&INTNU. Transformasjon fra global referanseramme til nasjonal referanseramme EUREF89. Adrian Tuft Isdahl. Kunnskap for en bedre verden

&INTNU Kunnskap for en bedre verden Transformasjon fra global referanseramme til nasjonal referanseramme EUREF89 Adrian Tuft Isdahl Master i ingeniørvitenskap og IKT Innlevert: juni 2018 Hovedveileder: Hossein Nahavandchi, IBM Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for bygg- og miljøteknikk

Sammendrag Koordinater fra GNSS-målinger hentes som oftest i dag i globale referanserammer. Men da den offisielle referanserammen i Norge er EUREF89 oppstår behovet for å kunne transformere fra ITRF/WGS84 til EUREF89. I denne oppgaven tas det sikte på å dokumentere transformasjon fra ITRF-løsninger til EUREF89, samt å gjøre et forsøk på implementering av transformasjonen. For å finne ut hvordan man beregner transformasjonen har artikler fra litteratursøk avdekket en metode som med presisjon på millimeternivå oppfyller formålet. Med teori funnet i litteratursøket presenteres en fem-stegs-metode for transformasjon fra vilkårlig ITRF-løsning til EUREF89 i Norge. Metoden inneholder generelle ligninger for transformasjon mellom referanserammer, men inkluderer også hastighetsmodell for å ta høyde for intraplatedeformasjoner. Verifisering av metoden ble gjort ved å programmere den i MATLAB og teste resultatene mot EUREF89-koordinater fra permanente EPN-stasjoner. Det finnes i dag verktøy som beregner transformasjon fra vilkårlig ITRF-løsning til EUREF89. Kartverkets SkTrans og EPN s transformasjonsverktøy er eksempler på slike programvarer. Ved å sammenligne resultatene fra programmert fem-stegs transformasjon med output fra SkTrans og EPN s transformasjonsverktøy, ga det gode indikasjoner på om programmert transformasjon var rimelig. Sammenligninger mellom de ulike programvarene og koordinater fra EPN-stasjonene viste at EUREF89-koordinatene fra egenprogrammert fem-stegs transformasjon, SkTrans og de permanente EPN-stasjonene, samsvarte på millimeternivå. Det førte videre til konklusjon av at fem-stegs-transformasjon avdekket i litteratursøk og videre programmert i MATLAB, er en akseptabel metode for transformasjon fra ITRF-løsninger til EUREF89. Et annet funn fra resultatdelen var at valg av interpolasjonsmetode av hastighetsmodell har liten innvirkning på transformerte koordinater. Dog vil valg av hastighetsmodell virke inn på resultatet, da det viste seg at inkludering av den justerte hastighetsmodell ga best nøyaktighet. Sammenligning av koordinater utregnet ved bruk av EPN s transformasjonsverktøy, som ikke tar høyde for intraplatedefomrasjoner, ga differanser på opptil flere titalls centimeter, som understreker viktigheten av å benytte hastighetsmodell for transformasjon i nordiske land. i

ii

Abstract Coordinates from GNSS-measurements are usually gathered in global reference frames. However, since the official reference frame in Norway is EUREF89, it poses the need to be able to transform from ITRF/WGS84 to EUREF89. This thesis aims at documenting transformation from ITRF-solutions to EUREF89, as well as attempting to implement the transformation. To find out how to calculate the transformation, articles from literature study have revealed a method that meets the purpose with precision at millimeter level. With theory found in the literature search, a five-step-method for transformation from any ITRF-solution to EUREF89 in Norway, is presented. The method contains general equations for transformation between reference systems, as well as including deformation model to account for intraplate deformations. Verification of the method was done by programming it in MATLAB and testing the results against EUREF89 coordinates from permanent EPN-stations. There are currently tools that calculate transformation from arbitrary ITRF-solutions to EUREF89. Norwegian Mapping Authority s SkTrans and EUREF Permanent GNSS Netowrk (EPN) s transformation tools are examples of such software. Comparing the results of programmed five-step transformation with output from SkTrans and EPN's transformation tools, provided good indications of whether programmed transformation was reasonable. Comparisons between the different software and coordinates of EPN-stations showed that the EUREF89-coordinates from programmed transformation, SkTrans and the permanent EPNstations matched at millimeter level. It further led to the conclusion that the five-steptransformation revealed in the literature search and further programmed in MATLAB, is an acceptable method of transformation from ITRF-solutions to EUREF89. Another finding from the results was that the method of interpolation of the deformation model has little impact on transformed coordinates. However, the choice of deformation model will affect the result, as it was found that inclusion of the adjusted deformation model gave the best accuracy. Comparison with coordinates calculated using EPN's transformation tool, which does not cater for intraplate deformations, yielded variations of up to several centimeters, emphasizing the importance of using deformation models for transformation in Nordic countries. iii

iv

Forord Denne masteroppgaven er en del av emnet TBA4925, og er avsluttende oppgave for studiet «Ingeniørvitenskap og IKT» på Norges teknisk-naturvitenskapelig universitet (NTNU) i Trondheim - med geomatikk som spesialisering. Først og fremst vil jeg takke veilederne mine Hossein Nahavandchi og Trond Arve Haakonsen (Statens Vegvesen) for å ha lagt til rette for en interessant og utfordrende oppgave. Nahavandchi og Haakonsen har gjennom veiledningsmøter gitt uvurderlige og konstruktive tilbakemeldinger for å lede oppgaven i riktig retning. Jeg vil takke Kartverket, ved Karoline Skår, for å ha gitt meg filer med hastighetsmodell for implementering av transformasjon. Skår ga meg også råd om hvordan å håndtere modellen, samt interpolasjon av hastighetene. Til slutt vil jeg rette en spesiell takk til medstudenter og venner for å ha bidratt til et godt miljø for skriving av oppgave. Jeg vil også takke min familie og samboer for god støtte gjennom hele masteroppgaven. v

vi

Innholdsfortegnelse Sammendrag... i Abstract... iii Forord... v Figurliste... ix Tabelliste... xi Kapittel 1 - Innledning... 1 Kapittel 2 GNSS og referanserammer... 5 2.1 Introduksjon til GNSS... 5 2.2 Kodemåling... 7 2.3 Fasemåling... 9 2.4 Målemetoder... 10 2.4.1 Enkeltpunktbestemmelse... 10 2.4.2 Differensielle målinger... 11 2.4.3 CPOS... 11 2.4.4 Forventet nøyaktighet for ulike målemetoder... 12 2.5 Referansesystemer og referanserammer... 13 2.5.1 Referansesystem... 13 2.5.2 Referanseramme... 14 2.5.3 WGS84... 14 2.5.4 ITRS og ITRF... 15 2.5.5 EUREF89... 15 2.6 Generell transformasjon mellom referanserammer... 16 2.7 NKG og hastighetsmodell for intraplatedeformasjoner... 20 2.8 Transformasjon fra ITRFXX til EUREF89... 22 2.9 Interpolasjon av hastigheter... 26 2.9.1 Bilineær interpolasjon... 26 2.9.2 Interpolasjon basert på distanse (IDW)... 27 Kapittel 3 Resultat og diskusjon... 29 3.1 Transformasjon og kode... 29 3.2 Programvare... 31 3.3 Datagrunnlag... 31 3.3.1 Hastighetsmodell... 32 3.3.2 Inputdata for testing av fem-stegs-transformasjon... 36 vii

3.4 Sammenligning av transformasjonsprogramvare for koordinater fra EPN-stasjoner i Norge... 38 3.4.1 Fem-stegs-transformasjon vs. EPN-registrerte koordinater... 38 3.4.2 Transformasjon i SkTrans vs. EPN-registrerte koordinater... 43 3.4.3 Fem-stegs-transformasjon vs. transformasjon i SkTrans... 46 3.4.4 Transformasjon ved bruk av EPN s transformasjonsverktøy vs. EPN-registrerte koordinater... 50 3.5 Sammenligning av transformasjonsprogramvare for koordinater fra EPN-stasjoner i Norden... 51 3.5.1 Fem-stegs-transformasjon vs. EPN-registrerte koordinater... 51 3.5.2 Transformasjon ved bruk av EPN s transformasjonsverktøy vs. EPN-registrerte koordinater... 56 Kapittel 4 - Konklusjon... 59 4.1 Anbefalinger til videre arbeid... 60 Bibliografi... 61 Vedlegg... 63 viii

Figurliste Figur 1 - Geometrisk triangulering av tre satellitter... 6 Figur 2 - Sammenligning av kode generert i satellitt og kode generert i mottaker.... 8 Figur 3 - Fasemåling: N regnes ut initielt og holdes konstant så lenge fasebrudd ikke forekommer. For hvert nytt tidspunkt måles ny fase.... 9 Figur 4 - Illustrasjon av hvordan differensielle målinger foregår, hvor korreksjoner blir sendt fra en referansestasjon til mottaker.... 11 Figur 5 Skjermbilde av brukergrensesnittet i SKTrans... 32 Figur 6 - Område hastighetsmodell dekker... 33 Figur 7 Punkttetthet i grid... 33 Figur 8 - Hastigheter for hastighetsmodell for høyde... 34 Figur 9 - Hastigheter for hastighetsmodell for nord... 35 Figur 10 - Hastigheter for hastighetsmodell for øst... 35 Figur 11 - Oversikt over EPN-stasjoner i Norden... 37 Figur 12 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra egenprogrammert transformasjon og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i X-retning.... 41 Figur 13 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra egenprogrammert transformasjon og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Y-retning.... 41 Figur 14 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra egenprogrammert transformasjon og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Z-retning.... 42 Figur 15 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i X-retning.... 44 Figur 16 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Y-retning.... 44 Figur 17 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Z-retning.... 45 Figur 18 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og programmert transformasjon i EPN-stasjoner i Norge i X-retning.... 48 Figur 19 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og programmert transformasjon i EPN-stasjoner i Norge i Y-retning.... 49 Figur 20 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og programmert transformasjon i EPN-stasjoner i Norge i Z-retning.... 49 Figur 21 - Differanse mellom koordinater fra egenprogrammert transformasjon og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i X-retning.... 54 Figur 22 - Differanse mellom koordinater fra egenprogrammert transformasjon og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Y-retning.... 54 Figur 23 - Differanse mellom koordinater fra egenprogrammert transformasjon og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Z-retning.... 55 Figur 24 - Differanse mellom koordinater fra EPNs transformasjonsverktøy og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i X-retning.... 57 Figur 25 - Differanse mellom koordinater fra EPNs transformasjonsverktøy og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Y-retning.... 57 ix

Figur 26 - Differanse mellom koordinater fra EPNs transformasjonsverktøy og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Z-retning.... 58 x

