Forelesninger i Reservoarteknikk 2. Tor Austad

1 Forelesninger i Reservoarteknikk 2 Tor Austad

2 Innhold Side 1. PVT-analyse... 3 1.1 Innledning... 3 1.2 Enkomponent-/flerkomponentsystemer...3 1.3 Reservoar fluid systemer, PT-diagrammer...5 1.4 Materialbalanse, Tørr gass/våt gass/gass kondensat 6 1.5 Likevektsberegninger... 8 1.6 Separatorberegninger... 11 2. Flerbrønnsystemer... 14 2.1 Definisjoner... 14 2.2 Flere brønner i et sirkulært horisontalt reservoar 14 3. Trykkpotensialer... 18 3.1 Definisjoner... 18 4. Koning... 20 4.1 Gass-koning... 20 4.2 Vann-koning... 22 4.3 Samtidig gass- og vann-koning... 25 5. Brønntester, Gassbrønn.... 28 5.1 Innledning... 28 5.2 Mottrykk test... 29 5.3 Isokron test... 31 6. Fraksjonstrøm... 33 6.1 Introduksjon... 33 6.2 Horisontalt reservoar... 33 6.3 Hellende reservoar... 35 7. Ikke blandbar fortrengning... 38 7.1 Introduksjon... 38 7.2 Stempelfortrengning... 38 7.3 Buckley-Leverett s teori... 39 8. Lagdelte reservoarer... 51 8.1 Stiles metode... 51 9. Naturlig vanninnfluks... 54 9.1 Gassreservoarer... 54 9.2 Oljereservoarer... 57 10. Symboler... 61 11. Øvinger... 63 11.1PVT-analyse... 63 11.2 Flerbrønnsystemer... 71 11.3 Koning... 73 11.4 Brønntesting... 74 11.5 Ikke blandbar fortrengning... 76 11.6 Lagdelte reservoarer... 78 11.7 Naturlig vanninnfluks... 80 12. Appendiks... 82 12.1 Omgjøringsfaktorer i PVT-analyse...82 12.2 Diagram til Øving 7.... 83

3 1. PVT-Analyse 1.1. Innledning Relevant litteratur: Petroleum Reservoir Engineering Amyx, Bass and Whiting, Mc. Graw-Hill. Volumetric and Phase Behavior of Oil Field Hydrocarbon Systems M. B. Standing, Soc. Petr. Eng. of AIME. Properties of Oils and Natural Gases Pedersen, Fredenslund and Thomassen, Gulf Pulishing Comp., 1989. 1.2. Enkomponent-/flerkomponentsystemer Enkomponent system Definisjon av kritisk punkt: De intensive egenskapene (parametre uavhengig av massen) til gass- og vækefasen er like, (eks. ρ o =ρ g, x i =y i ). Kokepunkt- og duggpunkt-kurven faller sammen. Superkritisk område: T>T c og P>P c Fig. 1.2.1. PT-diagrammet for et en-komponent system.

4 Flerkomponentsystem To-fase område: Kokepunkt- og duggpunktkurve møtes i et kritisk punkt. Isovolum line: Kurver i to-fase området med konstant volum% væke. Krikondenterm,T kri,: Makimal temperatur hvor en kan ha to faser. Krikondenterm, P kri,: Maksimalt trykk hvor en kan ha to faser. Fig. 1.2.2. PT-diagram for et flerkomponent system. Gibb s faseregel, utledet fra kjemisk potentialer, angir systemets frihetsgrader, dvs. antall intensive variable som kan endres uten at en fase forsvinner eller oppstår. F = c + 2 - p (1.2.1) (F: frihetsgrader; c: antall komponenter; p: antall faser) For å spesifisere systemets tilstand, trenger en å angi systemets totale sammensetning. I pertoleum sammenheng brukes vanligvis molfraksjon og vektsfraksjon. Molfraksjon: z i = n i Σn j, Σ z i = 1 (1.2.2) Vektfraksjon: w i = W i ΣW j, Σw i = 1 (1.2.3)

5 Betegnelse ved komponentanalyse av fluider: Nitrogen N 2 Carbondioxid CO 2 Hydrogensulfid H 2 S Metan Etan Propan iso-butan n-butan iso-pentan n-pentan C3 C1 C2 i-c4 n-c4 i-c5 n-c5 Hexaner C6 Heptaner C7 Octaner C8 Nonaner C9 Deacan-pluss C10+ Pseudokomponentene C6 til C9 betegnes som karbontall. Vanlivis splittes pseudokomponenten C10+ i flere fraksjoner med lik masse når en foretar PVT-simuleringer. 1.3. Reservoar fluid systemer, PT-diagrammer Karakterisering av fluid type skjer i relasjon til fluidets oppførsel ved reservoar- og standard betingelser. Fig. 1.3.1. PT-diagram for karrakterisering av reservoarfluider.

6 Tørr gass: T res > T kri, sc utefor to-fase området Våt gass: T res >T kri, sc innenfor to-faseområdet, GOR>30000 SCF/SBL, ( API) STO >45. Gasskondensat: T c <T res <T kri, sc innenfor to-faseområdet, 3000<GOR<30000 SCF/SBL, ( API) STO mellom 45 og 55. Flyktig olje: T res <T c, sc innenfor to-faseområdet, 600<GOR<3500 SCF/SBL, ( API) STO mellom 35-55. Black oil : T res <T c, sc innenfor to-faseområdet, 200<GOR<600 SCF/SBL, ( API) STO mellom 15 og 35. For oljereservoarer med gascap har en at reservoartrykket er ved P b for oljen og P d for gassen. P res = (P b ) olje = (P d ) gass Tabell 1.3.1. Generelle egenskaper ved noen fluidtyper. "Black oil" Flyktig olje Rikt gasskond. Vanlig gasskond Våt gass Farge STO γsto API GOR SCF/SBL OIP SBL/bblHCPV Tres F Psat Psia Brun/mørk grønn Grønn/orange Orange/gul Gul/hvit Hvit 15-35 45-55 45-55 45-55 45+ 200-600 1200-3500 3500-8000 8000-30000 30000+ 0.9-0.75 0.6-0.35 0.35-0.15 0.15-0.05 0.05-0 100-220 150-300 150-300 150-300 150-300 300-4000 3500-5500 3000-6000 2500-9000 1500-2500 1.4. Materialbalanse, Tørr gass/våt gass/gass kondensat Tørr gass Systemet er i gass-fase i reservoaret og ved sc. Vi antar lukket reservoar med konstant temperatur under produksjonen. For trykkintervallet P i til P har en:

7 (mol produsert) = (mol initielt i reservoaret) - (moltilbake i reservoaret) Tilstandsligningen PV = nrt anvendes: ( PV zrt ) p = ( PV zrt ) i - ( PV zrt ) r (1.4.1) Indeksene p, i og r står for produsert, initielt og tilbake. Herav får en: P sc G p z sc RT sc = P i V i z i RT res - P V i zrt res (1.4.2) (z sc = 1, V i er initielt HCPV som antas konstant, lukket reservoar) Løser mhp P/z of får: P z = P i z i - P sc T res V i T sc G p (1.4.3) Ved å plotte P z mot G p kan en finne IGIP når den rette linjen skjærer x-aksen. Dersom vi ikke får linearitet, vil V i variere, dvs. vi har ikke et lukket reservoar. Fig. 1.4.1. P z som funksjon av G p. Gass-formasjonsfaktor, B g, beregnes ved å bruke tilstandsligningen ved reservoar- og standard betingelser: B g = (V g) res (V g ) = P sc z T res sc T sc P = 0.028728 z T res P (1.4.4)

8 dersom en anvender petroleumsenheter. Tabell 1.4.1. Enheter ved bruk av tilstandsligningen PV = znrt: System P V n R T SI kpa m 3 kgmol 8.3145 K Petroleum psia ft 3 lbmol 10.732 R Våt gass Materialbalansen gjøres som for tørr gass ved at en omgjør produsert STO og fersk vann til gassekvivalenter, GE. GE tilsvarende 1SBL STO er gitt ved: GE STO = n R T sc P sc = n 10.73 520 14.7 = γ STO 350.54 10.73 520 M STO 14.7 GE STO 133000 γ STO M STO SCF SBL (1.4.5) dersom spesifikk tetthet og molekylvekt av STO er gitt. Dersom bare spesifikk tetthet er gitt, kan en bestemme M STO fra Cragoe s formel: M STO = 6084 API - 5.9 For fersk vann blir formelen: GEw 133000 1 18 SCF = 7388.9 SBL (1.4.6) Dersom det produseres salt vann, må en inkludere vannleddet W p i materialbalansen. Gasskondensat Gasskondensat fluider beskrives også som retrograde gasser. Grunnen er at det skjer en retrograd væskeutfelling (retrograd kondensering) ved trykkavlastning i et bestemt trykkintervall i to-faseområdet. Ved videre trykkavlastning vil det skje en normal fordampning av utfelt væske. Materialbalense: P res > P d : Som for våt gass, dvs. produsert STO og fersk vann omgjøres til GE. P res <P d : PVT-analyse må utføres, og gjennvinningen beregnes ut fra en konstant volumavlastning analyse (CVD-analyse: constant volume depletion analysis).

