 6 5 4 84 forsjellige mulige lagutta.! Det er et under at avisene mener seg å vite hva uttaet vil bli dagen i forveien. Kombinasjoner angir hvor mange delmengder med elementer det finnes av en mengde med n elementer Vi har tidligere vist dette ved indusjon. Det er også mulig å vise dette rent ombinatoris, som vi sal gjøre snart. Slie tall alles blant annet for binomialoeffisienter. 4
Esempel Anta at vi sal fordele tre oransje hatter,, på fem barn. 4 5 Hver ombinasjon svarer til en delmengde av {,,, 4, 5}. Antall måter å velge tre barn på i reefølge er 5 P 5 4 6. Her vil hver ombinasjon av hatter, f.es. {,, 4}, bli telt! 6 ganger, som 4, 4, 4, 4, 4, og 4. Hvis vi sal ta høyde for dette, så må vi dele på 6. Antall måter å fordele hattene er derfor 6/6, som er ( 5 ). Teorem. La A være en mengde med n elementer, og la n. Da finnes det forsjellige delmengder B av A. Bevis (Nytt, og fritt for indusjon). Antall måter å velge elementer i reefølge fra A på er n P n! (n )! or hver delmengde B med elementer, så fins det! forsjellige ordnede utvalg fra A som gir oss B. Da må antall mengder B med elementer være n P! n! (n )!! Legg mere til at Hvorfor det? ( ) ( ) n n n 5
or esempel, hvis vi har en mengde med elementer, så er det ( 8) delmengder med 8 elementer. or hver sli mengde, så har vi også en mengde med elementer. Vi an f.es. lage en funsjon som til enhver delmengde av størrelse 8 gir en delmengde av størrelse. Denne funsjonen vil være både surjetiv og injetiv. Derfor har vi at ( ( 8) ) 9 9. Antall delmengder av størrelse må være li antall delmengder av størrelse n. Det er lie mange måter å velge n elementer på som det er å måter å velge bort n elementer på. Binomialoeffisientene Tallene ( n ) alles blant annet for binomialoeffisienter. ølgende (reursive) sammenheng var utgangspuntet for et tidligere indusjonsbevis: + Hvorfor er det sli? La oss se på et esempel. Tre,, av fem hatter,, sal være oransje. Hvor mange måter an dette gjøres på? ( ) 5 ( ) 4 + ( ) 4 Hvis den første hatten er oransje, så må to av de fire resterende hattene være oransje. Det er ( 4 ) 6 måter å gjøre dette på. Hvis den første hatten er svart, så må tre av de fire resterende hattene være oransje. Det er ( 4 ) 4 måter å gjøre dette på. 6
Binomialoeffisientene Dette forteller oss at det er to evivalente måter å definere binomialoeffisientene på: Ved hjelp av faultetsfunsjonen og brø: n! (n )!! Ved reursjon: + Pascals treant Pascals treant er en måte å srive opp alle binomialoeffisientene på ved hjelp av formelen ( ) ( ) ( ) n n n + Hus at Vi får følgende bilde. n Pascals treant ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 4) 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ( 4 5) 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 4 5 6) Vi finner igjen mange jente tallreer i Pascals treant De naturlige tallene:,,,4,5,6,... De såalte triangulære tallene:,,6,,5,,... Toerpotensene:,,4,8,6,,... Kvadrattallene:,4,9,6,5,... ibonacci-tallene (selv om de er godt gjemt):,,,,5,8,,,... Og mange flere... 7
4 6 4 5 5 6 5 5 6 7 5 5 7 8 8 56 7 56 8 8 9 6 84 6 6 84 6 9 45 5 45 55 65 46 46 65 55 66 495 79 94 79 495 66 78 86 75 87 76 76 87 75 86 78 4 9 64 4 64 9 4 5 5 455 65 55 645 645 55 65 455 5 5 Tilbae til binomialoeffisientene Nesten alle vet at (a + b). Alle vet at (a + b) a + b. Mange vet at (a + b) a + ab + b. De fleste an regne ut at (a + b) a + a b + ab + b. Noen greier til og med å regne ut at (a + b) 4 a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4. Noen bør begynne å ane at det er en sammenheng med Pascals treant. Siden (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + a b + a b + 5ab 4 + b 5 blir den anelsen bereftet. Teorem (eneralisering av. vadratsetning). or alle tall a og b og alle hele tall n har vi (a + b) n a n + a n b + a n b + + n ( n n a n b ( n ) ab n + b n ) a n b + Bevis. (a + b) n (a + b) (a + b) (a + b) }{{} n foreomster 8