Tabelliste Tabell 1 - Forventet nøyaktighet for ulike målemetoder... 12 Tabell 2 - Parametere for ellipsoiden til WGS84... 14 Tabell 3 - Parametere for ellipsoiden i EUREF89.... 16 Tabell 4 - Oversikt over navn og tidspunkt for ETRS89-realiseringer for nordiske og baltiske land... 20 Tabell 5 - Transformasjonsparametere for justert hastighetsmodell... 25 Tabell 6 - Koordinater i ITRF2014 (epoke 2010.0) fra EPN-stasjoner i Norden..... 36 Tabell 7 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og EPN-stasjoner i Norge, ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell... 39 Tabell 8 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og EPN-stasjoner i Norge, ved bruk av tilpasset hastighetsmodell... 39 Tabell 9 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og EPN-stasjoner i Norge, ved bruk av kombinert hastighetsmodell... 40 Tabell 10 - Differanse mellom transformerte koordinater i SkTrans og koordinater fra EPNstasjoner i Norge... 43 Tabell 11 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og SkTrans, ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell... 46 Tabell 12 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og SkTrans, ved bruk av tilpasset hastighetsmodell... 47 Tabell 13 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og SkTrans, ved bruk av kombinert hastighetsmodell... 47 Tabell 14 - Differanse mellom transformerte koordinater ved bruk av EPNtrans og koordinater fra EPN-stasjoner i Norge... 50 Tabell 15 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og EPN i Norden, ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell... 52 Tabell 16 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og EPN i Norden, ved bruk av tilpasset hastighetsmodell... 52 Tabell 17 - Differanse mellom koordinater fra programmert transformasjon og EPN i Norden, ved bruk av kombinert hastighetsmodell... 53 Tabell 18 - Differanse mellom koordinater fra EPN-transformasjon og EPN i Norden... 56 xi

xii

Kapittel 1 Innledning 1.1 Bakgrunn I dagens teknologiske alder er det vanlig å bruke GNSS-systemer for entydig å bestemme posisjon. Koordinatene som beregnes må settes i kontekst av referansesystem og referanserammer; de må være tilknyttet gitte akseretninger, matematiske regler og konkret være festet til jorden i form av kjente punkter. Ofte hentes koordinater i globale referanserammer - referanserammer som er tilpasset jorden i sin helhet. Det tas da ikke hensyn til lokale forskjeller, som for eksempel at den eurasiske tektoniske platen i Europa beveger seg relativt til punkt utenfor Europa. Slike forskjeller frembringer behovet for referanserammer tilpasset visse områder. EUREF89 er i Norge en referanseramme som er en realisering av det europeiske referansesystemet ETRS89. Denne referanserammen er den offisielle i Norge, og fastmerker er gitt i nevnte ramme. At det både brukes globale referanserammer, eksempelvis ITRF, og mer lokale referanserammer, som EUREF89, skaper behov for å kunne transformere mellom 1

de ulike referanserammene. I Norge er en aktuell transformasjon fra vilkårlig ITRF til EUREF89. I denne oppgaven tas det sikte på å dokumentere hvordan man transformerer koordinater fra en ITRF-løsning til EUREF89. Men i tillegg til å ta høyde for tektoniske platebevegelser, må man i Nordeuropeiske land ta hensyn til intraplatedeformasjoner. Det vil i stor grad si landheving som følge av istiden. Hastighetsmodeller for hvor store intraplatedeformasjoner er, må medregnes i transformasjonen. 1.2 Formål og fremgangsmåte Målet med oppgaven er å dokumentere transformasjon fra ITRF-løsninger til EUREF89. Ved å søke i litteratur vil det gjøres et forsøk på å undersøke hvilke metoder som allerede er dokumentert. For å sjekke i hvor stor grad avdekket transformasjon er pålitelig, vil den testes med et sett av ITRF2014-koordinater. Transformasjonen vil programmeres, og resultatene fremstilles i form av tabeller og kartutsnitt. Allerede eksisterende programvare for transformasjon fra ITRF-løsninger til EUREF89 vil brukes som sammenligningsgrunnlag for å kunne si noe transformasjonens rimelighet. Kartverkets transformasjonsprogram SkTrans, vil tas i bruk. Kan vi ut ifra resultatet slå fast faktorer som påvirker eller ikke påvirker resultatet fra transformasjonen? 1.3 Oppgavens struktur Masteroppgaven er inndelt i fire kapitler; et kapittel for innledning, et for teoretisk bakgrunn for oppgaven, et kapittel for resultat og diskusjon, og til slutt et kapittel for konklusjon. Kapittel 1 Innledning: Innledningen gir en kort innføring i bakgrunn for oppgaven, hvilke behov som dekkes, og hva som er målet med arbeidet. Kapittel 2 GNSS og referanserammer: Dette kapittelet tar først for seg prinsippene bak GNSS-systemer, og leder videre til referanserammers rolle. Oppgavens essens, transformasjon mellom referanserammer, konkluderer kapittelet. Kapittel 3 Resultat og diskusjon: I resultatdelen testes funnene fra litteratursøk og teori fra kapittel 2. Resultatene fremstilles i tabeller og figurer og diskuteres underveis. 2

Kapittel 4 Konklusjon: Til slutt konkluderes det med utgangspunkt i resultat og diskusjon hvorvidt metoden avdekket i litteratursøk er en rimelig metode for transformasjon fra ITRFløsninger til EUREF89. 3

4

Kapittel 2 GNSS og referanserammer Før det kan tas fatt på referansesystemer og referanserammer og teorien bak, er det hensiktsmessig å gi en innføring i systemet som danner grunnlaget for bruken av referansesystemer, nemlig GNSS. Kapittelet vil gi en oversikt over hvordan satellittsystemer fungerer, hvordan koordinater beregnes og hvilke målemetoder man i praksis kan benytte seg av. Videre vil det gås i dybden på referanserammer og transformasjoner dem imellom. 2.1 Introduksjon til GNSS Historien viser at mennesker helt fra et par tusen år f. Kr. og frem til i dag, har utviklet metoder for etablering av punkt i form av koordinater og konstruksjon av kart. Helt fra oldtidens Egypt hvor kontrollpunkt ble etablert for fastsetting av eiendomsgrenser og frem til moderne GNSS-teknologi i dag. De neste delkapitlene vil ta for seg prinsippene bak GNSS. Global Navigation Satellite System (GNSS) er et system for fastsetting av tredimensjonale koordinater, hastighet og tid, på jordoverflaten. GNSS-systemer er basert på satellitter som 5

sender signal til mottakere på jorden, og ved bruk av avstand fra mottaker til satellitt, beregner mottakers posisjon. Systemet byr på flere anvendelser, blant annet «Positioning, Navigation and Timing» (U.S Department of Transportation, 2018). Det betyr at man har mulighet til å bestemme ens posisjon nøyaktig («Positioning»), at man kan navigere fra et sted til et annet («Navigation»), og at tid kan beregnes presist («Timing»). Til disse beregningene benytter GNSS fire eller flere satellitter, og kan brukes uavhengig av vær og tid på døgnet. Det finnes flere operative systemer i dag. Det opprinnelige systemet er Global Positioning System (GPS), og er den amerikanske GNSS-versjonen. Russland har sitt eget system som heter GLONASS. GPS og GLONASS var opprinnelig tiltenkt militær bruk, men brukes nå sivilt også, mens Kina og Europa sine systemer fortsatt er under utvikling, og henholdsvis kalles BeiDou og Galileo. Selv om land har etablert egne systemer, kan en GNSS-mottaker benytte satellitter fra de forskjellige systemene samtidig. Hvordan GNSS er bygget opp, er at avstand måles mellom mottaker og satellitt. Avstandene fra mottaker til de fire satellittene brukes i en geografisk utregningsteknikk kalt trilaterasjon, slik at koordinat entydig kan bestemmes, se figur 1. Det trengs avstand fra fire satellitter for å etablere et punkt; tre satellitter for å etablere koordinater til et tredimensjonalt system, og en satellitt for korreksjon av tid. Har man flere enn fire satellitter tilgjengelig kan det settes opp en ligning for hver målte avstand. Flere ligninger enn ukjente løses med minste kvadraters metode. Figur 1 - Geometrisk triangulering av tre satellitter (Skogseth og Norberg, 2014, s. 61) 6

Distanse fra mottaker til satellitt kan regnes ut på to forskjellige måter. Den ene metoden kalles kodemåling, og benytter estimat av signaltid fra satellitt til mottaker for utregning av avstand. Den andre metoden kalles fasemåling, og benytter antall faser og bølgelengder for å beregne distansen. De to metodene forklares mer i detalj i de neste avsnittene. For at et GNSS-system skal være operativt må det bestå av tre segmenter; romsegment («space segment»), kontrollsegment («control segment») og brukersegment («user segment») (Hofmann-Wellenhof et al., 2008). Romsegmentet er den delen av et GNSS-system som har med satellittkonstellasjoner å gjøre. For å etablere en posisjon på jordoverflaten må man ha minimum fire synlige satellitter, og er da avhengig av å ha et nettverk av satellitter som gir tilstrekkelig dekning for målinger på hele jorden. Kontrollsegmentet er GNSS-systemets styringssystem. Det vil si bestemmelse av bane- og klokkeparametere, ionosfæriske parametere og utvikling og vedlikehold av systemet. Brukersegmentet er brukere av GNSSsystemet som ved bruk av mottakere oppretter kontakt med satellitter for etablering av posisjon. Det finnes også flere typer brukere; sivile og militære. Militære brukere har adgang på flere signaler enn sivile. 2.2 Kodemåling Kodemåling, også kalt pseudoavstandsmåling, er en distanseberegningsmetode hvor man bruker det faktum at lysets hastighet er en kjent størrelse, og finner tiden det tar fra satellitt til mottaker, for å beregne avstand. Lysets hastighet og den nevnte tiden multiplisert, vil da gi avstanden. Målet blir da videre å finne en metode for å finne tidsdifferansen Δt. D = c t + korreksjoner (1) I formel 1 er D distanse mellom mottaker og satellitt og Δt er tiden signalet tilbakelegger på strekningen. Det legges også til et ledd for å medregne korreksjoner som følge av klokkefeil, ionosfærisk og troposfærisk aktivitet, flerveisinterferens, bane- og atmosfærefeil, samt støy (Skogseth og Norberg, 2014). 7

Fordi klokken i satellitt og klokken i mottaker er av forskjellig kvalitet og ikke hundre prosent synkroniserte, vil man ha en liten klokkefeil. Denne feilen vil forplante seg inn i distansen som regnes ut, og gjør at avstanden vi måler kalles for en pseudoavstand (Skogseth og Norberg, 2014). Utfordringen med å regne ut tiden signalet tar er at man vet når signalet ankommer mottaker, men ikke når signalet forlater satellitt. Løsningen er at satellitten sender ut «pseudo-random» sekvenser - binære koder, en serie av kode som moduleres på signalet. Satellitten og mottaker er synkroniserte slik at de genererer samme kode samtidig. Denne koden genereres hvert millisekund, er kompleks og kalles «Pseudo-Random Noise Code» (PRN-kode). Tidsdifferansen bergenes ut i fra hvor forsinket signalet ankommer, når man sammenligner satellittens kode med mottakers kode, se figur 2. Figur 2 - Sammenligning av kode generert i satellitt og kode generert i mottaker. (Skogseth og Norberg, 2014, s. 58) Hver satellitt genererer sin egen unike PRN-kode. På denne måten kan GNSS-mottaker skille mellom de ulike satellittene (Hofmann-Wellenhof et al., 2008). Signalet som sendes fra satellitt har en sentral rolle i formidling av informasjon. Først kan signalets frekvens nevnes. Signalet sendes med ulike frekvenser, hovedsakelig L1 og L2. L1 er på 1575.42 MHz, mens L2 er på 1227.60 MHz. På disse bærebølgene moduleres nevnte PRN-koder sammen med en «navigation message». «Navigation message» inneholder informasjon om satellittens posisjon og tilstand. Denne informasjonen trenger man for å regne ut et punkts koordinat (Hofmann-Wellenhof et al., 2008). 8