9 CVD-analyse: Rekombinert olje og gass samplet fra testseparator haes i en PVT-celle ved T res og P d. Cellevolumet noteres, V celle.første trykkavlastninger, P 1, skjer ved at cellevolumet økes, V 1. Etter at likevekt er oppnådd mellom gass- og væskefase, produseres gassvolumet V 1 ved at trykket holdes ved P 1. Retrograd væskeutfelling, komposisjon og z-verdien til den produserte gassen bestemmes. Avlastningsprosessen gjentas i ca. 10 steg inntil avslutningstrykket er nådd. Det henvises til Øving 5 og 6 som angir tabeller over observerte og beregnede data. Øving: 1.4.1 Skisser forløpet dersom en plotter: a. molfraksjon C1 og C10+ mot P b. retrograd væskevolum mot P c. GOR mot P. Anta: P a < P < P i, P i >P d og P a < P d. Produksjon fra gasskondensat felter foregår vanligvis ved at en reinjiserer tørr gass slik at en holder P res >P d, hvorfor? For PVT-analyse av gass kondensat systemer velger en å bruke rekombinert olje og gass prøve fra testseparator framfor bunnhullsprøve, hvorfor? 1.5. Likevektsberegninger K-verdier K-verdier defineres ved hjelp av Daltons (ideelle gasser) og Raoults (ideelle væsker) lov. Anta at systemet er i to-faseområdet ved gitt T og P. For ideelle gasser: P = Σ P i, y i = P i P eller P i = y i P For ideelle væsker: P i = x i P vi (P i : partialtrykk av komponent j i blandingen; P vi : partialtrykk av ren komponent i) Betingelse for likevekt mellom gass og væskefasen er gitt ved: y i P = x i P vi

10 y i x i = P vi P = K i (1.5.1) K i er en fysisk likevekts konstant og angir forholdet mellom molfraksjonen av komponent i i gass og væske fasen. Den sier ikke noe om mengdeforholdet mellom gass og væskefasen. I reelle petroleumsituasjoner kan vi ikke bestemme K i fra forholdet mellom P vi og P. K i er en funksjon av T, P og komposisjonen, Ki = f(t, P, komp.). Håndbøker inneholder diagrammer som Ki-verdier for de enkelte komponentene som funksjon av T, P og et konvergenstrykk som relasjonene er beregnet ut fra. Disse verdiene er fremkommet ved å tilpasse en simulator til eksperimentelle data. PVT-simulatorer, som inneholder kubiske tilstandslikninger of flash-beregninger, vil beregne K i -verdier i to-faseområdet. Input data er z i, Pci, Tci of ωi (acentrisk faktor). Flash beregninger En flash prosess beskrives som en konstant masse ekspansjon, dvs. en bestemt mengde av en fluid ekspanderer og danner to faser, gass og olje. For gitt P og T i to-faseområdet kan en sette opp følgende ligninger med basis i 1 mol føde (initiell fluid): V + L = 1 (1.5.2) z i = xil + yiv (1.5.3) Ki = y i xi (1.5.4) Σxi = Σyi = Σzi = 1 (1.5.5) (V og L er molfraksjon av hhv. gass og væske) (1.5.3) og (1.5.4) gir: z i x i = L+K i V z i y i = L K +V i (1.5.5) gir flash ligningene: Σx i = Σ z i L+K i V = 1 (1.5.6)

11 Σy i = Σ z i L K i +V (1.5.7) Den ene av flash ligningene løses ved itterasjon, dvs. en velger L og V=1-L slik at summen kovergerer mot 1. Newton-Raphson s metode er enkel å programmere og anvendes ofte i denne type problemer. Ligning (3) gir: F = Σ eller: z i L+K i V - 1 = 0 (1.5.8) F = Σ z i L + (1-L)K i - 1 (1.5.9) df dl = Σ (Ki-1)zi [L + (1-L)Ki] 2 (1.5.10) Løsningen foregår etter følgende prosedyre: - Finn riktige verdier for K i ved gitt T of P. - Anta en verdi for L. - Beregn F og df dl. - Gå langs tangenten til skjæring med L -aksen. - Ta skjæringspunktet som nytt estimat for L. - Fortsett til kovergens, dvs. når summasjonsleddet blir lik 1. Flashligningene gjelder også ved P b og P d. Ved P b har en: z i x i, L 1, V 0. Ligning (1.5.7) gir da: Σ y i = Σ z i K i = 1 (1.5.11) Ligningen løses ved itterasjon. En antar vedi for P b og finner K i verdier for komponentene ved antatt P b og gitt T. Regner ut summen, og fortsetter til kovergens. Dersom: Σ z i K i >1 er en i to-faseområdet Σ z i K i < 1 er en i en-faseområdet (væske) Ved P d har en: z i y i, L 0 og V 1. Ligning (1.5.6) gir: Σ x i = Σ z i K i =1 (1.5.12)

12 Ligningen løses på tilsvarende måte ved å anta verdi for P d, finner K i verdier og summere inntil kovergens er oppnådd. Dersom: Σ z i K i Σ z i K i > 1 er en to-faseområdet < 1 er en i en-faseområdet (gass) 1.6. Separatorberegninger Gitt et multisteg separator system med totalt k separatorer (tanken er inkludert) Fig. 1.6.1. Multisteg separator system. Separatorberegninger kan gi svar på følgende problemstillinger: Bestemme P sep slik at væslemengden i tanken blir størst mulig under gitte temperatur betingelser. Separatorene oppererer da under optrimale betingelser. Hva blir sammensetningen av produsert gass fra hver av separatorene? Hva blir sammensetningen av STO? GOR for hver separator og total GOR. Formasjonsfaktor, B o. IOIP og IGIP fra gitt reservoar volumenhet.

13 Basis for alle beregningene nedenfor er 1 mol initiell fluid. Utledning av formler Molfraksjon gass fra separatorer og molfraksjon STO. Gitt: komposisjon av reservoar fluidet, z i. Antar 1 mol føde til hver separator, andvender flash ligningen og beregner molfraksjon gass og væske (V i og L i for separator i). Molfraksjon væske som kommer til separator i er da gitt ved: i (n o ) i = L 1 L 2 L 3...L j = Π L i (1.6.1) i=1 Molfraksjon STO er gitt ved: k n STO = Π L i (1.6.2) i=1 Molfraksjon gass fra separatorene er gitt ved: n g = V 1 + V 2 L 1 + V 3 L 1 L 2 + V 4 L 1 L 2 L 3 +...V i L 1 L 2...L i-1 +...V k L 1 L 2 ---L k-1 k i-1 n g = Σ V i Π L j, hvor L 0 = 1, (1.6.3) i=1 j=0 Eller ut fra massebalanse (basis i 1 mol føde): n g = 1- n STO = 1- Π L i (1.6.4) Volum separator gass og STO Totalt volum av separator gass bestemmes fra: V g = n g V m = (1- n STO ) V m = (1- ΠL i )V m (1.6.5) Volum STO er gitt ved: V STO = m ρ STO = n STO M STO ρ STO = (ΠL i) M STO ρ STO (1.6.6)

14 Totale GOR (GOR) t = V g V STO = (1-ΠL i)v m ρ STO (ΠL i )M STO (1.6.7) GOR for separator i: (GOR) i = (V g) i V i V m ρ STO V = STO (L i L i+1...l k )M (1.6.8) STO Olje formasjonsfaktor Anttar P res > P b. B o = V ores M ores ρ STO V = (1.6.9) STO ρ ores M STO ΠL i

