HØGSKOLEN I NARVIK Avdeling for Teknologi Postboks 385, 8505 Narvik Tlf 76966000 Fax7696681 RAPPORT (Redigert for publisering 1 ) Tittel: Nummer Vurdering av transportkule. Trykkbegrensninger for gulv samt beregninger omkring E-modul for transportkule RA-nov-001-01 Resymé: Det er gjort en tentativ laboratorieundersøkelse av tillatt trykk for eikeparkett. Resultatet er 4,0 MPa. Det er videre gjort beregninger med formler og FEMmetoder for å finne en passende kombinasjon av kulediameter og E-modul. En kule med diameter omkring 50 mm og en E-modul på 0 MPa vil tilfredsstille trykkbegrensningskravet. Evt. funksjonsproblemer for transportkule i mykt materiale er vurdert. Det gis anbefalinger om videre arbeid. Stikkord: Ball transfer unit, calculation of load transfer, recommended combination of Youngs modulus and diameter. Finite element based contact analysis. Skrevet av: ROAR ANDREASSEN dato: Kontrollert av: Godkjent av: dato dato Intern ref. 1 Firmanavn, personnavn samt opplysninger av betydnng for opphavsrett er tatt ut.
Side av 7 1 Innledning I denne rapporten beskrives muligheten for benytte en myk transportkule under møbelbein slik at disse kan rulles på gulv uten at dette skades. En transportkule er en anordning der en stor kule ligger i halvkuleformet skål. Mellom skålen og den store kulen ligger et lag med små kuler slik at den store kulen kan rulle lett i alle retninger. Se prinsippskisse Figur. Transportkulen skal monteres i en anordning slik at møbelet kun hviler på kulen når det skal forflyttes. En stk, transportkule av fabrikat Alwayse /1/ ble mottatt medio oktober og målt opp. Den store kula ble målt til diameter, mm. De små kulene ble målt til 3,15 mm (Figur ). Både skåla, den store kula og de små kulene var laget av stål. Det er på det rene at en stålkule ikke kan benyttes, da den, selv med moderat belastning, vil sette merker i de fleste gulvdekker. Det er foreløpig bestemt at transportkula skal vurderes for en last på 00 Newton (N) (tyngden av ca 0kg). Følgende ble utført innenfor oppgaveomfanget: Innhenting av hardhetsdata for parkett. En tentativ vurdering av tillatt trykk på en eikeparkett. Beregninger av maksimalt kontakttrykk for forskjellige stivheter på kuler som kan tenkes brukt. Vurdering av virkemåte når det benyttes forskjellig stivhet i transportkula. Målinger, undersøkelser.1 Data for gulvmaterialer Hardhetsdata for trebaserte materialer til gulv og andre sliteoverflater måles med slitetester og hardhetstester. Leverandørene nevner to hardhetstester, Brinell- og Janka-testen. I Brinelltesten belastes en kule med en bestemt last slik at den setter et merke i treverket. Jo mindre merke, jo hardere er trevirket. Ved Janka-testen belastes en kule med bestemt diameter slik at den trenger et bestemt stykke ned i treverket. Jo større kraft som trengs, jo hardere er trevirket. Disse hardhetstestene er destruktive ved at de setter varig merke i treverket. Verdier fra disse kan derfor ikke benyttes ved vurdering av tillatt trykk for tre- eller parkettgulv. Ekornes møbelfabrikk // opplyser at de alltid beregner et areal så stort at det minst er plass til en sirkel med diameter 5 mm pr møbelbein. Dersom en 3-seters sofa med tre personer har tyngde på maksimalt 4kN (400 kg) som fordeles på 4 bein, blir det et flatetrykk på maksimalt 0,5 MPa (0,5 N/mm ). Dette trykket skal kunne vedvare over lengre tid. Med 00 N pr bein (på en transportkule) vil det etter verdier fra Ekornes // kreves et kontaktareal på 0,5 00 = 100 mm pluss en korrigering for at trykket er størst i sentrum. Dette tilsvarer en trykkflate med diameter godt over 1 mm. Det vil ikke være mulig å oppnå så stor trykkflate på en kule uten at materialet er svært mykt eller at kula er ganske stor. Til