2.3 Fasemåling Fasemåling går ut på at avstand mellom mottaker og satellitt beregnes ved å måle fasen på bærebølgen til satellitten. Mottakeren beregner avstand fra satellitt ved å telle antall bølgelengder. Signalets frekvens er en kjent størrelse, som indirekte gir bølgelengden λ. I tillegg til å telle antall bølgelengder adderes for hvert nytt måletidspunkt en endring i avstand til satellitten fra det tidspunktet målingen startet, se figur 3. Til slutt må det tillegges korreksjoner på avstanden som beregnes. Korreksjoner adderes for å ta høyde for ionosfæriske og troposfæriske effekter, atmosfære- og banefeil, klokkefeil, flerveisinterferens og støy (Skogseth og Norberg, 2014). D = N λ + ϕ λ + korreksjoner (2) I formel 2 er D distanse fra mottaker til satellitt, λ er bølgelengde, N er heltallige antall bølgelengder ved starttidspunkt t0, og φ er fasemåling på et gitt tidspunkt. Utfordringen ved å regne ut avstand ved bruk av fasemåling ligger i å regne ut N. Det trengs bare regnes ut ved oppstart, og holdes konstant så lenge det er signal mellom mottaker og satellitt (Skogseth og Norberg, 2014). Figur 3 - Fasemåling: N regnes ut initielt og holdes konstant så lenge fasebrudd ikke forekommer. For hvert nytt tidspunkt måles ny fase. (Skogseth og Norberg, 2014, s. 59) 9

Når N regnes ut ved start initialiseres en heltallsløsning. Uten å gå i dybden på de ulike metodene, kan den regnes ut ved bruk av følgende teknikker (Skogseth og Norberg, 2014): Ved bruk av tre frekvenser Ved å kombinere bruk av kode- og fasemåling «Wide-lane»-teknikk Kombinasjon av dobbel- og trippeldifferensiering og minste kvadraters metode «Antenna Swap» på en kjent baselinje Når signalet mellom mottaker og satellitt mistes, oppstår det man kaller fasebrudd, og N må regnes ut på nytt. Fasebrudd kan oppstå som følge av fysiske forstyrrelser rundt mottaker, eksempelvis trær, bygninger, bruer og tunneler. Ionosfærisk avbøyning, troposfærisk effekt og flerveisinterferens kan også forårsake fasebrudd. Når GNSS-signal mistes og N må regnes ut på nytt, vil en midlertidig løsning være kodemåling. Det tar tid å regne ut N, og kodemåling brukes for å estimere posisjon frem til N fikses. 2.4 Målemetoder Ved måling av punkt og koordinater kan flere metoder tas i bruk. I de tre neste delkapitlene gjøres det greie for enkeltpunktbestemmelse, differensielle målinger og CPOS. 2.4.1 Enkeltpunktbestemmelse Måling og observasjon av punkt i felt kan gjøres på flere måter. En metode går ut på at man måler koordinater i ett punkt, uten korreksjoner. Denne metoden heter enkeltpunktbestemmelse. Metoden er ikke særlig nøyaktig og kan (avhengig av kodemåling eller fasemåling) gi nøyaktig på 15 meter eller bedre. Dersom man derimot benytter seg av presis enkeltpunktbestemmelse (PPP), kan man få nøyaktighet på 2-4 mm. Det krever imidlertid en mottaker med to ulike frekvenser, samt etter-prosessering (Hofmann-Wellenhof et al., 2008). 10

2.4.2 Differensielle målinger En annen metode for punktbestemmelse med GNSS, er differensielle GNSS-målinger. Metoden går ut på at man har to mottakere, og velger den ene mottakeren som en referansemottaker/referansestasjon med kjente koordinater (Hofmann-Wellenhof et al., 2008). Punktet det måles i regnes som ukjent og er det som skal bestemmes. Med antagelse om at korreksjonene er omtrent like store i de to punktene, legges korreksjonene fra referansemottaker til de målte koordinater i det ukjente punktet, se figur 4. Dette krever etterprosessering av dataene, men gir høy nøyaktighet. Figur 4 - Illustrasjon av hvordan differensielle målinger foregår, hvor korreksjoner blir sendt fra en referansestasjon til mottaker (Hoffmann-Wellenhof B. et al., 2008). En variant av differensielle GNSS-målinger er differensielle målinger med kommunikasjonslink. Teknikken bygger på samme prinsipp som beskrevet over, men med den forskjell at korreksjonene sendes i real-time (sanntid) fra referansestasjon til mottaker. Dette gjøres eksempelvis med kommunikasjon over mobildatanett. Kartverkets CPOStjeneste er en slik løsning. 2.4.3 CPOS CPOS er en differensiell posisjonstjeneste som ved hjelp av mottakelse av korreksjoner i sanntid oppnår nøyaktighet på centimeternivå. For å kunne benytte CPOS er man avhengig av å ha en flerfrekvent GNSS-mottaker og en løsning for kommunikasjon for korreksjoner. Korreksjonene sendes fra Kartverkets servere over internett. Hvordan korreksjonene regnes ut gjøres ved etablering av virtuelle referansestasjoner. Disse stasjonene bestemmes ut i fra 11

permanente geodetiske stasjoner sammen med mottakers posisjon. Korreksjonspakkene gis i referanserammene EUREF89, NN1954 og NN2000 (Kartverket, 2018). 2.4.4 Forventet nøyaktighet for ulike målemetoder Hvor god nøyaktighet man kan forvente på koordinatene er avhengig av flere faktorer. Først og fremst har utstyret man bruker mye å si. Det finnes mange typer mottakere hvor programvare, antennekvalitet, mulighet for flere frekvenser, samt pris varierer. Et annet aspekt som påvirker koordinatenes nøyaktighet er målemetoden som tas i bruk. Man kan forvente bedre kvalitet på koordinatene når man benytter differensielle metoder med flere mottakere, enn når man bruker bare en mottaker. I tabell 1 vises forventet nøyaktighet for ulike målemetoder: Tabell 1 - Forventet nøyaktighet for ulike målemetoder. Ppm tilsvarer millimeter feil per kilometer (Satellittbasert posisjonsbestemmelse, 2009) Målemetode Relativ posisjonering statisk (klassisk) Relativ posisjonering kinematisk Relativ posisjonering korttidsstatisk (to tofrekvente GNSS-mottakere) Tradisjonell RTK (samtidig måling med to tofrekvente GNSS-mottakere), med en virtuell referansestasjon Nettverks-RTK (samtidig måling med to tofrekvente GNSS-mottakere), med to virtuell referansestasjoner Presis enkeltpunktsbestemmelse (to-frekvent PPP) Kodemåling enkelpunktbestemmelse i sanntid Kodemåling med én basestasjon Forventet nøyaktighet i kartplanet (2σ) 5 mm + 1 ppm 5 cm + 5 ppm 10 mm + 1 ppm 10-20 mm + 2 ppm 10-20 mm + 1 ppm 2-4 mm 15 m eller bedre 0.5 5 m 12

Vi har sett at CPOS er en målemetode som gir koordinater med god nøyaktighet og at korreksjoner gis i nasjonal referanseramme EUREF89. Men hva er en referanseramme og hvilken rolle har det i posisjonering ved bruk av GNSS? I de neste delkapitlene gås det i dybden på referansesystemer og referanserammer, og leder videre til transformasjon fra ITRF-løsninger til EUREF89. 2.5 Referansesystemer og referanserammer Sentralt i denne oppgaven er begrepene referansesystem og referanseramme. I de neste delkapitlene vil nevnte begreper greies ut. Forskjeller og eksempler på globale og regionale referanserammer vil så beskrives, og eksemplifiseres i form av ITRF, WGS84 og EUREF89. 2.5.1 Referansesystem For entydig å kunne angi et sted må posisjon settes i kontekst av et referansesystem. Et referansesystem gir gjennom matematiske eller fysiske modeller en teoretisk beskrivelse av jorden. Man definerer akser og retninger som forteller hvordan koordinater (som bredde- og lengdegrader) forandrer seg når posisjon på jorden endres. Med andre ord definerer er referansesystem et koordinatsystem. Koordinatsystemet er en mengde matematiske regler og føringer for sammenhengen mellom koordinater og punkter. For eksempel er geodetiske koordinater (breddegrad ϕ, lengdegrad λ og høyde h) eller geosentriske kartesiske koordinater (X, Y, Z) vanlige å ta i bruk. Referansesystemet forteller hvor koordinatsystemet skal plasseres; hvilke retninger aksene skal peke i (Koordinatbaserte referansesystemer, 2009). ITRS og ETRS89 er eksempler på referansesystem, og som beskrives grundigere i kommende avsnitt. 13

2.5.2 Referanseramme En viktig betingelse for å kunne bruke et referansesystem som beskrevet over, er at det må velges ut stasjoner eller fastmerker med kjente koordinater på jorden. Dette er hva vi kaller en referanseramme. Det vil si at vi realiserer referansesystemet gjennom en referanseramme. Referanserammene er angitt med årstall fordi de har realisert referansesystemene ved bestemte tidspunkt. Jordens tektoniske plater beveger seg med tiden, og referanserammene kan derfor ha litt forskjellige koordinater. Referanserammens kjentpunkter gjør det mulig å bestemme nye punkter relativt til de kjente punktene, med høy nøyaktighet. For eksempel er ITRF2008 og ITRF2014 realiseringer av ITRS, og EUREF89 en realisering av ETRS89. 2.5.3 WGS84 WGS84 er både et referansesystem og referanseramme som ble konstruert i 1984, da satellittbaserte målesystemer skapte behov for en global referanseramme. WGS84 benyttes i forbindelse med satellittsystemet GPS (Skogseth og Norberg, 2014). WGS84 bruker en egen ellipsoide, med parametere som beskrevet i tabell 2. Parameterne skiller seg ikke veldig mye fra parameterne som definerer ellipsoiden GRS80, se tabell 3. Tabell 2 - Parametere for ellipsoiden til WGS84 Parametere for ellipsoiden til WGS84 Verdier Store halvakse a 6 378 137 m Lille halvakse b 6 356 752, 3142 m Flattrykning f 1/298,257 223 562 Som med referansesystemene ITRS og ETRS89, oppdateres realiseringene (referanserammene) med jevne mellomrom. Referanserammene til WGS84 navngis WGS84, sammen med tidsstempel GXXXX, hvor XXXX er nummeret til GPS-uken. GPS-uker er et eget tidssystem for å uttrykke satellittposisjoner, basert på å telle antall uker fra 6. januar 1980. Nyeste WGS84-realisering er WGS84 (G1762), og ble introdusert 16. oktober 2016 (WORLD GEODETIC SYSTEM 1984, 2018). 14