15 2. Flerbrønnsystemer 2.1. Definisjoner Darcy s lov for strømning i x-retningen blir: q x = - k A x µ dp dx (2.1.1) u x er Darcy hastigheten i x-retningen: u x = q x A x (2.1.2) I porøst medium er v x effektiv hastighet i x-retningen, definert ved: v x = u x φ (2.1.3) Mobilitet av vann og olje defineres som: λ w = k w µ w = k rw k µ w (2.1.4) λ o = k o µ o = k ro k µ o (2.1.5) Når vann fortrenger olje definers mobilitetsforholdet som: M = λ w λ o (2.1.6) Ser en bort fra kappilarkrefter, P o = P w, er M i følge Darcy s lov gitt ved: M = u w u o = λ w λ o (2.1.7) For M = 1 strømmer vann- og oljefasen like fort. For M < 1 har vi stabil fortrengning, vannfase går seinere enn oljefasen. For M >1 har vi ustabil fortrengning, vannfasen går går fortere enn oljefasen. 2.2 Flere brønner i et sirkulært horisontalt reservoar Darcy s lov for en brønn i midten av et horisontalt sirkulært reservoar er gitt ved:

16 P w = P e -P w = µ q 2Π h k lnr e r w (2.2.1) Fig. 2.2.1. Sirkulært reservoar med trykkflate ved r i. For trykkflaten med trykk P i har en på tilsvarende måte: P i = P e -P i = Herav: P i = P e - P i µ q 2Π h k lnr e r i (2.2.2) Dersom en har brønner i sentrum av et tilsvarende reservoar, og avstanden mellom brønnene er liten i forhold til reservoarets radius, vil trykket i et punkt (brønn) være definert ved: n P = P e + Σ P i (2.2.3) 1 hvor : q < 0 for produksjonsbrønner q > 0 for injeksjonsbrønner Generelt har en: n µ q P(x,y) = P e + Σ i 2Π h k ln r e r (2.2.4) i i=1

17 Fig. 2.2.2. Koordinatsystem i midten av et sirkulært reservoar P(x,y) = P e + µ 2Π h k Σ q i ln r e (x-x i ) 2 + (y-y i ) 2 (2.2.5) P(x,y) = P e + µ 4Π h k Σ q i ln r e 2 (x-x i ) 2 +(y-y i ) 2 (2.2.6) Ved anvendelse av formelen må en sette µ o µ w. En kan med andre ord bruke formelen til å bestemme trykket i punktet (x,y) ved starten av en vanninjeksjon. Trykkgradienten i x-retningen bestemmes ved: δp(x,y) δx = µ 4Π hk Σ q (x-x i) 2 +(y-y i ) 2 (-2)r e 2 (x-x i ) i r e 2 [(x-x i ) 2 +(y-y i ) 2 ] 2 (2.2.7) når (lnx) = 1 x x Forkorter, setter inn i Darcy s lov og finner effectiv hastighet: v x = - 1 δp(x,y) φ µ δx (2.2.8)

18 v x = 1 φ2π h Σ q x-x i i (x-x i ) 2 +(y-y i ) 2 (2.2.9) Eksempel 2.2.1. Finn strømningshastigheten v x som funksjon av x mellomm brønnene 1 og 2 når brønn 2 er injektor og q inj = q prod =q. Avstanden mellom brønnene er x 2. (0<x<x 2 ). Fig. 2.2.3. To-brønn system. v x = v x = 1 x-0 (-q 2Π φh (x-0) 2 + q x-x 2 (x-x 2 ) ) 2 (2.2.10) 1 2Π φh (-q x + q x-x 2 ) (2.2.11) Tiden kan bestemmes fra uttrykket: dt = dx v x x-r t w2 BT t BT = dt = dx v (2.2.12) x 0 r w1

19

20 3. Trykkpotensialer 3.1. Definisjoner Analogi: Trykk og elektriske potensialer- væskestrøm og elektron strøm. Generelt gjelder det at i et homogent reservoar (samme mineralegenskaper og isotropisk mht. permeabilitet) er strømningslinjene alltid vinkelrett på konstante trykkflater. Fig.3.1.1. Strømningslinjer-trykkflater Trykkpotensialer, Ψ, defineres i forhold til et referanse plan, ofte kalt datum plan: Ψ = P + ρgz (3.1.1) (ρ: tetthet, g: grvitasjonsakselerasjon, z: høyden over et referanse plan, datum plan) Denne definisjonen blir brukt i senere utledninger. En ser også ofte at fluid potensial, Φ, er definert som arbeidet ved å transportere en masseenhet fra base betingelser, P b og z b, til aktuell vedi for P og z. Φ = Ψ ρ = P ρ + gh (3.1.2) P Φ = Pb dp ρ + g(z -z b) (3.1.3)

21 Eksempel 3.1.1. Fig.3.1.2. Et kar med vann. Antar et kar med vann. Bunnen på karet representerer datum planet. Trykket i punktene A og B er i følge figuren gitt ved: P 1 = gρa P 2 = gρb Trykkpotensialene er: Ψ 1 = P 1 + gρ(d-a) = gρa + gρd - gρa = gρd (3.1.4) Ψ 2 = P 2 + gρ(d-b) = gρb + gρd - gρb = gρd (3.1.5) Trykkpotensialet er altså det samme for alle punktene over referanse planet. Det er ingen verikal væske strøm, og derfor er trykkpotensialet konstant.

22 4. Koning 4.1. Gass-koning Problemstilling: Gitt et horisontalt sirkulært reservoar med gascap. Finn størst mulig verdi for q omax uten at en får gass-produksjon ved steady state. Fig. 4.1.1. Skisse av gass-koning Antar gass-konen er etablert, og at den når frem til perforeringsintervallet ved q omax.perforeringsintervallet er gitt, og må plasseres i bunnen av oljesonen. Følgende data er gitt: r e, r w, h, ρ o, ρ g, D (avstanden fra GOC til perforeringsintervallet), åpen brønn dvs. S=0. Variable: r (radius) og z (avstanden fra datum planet til konen). Trykkpotensialene ved gass-olje kontakten ved høyden z over datumplanet (bunnen av oljesonen) er: Ψ o = P o + gρ o z (4.1.1) Ψ w = P w + gρ w z (4.1.2) Neglisjerer kapillartrykket dvs. P c =P g -P o =0 eller P o = P g.

23 Herav: Ψ o = P g + gρ o z = Ψ g - gρ g z + gρ o z (4.1.3) Ψ o = Ψ g + g(ρ o - ρ g )z (4.1.4) Ψ g er konstant da det ikke er noen gass-strøm i noen retninger, dvs. δψ g δz = 0. Dette gir: δψ o δz = g(ρ o - ρ g ) (4.1.5) Antar Darcy s lov gjelder for oljestrømmen inn mot brønnen. Dette gir: q o = - k o A δψ o µ o δr = - k o 2Πrz δψ o µ o δz δz δr (4.1.6) Setter inn for δψ o δz og får følgende differential likning: q omax dr r = -2Π k o µ o g(ρ o - ρ g ) zdz (4.1.7) Integrerer med følgende grenser: r e q omax dr r r w = -2Π k h o g(ρ µ o - ρ g ) o zdz (4.1.8) h-d Dette gir: q omax ln r e r w = -Π k o µ o g(ρ o - ρ g ) [h 2 -(h - D) 2 ] (4.1.9) q omax = - Π k o g(ρ o -ρ g ) µ o ln r e r w [h 2 (h-d) 2 ] (4.1.10) I feltenhetene: resbbl/d, g/cm 3, md, cp og ft får en:

24 q omax = - 1.535x10-3 k o g(ρ o -ρ g ) µ o ln r e r w [h 2 (h-d) 2 ] (4.1.11) Begrensninger: Beregningen av q omax er noe unøyaktig da vi antar: 1. Ren radiell strøm av olje. Strømningslinjene bøyer av nedover etter som en nærmer seg brønnen. Dette betyr at strømningspotensialet i oljen varierer noe i vertikal retning. Vi har antatt uendelig permeabilitet i vertikal retning, dvs. ingen strømningsmotstand. Vanligvis er k v <k h og dette gir redusert strømningsrate i forhold til beregnet verdi. 2. P c = 0. Vi har da ingen diffus overgang mellom gass og oljesonen over konen. Dette er ikke tilfellet. Metningen av oljen avtar nær konen pga. en viss gass-metning. Dette gir redusert vedi for k o nær konen og totalraten nedsettes. Løsningen gjelder bare for en steady state situasjon. Den forteller ikke noe om hvordan konen bygges opp og hvor land tid det tar. Dette problemet er mye vanskeligere da det inkluderer forandringer i effektiv permeabiliter etter som gass fortrenger olje nedover i konen. Nummerisk simulering er nødvendig. En må da ta hensyn til vertikale permeabiliter, og disse er ofte mindre enn horisontale permeabiliteter. 4.2. Vann-koning

