Eksamen S høsten 017 løsninger Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f x x 4x 4 1 f x x x g x x e b) x x x x g x x e x e xe x c) hx lnx 3 3x 1 1 3x 3 3 3 x x x x 3 3 h x x 3 1 3 1
Oppgave (4 poeng) a) Utfør divisjonen x 3 5x 4x 0 : x 5 3 x 5x 3 x 5x 4x 0 : x 5 x 4 4x 0 4x 0 0 b) Bestem t slik at divisjonen nedenfor går opp. x 3 tx 5x t : x 1 For at divisjonen skal gå opp: 3 t 1 1 5 1 t 0 1 t 5 t 0 t 6 t 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningssystemet x y z 3 x 3y z x y z x y z 3 x y z 3 Det gir y z 3 3y z y z 5 z y 5 og yz3 y z y 3z 8 y 3 y 5 8 1 3z 8 7y 7 3z 9 y 1 z 3 x 1 3 3
Oppgave 4 ( poeng) Skriv så enkelt som mulig: e 4 ln ln ln e e 4 ln ln ln lne ln ln ln 4lne 6lne 6 e Oppgave 5 (4 poeng) En aritmetisk rekke er gitt ved 3 7 11 15 119. a) Bestem en formel for ledd nummer n i denne rekken. an a1 n 1 d 3 n 1 7 3 3 4n 4 4n 1 b) Bestem summen av rekken. Jeg finner først antall ledd i rekken ved hjelp av formelen fra a). 4n1 119 n 30 S a a 3 119 30 61 30 1830 1 n n n
Oppgave 6 (4 poeng) Totalkostnaden K i kroner for å produsere en vare er gitt ved K x x 50x 6400 Her er x antall produserte enheter per uke. a) Bestem grensekostnaden når det produseres 50 enheter. Hva forteller dette svaret oss? K x x x 50 6400 K x x 50 K 50 50 50 150 Det betyr at det koster 150 kroner å produsere vare nummer 51. b) Bestem den produksjonsmengden x som gir lavest kostnad per produserte enhet. E x E x 0 0 x 50 x x 50x 6400 x 50x x 50x 6400 K x x K xx K x x E x K x x K x K x x K x x 6400 x 80 Vi får lavest kostnad per enhet når det produseres 80 enheter.
Oppgave 7 (7 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x e x a) Bestem eventuelle nullpunkter til f. x f x 0 x e 0 x 0 x fordi e 0 for alle x x b) Bestem eventuelle toppunkter og bunnpunkter på grafen til f. x 1 1 f x x e f x e x e x e e x e f x 0 x 1 0 x 1 1 1 1 e 0 1 1 1 x x x x x f x e x e x e f x x x f e e Utregningen viser at grafen til f har bunnpunkt 1, e c) Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til f. e 0 x f x 0 x e 0 x 0 f 0 0 Grafen til f har vendepunkt 0, d) Lag en skisse av grafen til f.
Oppgave 8 (8 poeng) I et lotteri gjelder følgende: Hvert lodd koster 10 kroner. Halvparten av loddene gir en gevinst på 10 kroner. 10 % av loddene gir en gevinst på 50 kroner. Resten av loddene gir ingen gevinst. Den stokastiske variabelen X er nettogevinsten (gevinst minus loddpris) på et tilfeldig lodd. a) Vis at E X 0 og Var X 00 Den stokastiske variabelen X kan ha verdiene 10, med sannsynlighet 0,4; 0, med sannsynlighet 0,5 og 40, med sannsynlighet 0,1. E X Var X 100,4 00,5 400,1 4 4 0 10 0 0,4 0 0 0,5 40 0 0,1 1000,4 16000,1 40 160 00 x -10 0 40 P(X=x) 0,4 0,5 0,1 La S være den stokastiske variabelen S X1 X X50 som gir nettogevinsten ved kjøp av 50 lodd. b) Begrunn at S er tilnærmet normalfordelt. Sentralgrensesetningen sier at siden S er summen av et stort antall uavhengige forsøk med samme sannsynlighetsfordeling, så er S normalfordelt. c) Vis at ES 0 og SDS 100. Sentralgrensesetningen sier videre at E S E X SD S Var X 50 50 00 10000 100 50 500 0 og
Anja ønsker å kjøpe seg en jakke til 650 kroner, men har bare 500 kroner. Hun vurderer derfor å kjøpe lodd for alle pengene. d) Bestem sannsynligheten for at Anja får nok penger til å kjøpe jakken dersom hun satser alle pengene i lotteriet. Du kan få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1. 150 0 P S 650 500 P S 150 P Z 100 P Z 1,5 1 1,5 1 0,933 0,0668 P Z
Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (10 poeng) Julie har fått seg ny jobb. Funksjonen f er gitt ved f x 400 000 1,05 x som er en god modell for årslønnen (i kroner) til Julie x år etter at hun startet i jobben. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til f for 0 x 35. Jeg definerer funksjonen f i CAS i GeoGebra uten begrensninger for siden å kunne derivere funksjonen. For å tegne grafen til funksjonen med avgrensninger i grafikkfeltet gis funksjonen et nytt navn. b) Når vil årslønnen hennes passere 800 000 kroner? Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til f og linjen y 800 000. Det betyr at årslønnen passerer kr 800 000 etter litt over 14 år. Det forutsetter at årslønnen stiger jevnt gjennom året..