2.5.4 ITRS og ITRF International Terrestrial Reference System (ITRS) er et globalt referansesystem. International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS) er ansvarlig for, vedlikeholder og oppdaterer ITRS og dens realiseringer. At ITRS er et «Terrestrial Reference System» betyr at systemet roterer med jordens bevegelse (Terrestrial Reference System, 2016). Realiseringene av ITRS navngis International Terrestrial Reference Frames (ITRF), sammen med et årstall. ITRF2014 er den nyeste ITRS-realiseringen, og ble publisert av IERS i januar 2016 (INTERNATIONAL TERRESTRIAL REFERENCE FRAME 2014, 2018). Transformasjon mellom ulike ITRS-realiseringer vises i kapittel 2.6. Ulike ITRFs benytter ikke direkte en ellipsoide, da løsningene er gitt i kartesiste koordinater, festet og sentrert til jorden. Men dersom man skal transformere koordinatene til geodetiske koordinater anbefaler IERS å benytte ellipsoiden GRS80, se tabell 3. De nyeste realiseringene av WGS84 har gjort WGS84-referanserammer mer og mer lik ITRSrealiseringer. WGS84 og ITRF regnes ofte for å være tilnærmet like, da de nyeste referanserammene samsvarer med en nøyaktighet på 10 cm (WORLD GEODETIC SYSTEM 1984, 2018). 2.5.5 EUREF89 Fordi satellitter er basert på globale referanserammer, gjøres GPS-målinger som oftest i global referanseramme WGS84 (tilnærmet lik ITRS-realiseringer). Men innad i denne globale referanserammen, beveger punkt seg relativt til hverandre. Eksempelvis beveger den eurasiske tektoniske platen seg et par centimeter hvert år i retning nord-øst. For at koordinatene ikke skal variere i verdi har kommisjonen EUREF (IAG Reference Frame Sub- Commission) etablert ETRS89; et referansesystem med tilhørende referanserammer som beveger seg med den eurasiske kontinentalplaten. Da vil ikke koordinatene bevege seg med tiden som følge av at den eurasiske kontinentalplaten beveger på seg (Häkli et al., 2016). ETRS89 ble realisert hos nordiske land stort sett på 1990-tallet, og vi må da ta hensyn til deformasjoner over flere tiår sammenlignet med dagens koordinater. På samme måte som realiseringer av ITRS kalles for ITRF, er realiseringer av ETRS89 navngitt ETRF. Spesifikt for Norge ble ETRS89 realisert i 1995.0, og kalles EUREF89. EUREF89 er basert på ETRS89-realiseringen ETRF93. EUREF89 (European Reference Frame 1989) er den 15

offisielle referanserammen i Norge. Ellipsoiden som benyttes er definert med parametere gitt i tabell 3, og kalles GRS80. (Häkli et al., 2016). Tabell 3 - Parametere for ellipsoiden i EUREF89 (Skogseth og Norberg, s. 33). Parametere for EUREF89 (GRS80) Verdier Store halvakse a 6 378 137 m Lille halvakse b 6 356 752,3141 m Flattrykning f 1 / 298.257 222 101 I Norge ble EUREF89 tilgjengeliggjort i 1997 i form av Stamnettet. Stamnettet er bestående av 1000 fastemerker. Senere ble nettet av fastmerker utvidet til ca. 11 000 punkt, og ble ferdig i 2008 (Kartverket, 2017). 2.6 Generell transformasjon mellom referanserammer Dersom man foretar absolutte GPS-målinger vil man som nevnt motta posisjon i referanseramme WGS84 (tilnærmet ITRF). For å få koordinatene i EUREF89 må man da foreta en transformasjon. Transformasjonen bør kunne gå fra vilkårlig ITRS-realisering (ITRF2014, ITRF2008, ITRF2005, osv.) til EUREF89. I Altamimi (2017) greies det ut om forhold mellom ITRS og ETRS89 og hvordan man transformerer mellom ulike ITRSrealiseringer, samt hvordan man transformerer fra vilkårlig ITRF-versjon til ETRS89- realisering. I dette delkapittelet vil formler og teori fra Altamimi (2017) presenteres. Den generelle formelen for Helmert-transformasjon mellom to referanserammer er gitt i formel 3. Eksempelvis dersom man skal transformere fra ITRF2014 til ITRF2008. Den inneholder syv parametere; translasjon T, målestokk D og rotasjon R. 16

x ( y) z B x = ( y) z A T X x + ( TY ) + D ( y) T Z z A x + R ( y) z A (3) Translasjon er en vektor gitt i x-, y- og z-retning. Rotasjonsmatrise er som gitt under, hvor rotasjon er gitt i form av komponenter i x-, y- og z-retning. 0 Rz Ry R = ( Rz 0 Rx) (4) Ry Rx 0 For transformasjon mellom ulike ITRS-realiseringer, er transformasjonsparametere bestemt av IERS og er tilgjengelig på nettsiden Transformation parameters (2016). Formel 3 er tilstrekkelig for transformasjon mellom ulike ITRS-realiseringer, men for å kunne benytte formelen for å gjøre transformasjon fra en ITRS-realisering til en ETRS89-realisering, må visse forbehold tas. For transformasjon mellom referanserammer basert på ITRS til referanserammer basert på ETRS89, gjelder to betingelser, som følger av definisjonen av ETRS89 (Altamimi, 2017). De to betingelsene er: 1. Referansesystemet ETRS89 sammenfaller med ITRS i 1989. Det fører til at de syv parameterne gitt i formel 3 er 0 for transformasjon fra ITRS til ETRS89 i epoke 1989.0 (Altamimi, 2017). 2. ETRS89 er fastlåst til den eurasiske kontinentalplaten. Det vil si at platens bevegelse definerer referansesystemets endring per tid. Konsekvensen blir at transformasjonsparameterne mellom ITRS og ETRS89 er 0, med unntak av de tre rotasjonsratene. Disse tre rotasjonsparameterne i formel 5 er de de tre komponentene for eurasisk vinkelhastighet i ITRS-realiseringene (Altamimi, 2017). Gitt de to forutsetningene over utledes en sammenheng mellom ETRS89 og ITRS, for posisjon og hastigheter, se formel 5 og formel 6. 17

X E I yy (t) = X yy (t) + T yy + ( 0 R z yy R y yy R z yy 0R R x yy R y yy R x yy 0 I ) X yy (t) (t 1989.0) (5) I formel 5 er X E I yy (t) posisjon i ETRS89 og X yy (t) er posisjon i ITRS. De to y-ene betegner årstallet til hvilken realisering det er snakk om. Grunnen til at T yy introduseres er for å ta høyde for differanser mellom ulike ITRF-versjoner. Koordinatenes tilhørende hastigheter kan regnes ut ved bruk av formel 6, hvor X yy E er punktets hastighets i ETRFyy, X yy I er punktets I hastighets i ITRFyy og X yy er koordinater i ITRFyy, hvor yy er realiseringens årstall. X yy E = X yy I + ( 0 R z yy R y yy R z yy 0R R x yy R y yy R x yy 0 I ) X yy (6) Med utgangspunkt i ligningene presentert over, hvordan utfører man i praksis transformasjon fra ITRS-realiseringer til ETRS89-realiseringer for GNSS-målinger? Altamimi (2017) presenterer en fremgangsmåte for hvordan man går frem og hvilke ligninger som skal benyttes. Det første steget er prosessering av GNSS-målingene i riktig sentrale epoke tc, epoke som målingene er innhentet i. Til dette kan programvare tilknyttet måleutstyr benyttes. Det anbefales å bruke nyeste ITRS-realisering ITRFYY. Det finnes to mulige tilfeller for transformasjon fra vilkårlig ITRF til vilkårlig ETRF: 1. GNSS-data prosesseres i ITRFYY, med mål om å transformere til ETRS89-realisering ETRFYY. Det skal altså transformeres fra ITRF til korresponderende ETRF. Til dette formål skal ligning 5 benyttes. 18

Verdiene for translasjon og rotasjon finnes i Appendix 3 i Boucher og Altamimi (2011). Formelen benyttes eksempelvis om man skal transformere fra ITRF93 til ETRF93. 2. GNSS-data prosesseres i ITRFYY, med mål om å transformere til ETRS89-realisering ETRFXX. Det skal altså transformeres mellom referanserammer av ulike årstall. Da må det gjøres et ytterligere steg sammenlignet med tilfelle 1. Det første steget er å transformere ITRFYY til ITRFXX. Transformasjonen gjøres med ligning 3, og verdier publisert av IERS (Transformation parameters, 2016). Deretter utføres transformasjon som i tilfelle 1, med ligning 5. Dersom man skal transformere koordinater i ITRF2014 til ETRF93, må man da først transformere koordinater fra ITRF2014 til ITRF93, for så å transformere fra ITRF93 til ETRF93 (Altamimi, 2017). Det bør tillegges at transformasjonene gjøres i sentral epoke tc til observasjonene, mens transformasjonsparameterne er gitt i egne epoker (Altamimi, 2017). Siden transformasjon skal utføres i epoke tc, må transformasjonsparameterne propageres til epoke tc, ved bruk av formel 7. P(t c ) = P(2010.0) + P (t c 2010.0) (7) Eksempelvis er parametere tilknyttet realiseringen ITRF2014 tilknyttet epoke 2010.0. Dersom aktuelle koordinater er gitt i epoke 2018, må transformasjonsparametere justeres for differansen på åtte år. Parameterne P(2010.0) og P er publisert av IERS (Transformation parameters, 2016). 19

2.7 NKG og hastighetsmodell for intraplatedeformasjoner Til tross for at nordiske land ligger på den eurasiske kontinentalplaten, og at koordinater kan transformeres fra ITRS-realiseringer til ulike ETRS89-realiseringer som beskrevet av Altamimi (2017), må visse hensyn tas for nordiske og baltiske land. Grunnen er at nordiske og baltiske land er påvirket av landheving som følge av istiden («post-glacial rebound»). Dette kalles intraplatedeformasjoner. Disse intraplatedeformasjonene tas ikke hensyn til i transformasjonen beskrevet av Altamimi (2017) i kapittel 2.6. Deformasjonene kan være opp til 1 cm per år vertikalt og noen millimeter per år horisontalt (Häkli et al., 2016). ETRS89 ble realisert hos nordiske land stort sett på 1990-tallet, og vi må da ta hensyn til deformasjoner over flere tiår sammenlignet med dagens koordinater. Spesifikt for Norge ble ETRS89 realisert i 1995.0, og kalles EUREF89. EUREF89 er, basert på ETRS89-realiseringen ETRF93 (Häkli et al., 2016). ETRS89-realiseringer for nordiske og baltiske land kan sees i tabell 4. Tabell 4 - Oversikt over navn og tidspunkt for ETRS89-realiseringer for nordiske og baltiske land (Häkli et al., 2016). Land Navn på realisering ETRS89-realisering Realiseringsepoke Danmark EUREF-DK94 ETRF92 1994.704 Estland EUREF-EST97 ETRF96 1997.56 Færøyene Ukjent ETRF2000 2008.75 Finland EUREF-FIN ETRF96 1997.0 Latvia LKS-92 ETRF89 1992.75 Litauen EUREF-NKG-2003 ETRF2000 2003.75 Norge EUREF89 ETRF93 1995.0 Sverige SWEREF99 ETRF97 1999.5 For å løse problemet med intraplatedeformasjoner etablerte «Nordic Geodetic Commission» i 2003 gjennom kampanjen NKG2003 en hastighetsmodell «NKG_RF03vel», samt en fremgangsmåte og en felles nordisk referanseramme for transformasjon fra vilkårlig ITRFløsning til nasjonal ETRS89-realisering (Häkli et al., 2016). 20