25 Fig. 4.2.1. Skisse for vannkoning. Problemstilling: Finn q omax uten at en får vannproduksjon i en steady state situasjon. Gitt: r e, r w, h, ρ o, ρ w, D (perforeringsintervallet), sikulært horisontalt reservoar. Variable: z og r Antar vannkonen er etablert og når akkurat fram til perforeringen. Datumplanent velges ved OWC. Da er trykkpotensialene for olje og vann langs konen gitt ved: Ψ o = P o + gρ o z (4.2.1) Ψ w = P w + gρ w z (4.2.2) Neglisjerer kapillartrykket (P o = P w ) og får: Ψ o = Ψ w + g(ρ o -ρ w )z (4.2.3) Ψ w er konstant da vannet ikke strømmer. Dette gir: δψo δz = g(ρ o -ρ w ) (4.2.4) Antar radiell oljestrøm ved å anvende Darcy s lov:

26 q o = - k o A δψ o µ o δr = - k o 2Πr(h-r) δψ o µ o δz δz δr (4.2.4) Setter inn for δψ o δz, ordner og får følgende differential likning: q o dr r = -2Π k o µ o g(ρ o -ρ w )(h-z)dz (4.2.5) Integrerer: r e q omax dr r r w = -2Π k 0 o g(ρ µ o -ρ w ) o (h-z)dz (4.2.6) h-d Herav får en: q omax = -Π g(ρ w - ρ o ) k o µ o ln r e r w (h 2 - D 2 ) (4.2.7) I feltenheter som angitt tidligere: q omax = - 1.535x10-3 g(ρ w - ρ o ) k o µ o ln r e r w (h 2 - D 2 ) (4.2.8) Vannkonens form bestemmes ved å finne et uttrykk som gir z=f(r). Setter uttrykket for q omax inn i differential likningen over og får: -Π g(ρ w - ρ o ) k o µ o ln r e r w (h 2 - D 2 ) dr r = -2Π k o µ o g(ρ o -ρ w )(h-z)dz (4.2.9) Forkorter og integrerer mellom grensene: h 2 - D 2 ln r e r w r edr r r 0 = -2 (h-z)dz (4.2.10) z Dette gir:

27 z 2-2hz + (h 2 -D 2 ) ln r e r z må ligge mellom: (0<z<h). Herav: ln r e r w = 0 (4.2.11) z = h - h 2 - (h 2 - D 2 ) ln r e r ln r e r w (4.2.12) Øving 4.2.1. Utled på tilsvarende måte et uttrykk for gass-konens form, z=f(r). 4.3. Samtidig gass- og vann-koning Problemstilling: Finn største verdi for q o uten at en får gass- eller vannproduksjon ved en steady state situasjon som angitt i figuren.

28 Fig.4.3.1. Skisse for samtidig gas og vann koning. Gitt: r e, r w, h, ρ o,ρ g,r w og h c (perforeringsintervallet) Penetreringsdybden D må velges slik at både gass- og vann-konen når akkurat fram til perforeringsintervallet. Oppgaven løses ved at en først bestemmer D. Deretter bestemmer en høyden z o over referanseplanet (ved OWC) hvor oljen har en ren horisontal strømning. Oljereservoaret deles da i 2 deler. Den øvre delen av reservoaret med høyde (h-z o ) kan da behandles som en gasskoning og den nedre delen av oljereservoaret med høyde z o kan behandles som en vannkoning. I følge figuren er perforeringsintervallet for vann-, h cw, og gass-koningen, h cg, da gitt ved: h cw = z o -(h-d) (4.3.1) h cg = h c - h co = h c - [z o - (h-d)] = h c - z o + h - D (4.3.2) Bestemmelse av D. Trykkpotensialer ved GOC ved brønnen er gitt evd: Ψ o = P o + gρ o (h-d+h c ) (4.3.3) Ψ g = P g + gρ g (h-d+hc) (4.3.4) Setter P c = 0, dvs. P o =P g og får: Ψ o = Ψ g + g(ρ o -ρ g )(h-d+h c ) (4.3.5)

29 Trykkpotensialer ved OWC ved brønnen er gitt ved: Ψ o = P o + gρ o (h-d) (4.3.6) Ψ w = P w + gρ w (h-d) (4.3.7) P c =0, dvs. P o =P w gir: Ψ o = Ψ w + g(ρ o -ρ w )(h-d) (4.3.8) Uttrykkene for Ψ o må være like da det ikke er noe oljestrøm vertikalt langs innløpet på brønnen. Ψ g + g(ρ o -ρ g )(h-d+h c ) = Ψ w + g(ρ o -ρ w )(h-d) (4.3.9) Da hverken vann eller gass strømmer er Ψ g og Ψ w konstanter. Verdiene kan bestemmes ved r e hvor GOC ligger i høyde h over referanseplanet, og WOC ligger i referanse planet. Ved GOC har en: Ψo = P o + gρ o h (4.3.10) Ψ g = P g + gρ g h (4.3.11) Herav får en dersom P o =P g, dvs P c =0: Ψ o = Ψ g + g(ρ o -ρ g )h (4.3.12) Ved OWC har en: Ψ o = P o Ψ w = P w P c = 0 gir: Ψ o = Ψ g Dette gir: Ψ w = Ψ g + g(ρ o -ρ g )h (4.3.13) Innsatt i (4.3.9) får en: Ψ g + g(ρ o -ρ g )(h-d+h c ) = Ψ g + g(ρ o -ρ g )h + g(ρ o -ρ w )(h-d) (4.3.14) Forkorter og løser mhp. D:

30 D = ρ o-ρ w h - ρ o-ρ g h ρ g -ρ w ρ g -ρ c (4.3.15) w For å finne z o,bruker en symetriberegninger. Siden det ikke er noe oljestrøm gjennom planet som ligger i høyde z o, må strømningsraten, u o, over og under planet være like store for en gitt r. Ved å anta at en har inkompressibel strøm, er volumraten, q o g, over z o den samme for alle r, og tilsvarende for oljestrømmen under z o, q o w, se figuren. Bestemmer ratene ved r e og r w. q o g = 2Πr e (h-z o )u ore = 2Pre(h-D+h c -z o )u orw (4.3.16) q o w = 2Πr e z o u ore = 2Πr e [z o - (h-d)] u orw (4.3.17) Dividerer ligningene på hverandre, forkorter og får: q o g q o w = h-z o z o = h-d+h c-z o z o -h+d (4.3 18) Løser mhp. z o, setter inn for D, og får: z o = (h-d)h h-h c = h ρ o-ρ g ρ w -ρ g (4.3.19) q o g og q o w bestemmes som tidligere utledet for gass- og vann-koning. For simultan gass- og vannkonig er da: q omax = q o g + q o w (4.3.20)

31 5. Brønntester/ Gassbrønner. 5.1. Innledning Brønntesting utføres for blant annet for å bestemme reservoar parametre. Under brønntester registrer en følgende data: Stabilisert statisk trykk i brønnen som antas å være lik P res. En produserer med forskjellige rater og måler strømningsraten, Q, og strømførende trykk i brønnen, P w. stabilisert En plotter så Q mot P = P res - P w. Produktivitetsindeks defineres som: PI = Q P, dvs. Q = (PI) P Fig. 5.1.1. P w og Q som funksjon av t.

