UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT Kalkulus. Eksamensdag: Fredag 9. desember 2. Tid for eksamen: 9.. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: Svarark, formelark. Godkjent kalkulator Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Løsningsforslag DEL Oppgave. ( poeng) Hvis f(x, y) = xy + y 2, er y lik: A) y + xy 2 + 2y B) y C) xy 2 + 2y D) y + y 2 E) y 2 Riktig svar: C. Begrunnelse: Vi deriverer mhp. y som om x er en konstant: y = xy2 + 2y Oppgave 2. ( poeng) Hvis f(x, y) = x y 2, så er den retningsderiverte f (a; r) der a = (, ) og r = (, 2), lik: A) 7 B) 8 C) - 2 D) E) 2 Riktig svar: D. Begrunnelse: De partiellderiverte er så x = x2 y 2 y = 2x y, f(, ) = ( 2 ( ) 2, 2 ( )) = (, 2) (Fortsettes på side 2.)
Eksamen i MAT, Fredag 9. desember 2. Side 2 Siden funksjonen åpenbart er deriverbar, blir da f (a; r) = f((a)) r = (, 2) (, 2) = 4 = Oppgave. ( poeng) I punktet (, ) vokser funksjonen f(x, y) = xe xy2 raskest i retningen: A) (, ) B) (, ) C) ( 4, ) D) (, ) E) (, ) Riktig svar: D. Begrunnelse: De partiellderiverte er så x = exy2 + xy 2 e xy2 y = 2x2 ye xy2, f(, ) = (2e, 2e) = 2e(, ) Funksjonen stiger hurtigst i den retningen gradienten peker, altså (, ). Oppgave 4. ( poeng) Hvis en trekant har hjørner i punktene (,, 2), (2,, 2), (,, ), så er arealet: A) 6 B) 6 2 C) 2 D) 4 E) 2 Riktig svar: C. Begrunnelse: Trekanten er utspent av vektorene a = (2,, 2) (,, 2) = (,, ) og b = (,, ) (,, 2) = (,, ). Arealet er gitt ved 2 a b, og siden i j k a b = = i j k, får vi areal = 2 a b = 2 ( ) 2 + ( ) + ( ) 2 = 2 27 = 2 Oppgave 5. ( poeng) Når du skal delbrøkoppspalte P (x) må du først: A) finne konstanter A, B, C slik at P (x) Q(x) = A x 2 + + B (x 2) + B) finne konstanter A, B, C slik at P (x) Q(x) = Ax+B x 2 + + C (x 2) 2 C) polynomdividere Q(x) = C (x 2) 2 D) finne konstanter A, B, C, D slik at P (x) Q(x) = Ax+B x 2 + + C (x 2) + x (x 2 +)(x 2) 2, D (x 2) 2 (Fortsettes på side.)
Eksamen i MAT, Fredag 9. desember 2. Side E) finne konstanter A, B, C, D slik at P (x) Q(x) = A x 2 + + B (x 2) + Cx+D (x 2) 2 Riktig svar: D. Begrunnelse: Følger direkte fra reglene for delbrøksoppspalting. Oppgave 6. ( poeng) Dersom du substituerer u = arcsin x i integralet /2 /2 ln(arcsin x) dx, får du A) /2 /2 ln(u) cos u du B) π/ ln(u) π/6 du u 2 C) π/ π/6 D) π/ π/6 E) /2 /2 ln(u) du +u 2 ln(u) cos u du ln(u) u 2 du Riktig svar: D. Begrunnelse: Hvis u = arcsin x, er x = sin u, og følgelig er dx = cos u du. Vi må også skifte grenser: Når x = 2, er u = arcsin 2 = π 6, og når x = 2, er u = arcsin 2 = π. Dermed er /2 /2 ln(arcsin x) dx = π/ π/6 ln(u) cos u du Oppgave 7. ( poeng) Området under grafen til f(x) = cos x, x π 2, dreies en omdreining om y-aksen. Volumet til omdreiningslegemet er A) π 2 2π B) π C) π2 4 D) π2 E) π + 2 Riktig svar: A. Begrunnelse: Volumet er gitt ved V = 2π π/2 xf(x) dx) = 2π π/2 x cos x dx Bruker vi delvis integrasjon med u = x, v = cos x, u =, v = sin x, får vi π/2 x cos x dx = [ ] π/2 x sin x π/2 Ganger vi dette uttrykket med 2π, får vi alternativ A). Oppgave 8. ( poeng) Integralet A) er lik 8π B) er lik ln 2 C) er lik 2π D) er lik 5π 4 ln 2 arctan x x+ dx: sin x dx = π 2 (Fortsettes på side 4.)