Kommisjonen etablerte i 2003 en felles referanseramme tilegnet ITRF2000 epoke 2003.75, med den hensikt at man fra ITRF2000 skulle, gitt ett sett av formler og fremgangsmåte, transformere koordinatene til nasjonal ETRS89-realisering. Sammen med formlene ble hastighetsmodellen «NKG_RF03vel» benyttet for å justere for intraplatedeformasjoner (Häkli et al., 2016). I forlengelsen av NKG2003, utvidet kommisjonen i 2008 gjennom kampanjen NKG2008, hastighetsmodell for ikke bare nordiske land, men også baltiske land. Den nye felles referanserammen ble tilegnet ETRF2000, med epoke 2000.0, med samme hensikt som den felles referanserammen som etablert i 2003. Det vil si at når koordinater måles og hentes i nyeste ITRF (ITRF2014 per dags dato) må koordinatene, ved bruk av hastighetsmodell, transformeres til fellesreferanseramme ETRF2000 epoke 2000.0, for så å transformeres til nasjonal ETRS89-realisering (EUREF89 i Norge). I praksis vil det si at uansett hvilket nordisk eller baltisk land som skal gjøre transformasjonen må det først beregnes til ETRF2000, og deretter til nasjonal ramme, ETRF93 i Norge, ved bruk av hastighetsmodell «NKG_RF03vel», (Häkli et al., 2016). Måten dette gjøres på illustreres i form av formler i kapittel 2.8. Hastighetsmodellen består av hastigheter i retning nord, øst og høyde. Den vertikale delen av «NKG_RF03vel» er basert på tidevannsmålinger, nivellering og GPS-stasjoner, og kalles NKG2005LU. «NKG_RF03vel» beregner deformasjoner på opptil 2-3 millimeter per år horisontalt og opptil 10 mm per år vertikalt (Häkli et al., 2016). I følge Häkli et al. (2016) kan transformasjon gjøres på flere måter. Man kan benytte seg av etablert felles referanseramme ETRF2000 slik den er beskrevet i kampanjen NKG2008, man kan bruke fremgangsmåte fra NKG2003, eller man kan kombinere ulike metoder. I denne masteroppgaven er metode ved bruk av transformasjon til fellesreferanseramme ETRF2000 epoke 2000.0, som beskrevet i Häkli et al. (2016), foretrukket som fremgangsmåte. Transformasjon fra vilkårlig ITRS-realisering til nasjonal ETRS89-realisering gjøres da med trinn som vist i kapittel 2.8. 21

2.8 Transformasjon fra ITRFxx til EUREF89 fem stegs transformasjonsmodell I dette kapittelet er transformasjon fra ITRFxx, hvor xx er årstall, til EUREF89 vist steg for steg. Fem-stegs-metoden kan brukes for å transformere fra vilkårlig ITRF-løsning til EUREF89 i Norge, men er også gjeldende for transformasjon til nasjonal ETRS89-realisering for andre nordiske og baltiske land. Metoden er hentet fra Häkli et al. (2016). Steg 1 - Transformasjon fra ITRFxx til ITRF2000 I tråd med Altamimi (2017) bør koordinater hentes i nyeste ITRF-versjon. Per dags dato er det ITRF2014. Det første steget er å transformere koordinatene fra nyeste ITRF-løsning til ITRF2000, se formel 8. Transformasjonen gjøres i en vilkårlig periode tc som koordinatene er hentet i. For å transformere fra ITRFxx til ITRF2000 benyttes formel 3 fra kapittel 2.6. Transformasjonsparametere hentes fra Transformation parameters (2016). Grunnen til at det transformeres til ITRF2000 er for videre å kunne transformere til felles referanseramme ETRF2000 (Häkli et al., 2016). x ( y) z ITRF2000 tc x = ( y) z ITRFXX tc T X x + ( TY ) + D ( y) T Z z ITRFXX tc 0 R z R Y x + ( R z 0 R X ) ( y) R Y R X 0 z ITRFXX tc (8) Steg 2 - Transformasjon fra ITRF2000 til ETRF2000 Når vi nå har transformert til ITRF-versjon ITRF2000, gjøres transformasjon til ETRF2000 ved bruk av formel 9. Transformasjonsparametere hentes fra memoet Boucher og Altamimi (2011). x ( y) z ETRF2000 tc x = ( y) z ITRF2000 tc T X 0 R3 R2 x + ( TY ) + ( R3 0 R1) ( y) T Z R2 R1 0 z ITRF2000 tc (t C 1989.0) (9) 22

Stegene gjort til nå er nøyaktig i tråd med Altamimi (2017). Neste steg er unikt for transformasjon som tar høyde for intraplatedeformasjoner, og avviker fra de generelle anbefalinger ved å korrigere for epoke ved bruk av hastighetsmodell (Häkli et al., 2016). Steg 3 - Korreksjon for epoke og intraplatedeformasjoner Da ETRF2000 for kampanjen NKG2008 i tråd med felles referanseramme er tilegnet epoke 2000.0, må koordinatene korrigeres fra epoke tc til epoke 2000.0. Dette gjøres ved bruk av hastighetsmodellen «NKG_RF03vel» for å korrigere for intraplatedeformasjoner, se formel 10. Når man korrigerer for ulike epoker må man benytte seg av en hastighetsmodell som inneholder endring i x-, y-, og z-retning for koordinatene per år (Häkli et al., 2016). Hastigheter fra hastighetsmodellen må interpoleres gitt koordinaten som skal transformeres (Skår, 2018). Hvordan interpolasjonen utføres er forklart i detalj i kapittel 2.9. I formel 10 regnes det ut hvor mye koordinatene har endres seg fra epoke 2000.0 til tc ved bruk av hastighetsmodell, og adderer denne endringen så på koordinater utregnet i steg 2. x ( y) z ETRF2000 2000.0 x = ( y) z ETRF2000 tc V X,intra + (2000.0 t C ) ( V Y,intra ) V Z,intra ETRF2000 NKG_RF03vel (10) Steg 4 - Transformasjon fra ETRF2000 til nasjonal ETRS89-realisering (ETRF93 i Norge) Fra ETRF2000 transformeres koordinatene til nasjonal ETRS89-realisering ved bruk av ligning 11. I Norge transformeres koordinatene til ETRF93. Transformasjonen utføres i epoke 2000.0. Transformasjonsparameterne er unike for hvert nordisk og baltisk land (Häkli et al., 2016). I formel 11 er yy, årstallet for realisering av nasjonal ETRF-løsning. x ( y) z ETRFyy 2000.0 x = ( y) z ETRF2000 2000.0 T X x + ( TY ) + D ( y) T Z z ETRF2000 2000.0 0 R z R Y x + ( R z 0 R X ) ( y) R Y R X 0 z ETRF2000 2000.0 (11) 23

Steg 5 - Korreksjoner for epoke for nasjonal ETRS89-realisering Til slutt må koordinatene i nasjonal ETRS89-realisering, ETRF93 epoke 1995.0 i Norge, korrigeres for intraplatedeformasjoner. 1995.0 er året ETRF93 ble realisert i Norge. Det gjøres på samme måte som i steg 3, hvor man multipliserer differanse i epoker med hastigheter i intraplatedeformasjoner, og adderer så med koordinater fra steg 4, se ligning 12. Koordinatene er nå i norsk ETRS89-realisering EUREF89. x ( y) z ETRF93 1995.0 x = ( y) z ETRF2000 2000.0 V X,intra + (1995.0 2000.0) ( V Y,intra ) V Z,intra ETRF2000 NKG_RF03vel (12) Tilpasset hastighetsmodell «NKG_RF03vel_ETRF2000» Vi har tidligere sett at hastighetsmodell «NKG_RF_03vel» benyttes for å korrigere for intraplatedefomrasjoner. Denne hastighetsmodellen er dog ikke optimalisert for felles referanseramme ETRF2000 i epoke 2000.0. For å oppnå høyest mulig grad av nøyaktighet kan opprinnelig hastighetsmodell fra NKG2003 justeres (Häkli et al., 2016). Justeringen av opprinnelig hastighetsmodell gjøres med formel 13, gitt parametere i tabell 5. NKG_RF03vel_ETRF2000 V X ( VY V Z )X.Y,Z V X,intra = ( V Y,intra ) V Z,intra NKG_RF03vel X,Y,Z T X + ( T Y T Z 0 R Z R Y x ( R Z 0 R X ) ( y) R Y R X 0 z x ) + D ( y) + z (13) 24

Tabell 5 - Transformasjonsparametere for justert hastighetsmodell Parameter T X T Y T Z D R X R Y R Z Verdi 0.00211 m/år 0.00056 m/år 0.00127 m/år -0.465 ppb/år 0.01612 mas/år -0.03066 mas/år 0.01435 mas/år Grunnlaget for tilpasning av hastighetsmodell til ETRF2000, er at kommisjonen NKG observerte GNSS stasjonshastigehter ved bruk av nyeste EPN-løsning (EUREF Permanent Network). EPN består av et nettverk av permanente GNSS-stasjoner (GPS, GLONASS, GALILEO, BEIDOU). Hovedoppgaven til EPN er å tilgjengeliggjøre referansesystemet ETRS89, og dens realiseringer. Rent konkret vil det være koordinater og stasjonshastigheter av høy kvalitet, samt troposfæriske parametre. Dataene danner grunnlag for utregning av platetektoniske hastigheter og bevegelser. Løsningene er tilgjengelige både i nyeste ITRF og i ETRF2000 (EPN, 2018). For den nye, justerte hastighetsmodellen NKG_RF03vel_ETRF2000, er EPN-løsningen EPNC1785 benyttet (Häkli et al., 2016). Ifølge Häkli et al. (2016) har man tillegg til den opprinnelig hastighetsmodell og den justerte hastighetsmodellen et tredje alternativ. Man kan velge å kombinere dem; det vil si bruke den justerte hastighetsmodellen i steg 3 og den opprinnelige hastighetsmodellen i steg 5. Denne kombinerte hastighetsmodellen er utprøvd i resultatdelen i kapittel 3. 25