32 Fig. 5.1.2. Q vs. P Darcy s lov for et horisontalt sirkulært reservoar: Q o = - herav: PI = 2Π k o h µ o B o ln r e r w (P e -P w ) (5.1.1) 2Π k o h µ o B o ln r e r w (5.2.2) Avviket fra en rett linje, dvs. at PI avtar med økende P, kan skyldes: - Turbulens (mest aktuelt for gass-brønner) - k o avtar nær brønnen pga. at S g øker når P øker (gass koker ut av oljen) - µ o øker når gass koker ut av oljen - k g kan avta nær brønnen ved at S o øker når P øker (gasskondensat fluider, retrograd vækeutfelling) - Reduksjon i permeabilitet pga. avtagende porøsitet når P øker. Produktivitetstesting av gass-brønner kan utføres på to måter: Mottrykkstest eller Isokrontest (også kalt lik tid test). 5.2. Mottrykk test Mottrykkstesten utføres ved at en stegvis øker produksjonsraten, Q g, og måler samhørende vedi for P w når trykket og raten har stabilisert seg. Antar sikulært horisontalt reaservoar og Darcy s lov gir: Q g = q g B g = 2Π k g h (P e -P w ) µ g B g ln r e r w (5.2.1) Antar at all produsert gass også er gass ved sc. Da er: B g = V res V sc = z T P sc T sc P (5.2.2)

33 (z sc = 1, dvs. antar ideell gass) Spørsmålet er da hvilken verdi en skal bruke for P res? Det har vist seg hensiktsmessig å bruke middelverdien mellom P e og P w. P res = P e + P w 2 (5.2.3) (obs. z = f(t, P,komp.) og må bestemmes ved beregnet P res ) Uttrykket for B g blir da: B g = 2zTP sc T sc (P e +P w ) (5.2.4) Innsatt i Darcy s lov får en: Π k g h T sc Q g = µ g z T P sc ln r (P e 2 - P w 2) (5.2.5) e r w I felt-enheter (petroleumsenheter: psia, R, SCF/D, md,ft, cp) blir formelen: Q g = 0.01988 k g h T sc µ g z T P sc ln r (P e 2 - P w 2) (5.2.6) e r w Dersom vi har laminær strøm, kan dette skrives som: Q g = C (P e 2 - P w 2) (5.2.7) En empirsisk turbulensindeks, n, inkluderes på følgende måte: Q g = C (P e 2 - P w 2 ) n (5.2.8) (0.5 < n < 1, n =1 dvs. ingen turbulens, n=0.5 dvs. full turbulens) C og n bestemmes grafisk fra et log-log plott: lgq g = lgc + n lg(pe 2 - Pw 2 ) (5.2.9)

34 Fig. 5.2.1. Plott for bestemmelse av C og n. Vurderinger: n kan variere dersom det er store forskjelder i Q g (forskjellige grader av turbulens) Da C=f(r e,...), ser en at C avtar med økende r e. r e vil vanligvis være ukjent i en brønntest, og reservoaret vil føle forskjellige vedier for r e i testperioden da r e vil øke med tiden, r e =f(test-tid). Dette gjelder særlig en kompressible fuid som gass. Det er svært viktig at en kan bestemme riktig verdi for C da dette uttrykket innehilder viktige reservoarparamerte som da kan estimeres. Disse feilkildene kan delvis elimineres ved å utføre en Isokron test. 5.3. Isokron test/lik tid test Denne testen utføres ved at brønnen stenges etter hver testperiode inntil P w =P e. Det utføres forskjellige testserier med økende testtid, t i, og hver testserie vil da få forskjellig C i verdier. Innenfor hver testserie holdes tiden konstant som gjør at reservoaret føler stort sett samme verdi for r e. Prinsippet er vist skjematisk i figuen under.

35 Fig. 5.3.1. Skjematisk skisse av prinsippet for isokron testen. Dataene plottes etter ligningen: lgq g = lgc(t) + nlg(pe 2 - Pw 2 ) (5.3.1) Dette gir tilnærmet paralle linjer hvor C avtar med økende testtid.det viser seg i prasis at slopen på kurvene er tilnærmet den samme da graden av turbulent blir tilnærmet lik for hver serie. Absolutt åpen flow (AOF) er definert som volumraten ved P w =1atm=14.7 psia. Fig. 5.3.2. Plott for bestemmelse av C i og n.

36 Trykkreduksjon i yttergrensen av reservoaret vil ikke føles for små tidsintervaller, t, under testen. C vil konvergere mot riktig verdi når t går mot uendelige. Fig. 5.3.3. Bestemmelse av riktig verdi for C. Fig. 5.3.4. Reservoaret føler større verdi for re etter som t øker.

37 6. Fraksjonsstrøm 6.1 Introduksjon Dette avsnittet behandler fraksjonstrøm kurver a. Horisontalt reservoar b. Hellende reservoar Fig. 6.1.1 Relative permeabiliteter. En tar utgangspunkt i data for relative permeabiliteter. k or = k o k k rw = k w k (6.1.1) (6.1.2) Anta at en har 2 faser, olje og vann. Fraksjonstrømmen av vann er da: f w = q w q w + q o = q w q t (6.1.3) f o = (1-f w ) (6.1.4) 6.2. Horisontalt lineært reservoar. Antar P c = 0, dvs. P o = P w. Darcy s lov for strøm i x-retningen gir:

38 q w = - A k w dp µ w dx q o = -A k o dp µ o dx (6.2.1) (6.2.2) f w = - A k w dp µ w dx - A k w dp µ w dx - A k o dp µ o dx (6.2.3) Forkorter og setter, k o =k ro k og k w =k rw k, og får: f w = 1 1 + k ro µ w k rw µ o (6.2.4) Vi har altså at fw = f(k ro,k rw, µ o,µ w ) Uttrykket gir fraksjonstrømmen av vann på et bestemt sted med gitt kro og krw. For et gitt reservoar med olje og vann vil mo og mw vanligvis være konstanter, og bare de realative parametrene vil variere med vannmetningen, S w. Eksempel for ren stempelfortrengning er vist i Fig. 6.2.1. Fig.6.2.1. Stempelfortrengning. Fraksjonstrømkurven fremkommer ved å plotte f w mot S w som illustrert nedenfor. For et gitt reservoar (µ o og µ w er konstaner) vil forholdet k ro k rw bestemme formen på kurven.

39 Fig. 6.2.2. Fraksjonstrøm kurven. Av formelen ser en at: når µ o øker, vil f w øke med gitt S w når µ o avtar, vil f w avta med gitt S w. 6.3. Hellende reservoar Anta et hellende lineært reservoar hvor P c ikke er 0. Fig. 6.3.1. Hellende reaservoar.

40 Ser at: sin α = z x eller at z = x sin α. Definerer et datum plan (referanse plan) hvor S w = 1-S or, dvs. hvor f w = 1. Trykkpotensialet for olje og vann i avstand z over datum planet er gitt ved: Ψ o = P o + ρ o gz = P o + ρ o gxsinα (6.3.1) Ψ w = P w + ρ w gz = P w + ρ w gxsinα (6.3.2) Innsatt i Darcy s lov med strøm i x-retningen: q w = - A k w dψ w µ w dx q o = - A k o dψ o µ o dx = - A k w µ w ( dp w dx + ρ wgsinα) (6.3.3) = - A k o µ o ( dp o dx + ρ ogsinα) (6.3.4) P c = P o + P w (6.3.5) dvs.: dp c dx = dp o dx + dp w dx (6.3.6) q t = q o + q w (6.3.7) ρ = ρ w - ρ o (6.3.8) (6.3.4) - (6.3.3) gir: q w µ w k w - q o µ o k o = A ( dp o dx - dp w dx - ρgsinα) (6.3.9) q w µ w k w - (q t-q w )µ o k o = A ( dp c dx - ρgsinα) (6.3.10) f w = q w q t = µ o k o + A q t ( dp c dx - ρgsinα) µ w k w + µ o k o (6.3.11) Setter k o =k ro k, k w =k rw k, u t = q t A og får:

41 f w = 1 + k ro k µ o u t ( dp c dx - ρgsinα) 1 + k ro µ w k rw µ o (6.3.12) Antar en at høyden på reservoaret er mye mindre enn lengden, h<<l, kan en sette P c 0. Dette gir: f w = 1 - k ro k µ o u t ρgsinα 1 + k ro µ w k rw µ o (6.3.13) For α=0, er sinα=0, og vi får formelen som er utledet for et horisontalt lineært reservoar for P c =0, ligning (6.2.4). For et hellende reservoar er f w =f(u t,...). For et horisontalt reservoar hvor P c =0 er f w uavhengig av u t. Fig. 6.3.2. Fraksjonstrømkurven for et hellende reservoar. Dersom α>0, øker f w når u t øker. Dersom α<0, minker f w når u t øker. For et hellende reservoar kan en også ha f w <0 og f w >1. Dersom α<0 og avtagende, vil f w øke. f w >1 medfører at vann og olje strømme hver sin vei hvor vannet strømmer med strømningsretningen.

