Aktiviteter i sannsynlighetsregning på samlingen i MAT102 onsdag 8. februar Her er en rekke aktiviteter som utvikler begrepsforståelsen i sannsynlighet. Målet med disse aktivitetene er å kunne vurdere hvor mye begrepsforståelse elevene vil utvikle gjennom disse. Hvilke av disse aktivitetene kan sies å være gode i så henseende? Hvilke elever vil ha mest utbytte av dem? Hvor mye forståelse kreves av elevene på forhånd? Aktivitet 1: «Kløver og ruter» gjennomgått på samlingen i MAT102 nett våren 2016. Denne aktiviteten er kanskje kjent nå for de fleste. De som husker denne godt, kan hoppe til aktivitet 5, som gjør en liten vri på denne. Hele klassen går sammen to og to, og hver gruppe får utdelt 4 kort der 3 av dem er kløver og 1 er ruter. Dere skal nå trekke ut to av disse fire kortene. Vi det være størst sjanse for å trekke ut to kløvere eller en av hver? Hva tror dere?
Gjør 10 forsøk (evt. flere hvis dere har tid) og registrer for hvert forsøk om det ender med to kløvere eller en av hver. Vi samler så inn resultatene fra hver gruppe og ser hva resultatet blir for klassen som helhet. Hva tror dere er bakgrunnen for at vi ønsker å gjøre det?
Aktivitet 2: Kast med fem terninger Utstyr : 6 brikker og fem terninger. (Istedenfor å flytte markører kan en krysse av i spillefeltet etter hvert.) 1. Les gjennom hva spillet går ut på (instruksjonen). 2. Diskuter før dere spiller om alle har like stor sjanse for å vinne. 3. Hvis spillet gjentas ofte nok, hvem tror du vil få flest seire, nest flest seire osv? Eller vil det være helt vilkårlig? Instruksjon Slutt Plasser markøren på linjen over start, nederst på spillarket (dvs. at sifrene 0 til 5 skal dekkes). Spillerne fordeler 0, 1, 2, 3, 4 og 5 mellom seg, gjerne ved loddtrekning. Kast terningene. For hvert kast skal markøren flyttes frem én plass i det feltet som tilsvarer antall terninger som gir en 6-er. Dette skal utføres uansett hvilken deltaker som kaster terningen. Fortsett spillet til en vinner er kåret. Spill gjerne spillet flere ganger. 0 1 2 3 4 5 Start 4. Avgjør hvor stor sannsynligheten er for at det blir henholdsvis 0-markøren, 1- markøren osv. som blir flyttet frem i hvert kast. Benytt dette til å svare på problemstillingen gitt i punkt 2 og 3. 5. I hvilken sammenheng kan dette spillet benyttes i din klasse? Denne aktiviteten er laget av Peer Andersen, og basert på Knut Ole Lysøs aktiviteter med kast med 1 og 2 terninger.
Aktivitet 3: Rettferdige og urettferdige spill (Hentet fra Aktiviteter og undervisningsopplegg Novemberkonferansen 2009, Matematikksenteret. Aktiviteten er laget av Grete Tofteberg.) Beskrivelse: Opplegget tar utgangspunkt i følgende kompetansemål for 10. trinn: «Eleven skal kunne: finne sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spel beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal vise med døme og finne dei moglege løysingane på enkle kombinatoriske problem» Opplegget kan brukes som introduksjon til sannsynlighet, eller som en liten repetisjonsøvelse. Forarbeid Elevene bør kunne enkel brøkregning. Organiser elevene i par. Alle spillene egner seg best til å spille en mot en. Matematikk i fokus Sannsynlighet kan by på større eller mindre overraskelser. Elevene vil oppleve at det ikke alltid er intuitivt hvordan utfallet av et spill blir. Konkret vil vi se på hva som skjer hvis to hendelser er avhengig eller uavhengig av hverandre,sannsynlighet i to ledd og store talls lov. Utstyr 1. Kortstokk 2. Kronestykker 3. Spillebrikker og terninger Aktivitet/opplegg Start med å introdusere spill for elevene, som følger: Spill 1 Hvert par skal ha fire kort fra en kortstokk, to røde og to svarte kort. Den som først har bursdag har rolle A, motspilleren har rolle B. Rolle A blander kortene og holder dem frem. Rolle B trekker to kort. Dersom B trekker to av samme farge, får B ett poeng, hvis B trekker to av forskjellig farge får A poenget. Gjenta ti ganger uten å bytte rolle. Den med flest poeng vinner. Tell opp i elevgruppen: Hvor mange par spilte uavgjort? Hvor mange rolle A vant? Hvor mange rolle B vant? Er det noe mystisk her? Er dette et rettferdig spill?