2.9 Interpolasjon av hastigheter Hastigheter fra hastighetsmodellen «NKG_RF03vel» er gitt i tre filer, en for hver akseretning, med et grid/rutenett som datastruktur, se kapittel 3.3 for visualisering av gridet. Før hastighetene kan brukes som input i formel 10 og formel 12, må de interpoleres. Det vil si at man benytter hastighetsverdiene til omliggende punkt i gridet for å estimere en hastighet for punkt som skal transformeres. Interpolasjon kan gjøres med på flere måter. I denne oppgaven er metodene bilineær interpolasjon og interpolasjon basert på distanse til punktet, benyttet. 2.9.1 Bilineær interpolasjon Da filene som inneholder hastigheter fra hastighetsmodell «NKG_RF03vel» er gitt ved bredde- og lengdegrad i et grid/rutenett, er interpolering nødvendig. Det aktuelle punktet som skal transformeres må interpoleres i forhold til punkt som ligger nært i gridet. Ved å benytte seg av avstand fra aktuelt punkt til nærmeste punkt i rutenettet, kan verdi for aktuelt punkt estimeres. Til dette formålet kan bilineær interpolasjon være en god metode, og er beskrevet under. Vi antar at vi har fire punkt i et grid, som utgjør en firkant der følgende verdier regnes som kjente: x1, x2, y1, og y2, samt tilhørende funksjonsverdier f(x1, y1), f(x1, y2), f(x2, y1) og f(x2, y2). Målet er å estimere f(x,y), et punkt som ligger inni denne firkanten (Shepard, 1968). Første steget er å interpolere i x-retningen, ved bruk av formel 14 og formel 15: f(x, y 1 ) = x 2 x x 2 x 1 f(x 1, y 1 ) + x x 1 x 2 x 1 f(x 2, y 1 ) (14) f(x, y 2 ) = x 2 x x 2 x 1 f(x 1, y 2 ) + x x 1 x 2 x 1 f(x 2, y 2 ) (15) Deretter benyttes verdier fra formel 14 og formel 15 for å estimere funksjonsverdi i y- retning, som da gir endelig estimert funksjonsverdi, se formel 16: 26

f(x, y) = y 2 y y 2 y 1 f(x, y 1 ) + y y 1 y 2 y 1 f(x, y 2 ) (16) 2.9.2 Interpolasjon basert på distanse (IDW) For å undersøke hvordan ulike interpolasjonsmetoder virker inn på resultatet av transformasjonen er det i tillegg til bilineær interpolasjon, benyttet interpolasjon basert på distanse; «inverse distance weighting» (H. Press, et al., 1992). n v = i=1 n i=1 1 v d i i 1 d i (17) I formel 17 brukes invers av distansen fra fire omliggende punkt i rutenettet til punkt som skal transformeres for å estimere aktuelt punkts verdi. Denne metoden er også kalt «weighted mean». Det vil si at vi bruker distansen fra punkt som skal transformeres til omliggende punkt som vekting av hastighetene. Et punkt som ligger nærme aktuelt punkt vektes høyt, og innvirker i større grad på resultatet av interpolasjonen. For å kunne interpolere i formel 17 må distanse mellom to punkt regnes ut. Dette gjøres ved enkel Pythagoras mellom to punkt, se formel 18. d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (18) Over små avstander antas jordens krumning neglisjerbar, og man kan benytte seg av formel 18 for to dimensjoner. 27

28

Kapittel 3 Resultat og diskusjon Masteroppgavens hovedintensjon er å dokumentere transformasjon fra ITRS-realiseringer til EUREF89. I tillegg skal transformasjonen programmeres for å teste at transformasjonen virker rimelig. I dette kapittelet skal resultat fra fem-stegs-transformasjonsmodell presenteres, analyseres og diskuteres. 3.1 Transformasjon og kode Resultatet i denne masteroppgaven er i stor grad dokumentasjon og litteratursøk av transformasjon som beskrevet i teoridelen, samt fem-stegs-transformasjon i form av vedlagt kode, se appendiks. For å danne grunnlag for vurdering av resultatene av programmert femstegs-transformasjon er det regnet ut differanser mellom utregnede EUREF89-koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon, transformasjon i SkTrans, EPN s transformasjonsverktøy og EUREF89-koordinater fra EPN-stasjoner. Det vil si at resultatene 29

som fremkommer av fem-stegs-transformasjon i denne masteroppgaven skal sammenlignes med resultat fra to andre programvarer, samt koordinater av høy kvalitet fra EPN-stasjoner. Det er koordinater fra EPN-registrert data fra permanente som stasjoner som er input i testing av transformasjonen. EPN-stasjoner i Norden er gitt både i koordinater i referanseramme ITRF2014 epoke 2010.0, og i nasjonal ETRS89-realisering. Da EPN-registrert data er av høy kvalitet brukes koordinater fra EPN-stasjonene i ITRF2014 som input i transformasjon, og resultat av transformasjon sammenlignes med EUREF89-data registrert i EPN-stasjonene. Først er transformerte koordinater fra egenprogrammert fem-stegs-transformasjon sammenlignet med EUREF89-koordinater fra de fem EPN-stasjonene som finnes i Norge. Deretter er tilsvarende sammenligning gjort mellom transformerte koordinater i SkTrans og EUREF89-koordinater fra de fem EPN-stasjonene i Norge. Det gjøres så en sammenligning mellom transformerte koordinater i programmert fem-stegs-transformasjon og resultater fra transformasjon i SkTrans. Sammenligningene går i stor grad ut på statistiske analyser av differansen mellom koordinatene, i form av tabeller og visualiseringer i kart. Det er også regnet ut differanser mellom transformerte EUREF89-koordinater i programmert fem-stegs-transformasjon og 14 permanente EPN-stasjoner i hele Norden. Da SkTrans utelukkende gjør transformasjoner for koordinater i Norge, er SkTrans ikke benyttet for sammenligning av koordinater fra punkt i hele Norden. Ved bruk av hastighetsmodell i transformasjon fra ITRF-løsninger til EUREF89 er beregning av hastigheter viktig. Det medfører en interpolasjonsprosess av omliggende koordinater i gridet, se kapittel 2.9. Et studie av resultat som fremkommer av interpolasjonsmetodene bilineær interpolasjon og interpolasjon basert på distanse mellom punkt (IDW), er foretatt. Når resultater fra fem-stegs-transformasjon beregnes i kapittel 3, anvendes tre ulike varianter av hastighetsmodellen «NKG_RF03vel». Den første versjonen er den den opprinnelige hastighetsmodellen «NKG_RF03vel». Den andre er den justerte hastighetsmodellen «NKG_RF03vel_ETRF2000». I tillegg til den opprinnelige og justerte hastighetsmodellen så vi i kapittel 2.8 at det en tredje versjon er å kombinere de to hastighetsmodellene en kombinert hastighetsmodell. 30

3.2 Programvare Til å utføre og programmere transformasjon fra ITRF2014 til EUREF89 er MATLAB tatt i bruk. MATLAB er et matematisk program med egen syntaks, som egner seg særlig godt til å utregning av matriser og matematiske uttrykk. I MATLAB er det laget script for importering av data, transformasjon og statiske analyser. I tillegg er det laget kode som tilrettelegger data for visualisering, i form av eksporterte.csvfiler. For visualisering av resultater er webapplikasjonen CartoDB benyttet. Transformasjonsprogrammet SkTrans danner mye av grunnlaget for sammenligninger i denne oppgaven, se figur 5 for brukergrensesnitt. Dette er Kartverkets eget program for transformasjon fra ITRS-realiseringer til EUREF89. Konkret i oppgaven er SkTrans brukt til å sammenligne data fra transformasjon kodet i MATLAB og tilsvarende resultat i SkTrans. Differansen er del av resultat og analysen som følger. I tillegg til SkTrans er transformasjonsverktøyet til «EUREF Permanent Network» (EPN) tatt i bruk for sammenligning av resultater med egen fem-stegs-transformasjon (ETRF/ITRF Transformation, 2018). EPN s transformasjonsverktøy tar ikke hensyn til intraplatedeformasjoner. 3.3 Datagrunnlag I programmering av fem-stegs-transformasjon er det særlig to type input som er vesentlige. Det ene er filer med hastighetsmodell, og er beskrevet i kapittel 3.3.1. Det andre er inputdata for transformasjon, som er gjort greie for i kapittel 3.3.2. 31

Figur 5 Skjermbilde av brukergrensesnittet i SKTrans 3.3.1 Hastighetsmodell Det viktigste innputtet i prosessen av å programmere EUREF89-transformasjonen er hastighetsmodellen «NKG_RF03vel». Hastighetsmodellen er tilsendt per mail fra Kartverket (Skår, 2018). Hastighetsmodellen består av tre filer; en fil for hastigheter i East-retning, en fil for hastigheter i North-retning, og en fil for hastigheter i Up-retning. Hver av filene er bestående av 53743 linjer, som representerer 53743 geografiske punkt. Det er tre kolonner i hver fil, for henholdsvis lengdegrad, breddegrad og hastighet. I hver av de tre filene er punktene lagt i et grid. Det vil si at når man skal finne hastighet for et gitt punkt, må det interpoleres mellom omliggende punkt i gridet. Ulike interpolasjonsmetoder benyttet i denne masteroppgaven er vist i kapittel 2.9. For å illustrere hvilke områder hastighetsmodellen dekker er den plottet i figur 6. Man ser at gridet dekker nordiske og baltiske land. 32

Figur 6 - Området hastighetsmodell dekker Figur 7 Punkttetthet i grid 33

Punktene som danner hastighetsmodellen er lagt i et grid/rutenett. For å gi et inntrykk av punkttettheten er det i figur 7 plottet punkt rundt Trondheim. Hastighetsmodellen er som nevnt delt opp i tre ulike filer; en for hver akseretning; North, East og Up. I figur 8 er hastigheter plottet for hastigheter i retning Up. Man kan se at hastigheter varierer fra -0.72 mm/år til 9.97 mm/år. Figur 8 - Hastigheter for hastighetsmodell for Up 34

I figur 9 er hastighetsmodell for retning North visualisert. Hastigheter varierer fra -0.96 mm/år til 1.75 mm/år. I figur 10 er hastigheter fra hastighetsmodell for retning East visualisert. Hastigheter varierer fra -1.65 mm/år til 0.86 mm/år. Figur 9 - Hastigheter for hastighetsmodell for North Figur 10 - Hastigheter for hastighetsmodell for East 35

3.3.2 Inputdata for testing av fem-stegs-transformasjon Input i transformasjon gjort i egenprogrammert kode, SkTrans og transformasjonsverktøyet til EPN er gitt i tabell 6. I tabellen sees koordinater fra utvalgte permanente EPN-stasjoner i Norden. Koordinatene er gitt i ITRF2014 epoke 2010.0, og er hentet fra EUREF Permanent GNSS Network (2018). Tabell 6 - Koordinater i ITRF2014 (epoke 2010.0) fra EPN-stasjoner i Norden. De fem første punktene markert i blått er permanente stasjoner i Norge. Disse fem stasjonene danner grunnlaget for første del av resultatet, mens hele tabellen danner grunnlaget for andre del av transformasjonen. Land X [m] Y [m] Z [m] Norge 3169981.803 579956.837 5485936.735 Norge 2102928.394 721619.504 5958196.303 Norge 3275753.558 321111.110 5445042.122 Norge 1844607.201 1109719.258 5983936.190 Norge 2820170.746 513486.107 5678935.998 Danmark 3446394.130 591713.219 5316383.501 Danmark 3513638.173 778956.472 5248216.478 Danmark 3557911.147 599176.754 5242066.488 Sverige 3249402.390 692762.210 5426400.163 Sverige 3309993.995 828938.705 5370880.118 Sverige 3328984.465 761910.341 5369033.759 Sverige 3370658.469 711877.210 5349787.001 Sverige 3246470.172 1077900.583 5365278.146 Finland 2564138.995 1486149.835 5628951.490 36