c) Bruk CAS til å bestemme hvor mange år det går før lønnsøkningen per år passerer 50 000 kroner. Den deriverte funksjonen svarer til lønnsøkningen. Lønnsøkningen per år passerer 50 000 kroner etter litt over 19 år. Julie regner med å jobbe i bedriften i 30 år. d) Bestem en tilnærmingsverdi for hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å regne ut et integral. b:=integral(f(x),0,30) Hun vil tjene cirka 7, millioner kroner i denne perioden ved å regne med integral.
e) Bestem hvor mye hun vil tjene i løpet av denne perioden, ved å summere leddene i en rekke. a:=sumunder(f,0,30,30) Hun vil tjene cirka 6,6 millioner kroner i denne perioden ved å summere årslønnene. Oppgave (8 poeng) Annette vurderer å ta opp et boliglån på 1 500 000 kroner. Renten er 0,3 % per måned. Lånet skal nedbetales som et annuitetslån med 180 månedlige terminer. Første innbetaling er én måned etter låneopptak. a) Vis at terminbeløpet Annette må betale, er 10 797 kroner. Vi fører alle terminbeløpene, x tilbake til tidspunktet for låneopptaket. Summen av x alle tilbakeførte terminbeløp utgjør en geometrisk rekke med a1, 1,003 og n 180. Summen av denne geometriske rekken er lik lånebeløpet. 1 k 1,003
Annette regner med å ha litt trang økonomi de nærmeste årene. Banken tilbyr henne derfor en ordning der hun betaler 8000 kroner per måned de første fem årene. Etter dette økes terminbeløpet slik at lånet er helt nedbetalt 15 år etter at hun tok opp lånet. b) Vis at Annette har 1 70 89 kroner igjen av lånet etter de fem første årene dersom hun velger denne ordningen. Vi fører alle beløpene fram fem år. Summen av alle termininnbetalingene disse årene tilsvarer da summen av en geometrisk rekke med a1 8000, k 1,003 og n 60. Restlånet blir da c) Bestem det månedlige terminbeløpet de siste 10 terminene dersom Annette går inn for denne ordningen. Vi finner dette terminbeløpet på tilsvarende måte som i a) Annette liker ordningen med redusert terminbeløp de første fem årene, men synes det nye terminbeløpet i c) er litt for høyt. Hun ønsker å betale 11 000 kroner i terminbeløp etter de første fem årene. d) Bruk CAS til å bestemme hvor mye dette vil forlenge tiden det tar å nedbetale lånet.
Det forlenger lånetiden med måneder.
Oppgave 3 (6 poeng) På en frøpose står det at spireevnen er 85 %. Det er 00 frø i hver pose. La X være antall frø som spirer, i en tilfeldig frøpose. Vi antar at X er binomisk fordelt. a) Bestem P X 175 Nora hadde mistanke om at spireevnen var lavere enn 85 %. Hun ville derfor utføre en hypotesetest. Hun ville teste nullhypotesen H : p 0,85 0 mot den alternative hypotesen H : p 0,85 1 Hun sådde derfor 00 frø. Det viste seg at 160 av frøene spirte. b) Avgjør om Noras mistanke er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 %. Sannsynligheten for at kun 160 eller færre frø spirte, samtidig med at nullhypotesen gjelder, er 3,35 %. Dette er mindre enn signifikansnivået. Testresultatet gir grunn til å hevde at Noras mistanke er berettiget.
Nora har ikke programvare til å utføre binomiske beregninger. Hun må derfor gjøre en hypotesetest med en normaltilpasning av X. c) Gå ut fra at X er tilnærmet normalfordelt. Bruk dette til å utføre hypotesetesten. Sentralgrensesetningen sier at X er tilnærmet normalfordelt med np 00 0,85 og n p1 p Vi får nå at sannsynligheten for at kun 160 eller færre frø spirte er,38 %. Dette er også mindre enn signifikansnivået. Testresultatet gir også her grunn til å hevde at Noras mistanke er berettiget.
Løsningene er laget av
Kilder Oppgavetekst med grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet