En studentassistents perspektiv på ε δ Øistein Søvik 16. november 2015 5 y ε 4 3 ε 2 1 1 δ 1 δ 2 x Figur 1: Illustrerer grenseverdien lim x 1 2x + 1. Innledning I løpet av disse korte sidene skal vi prøve å forklare litt omkring bevisformen som på folkemunne omtales som ε δ eller ε δ-bevis. Mange som støter på dette når de begynner på universitetet ser ikke nytteverdien, og forstår heller ikke helt hvorfor bevisformen fungerer. 1
Epsilon-delta eller en konkurranse mellom hunder og katter? Merk: Grenseverdier er litt som å gå på tur med en hund. Hunden bryr seg ikke om målet, den skal jo bare hjem til slutt. Det som er vesentlig er reisen mot målet. Det samme gjelder grenseverdier, vi er aldri interessert i hva som skjer i et punkt, men heller hva som skjer når vi nærmer oss punktet. Dersom verdien vi får når vi nærmer oss punktet, er det samme som i punktet, sier vi at funksjonen er kontinuerlig. Altså lim f(x) = f(c), (1) x c hvor venstresiden representerer reisen og høyresiden representerer målet. La oss vende tilbake til ε δ. I et nøtteskall sier definisjonen følgende: lim f(x) = L ( ε > 0)( δ > 0)( x c < δ f(x) L < ε), x c Men hva betyr egentlig denne pussige notasjonen? 1 Konkret sier notasjonen ovenfor at for alle tall ε > 0 så eksisterer det et annet tall δ > 0 slik at når avstanden mellom x og c er mindre enn δ så er avstanden mellom f(x) og L mindre enn ε. Forklaring 1: La oss bryte dette ned til hunde-metaforen fra tidligere. Her vil hjemmet være L og stien hjem vil være f(x). Så f(x) L < ε betyr at avstanden hjem er mindre enn ε. Tilsvarende er c tidspunktet du kommer hjem og x c < δ betyr at tiden før du er hjemme er mindre enn δ. Definisjonen sier at at uansett hvor nærme du er hjemmet ditt, altså f(x) L < ε. Så kan du alltid finne et tidspunkt δ, slik at ved dette tidspunktet er avstanden hjem mindre enn ε. Intuitivt sett virker dette presist det samme som kontinuitet. Uansett hvor nærme du er, kan du alltid komme litt nærmere. Forklaring 2: La oss prøve oss med en annen forklaring. En måte er å betrakte ε-δ som en lek mellom katter og hunder. Katten velger en vilkårlig liten ε og hunden må prøve å finne en frekk liten δ slik at x c < δ = f(x) L < ε. La oss illustrere dette med konkrete tall og en fin figur. Det pedantiske eksempelet som velges er å vise at funksjonen f(x) = 2x + 1 er kontinuerlig i punktet 1. Dette er det samme som å vise at lim f(x) = f(1). (2) x 1 1 For å oppklare så kalles og for logiske quantifiers. = for alle, = det eksisterer. 2
Siden høyre siden er 3, står vi igjen med å vise lim f(x) = 3. (3) x 1 Merk at vi ikke bare kan sette inn x = 1 i 2x + 1 siden dette er verdien i punktet. Vi ønsker å vise at grenseverdien altså reisen mot punktet er det samme som verdien i punktet. La oss begynne med leken mellom hundene og kattene. Katt: Du klarer ikke å finne en δ slik at f(x) L < 1 dummen! Hund: Voff? La oss hjelpe bisken til å finne svaret. Å finne en slik δ er illustrert i figur(1). Området f(x) L < 1 = ε er markert i rødt mellom de stiplede linjene, og x c < δ er markert i grønt. Ut i fra figuren ser det ut som δ = 1/6 kanskje fungerer. Med andre ord håper vi at avstanden mellom L og f(x) er mindre enn 1 når avstanden mellom x og 1 er mindre enn 1/6. Altså x 1 < 1/6 = f(x) 3 < 1. La oss teste om dette fungerer. Vi begynner med å forenkle uttrykket f(x) L = (2x + 1) 3 = 2 x 1 < 2δ = 2 1 6 < 1 = ε. Dette viser at for en spesifikk ε eksisterer det en δ. Målet med leken er at uansett hvilken ε katten velger - stor eller liten - så skal hunden alltid klare å finne en δ slik at vi er innenfor området. Vi tippet og fant en konkret verdi, men denne fungerer ikke om vi velger ε < 1/4 for eksempel. Så hvordan angriper en problemet generelt? En generell fremgangsmåte for elementære funksjoner La oss i stedet for 1 sette tilbake ε, men fortsatt ha i tankene at det bare representerer et lite tall. Vi ønsker å vise at x 1 < δ medfører f(x) 3 < ε. Fremgangsmåten er å begynne med å forenkle f(x) 3 da ser en at f(x) 3 = 2 x 1 < 2δ. For at dette skal være mindre enn ε er det bare å velge δ < ε/2. Så ved å velge δ < ε/2 vinner alltid hunden! Katten vil aldri klare å finne en ε verken stor eller liten slik at x c < δ f(x) L < ε. Katt:... Merk at det ovenfor stort sett bare er kladd. Et eksempel på vanlig føremåte er vist under 3