Punktene i tabell 6 er visualisert i figur 11. I Norge finnes det fem permanente EPN-stasjoner; i henholdsvis Oslo, Stavanger, Trondheim, Tromsø og Vadsø. På EUREF Permanent GNSS Network (2018).kan koordinater i ITRF2014 finnes, samt EUREF89-koordinater gitt av Kartverket. I figur 11 ser man utvalgte EPN-stasjoner fra Danmark, Sverige og Finland. De utvalgte stasjonene er stasjoner hvor koordinater er gitt i både ITRF2014 og deres respektive nasjonale ETRS89-realisering, slik at det er mulig å gjøre en sammenligning ved bruk av koordinater fra EPN-stasjonen. Figur 11 - Oversikt over EPN-stasjoner i Norden 37

3.4 Sammenligning av transformasjonsprogramvare for koordinater fra EPN-stasjoner i Norge Den første delen av resultatet er et studie som sammenligner EUREF89-koordinatene for fem permanente EPN-stasjoner i Norge, med transformerte EUREF89-koordinater utregnet med programmert fem-stegs-transformasjon, SkTrans og EPN s transformasjonsverktøy. Det vil si at de fem første punktene i tabell 6 i dette delkapittelet er brukt som input i de ulike transformasjonsverktøyene. Studiet er gjort for å gi et inntrykk av hvor pålitelige de ulike transformasjonsprogramvarene er, og om fem-stegs-transformasjonsmetode avdekket i litteratursøk gir god nøyaktighet. Det vil også undersøkes hvor stor forskjell resultater fra kodet transformasjon og resultater fra transformasjon i SkTrans er. I tillegg tas det sikte på å utforske om det finnes signifikante forskjeller mellom ulike interpolasjonsmetoder. Og vil det være vesentlige forskjeller i de ulike akseretningene? Det er spørsmål det tas mål om å kunne besvare ved å studere resultatene under. 3.4.1 Fem-stegs-transformasjon vs. EPN-registrerte koordinater I sammenligningen av EUREF89-koordinater for EPN-stasjoner i Norge, er først resultater fra programmert fem-stegs-transformasjon benyttet. Det er regnet ut EURE89-koordinater ved bruk av kodet fem-stegs-transformasjon og regnet ut differanse til tilsvarende EUREF89- koordinatene for de fem EPN-stasjonene i Norge (EUREF Permanent GNSS Network, 2018). I tabell 7 kan man se diverse statistikker over differansen mellom koordinatene. Det er regnet ut gjennomsnitt, standardavvik, maksimal og minimal verdi. Differansene er regnet ut for bilineær interpolasjon og distansebasert interpolasjon. I tabell 7 er den transformasjonen beregnet ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell «NKG_RF03vel». 38

Tabell 7 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner i Norge, ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0014 0.0055 0.0065 0.0014 0.0055 0.0066 Standardavvik 0.0014 0.0035 0.0066 0.0014 0.0035 0.0066 Maksimal verdi 0.0029 0.0082 0.0171 0.0030 0.0081 0.0172 Minimal verdi 0.0001 0.00079 0.0011 0.00018 0.00075 0.0012 I tabell 8 er det gjort tilsvarende statistiske analyser som i tabell 7. Forskjellen er at det her er benyttet den tilpassede/justerte hastighetsmodellen «NKG_RF03_ETRF2000vel». Sammenligner man resultatet fra tabell 7 og tabell 8 vil man da kunne avdekke eventuelle forskjeller mellom de to hastighetsmodellene. Tabell 8 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner i Norge, ved bruk av tilpasset hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0019 0.0047 0.0069 0.0019 0.0046 0.0069 Standardavvik 0.00072 0.0036 0.0040 0.00074 0.0035 0.0040 Maksimal verdi 0.0029 0.0091 0.0104 0.0030 0.0091 0.0103 Minimal verdi 0.00095 0.00055 0.00030 0.00096 0.00061 0.00037 39

I tabell 9 er statiske analyser for differansen mellom utregnede EUREF89-koordinater fra egenprogrammert kode og EUREF89-koordinater fra EPN-stasjonene regnet ut, ved bruk av kombinert hastighetsmodell i tråd med teori presentert i kapittel 2.8 Tabell 9 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner i Norge, ved bruk av kombinert hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0014 0.0051 0.0052 0.0014 0.0051 0.0052 Standardavvik 0.00085 0.0034 0.0048 0.00088 0.0034 0.0049 Maksimal verdi 0.0025 0.0086 0.0134 0.0026 0.0086 0.0135 Minimal verdi 0.00047 0.0012 0.00072 0.00044 0.0012 0.00066 I figur 12, 13 og 14 er differansene mellom EUREF89-koordinatene til programmert femstegs-transformasjon og EPN-stasjoner visualisert i kart for henholdsvis X-retning, Y-retning og Z-retning. For visualisering i nevnte figurer er resultater fra transformasjon ved bruk av bilineær interpolasjon og den kombinerte hastighetsmodellen benyttet, da gjennomsnittlig differanse var lavest for disse metodene. 40

Figur 12 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra egenprogrammert fem-stegstransformasjon og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i X-retning. Figur 13 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra egenprogrammert fem-stegstransformasjon og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Y-retning. 41

Figur 14 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra egenprogrammert fem-stegstransformasjon og EUREF89-koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Z-retning. Man kan i tabell 7 observere at man ved bruk av den opprinnelige hastighetsmodellen «NKG_RF03vel» i gjennomsnitt oppnår differanser fra 1.4 mm til 6.6. mm. Differansene er signinfikant mindre for X-retning. Det observeres også at maksimal differanse i Z-retning er 1.72 cm, som er et relativt stort avvik mellom transformert koordinat og koordinat fra EPNstasjon. Den tilpassede hastighetsmodellen har noe høyere verdier for X- og Z-retning, men desto mindre gjennomsnittlig verdi for Y-retning. For den kombinerte hastighetsmodellen er gjennomsnittlig X- og Y-verdi omtrent av lik størrelsesorden som for de andre hastighetsmodellene. For Z-retning er det derimot vesentlig lavere verdi, med gjennomsnittlig differanse på 5.2 mm. Man kan se av tabell 7, 8 og 9 at det jevnt over er små forskjeller mellom de to interpolasjonsmetodene, men at bilineær interpolasjon i noen tilfeller er litt mer nøyaktig. Av visualiseringene av de fem permanente EPN-stasjonene kan det ikke sees sammenheng i feil differanse for ulike akseretninger. Selv om stasjonen i Stavanger for Z-retning har størst differanse, har samme stasjon blant de minste differansene for X- og Y-retning. 42

3.4.2 Transformasjon i SkTrans vs. EPN-registrerte koordinater For å kunne si noe om hvor nøyaktig SkTrans transformasjon til EUREF89 i Norge er, er det regnet ut differanse mellom transformerte koordinater i SkTrans og EUREF89-koordinater til EPN-stasjonene i Norge. Det er regnet ut gjennomsnitt, standardavvik, maksimal og minimal verdi. I tabell 10 er differansen mellom transformerte koordinater i SkTrans og koordinater fra EPN-stasjoner i Norge regnet ut. Tabell 10 - Differanse mellom transformerte koordinater i SkTrans og koordinater fra EPN-stasjoner i Norge X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0024 0.0048 0.0054 Standardavvik 0.0018 0.0026 0.0035 Maksimal verdi 0.0041 0.0075 0.0101 Minimal verdi 0 0.0011 0.0010 For å se hvordan differansen varierer geografisk er det i figur 15, 16 og 17 visualisert hvor store differansene er for de fem stasjonene i Norge. De er visualisert for henholdsvis X-, Y-, og Z-retning. 43

Figur 15 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og EUREF89- koordinater til EPN-stasjoner i Norge i X-retning. Figur 16 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og EUREF89- koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Y-retning. 44

Figur 17 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og EUREF89- koordinater til EPN-stasjoner i Norge i Z-retning. I tabell 9 ser man at gjennomsnittlig differanse varierer fra 2.4 mm til 5.4 millimeter. Som for differanse fra kodet transformasjon diskutert i kapittel 3.4.1. er differansene i dette kapittelet betydelig lavere for X-retning enn Y- og Z-retning. Da vi har sett av figur 8 at intraplatedeformasjoner er størst i Up-retning, gir det mening at det er størst utslag i Y-retning og særlig i Z-retning, da det er disse akseretningene som i størst grad påvirkes. Det observeres at differanse for transformert punkt i Trondheim er 0 for X-retning. Og at størst differanse for Z-retning er 1.01 cm, og er i EPN-stasjonen i Trondheim. Påfallende er observasjonen av at visualiseringene i figur 15, 16 og 17 er relativt like på figur 12, 13, og 14. Man kan se eksempelvis tydelig at største feil i Y- og Z-retning er i samme punkt. 45

3.4.3 Fem-stegs-transformasjon vs. transformasjon i SkTrans Kartverkets egen transformasjonsprogramvare, SkTrans, utfører i dag transformasjon som i denne masteroppgave studeres og dokumenteres. Det er da naturlig å sammenligne resultater fra fem-stegs-transformasjon dokumentert i oppgaven, med resultater fra SkTrans. Det vil kunne gi indikasjoner på om dokumentert fem-stegs-transformasjon eventuelt skulle gi grovt feile resultater sammenlignet med SkTrans. I tabell 11 er sentrale statistikker fra differanse mellom resultater fra kodet fem-stegstransformasjon og SkTrans presentert. På samme måte som tidligere i oppgaven er gjennomsnitt, standardavvik, maksimal og minimal verdi regnet ut. Differansene er beregnet ved bruk av både bilineær og distansebaert interpolasjon. I tabell 11 er den opprinnelige hastighetsmodellen «NKG_RF03vel» benyttet for programmert fem-stegs-transformasjon. Tabell 11 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og SkTrans, ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0026 0.0021 0.0074 0.0027 0.0021 0.0075 Standardavvik 0.0021 0.0012 0.0005 0.0021 0.0013 0.00045 Maksimal verdi 0.0048 0.0038 0.0080 0.0048 0.0038 0.0081 Minimal verdi 0.0001 0.0007 0.0069 0.0001 0.0006 0.0070 Tilsvarende statistikker er i tabell 12 presentert for differanse mellom resultat fra programmert fem-stegs-transformasjon og resultat fra SkTrans, men ved bruk av tilpasset hastighetsmodell. 46