Side 3 av 7 gjengjeld skal transportkula kun bære lasten i et kort tidsrom. Det kan være aktuelt å begrense lasttida, dvs. brukerne må anbefales å ikke la møbelet hvile på kula i mer enn noen minutt.. Laboratorietest ved HiN Det har ikke lykkes å finne verdier for tillatt korttidstrykk på parkett eller andre gulvmaterialer hos leverandører eller andre fagmiljøer. Det ble derfor gjort en forsøksvis (tentativ) test i HiN s laboratorium. En syliner med diameter 0 mm ble trykket med økende kraft mot eikeparkett og evt. merke ble registrert. Ved hjelp av en forsøksprosedyre ble tillatt last estimert. Testrapporten viser at 150 N synes å være en trygg last. Forsøket var ikke helt vellykket idet det med denne testanordningen ikke ble oppnådd helt vinkelrett belastning. Konsekvensen var at kun en del av sirkelperiferien vises i inntrykkene. Det må derfor antas at parketten tåler ennå litt høyere belastning. Ved en statistisk etterprøving ga 150N ikke skade i 4 av 5 forsøk. 1375 N ga skade i 5 av 5 forsøk. Som tillatt trykk på eikeparkett fastsettes foreløpig verdien 150 N. Selv om det ble skade i ett av tilfellene, benyttes likevel denne verdien fordi belastningen ikke var helt vertikal. Med 150 N fordelt på en sirkulær flate med diameter 0 mm fås 4,0 N/mm. Denne verdien benyttes som tillatt trykk på eikeparkett. 3 Beregninger 3.1 Formler Ved hjelp av Roark s formler /3/ kan maksimaltrykket beregnes i trykksonen for forskjellige elastiske legemer som er i direkte kontakt. Tabell 14.1 /3/ angir følgende for kule mot plan flate: Radius i kontaktflaten a=, 0,713 PKDCE der P er last, K D er diameter, 1 ν1 1 ν C E = +,derν er poissontall og E er E-modul E1 E indeks 1 gjelder for kule og indeks for underlag. Maksimal trykkspenning i kontaktflatens sentrum P σ = 1, 5 πa c,max Vertikal vandring av kulesenter når underlaget / nedre legemes senter står i ro
Side 4 av 7 y = 3 PC K E D For kontakt kule kule angir Roark s formler de samme formlene, men med DD 1 KD =,derd er kulediameter. D1+ D indeks 1 gjelder for øvre kule og indeks for nedre kule for alle formler Det ble gjort forskjellige beregninger. Resultater er presentert for kulediameter 50 mm og 5 mm. Som E-modul er benyttet 0 MPa (50 mmø og 5 mmø) og 10 MPa (5 mmø). 3. Elementmetodeberegninger, sammenligninger 3..1 Trykk mot gulv Resultatene er sammenlignet med elementmetodeberegninger (FEM) utført med ikke-lineær metode (iterativ kontaktanalyse) på aksesymmetrisk D-modell. Som det ses er det god overensstemmelse mellom de to beregningsmetodene. Beregningsmetode Materiale, dimensjon Beregnet størrelse Roark s FEM E-modul [MPa] Diameter [mm] Radius på kontaktflate [mm] 5,6 6,0 0 50 Maksimalt kontakttrykk [MPa] 3,0 3,3 0 50 Radius på kontaktflate [mm] 4,5 4,8 0 5 Maksimalt kontakttrykk [MPa] 4,8 5, 0 5 Radius på kontaktflate [mm] 5,6 5,6 10 5 Maksimalt kontakttrykk [MPa] 3,1 3,4 10 5 Tabell 1 Beregnede størrelser, kontakt transportkule gulv Gulv: Regnes her som isotropisk, E-modul 500 MPa, ν = 0,3. Transportkule: last 00 N, ν 1 = 0,3, andre data i tabellen. 3.. Kraft mellom transportkule og småkuler Oppdragsgiver reiser spørsmålet om hva som skjer når et relativt mykt material i den store kula skal rulle på de små stålkulene. Det er ikke uten videre enkelt å forestille seg lastfordelingen på de mange små kulene. Man kan resonnere som følger: De små kulene tas vekk og erstattes av en friksjonsfri glideflate. Når den store kula gjøres mykere og mykere vil trykket fra nedre halvdel av den store kula på den øvre halvkula føre til at den øvre halvkula vil komme i en tilnærmet isostatisk trykktilstand, dvs. trykket fordeles jevnt. Feilen i betraktningen ligger i at lasten ikke virker Reelle data vil bli fremskaffet ved mer nøyaktige beregninger.