Eksamen i MAT, Fredag 9. desember 2. Side 4 E) divergerer Riktig svar: E. Begrunnelse: Bruker vi at arctan x π 4 når x, får vi b når b. arctan x b π x + dx > 4 x + dx = π ( ) ln(b + ) ln 2 4 Oppgave 9. ( poeng) Integralet A) divergerer B) er lik π 4 C) er lik ln 2 D) er lik E) er lik 2 Riktig svar: B. Begrunnelse: Vi har x 2 +2x+2 dx: x 2 + 2x + 2 dx = [ ] b (x + ) 2 dx = lim arctan(x + ) + = b = lim b arctan(b + ) arctan = π 2 π 4 = π 4 Oppgave. ( poeng) Buelengden av funksjonen f(x) = x 2 fra x = til x = er: A) π B) 4 C) 2 D) 2π E) π2 Riktig svar: A. Begrunnelse: Grafen er en halvsirkel med radius r =, og lengden er dermed L = 22πr = π. Buelengden kan også finnes ved hjelp av buelengdeformelen. Siden f x (x) =, x 2 er L = + f (x) 2 dx = + x2 x 2 dx = = [ ] arcsin x = π 2 ( π 2 ) = π x 2 dx = (Fortsettes på side 5.)
Eksamen i MAT, Fredag 9. desember 2. Side 5 DEL 2 Oppgave ( poeng) Løs integralet x 2 x 2 + 2x + 2 dx Løsning: Vi må først redusere graden til telleren. Det kan enten gjøres ved polynomdivisjon, eller ved å observere at x 2 x 2 + 2x + 2 = x2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2 2x + 2 x 2 + 2x + 2 = 2x + 2 x 2 + 2x + 2 Dermed er integralet vårt lik ( I = 2x + 2 ) x 2 + 2x + 2 dx = x 2x + 2 x 2 + 2x + 2 dx Innfører vi u = x 2 + 2x + 2, ser vi at du = 2x + 2. Dermed er 2x + 2 du x 2 + 2x + 2 dx = u = ln u + C = ln(x2 + 2x + 2) + C, og vi får I = x ln(x 2 + 2x + 2) + C Oppgave 2. Den brukte kartongen fra tre kartongfabrikker, 2 og samles inn ved to gjenvinningsanlegg A og B og sendes tilbake til fabrikkene uavhengig av hvor den opprinnelig ble produsert. Vi har følgende opplysninger: (i) Av kartongen fra fabrikk blir 4% samlet inn ved gjenvinningsanlegg A, % ved anlegg B og resten går tapt. (ii) Av kartongen fra fabrikk 2 blir % samlet inn ved gjenvinningsanlegg A, 5% ved anlegg B og resten går tapt. (iii) Av kartongen fra fabrikk blir 6% samlet inn ved gjenvinningsanlegg A, % ved anlegg B og resten går tapt. (iv) Av kartongen som samles inn ved gjennvinningsanlegg A, sendes 4% tilbake til fabrikk, 2% til fabrikk 2 og 4% til fabrikk. (v) Av kartongen som samles inn ved gjennvinningsanlegg B, sendes 2% tilbake til fabrikk, 5% til fabrikk 2 og % til fabrikk. I oppgaven er C og D to matriser med følgende egenskaper: Dersom fabrikkene, 2 og produserer henholdsvis x, x 2 og x tonn kartong, så er antall tonn y og y 2 som samles inn ved stasjonene A og B, gitt ved ( ) x y = C x y 2 2 x (Fortsettes på side 6.)