Tabell 12 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og SkTrans, ved bruk av tilpasset hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0021 0.0017 0.0020 0.0021 0.0017 0.0019 Standardavvik 0.0002 0.0001 0.0015 0.00021 0.00010 0.0015 Maksimal verdi 0.0023 0.0018 0.0038 0.0023 0.0018 0.0037 Minimal verdi 0.0018 0.0016 0.0005 0.0018 0.0016 0.0004 Til slutt er statistiske beregninger for differanse mellom programmert fem-stegstransformasjon og SkTrans ved bruk av kombinert hastighetsmodell, presentert i tabell 13. Tabell 13 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og SkTrans, ved bruk av kombinert hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0022 0.0017 0.0027 0.0022 0.0017 0.0028 Standardavvik 0.0014 0.0010 0.0003 0.0014 0.00099 0.00057 Maksimal verdi 0.0035 0.0027 0.0033 0.0036 0.0028 0.0034 Minimal verdi 0.0005 0.0003 0.0019 0.00055 0.00027 0.0020 47

I figur 18, 19 og 20 er differansene mellom resultat fra programmert fem-stegstransformasjon og resultat fra SkTrans visualisert for de fem permanente EPN-stasjonene i Norge. Visualiseringene er laget i henholdsvis X-, Y og Z-retning. Fo enkelhets skyld er det i visualiseringene benyttet bilineær interpolasjon og den kombinerte hastighetsmodellen for programmert transformasjon. Figur 18 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og programmert femstegs-transformasjon i EPN-stasjoner i Norge i X-retning. 48

Figur 19 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og programmert femstegs-transformasjon i EPN-stasjoner i Norge i Y-retning. Figur 20 - Differanse mellom EUREF89-koordinater fra SkTrans og programmert femstegs-transformasjon i EPN-stasjoner i Norge i Z-retning. 49

Ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell ser man av tabell 11 at differansene i gjennomsnitt er 2.6 mm, 2.1 mm og 7.4 mm, for henholdsvis X-, Y- og Z-retning. Dersom man heller benytter seg av enten den justerte hastighetsmodellen eller den kombinerte hastighetsmodellen er differanse uansett akseretning på 1.7-2.7 mm, se tabell 12 og 13. Vi ser at det er en tydelig forbedring i nøyaktighet ved å bruke en av de to sistnevnte hastighetsmodellene. Det observeres også at det er tilnærmet ingen forskjell i resultat ved bruk av de to interpolasjonsmetodene. Ut i fra figurene 18, 19 og 20 kan man lese at differansene stort sett er jevnt lave, men at største differanse for hver akseretning er i stasjon i Stavanger. 3.4.4 Transformasjon ved bruk av EPN s transformasjonsverktøy vs. EPN-registrerte koordinater EPN s eget transformasjonsverktøy transformerer koordinater fra ITRF-løsninger til ETRFløsninger ved bruk av teori fra Altamimi (2017), som beskrevet i kapittel 2.6. Metoden som benyttes tar ikke høyde for intraplatedeformasjoner i Nordeuropeiske land. I dette delkapittelet er ITRF2014-koordianter fra EPN-stasjoner i Norge, se tabell 5, input i transformasjonen. I EPN s transformasjonsverktøy er det gjort transformasjon fra koordinater i ITRF2014 epoke 2010.0, til ETRF93 epoke 1995, som er nasjonal ETRS89-realisering i Norge. I tabell 14 er statistikk presentert for differanse mellom resultat fra transformerte koordinater i EPNs transformasjonsverktøy og koordinater fra EPN-stasjoner i Norge. Tabell 14 - Differanse mellom transformerte koordinater ved bruk av EPN s transformasjonsverktøy og koordinater fra EPN-stasjoner i Norge. X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0040 0.0053 0.0086 Standardavvik 0.0056 0.0052 0.0018 Maksimal verdi 0.0138 0.0117 0.0111 Minimal verdi 0.0005 0.0001 0.0062 50

I tabell 14 observeres gjennomsnittlig differanse på 4 mm 8.8 mm. Differansen er vesentlig større enn hva tilfellet var for tidligere sammenligninger i rapporten ved bruk av SkTrans og programmert fem-stegs-transformasjon. Det kan også legges merke til at differanse i beste tilfelle er 0.1 mm. Årsaken til at gjennomsnittlig differanse er høyere enn hva det var for SkTrans og programmert transformasjon kan ha sammenheng med at det ikke er benyttet hastighetsmodell for beregning av transformasjon. EPN s transformasjonsverktøy undersøkes for EPN-stasjoner i hele Norden i punkt 3.5.2. 3.5 Sammenligning av transformasjonsprogramvare for koordinater fra EPN-stasjoner i Norden I studiet av å ta i bruk EPN-stasjoner som sammenligningsgrunnlag for vurdering transformasjonsnøyaktighet, ble det i tillegg til de fem stasjonene i Norge funnet ytterligere ni EPN-stasjoner i Norden med koordinater i både ITRF2014 og i nasjonale ETRS89- realiseringer. Koordinater fra disse fjorten EPN-stasjonene ble derfor benyttet for et studie av transformasjonsnøyaktighet for programmert fem-stegs-transformasjon i hele Norden. I tabell 6 er koordinater for de fjorten EPN-stasjonene listet opp, gitt i form av XYZ-koordinater i ITRF2014. Da programmert fem-stegs-transformasjon og EPN s transformasjonsverktøy er gyldig for land i hele Norden, og SkTrans utelukkende er gyldig for transformasjon i Norge, er det i dette kapittelet gjort undersøkelser av nøyaktighet for programmert fem-stegstransformasjon og for EPN s transformasjonsverktøy. EPN-stasjonene er fordelt på Norge, Danmark, Sverige og Finland, med henholdsvis fem, tre, fem og en stasjon hver. 3.5.1 Fem-stegs-transformasjon vs. EPN-registrerte koordinater Det er først regnet ut differanse mellom resultat fra programmert fem-stegs-transformasjon og koordinater fra EPN-stasjoner, på samme måte som det ble gjort i kapittel 3.4.1. Denne gang er statistiske analyser i tabell 14 gjort for fjorten stasjoner i hele Norden. I tabell 14 er statistikken utregnet ved bruk av den opprinnelige hastighetsmodellen. 51

Tabell 15 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner i Norden, ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0029 0.0036 0.0073 0.0029 0.0036 0.0090 Standardavvik 0.0023 0.0027 0.0044 0.0023 0.0027 0.0044 Maksimal verdi 0.0069 0.0082 0.0171 0.0069 0.0081 0.0172 Minimal verdi 0.0001 0.0003 0.0011 0.0002 0.0003 0.0012 I tabell 16 er gjennomsnitt, standardavvik, maksimal og minimal verdi for differanse mellom resultater fra programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner, ved bruk av den tilpassede hastighetsmodellen. Tabell 16 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner i Norden, ved bruk av tilpasset hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0021 0.0030 0.0051 0.0021 0.0030 0.0052 Standardavvik 0.0023 0.0025 0.0047 0.0025 0.0025 0.0047 Maksimal verdi 0.0097 0.0091 0.0158 0.0097 0.0091 0.0158 Minimal verdi 0.0001 0.0002 0.0003 0.0001 0.0001 0.0004 52

I tabell 17 er statistikk for differanse mellom resultater fra programmert fem-stegstransformasjon og EPN-stasjoner beregnet ved bruk av kombinert hastighetsmodell. Tabell 17 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner i Norden, ved bruk av kombinert hastighetsmodell Bilineær interpolasjon Distansebasert interpolasjon X (m) Y (m) Z (m) X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.0019 0.0031 0.0049 0.0020 0.0031 0.0049 Standardavvik 0.0024 0.0026 0.0044 0.0024 0.0026 0.0044 Maksimal verdi 0.0095 0.0086 0.0154 0.0096 0.0086 0.0155 Minimal verdi 0.0001 0.0002 0.0007 0.0001 0.0002 0.0007 De utregnede differansene mellom programmert fem-stegs-transformasjon og EPN-stasjoner i Norden er vist i figur 21, 22 og 23. De er visualisert i X-, Y-, og Z-retning. 53

Figur 21 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i X-retning. Figur 22 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs- transformasjon og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Y-retning. 54

Figur 23 - Differanse mellom koordinater fra programmert fem-stegs-transformasjon og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Z-retning. Når man først ser på tabellen med differanser ved bruk av opprinnelig hastighetsmodell, ser man at gjennomsnittlig differanse varierer fra 2.9 mm 9.0 mm. Differanser ved bruk av justert og kombinert hastighetsmodell er ganske like og varierer fra 1.9 mm - 5.2 mm. Det er altså signifikant lavere differanser for de to sistnevnte hastighetsmodellene. Som ved tidligere resultat er det lavest differanser i X-retning. Det er heller ikke stor forskjell mellom de ulike interpolasjonsmetodene for den justerte eller kombinerte hastighetsmodellen. Dog ser man et utslag i Z-retning ved bruk av distansebasert interpolasjon for opprinnelig hastighetsmodell. Rent geografisk er igjen punktet i Stavanger punktet med størst differanse i Z-retning, i tillegg til punkt sørvest i Sverige. 55

3.5.2 Transformasjon ved bruk av EPN s transformasjonsverktøy vs. EPN-registrerte koordinater Til sist er det gjort en sammenligning av koordinater oppnådd ved bruk av EPN s transformasjonsverktøy og koordinater fra EPN-stasjoner. Koordinatene som er sammenlignet er i nasjonal ETRS89-realisering, se tabell 3. I tabell 18 er statistiske beregninger for differanser mellom resultat fra EPN s transformasjonsverktøy og EPN-stasjoner vist. Beregningene er gjort i X-, Y- og Z-retning. Tabell 18 - Differanse mellom koordinater fra EPN s transformasjonsverktøy og EPNstasjoner i Norden X (m) Y (m) Z (m) Gjennomsnitt 0.1059 0.0615 0.0689 Standardavvik 0.0946 0.0545 0.0586 Maksimal verdi 0.2099 0.1292 0.1481 Minimal verdi 0.0005 0.0001 0.0031 I figur 24 er differanser fra transformerte koordinater ved bruk EPN s transformasjonsverktøy og koordinater fra utvalgte EPN-stasjoner i Norden i X-retning visualisert. Differansen varierer fra 0.5 mm til 21 cm. Punkt i figur 24 med størst sirkel og rød farge har størst differanse. I figur 25 er tilsvarende differanser visualisert for Y-retning, mens det i figur 26 er laget visualisering for Z-retning. 56

Figur 24 - Differanse mellom koordinater fra EPNs transformasjonsverktøy og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i X-retning. Figur 25 - Differanse mellom koordinater fra EPNs transformasjonsverktøy og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Y-retning. 57

Figur 26 - Differanse mellom koordinater fra EPNs transformasjonsverktøy og koordinater til EPN-stasjoner i Norden i Z-retning. Vi ser av resultatene i tabell 18 at differansene er varierer fra 0.1 mm til 21 cm. Det er altså store forskjeller transformasjon av de ulike punktene, men jevnt over ganske store differanser. De de store avvikene kan ha å gjøre med at EPN s transformasjonsverktøy ikke tar høyde for intraplatedeformasjoner for land i Norden ved beregning av transformasjon. En observasjon fra figur 24, 25 og 26 er at de største differansene, uansett akseretning, forekommer i Sverige. 58