Dersom α>0 og økende, vil f w avta. f w <0 medfører at vann og olje strømmer hver sin vei hvor vannet strømmer mot strømningsretningen. 42

43 7. Ikke blandbar fortrengning 7.1. Introduksjon Problemstillinger i dette avsnittet omhandler fortrengning av olje med vann. Vi har altså samtidig strømning av 2 ikkeblandbare faser, olje og vann. Det er viktig å vite hvordan metningene forandrer seg i strømningsretningen. Følgende mekanismer belyses: a. Stempel fortrengning b. Buckly-Leverett metoden 7.2. Stempelfortrengning Dersom mobilitetesforholdet M = λ w <1, har en stabil fortrengning. I et homogent reservoar λ o vil en da ha tilnærmet stempelfortrengning av olje med vann. Fig. 7.2.1. Stempelfortrengning. Fronten på injeksjonsvannet vil helle pga. gravitasjonseffekter. Bredden på fronten vil være tilnærmet lik høyden på reservoaret. Fronten vil ha en metningsprofil, og S w vil være gjennomsnittlig metning over tverrsnittet av fronten. Da en ofte har at h<<l, neglisjerer en utstrekningen på fronten. Massebalanse for et lineært reservoar med tverrsnitt A og lengde L, og hvor en antar at q inj =q prod og q t =q o +q w, er gitt ved: φ A L (1- S or - S wr ) = q t t (7.2.1) Effekticv hastighet på vannfronten er da:

44 v = L t = q t φ A (1-S or -S wr ) (7.2.2) 7.3. Buckley-Leverett s teori For å estimere vanngjennombrudd i en vannflømning, utviklet B-L den velkjente front advanced equation i 1947. Det er en ligning som beskriver vannfrontens hastighet ved ikkeblandbar fortrengning i en dimmensjon, gitt ved: v Swf = q t φ A df wf ds wf (7.3.1) v Swf : effektiv hastighet til vannets sjokkfronten f wf : fraksjonstrømmen av vann i sjokkfronten S wf : vannmetningen i sjokkfronten Ligningen tilsier at hastigheten til sjokkfronten er proporsjonal med slopen for tangenten til fraksjonstrømkurven ved S w =S wf. Denne ligningen skal vi utlede, men først skal vi se at B-L ligningen kovergerer mot hastighetsligningen for stempelfortrengning under slike betingelser. Ren stempelfortrengning har en detsom µ o er liten, og som vist på figuren forskyver fraksjonstrømkurvene seg mot høgre når µ o avtar. Fig. 7.3.1. Når µ o avtar vil f w avta og kurven forskyves mot høgre. Av figuren ser en da at:

45 df wf 1 ds = wf 1-S or -S (7.3.2) wr Innsatt i B-L ligningen gir dette: v = L q t t = φ A (1-S or -S wr ) Forutsetninger ved utledning av B-L ligningen: (7.3.3) Antar jevntykt lineært reservoar (dvs. A=konstant, dersom A varierer må en skjøte sammen B-L løsninger for forskjellige områder). Antar inkompressible faser (q t = q o + q w og q inj =q prod ). Ingen masseutveksling mellom fasene Samme fysiske egenskaper over en tverrsnittflate (S w, P, ρ, etc.) Gravitasjonseffekter gjør at fysiske målinger over et tverrsnitt ikke er konstante. Dette kan også forårsakes av viscous fingering, dvs. uten gravitasjon. Ved å anta strømning i bare en dimmensjon dvs. bare i x-retningen er dette oppfylt Generelt kan en si at B-L ligningen tilsier at i en endimmensjonal strømning vil et tverrsnitt (plan) med en gitt metning Sw bevege seg med en hastighet proporsjonal med slopen til tangenten til fraksjonstrømkurven ved metningen S w. Fig.7.3.2. Enhver vannmetning beveger seg med konstant hastighet.

46 Fig.7.3.3. Massekonservering i volumelementet dv. Anvender massebalanse mht. vann i volumelementet i figuren over. I tidsintervallet dt har en: masse inn - masse ut = masse økning ρ w (q w ) x dt - ρ w (q w ) x+dx dt = ρ w φ A dx δs w δt dt (7.3.4) (q w ) x og (q w ) x+dx er volumrater av vann ved avstanden hhv. x og x+dx. Forkorter og får: (q w ) x - (q w ) x+dx = φ A dx δs w δt (7.3.5) Ved å gå langs tangenten og la dx gå mot 0 har en at: (q w ) x+dx - (q w ) x δq w δx dx (Tailor rekke) (7.3.6) Setter dette inn i likningen over, og når en i tillegg ved t at q w =q w (x,t) og S w =S w (x,t), får en: - ( δq w δx ) t = φ A ( δs w ) δt x (7.3.7) Da S w =S w (x,t) og en vet at S w er konstant i planet ved gitt t og x har en fra kjerneregelen: ds w = ( δs w δt ) x dt + ( δs w δx ) t dx = 0 (7.3.8) Denne relasjonen gjelder for små verdier av dx og dt. Ligning (7.3.8) gir:

47 v Sw = dx dt = - ( δs w δt ) x ( δs w δx ) t eller: ( δs w δt ) x = -v Sw ( δs w δx ) t. (7.3.9) Ligning (7.3.9) innsatt i (7.3.7) gir: v Sw = 1 φ A ( δq w δx ) t ( δs w δx ) t (7.3.10) Ved gitt t har en at: (q w ) t = f w q t ( δq w δx ) t = ( δf w δx ) t + f w ( δq t δx ) t (7.3.11) ( δq t δx ) t = 0 da q t =konst. Innsatt i (7.3.10) gir dette: v Sw = 1 φ A ( δf w δx ) t ( δs w δx ) t (7.3.12) Da f w =f w (S w ) har en for gitt t i følge kjerneregelen: v Sw = 1 φ A ( δf w δs w ) t ( δs w δx ) t ( δs w δx ) t (7.3.13) Dersom en ikke har diskontinuiteter, kan en forkorte og få B-L ligningen ved et gitt tidspunkt: v Sw = q t φ A df w ds w (7.3.14)

48 For å beregne v Sw, må vi bestemme den deriverte av relasjonen f w =f w (S w ), dvs. fraksjonstrømkurven. Følgende figurer illustrerer dette problemet: Fig. 7.3.4. Illustrasjon av B-L utledningen..

49 Sjokkfronten defineres slik at A1=A2 i figuren over. PS! ved utledningen av B-L ligningen dividerte vi med ( δs w δx ) t. Dette gir ufysikalske data (diskontinuiteter) ved δs w δx = uendelig. Når vi skal beregne hastigheten på sjokkfronten, må vi vite verdien for slopen til frasjonstrømkurven ved S wf. Denne bestemmes entydig grafisk basert på følgende utledning: Fig. 7.3.5. Massekonservering ved i sjokkfronten. Antar at sjokkfronten beveger seg x i løpet av tiden t. Følgende ligninger kan settes opp: q wf = f wf q t (7.3.15) q wf t = (S wf - S wr ) φ A x (7.3.16) Dette gir: f wf q t t = (S wf - S wr ) φ A x (7.3.17) Eller: v f = x t = f wf q t (S wf -S wr ) φ A (7.3.18)

50 Dette uttrykket må være lik uttrykket gitt ved B-L, altså: q t φ A (df w f wf q t ds ) Swf = w (S wf -S wr ) φ A (7.3.19) ( df w f wf ds ) Swf = w S wf -S (7.3.20) wr Dette beviser at løsningen er entydig ved at en trekker tangenten til fraksjonstrømkurven gjennom S wr, som vist på figuren under. Tangeringspunktet angir verdien for f wf og S wf. Fig. 7.3.6. Grafisk løsning for sjokkfronten. Bestemmelse av gjennomsnittlig vannmetning, S wav i reservoaret bak sjokkfronten. S wav bestemmes grafisk ut fra utledningen nedenfor. φ A x f (S wav -S wr ) = q t t (7.3.21) x f : lengden fronten har gått (x f <L) t: injeksjonstiden v Swf = q t φ A ( df w ds w ) Swf (7.3.22)