Bevis. Ønsker å bevise at f(x) = 2x+1 er kontinuerlig for x = 1. La δ < ε/2, f(x) c = (2x + 1) 3 = 2 x 1 < 2δ < 2 ε 2 = ε, (4) som var det som skulle vises. Oppgave A) Bevis ved hjelp av ε δ at 3x + 2 er kontinuerlig for x = 0. B) Vis at en kan velge δ < ε/a, dersom en ønsker å bevise at alle funksjoner på formen f(x) = ax + b er kontinuerlig i punktet x = c. Noen vanskeligere eksempler Som oppgaven ovenfor hinter til er det en lineær sammenheng mellom ε og δ for lineære funksjoner. For andre funksjoner kan det være en helt annen relasjon, eller ingen relasjon i det hele tatt. La oss begynne med et eksempel på en funksjon hvor det ikke er en sammenheng. Eksempel 1.1. Bevis at funksjonen f ikke er kontinuerlig i punktet a = 0. { 1 + x for x < 0 f(x) = x for x 0. (5) Legger først merke til at L = f(0) = 0. Grenseverdien vi så studerer er lim f(x) = 0. (6) x 0 Vi kan nærme oss 0 fra høyre eller venstre side. Dersom vi nærmer oss fra høyre er beviset trivielt. Ønsker å vise at lim f(x) = 0. (7) x 0 + Velg δ < ε da er f(x) L = x 0 = x < δ < ε og vi er ferdige. Nå var f(x) = x siden vi nærmet oss grensen fra høyre. Dersom vi prøver å nærme oss funksjonen fra venstre så er L = 0 og x δ som før, men f(x) = x + 1! Forskjellen dette utgjør er at f(x) L = x + 1 0 = x + 1. Merk at siden x < δ betyr dette at x alltid er hårfint større enn null. Dette medfører at x + 1 > 1 for alle x. Tanken nå er derfor å velge ε < 1 fordi da kan det ikke eksistere en x < δ slik at f(x) L = x + 1 < ε. Løsningsforslaget valgte ε < 1/2, men her kunne like gjerne valgt ε < 1.9999 eller ε = e/π. 4
Eksempel 1.2. La oss vise noe litt vanskeligere, nemlig at kvadratiske funksjoner også er kontinuerlige 2. Vi ønsker altså å vise at f(x) = x 2 er kontinuerlig for x = a. Vi har nå at L = a 2 og x a < δ. Faktorisering gir f(x) L = x 2 a 2 = x a x + a. (8) Vi vet at x a < δ. Målet er nå å finne ut hvor stor x + a kan bli. Ved å skrive x + a = (x a) + 2a så er x + a x a + 2a (hvorfor?). Altså er f(x) L x a ( x a + 2 a ) < δ 2 + 2 a δ. (9) I siste overgang ganget en bare ut parentesen og brukte at x a < δ. La oss dele opp ε i to deler. Anta at 1 + 2 a < ε. Hvorfor vi valgte akkurat denne oppdelingen blir klart snart. Da holder det å velge δ = 1 siden f(x) L < δ 2 + 2 a δ = 1 + 2 a < ε. (10) Vi drøftet først tilfellet 1 + 2 a < ε, som du kan tenke på som store verdier av ε (se på a = 2 osv.) Vi ser nå på mindre verdier av ε, altså ε 1 + 2 a. Intuitivt sett burde en mindre ε bety at vi trenger en mindre δ. For store ε valgte vi δ = 1. Et naturlig valg er derfor å anta at δ < 1. Vi vet enda ikke hvor mye mindre den er, men det er et utgangspunkt. Når δ < 1 så er δ 2 < δ (gang med δ på begge sider av ulikheten). Altså δ 2 + 2 a δ < δ + 2 a δ (1 + 2 a )δ. (11) For at dette skal være mindre enn ε må vi (selvsagt?) velge δ = ε/(1 + 2 a ). Vi kan altså definere δ som følger { 1 for ε 1 + 2 a δ = ε/ ( 1 + 2 a ) for ε < 1 + 2 a. (12) Som er det samme som δ = min { 1, ε/ ( 1 + 2 a )}. Merk vi kunne og ha sagt fra starten av at δ 1. Enten er denne verdien god nok, eller så må vi finne en bedre δ. Vi har x+a < x a + 2a < 1+ 2a siden x a < δ 1. Da δ i værste tilfellet kan bli så stor som 1. Dette medfører at x 2 a 2 = x a x + a < δ(1 + 2 a ). Herfra må vi velge δ = ε/(1 + 2 a ) for at dette skal være mindre enn ε. Naturlig nok blir svaret det samme som før, vi velger δ mindre enn minimum av 1 og ε/(1 + 2 a ). 2 Merk at dette er bare for illustrasjonens skyld. Anta at en ønsker å vise at alle polynomer er kontinuerlige. Da viser en først at x er kontinuerlig. Så viser en at summen og produktet av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig. Dette er nok, og undertegnede syntes det er ekstremt tøft 5