Hvis vi multipliserer dette ut, så får vi n ledd. Hvert ledd består av n fatorer, hvor hver fator er enten a eller b, f.es. abaa b. Hvis B A {,..., n}, så lar vi B svare til leddet hvor fator nummer i er b hvis i B og a ellers..es. vil {, 4, 5} svare til leddet b a a b 4 b 5 a 6 a n Hvert ledd ommer fra en og bare en mengde B; det vi har besrevet er en surjetiv og injetiv funsjon fra potensmengden av A til leddene vi får når vi regner ut (a + b) n. Bevis (ortsatt). Det fins ( n ) delmengder av A med elementer. Da fins det ( n ) ledd med b er og n a er. Disse leddene ordnes til a n b Dette er nøyatig leddet med indes i teoremet. Siden er vilårlig må formelen i teoremet gi oss verdien på (a + b) n. Dette avslutter beviset. Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Hvor mange binære tall av lengde 5 fins det? Det er 5. Ordnet utvalg uten repetisjon: n P r På hvor mange måter an vi tree to ort fra en ortsto? Det er 5 P 5 5 65. Permutasjoner: n! På hvor mange måter an vi stoe om ordet LAKS? Det er 4! 4 4. Kombinasjoner: ( ) n Hvor mange delmengder av {a, b, c, d, e} har to elementer? Det er ( ) 5 5 4 Vi sal se på noen flere esempler. 9
ørst en liten digresjon om store tall I ombinatori ommer vi fort opp i veldig store tall. Bredden til et hårstrå: 6 atomer. Atomer i en vanndråpe: atomer. Atomer i universet: 8 atomer. Antall forfedre 65 generasjoner tilbae antall atomer i universet. Og disse tallene er ganse små... Allievel an vi representere dem og regne på dem uten store problemer. Esempel På hvor mange forsjellige måter an vi gå fra A til B i dette 8 ganger 4-rutenettet? Vi må gå ett steg av gangen og un oppover eller til høyre. B A Hvor mange slie stier er det? Denne stien an representeres som. Dette er et ord på tegn over alfabetet {, } hvor fire av tegnene er og åtte av tegnene er. Hvor mange slie ord er det? Det er ( ) 9 4 495 4 Vi sjeer at det stemmer for ganger -rutenettet: Antall ord blir i dette tilfellet: ( ) 4 4 6 som stemmer... Oppgave På hvor mange forsjellige måter an vi gå fra A til B i denne -uben? Vi må gå ett steg av gangen og un oppover, til høyre eller innover?
B A Esempel (Dette ble også nevnt på forrige forelesning i et introdusjonsesempel om uler og boser.) På hvor mange ulie måter an de 6 araterene A til gis til studenter? Vi ie er interessert i hvilen arater en bestemt student får, men un antallet av hver arater i fordelingen. Det er 6 muligheter for hver av de studentene. Kan vi brue multipliasjonsprinsippet og si at svaret er 6? Nei La oss lage 6 båser og putte studentene i hver sin bås avhengig av hvilen arater de får. Esempel studenter per arater, og ingen stry an representeres sli: ordelingen an representeres sli: At alle stryer an representeres sli: Hvor mange slie ombinasjoner fins det? Av 5 tegn må 5 være røde streer. Antall muligheter må være (5 ) 5 5 4 5 4 Esempel Mer generelt har vi + som gir hvor mange forsjellige måter vi an fordele n identise elementer i forsjellige beholdere på. Dette alles også for uordnet utvalg med repetisjon.
rafteori Neste gang begynner vi med grafteori. En graf består av noder og anter: Oppgave: larer dere å tegne denne på et ar uten å løfte blyanten og uten å gå over en ant to ganger?