51 x f = v Swf t (7.3.23) (7.3.21), (7.3.22), og (7.3.23) gir etter forkortning: ( df w 1 ds ) Swf = w S wav -S (7.3.24) wr Som en ser av figuren, finnes S wav ved skjæringen mellom tangenten for fronten og parallelen til x-aksen gjennom f w =1. Fig. 7.3.7. Grafisk bestemmelse av S wav bak sjokkfronten. Før vanngjemmombrudd i produsenten, dvs. t<t BT. Antar q t =konst Volumrate vann i produsenten: q wp = 0 q inj =q prod q t =q op N p = q opt B o = q injt B o (7.3.25) Dersom q t ikke er konstant må en løse integralet:

52 t N p = q op dt B (7.3.26) o 0 Ved vanngjennombrudd, dvs. t=t BT. Sjokkfronten har akkurat kommet fram til produsenten og B-L ligningen gir: t BT = L v = φ A L(S wf-s wr ) Swf q t f = φ A L(S wav-s wr ) wf q (7.3.27) t Verdier for f wf, S wf, og S wav finnes grafisk som vist tidligere. N p = q opt BT B o = q tt BT B o = φ A L(S wav-s wr ) B o (7.3.28) Vannmetningen i brønnen, S wp =S wf, finnes grafisk. Etter vanngjennombrudd, dvs. t>t BT. En kan tenke seg at reservoaret fortsetter etter produksjonsbrønnen. Det strømmer nå både olje og vann inn i produsenten, dvs. q op <q t. Fig. 7.3.8. Illustarsjon for bestemmelse av S wav for t>t BT.

53 For å beregne produsert olje, må vi bestemme gjennomsnittlig vannmetning i reservoaret ved gitt tid, t. Dette kan også gjøres grafisk, og vi skal utlede uttrykket som beviser dette. Gjennomsnittlig vannmetning i reservoaret er gitt ved uttrykket: S wav = S wp + 1 L 1-S or l Sw ds w (7.3.29) S wp l Sw : lengden metningen S w har gått i tiden t. Da l Sw = v Sw t, har en fra B-L: 1-S or S wav = S wp + q tt φal df w ds ds w (7.3.30) w S wp Forkortning gjør at vi må skifte grensene in relasjon til f w. f w ved S w =S wp er f wp, og f w ved S w =1-S or er 1. Dette gir: S wav = S wp + q t t 1 φal df w (7.3.31) f wp Integrerer og får: q t t S wav = S wp + φal (1-f wp) (7.3.32) Vannmetningen i brønnen, S wp, har gått lengden L i løpet av tiden t. Altså er: v Sw t = L = q tt φa (df w ds w ) Swp (7.3.33) Eller: q t t φa = L ( df w ds w ) Swp (7.3.34) Dette uttrykket settes inn i (7.3.32) og løser deretter mhp. ( df w ds w ) Swp og vi får:

54 ( df w 1-f wp ds ) Swp = w S wav -S (7.3.35) wp Fra grafen ser en at S wav kan entydig leses av grafisk som skjæringspunktet mellom tangenten i punktet (S wp,f wp ) og parallelen til x-aksen gjennom f w =1. Fig. 7.3.9. Grafisk bestemmelse av Swav når t>t BT. Vi skal se på forskjellige problemstillinger hvor vi kan anvende B-L teorien. I disse eksemplene har en gitt q t =q inj og fraksjonstrømkurven, f w =f(s w ). Dessuten antar en at det injiseres like mye som det produseres, dvs. q inj =q prod. Reservoarene er lineære, A=konstant. Eksempel 7.3.1. Et reservoar kan produseres til en gitt fraksjonstrøm av vann i produsenten, eller en gitt WOR. Beregn N p og produksjonstiden t. Gitt: f wp eller WOR. Dersom WOR er gitt må en beregne f wp fra følgende relasjoner: q w WOR = Q w B w Q = o q (7.3.36) o B o f wp = q w q w +q o (7.3.37) q t = q w + q o (7.3.38)

55 Når fwp er beregnet er videre fremgangsmåte gitt ved: - merk av f wp på frasjonstrømkurven - Swp finnes grafisk - tangenten trekkes i punktet (S wp,f wp ) - Swav finnes grafisk Da er: N p = φal(s wav-s wr ) B o (7.3.39) t = L v = φal(s wav-s wp ) Swp q t (1-f wp ) (7.3.40) Eksempel 7.3.2. Reservoaret skal produseres inntil en har produsert en gitt oljemengde Np. Hvor lang tid tar dette og hva blir WOR? Gitt: N p. Fremgangsmåte: - S wav beregnes fra uttrykket (7.3.39) i Eksempel 1. - tangent til fraksjonstrømkurven trekkes gjennom punktet (S wav,1) - fwp og S wp finnes grafisk t finnes fra formel (7.3.40) i Eksempel 1. WOR finnes fra f wp og volumfaktorene B w og B o. Eksempel 7.3.3. Reservoaret produseres i tiden t, og en antar at t>t BT. Finn: S wp, f wp, WOR,S wav og N p. I følge B-L har metningen Swp gått lengden L i tiden t. Dette gir: v Swp = L t (7.3.41) q t φa (df w ds w ) Swp = ( df w ds ) Swp = φal w q t t L t (7.3.42) (7.3.43)

- Slopen til tangenten beregnes fra dette uttrykket - tegner en linje med denne slopen - parallelforskyver til tangering - leser av S wp, f wp,s wav grafisk - WOR beregnes fra f wp og volumfaktorer - N p beregnes deretter som vist tidligere. 56

57 8. Lagdelte reservoarer 8.1 Stiles metode I dette avsnittet skal vi utlede en enkel formel for beregning av N p =f(t) og Q o =f(t) fra lagdelte reservoarer med vanninjeksjon. Vi antar fløgende: Horisontalt lineære reservoarer (lengde L og bredde b). Reservoarene er adskilt med ikke-permeabel bergart, dvs. det er bare i injektor og produsent at det er trykk-kommunikasjon mellom lagene (ingen kryss-strøm). Det er konstant P mellom injektor og produsent. Antar mobilitetsforhold M=1 for hvert av lagene, dvs. stempelfortrengning. I prinsippet kan alle typer reservoar parametre (initielle og residuelle metninger, mobilitetsforhol etc.) variere i hvert av lagene, men formlene blir noe mer kompliserte. I denne enkle metoden til Stiles [Trans. AIME 186(1949) 9] antar en M=1 for alle lagene, og at høyden, h i, permeabiliteten, k i, og porositeten, φ i, varierer for hvert av lagene. Lagene nummereres etter tiden for vanngjennombrudd, (tb T ) 1 <(t BT ) 2 <(t BT ) 3 <...<(t BT ) i <.., og en setter opp følgende tabell: Tabell 8.1.1. Lagene er renummerert med økende verdi for t BT. Lag nr. (t BT ) i k i φ i h i 1 (t BT ) 1 k 1 φ 1 h 1 2 (t BT ) 2 k 2 φ 2 h 2 i (t BT ) i k i φ i h i Da M=1 har vi fra Darcy s lov: (t BT ) i = L v i = L k i k rwi P φ i µ w L = φ iµ w L 2 k i k rwi P (8.1.1) eller: (t BT ) i = φ i µ o L 2 k i k roi P (8.1.2)

58 Fig. 8.1.1. Produksjonsraten av olje som funksjon av t BT for lagene.(antar n=4). Anta (t BT ) i <t<(t BT ) i+1, dvs. det produseres bare olje fra lagene (i+1) til n, (n=antall lag). n n n Q o (t) = Σ u ja j k B = o Σ j k roj Ph j b = k ro Pb Σ B o µ o L B o µ o L k jh j (8.1.3) j=i+1 j=i+1 j=i+1 Det forutsettes at: k or ved S wc og µ o er konstant for alle lagene. Fig. 8.1.2. Kumulativ oljeproduksjon, N p, som funksjon av tiden. (Antar n=4).