Side 5 av 7 som et trykk i en horisontal flate gjennom kulas sentrum, men i bunnen av den nedre halvkula. Dette fører til at materialet vil søke å unnslippe ved kanten av lagerskåla. Det vil derfor oppstå maksimalt trykk her. Figur 1 Kontakttrykk kule / skål Hypotesen er etterprøvd med en FEMberegning (iterativ kontaktanalyse, D aksesymmetrisk modell) på en modell der den store kula hviler i en skål av stål. Det er gitt en lav friksjonskoeffisient (0,01) mellom kula og skåla. Trykket viser et kontakttrykk som har maksimal verdi i nedre kant av skåla. trykket avtar raskt for deretter å stige svakt mot toppen av kula. Se Figur 1. Et isostatisk trykk vil utgjøre 00 N p = = 0,10 N/mm = 0,10 MPa π (5 mm). Dette er ganske nært det midlere kontakttrykket fra FEM-beregning. Når samme beregning gjøres med en kule 5 D 1 = 50 mm, E 1 = 0 MPa, last 00 N mmø blir det isostatiske trykket omkring 0,4 MPa, hvilket også stemmer med midlere verdi funnet ved FEM-beregning. Iflg. FEMberegning er trykket omkring 0,46 MPa på toppen. Når transportkula er av stål, vil det bli et maksimalt trykk ved toppen på omkring 1, MPa. Trykket blir mer og mer utjevnet jo mykere kulen er, med unntak av maksimalverdien ved nedre kant på skåla som øker når transportkula blir mykere. Betraktningene omkring kontakttrykk mot skåla er viktig for å kunne estimere kreftene på de små kulene. Dersom det er for stor kraft på noen av de små kulene vil de trenge for langt inn i den store (og mykere) kula og evnen til å rulle vil bli dårligere. Hver kule må overføre en andel av flatetrykket som tilsvarer det projiserte areal den opptar. Enhetscellen av pakkede sirkelflater utgjøres av en likesidet trekant med side r ( ganger 1 1 radius). Enhetscellen inneholder 3 6 = sirkelflate. Hver kule vil dermed oppta et projisert 1 areal på enhetsceller dvs. r r sin60 = 3 r Med utgangspunkt i et trykk på 0,5 MPa (kule med 5mmØ og E-modul 0 MPa, småkuler av stål 3,15 mmø) vil hver stålkule i toppen av (eller like ved) den store kula virke på den myke kula med følgende kraft: 3,15 3 r p= 3 0,5= 4,3N 4 Ved hjelp av denne verdien er det gjort beregninger med formler og med FEM-metode. Resultatene, Tabell, skal brukes til å vurdere kontakt og inntrykking av småkulene i en myk transportkule.