Eksamen i MAT, Fredag 9. desember 2. Side 6 Dersom y og y 2 er antall tonn kartong som samles inn ved stasjonene A og B, så er antall tonn z, z 2 og z som sendes tilbake til fabrikkene, 2 og gitt ved z ( ) z 2 y = D y z 2 a) ( poeng) Finn C og D og regn ut DC. b) ( poeng) Anta at fabrikkene, 2 og i en periode produserer henholdsvis tonn, 4 tonn og tonn kartong. Hvor mye av denne produksjonen returneres til hver av fabrikkene? Løsning: a) Matrisene er C = (.4..6..5. ) D =.4.2.2.5.4. For å se at dette er riktig, gang matrisene med generelle vektorer x = x ( ) x 2 y og y = og se at vi får fordelingene som oppgaven tilsier. y 2 x Produktet blir E = DC =.22.22..2..27.25.27. b) Fordelingen er gitt ved Ex (husk begrunnelsen for definisjonen av matrisemultiplikasjon), altså.22.22. 244.2..27 4 = 274.25.27. 282 Dette betyr at fabrikk mottar 244 tonn returkartong, mens fabrikk 2 og mottar henholdsvis 274 og 282 tonn. Oppgave. I denne oppgaven er f : (, ) R funksjonen definert ved x for x f(x) = for x = a) ( poeng) Vis at f er kontinuerlig. b) ( poeng) Finn den deriverte til f for x. Vis at f er deriverbar i x = og finn f (). I resten av oppgaven er F : (, ) R funksjonen definert ved der f er som ovenfor. (Fortsettes på side 7.) F (x) = x f(t) dt
Eksamen i MAT, Fredag 9. desember 2. Side 7 c) ( poeng) Finn F (x) og vis at F er strengt voksende. d) ( poeng) Finn F (x) og vis at F er konkav. Løsning: a) Funksjonen f er en brøk to kontinuerlige funksjoner og x, og så lenge nevneren x er ulik null, er funksjonen kontinuerlig. Dette viser at f er kontinuerlig når x. Det gjenstår å vise at f er kontinuerlig i, dvs. å vise at lim x f(x) = f(). Vi har L lim f(x) = lim H = lim x x x x x = = f() som viser at f også er kontinuerlig i. b) For x bruker vi brøkregelen for derivasjon: f (x) = x (x ) (x ) 2 = For x = bruker vi definisjonen av den deriverte; f f(x) f() () = lim = lim x x x L H = lim x L H = lim x 2 x 2(x ) x 2 x (x ) (x ) 2 = x (x ) 2 x x = lim x + L H = x (x ) 2 = 2 Siden grenseverdien eksisterer, er f deriverbar i x =, og f () = 2. c) Ved analysens fundamentalteorem er F (x) = f(x). Vi ser at fortegnet til f er positivt overalt (for x < er både og x negative, mens de for x > begge er positive), og dermed er F strengt voksende. d) Siden F (x) = f(x), er F (x) = f (x), dvs. x (x ) for x F (x ) (x) = 2 2 for x = For å vise at F er konkav, må vi vise F (x) for alle x. Siden (x ) 2, holder det å vise at telleren er negativ, altså at x (x ). Bruker vi middelverdisetningen på funksjonen g(x) = over intervallet mellom og x, får vi at det finnes en c mellom og x slik at g(x) g() x = g (c) dvs. slik at x = c Vi ser på tilfellene x > og x < hver for seg (i x = vet vi allerede at F er negativ): (Fortsettes på side 8.)
Eksamen i MAT, Fredag 9. desember 2. Side 8 For x >, er < c < x og følgelig x = c > x Ganger vi med den positive størrelsen x, får vi > x (x ) som er det vi skulle vise. For x <, er x < c < og følgelig x = c < x Ganger vi med den negative størrelsen x, må vi snu ulikheten og får > x (x ) som igjen er akkurat det vi skulle vise. Dermed har vi vist at F (x) er negativ for alle x (, ) og følgelig er funksjonen konkav.