59 Kumulativ oljeprodulsjonen ved gjennonbrudd av vann i lag nr. i, N pi, dvs. t=(t BT ) i,er gitt ved: N pi = ( Σ φ ja j L i B o n + Σ φ ja j x j B o )(1-S wc - S or ) (8.1.4) j=1 j=i+1 i n N pi = bl x B o ( Σ φ j h j + Σ j φ j h j L )(1-S wc - S or ) (8.1.5) j=1 j=i+1 x j er avstanden vannfronten har gått i lagene som ikke har hatt gjennombrudd av vann, dvs. lagene (i+1) til n. Fra (8.1.2) har en at: x j = v j (t BT ) i = k jk ro P φ j µ o L (t BT) i = k jk ro P φ j µ o L φ i µ o L 2 k i k roi P (8.1.6) Setter dette uttrykket inn i (8.1.5), forkorter, ordner og får: i n N pi = bl B o ( Σ φ j h j + φ i k i Σ h j k j )(1-S wc -S or ) (8.1.7) j=1 j=i+1

60 9. Naturlig vanninnfluks 9.1 Gass reservoarer med vanninnfluks Volumbalanse ved sc gir: gass produsert = IGIP - gass tilbake G p = G i - ( G E i - W e )E (9.1.1) G i: IGIP E i : initiell gass volum faktor, V sc /V i W e : vanninnfluks, reservoar volum E: volum faktor ved trykket P, V sc /V res Vi antar at B w 1, dvs vi neglisjerer ekspansjon av connate water og reduksjon i porevolumet ved trykkreduksjonen. Dersom vann fra vanninnfluksen blir produsert, W p, må dette volumet trekkes fra W e. På tilsvarende måte som en utledet uttrykket: P z = P i z i - P sct i V i T sc G p = P i z i (1 - G p G i ) (9.1.2) for et lukket tørr gass reservoar, kan en også komme fram til følgende uttrykk basert på ligning (9.1.1) (utledning kreves ikke): G p P z = P 1- i G i z i 1 - W (9.1.3) ee i G i Uttrykket W ee i G i angir fraksjonen av opprinnelig HCPV hvor en har hatt vanninnfluks. Under stasjonære betingelser kan We beregnes fra den totale vann + formasjon) kompressibilitetsfaktor, trykkreduksjon og vannvolum: W e = c t V w P (9.1.4)

61 Fig.9.1.1. P z vs. produsert gass for et reservoar med vanninnfluks. Beregning av W e for gassreservoarer fra produksjonsdata. I dete tilfellet tar en utgangspunkt i opprinnelig reservoarvolum av gass. Produksjon i trykkintervallet P i til P gir: initielt HCPV = gjenværende gass + vanninnfluks - produsert vann G i B gi = (G i + G p )B g + W e - W p B w (9.1.5) Gp: volum gass produsert, sc Ordner og får: G p B g + W p B w B g -B gi = 1 B g -B gi W e + G i (9.1.6) Produksjonsledd: Volumutvidelese ledd: F = G p B g + W p B w E x =B g -B gi Får da: F E x = W e E x + G i (9.1.7) I denne formelen er W e og G i ukjent under en produksjosprosess. Dersom en plotter F E mot W e x E skal riktige data gi en rett line med slope lik 1. Som vist i figuren 9.1.2. kan en x estimere W e ved itterasjon når F og E x er kjent.

62 Fig. 9.1.2. Bestemmelse av Gi i gassreservoar med vanninnfluks. Tabell 9.1.1. Dat for bestemmelse av W e. P B g G p W p W e P i B gi 0 0 0 P 1 B g1 G p1 W p1 W e1 P 2 B g2 G p2 W p2 W e2 P n B gn G pn W pn W en Vanninnfluks i et gassreservoar vil vanlivis senke gjenvinningsfaktoren ved at vannet trapper gassen ved forholdsvis høyt trykk bak vannfronten. Mengden er avhengig av raten på vannet. Litteraturdata indikerer en gassmetning på opptil 40% av porevolumet i det vannflømmede området. Gjennvinningsfaktorer uten og med vanninnfluks er gitt vedhhv.: G p G i = 1 - P az i P i z a (9.1.8) G p G i = (1-S gr -S wi )B g (1-S wi )B gi (9.1.9) P a : S gr : z a : avsluttningstrykk gjennomsnittlig residuell gassmetning i reservoaret komprssibilitetsfaktor for gassen ved P a

63 9.2 Oljereservoarer Materialbalanseligningen tilsier: (produsert fluid, res. volum) = (ekspansjon av olje + opprinnelig oppløst gass) + (ekspansjon av gas cap ) + (ekspansjon av connate water + formasjon) + (netto vanninnfluks) N p [B o +(R p -R s )B g ] = NB oi [ (B o-b oi ) + (R si -R s )B g B oi + m( B g B gi -1) + (1+m) c ws wc +c f 1-S wc P] + (W e -W p )B w (9.2.1) N p : volum olje produsert i trykkintervallet P, sc. N: IOIP, sc m: initielt HCPV-forhold mellom gas-cap og oljesonen. R p : kumulativt gass-olje forhold (kumulativ GOR) R s : oppløst gass-olje forhold, (GOR) c f : formasjonens kompressibilitetsfaktor Den totale vanninnfluks ved produksjon av reservoaret i trykkintervallet P er gitt ved: W e = (c w +c f )V w P = c t V w P (9.2.2) V w : volum av opprinnelig vannsone, res. volum. Eksempel 9.2.1. Anta en vinkelsektor, θ, av et sirkulært reservoar med høyde h og oljesone tilsvarende radius r o. Radius som inkluderer olje- og vannsonen, er r e. Utled er uttrykk for den totale vanninnfluks ved produksjon i trykkintervallet P. Gitt c f, c w og φ. Volum bergart i vannsonen: V f = θ 360 (1-φ) Π(r e 2 -r o 2)h (9.2.3)

64 Reduksjonen i formasjonsvolumer pga. trykkavlastningen er: V f = -c f V f P (9.2.4) Tilsvarende får for vannet i vannsonen: V w = θ 360 φπ(r e 2 -r o 2)h (9.2.5) V w = -c w V w P (9.2.6) Vi har da: W e = V w + V f (9.2.7) W e = -(c w V w P + c f V f P) (9.2.8) W e = - (c w + c fv f V w ) V w P (9.2.9) W e = - (c w + 1-φ φ W e = - (c w + 1-φ φ c f) c f)v w P θ 360 φπ(r e 2 -r o 2)h P (9.2.10) Da: W e = - c t V w P og: 0.15<φ<0.4 er 6> 1-φ φ >1.5 gir dette: c t 10-5 psi -1. Volumet av vannsonen må være svært stor dersom vanninnfluksen skal gi vesentil bidrag siden c f er liten, c t 10-5 psi -1. Ved å beregne den totale vanninnfluks på denne måten antar en at trykkdroppet ved OWC transformeres øyeblikkelig ut til vannsonens yttergrense. I virkeligheten er P=f(t). En approximativ stasjonær løsning (Fetkovitch s metode) for et endelig sirkulært reservoar med vinkelfraksjon θ/360, og hvor en anvender Darcy s lov er utledet nedenfor. Antar at: W e (t) = q w t t W e = q w dt = θ2πk wh t 0 360µ w ln r e (P e -P o )dt (9.2.11) r o 0 t W e = C (P e -P o )dt (9.2.12) 0

65 P o : reservoartrykket ved r o. Integralet må løses nummerisk ved å måle trykket ved P o da P o (t) ikke er kjent. Fig. 9.2.1. Numerisk integrering for å estimere W e. Tabell 9.2.1. Nummerisk integrasjon ved bestemmelse av W e =f(t). t i Po i Pe-Poi t We i =CI ti (P e -P oi )dt =I ti 0 t o =0 Pe 0 0 0 t 1 P o1 Pe-P o1 (P e -P o1 )t 1 2 t 2 P o2 P e -P o2 I t1 + (P e-p o1 )+(P e -P o2 ) 2 (t 2 -t 1 ) W e1 W e2

66 t 3 P o3 P e -P o3 I t2 + (P e-p o2 )+(P e -P o3 ) 2 (t 3 -t 2 ) W e3 t i P oi P e -P oi I t(i-1) + (P e-p o(i-1) )+(P e -P oi ) 2 (t i -t i-1 ) W ei Denne forenklede metoden til å estimere vanninnfluks i et oljereservoar har sine begrensninger. I startfasen av vanninnfluksen vil vi beregne for små verdier for W e da en neglisjerer transienter. Trykkgradienten i vannsonen vil ikke føles i yttergrensen av vannsonen. r e i Darcy s lov blir derfor for stor, og følgelig blir W e for liten. Senere vil den beregnede verdien for W e bli for stor da vi antar at P e er konstant. P e vil avta etter som reservoaret føler trykkgradienten i yttergrensen av vannsonen. Fig. 9.2.2. Begrensninger i Fetkovitch s metode.