På tide med en analyse: Hva er sannsynligheten for at det første kortet er sort? Hvis du trakk et sort kort først, hva er da sannsynligheten for at kort nr. 2 også blir sort? Demonstrer spillet med åpne kort, og du ser at det er større sannsynlighet for å trekke det andre kortet som motsatt farge av det første. Sannsynligheten i trekk to er avhengig av utfallet av det første trekket. Så spør elevene: «Jammen, hva hvis vi trekker begge kortene på likt?» Tenk igjennom hva du vil svare på dette. La elevene utforske to spill til. Instruer kort og la elevene velge om de vil spille og erfare om spillene er rettferdige, eller om de vil drøfte og analysere. Spill 2: Du trenger en mynt. Igjen er det to roller, A og B. Kat mynt og kron to ganger. Ved likt utfall får A ett poeng, ved ulikt utfall får B ett poeng. Først til 10 poeng er vinneren. Spill 3: Du trenger to terninger (gjerne i to ulike farger) og 20 spillebrikker til hvert par. De to elevene velger hvem som skal være bank og hvem som skal være gambler. Begge starter med 10 spillebrikker hver. Gambleren kaster terningene. Hvis han får to like (par) får han tre brikker av banken, men hvis han ikke får to like, får banken en spillebrikke av gambleren. Den som først er tom for brikker har tapt. Er disse spillene rettferdige?
Aktivitet 4: «Monty Hall-problemet» Følgende tankeeksperiment er løselig basert på et underholdningsprogram som het «Let s Make a Deal», der Monty Hall var den opprinnelige programverten. Tankeeksperimentet ble opprinnelig lansert av Steve Selvin i journalen The American Statistician i 1975, og går nå under navnet «Monty Hall-problemet». Problemet er verdenskjent og figurerer som oppgave i flere matematikkbøker. Tankeeksperimentet er som følger: Forestill deg at du er med i et underholdningsprogram der du har sjansen på å vinne en bil. Foran deg er det tre dører. Bak en av dørene er bilen, og bak de to andre dørene er det en geit. Du skal velge en av dørene. Sannsynligheten er jo helt klart 1/3 for at bilen er bak den døren du velger. La oss si at du velger dør nr. 1. Programverten vet hva som er bak disse dørene, og han åpner nå en av de dørene som du ikke valgte, og viser frem en av de to geitene som finnes. La oss si f.eks. dør nr. 3, som vist på bildet under. Verten spør så: «Ønsker du å bytte dør?» Bør du bytte dør eller ikke? Diskuter dette problemet. Dere kan gjerne gå to og to og prøve ut dette problemet. Bruk kort fra en kortstokk som «dører», der f.eks. et rødt kort symboliserer geit og et sort kort symboliserer en bil. Hvilken strategi fører frem?
Aktivitet 5: «Kløver og ruter II» Vi fortsetter med problemstillingen fra aktivitet 1, hvor vi har tre kløvere og en ruter på hånden. Vi skal fortsatt trekke to kort, men denne gangen skal vi ta hensyn til rekkefølgen. Spørsmålet vi nå skal besvare, er følgende: Hvis det andre kortet vi trakk, er kløver, hva er da sannsynligheten for at også det første kortet er kløver? Her må dere ikke gå i fellen og tenke at vi skal se på sannsynligheten for at vi trakk to kløvere. Det er nemlig et annet spørsmål (men en veldig vanlig misoppfatning innenfor sannsynlighetsregningen). Hvis vi ser for oss at vi foretar et slikt forsøk 1000 ganger, så kan spørsmålet reformuleres til følgende: Hvis vi bare tar utgangspunkt i de forsøkene der det andre kortet som ble trukket, er kløver, hvor stor andel av dette utvalget har også første kort som kløver? Prøv å gjøre noen forsøk selv, og se hvor stor andelen er. Denne aktiviteten er et godt eksempel på forskjellen mellom A B og A B.