Side 6 av 7 Roark s FEM Radius på kontaktflate, a [mm] 0,59 0,6 0,65 3 Maksimalt kontakttrykk [MPa] 5,8 6,3 Vertikal inntrykking, y [mm] 0,5 0,4 Tabell Beregnede størrelser, kontakt stålkule - transportkule D 1 =3,15mm,E 1 = 10 GPa, ν 1 = 0,7 D =5mm,E =0MPa, ν = 0,3 4 Vurderinger Det er ikke gjort forsøk på å beregne rullemotstanden mellom stålkuler og transportkule. Forholdet a/d 1 vil bli det samme så lenge forholdet mellom diameter for stålkuler og transportkule bevares. Når transportkulas diameter øker, kan dennes E-modul økes uten at tillatt trykk mot gulvet overskrides, og det vil oppnås gunstigere verdi for forholdet a/d 1. Likevel vil man intuitivt tro at rullemotstanden alene ikke vil ødelegge transportkulas funksjon når inntrykkingen av en stålkule med diameter 3,15 mm er 0,5 mm. Det anbefales å gjøre forsøk med en kule i f.eks. partikkelstyrket gummi med en passende E-modul. Et viskelær av gummi har E-modul mellom 1 og 3 MPa. Med kulediameter 5 mm må det benyttes E-modul 10 MPa og med diameter 50 mm kan E-modulen økes til 0 MPa. Det kan vise seg at selve virkemåten til en transportkule vil hindre at det benyttes en myk transportkule. Under bruk vil antakelig småkulene transporteres i sirkulerende bevegelser fra skålens bakre kant regnet i anordningens bevegelsesretning, over toppen av den store kula og ned til skålens fremre kant. Denne bevegelsen går lett når den store kula er av stål fordi det da ikkeertrykkpådennedrekransenavsmåkuler,deerfrietilåbevegesegfrafremreskålkant til bakre skålkant (regnet i anordningens bevegelsesretning), drevet av de kulene som tvinges over toppen. Med en myk transportkule vil det bli trykkmaksimum på den nedre kransen av småkuler. Vi klarer ikke å vurdere hva dette har å si for den samlede rullemotstanden. Det anbefales å anskaffe en gummikule og gjøre forsøk / målinger. Dersom det viser seg at rullemotstanden blir for høy med en myk transportkule, har vi forslag til en anordning med kombinasjon av myk kule og transportkuler. Det er ikke gjort beregninger på kombinasjoner av stive og myke materialer. Det anbefales å klarlegge en del av de ovennevnte forholdene først. 3 Ikke kontrollert med tilstrekkelig fine elementer. Dessuten forutsetter Roark s formler at kontaktarealet er lite i forhold til den minste kuleradien. I dette tilfellet er radius i kontaktarealet omkring 30% av den minste kuleradien.
Side 7 av 7 1,16 MPa Småkuler Skål 0,48 MPa Flatetrykk mot skål fra stålkule Transportkule Støttering Filtring Flatetrykk mot skål fra myk kule 5 Konklusjoner Figur Prinsippskisse av transportkule med trykkfordelinger Trykkfordelingene er beregnet for diameter 5 mm både for kule og skål (småkulene er fjernet og erstattet av en grenseflate med ubetydelig friksjon). Det er vist trykkfordelinger for stålkule (Emodul 10 GPa) og myk kule (E-modul 0 MPa). Det er gjort tentativ måling av tillatt trykk på eikeparkett i laboratoriet. Resultatet er 4,0 MPa (4,0 N/mm ). Det er gjort beregninger med formelverk og FEM-metode på kontakttrykk mellom en transportkule og underlaget. Krefter mellom transportkule og småkuler er estimert og vurdert med formler og FEMmetode. Det kan neppe anbefales å bruke transportkule med diameter 5 mm eller mindre for en last på 00 N. En transportkule med diameter 50 mm eller mer vil gi tilstrekkelig lavt kontakttrykk ved 00 N, dersom den kan fremstilles i et material som har E-modul 0 MPa. Mekanismene for kraftoverføring mellom transportkule og skål (via småkulene) er vurdert. Det anbefales å gjøre en test med en gummikule med passende E-modul for å se om prinsippet vil fungere når transportkula er myk i forhold til skåla. Det anbefales å gjøre mer nøyaktige målinger på tillatt trykk. Det anbefales å avklare en del av de ovennevnte forholdene før det gjøres beregninger av en kule med kombinasjon av harde og myke materialer. 1 http://www.alwayse.co.uk/ http://www.ekornes.no/index_kontakt.htm 3 Young, W. and Budynas, R.G.: Roark s Formulas for Stress and Strain, 7 th ed., McGraw-Hill, New York 00.