Ma1203 - Flerdimensjonal Analyse Øving 1 Øistein Søvik Brukernavn: Oistes 23.01.2012 Oppgaver 10.1 6. Show that the triangle with verticies (1, 2, 3), (4, 0, 5) and (3, 6, 4) has a right angle. z y x Utifra en rask skisse ser det ut som om trekanten er rettvinklet. Her kan vi enten bruke Pytagoras. Eller regne ut to av vektorene og bruke at dotproduktet er null dersom to vektorer står ortogonalt(vinkelrett) på hverandre. Dette kan vi se fra definisjonen av dotproduktet u v = u v cos(θ). Her ser vi at v u = 0 dersom θ = π/2. Punktene våre er A = (1, 2, 3), B = (4, 0, 5),, C = (3, 6, 4), slik at AB = (3, 2, 2) og AC = (2, 4, 1). Så Altså er trekanten er rettvinklet. AB AC AB AC = 0 (3, 2, 2) (2, 6, 1) = 0 (6 8 + 2) = 0 22. Describe (and sketch if possible) the set of points in R 3 that satisfy the given equality or equation: z x 2 + y 2 Blir for vanskelig for meg å tegne her, blir i det minste området utenfor en uendelig lang sylinder. 1
Grunnen er at x 2 + y 2 = r 2 beskriver en sirkel med radius r og senter i origo. Ulikheten x 2 + y 2 r 2 er alle punktene som er utenfor denne sirkelen (inkludert randen.) og er spiller z bare rollen som varierende radius. Dette skaper en sylinder, der spissen ligger i origo. 28. Describe (and sketch if possible) { the set of points in R 3 that satisfy the given pair of x 2 + y 2 + z 2 = 4 equations or inequalitites. x 2 + z 2 = 1 Den første likningen beskriver en kule i rommet med radius 2. Den siste likheten bekskriver en sylinder som ligger langs y-aksen. x 2 + z 2 = 1 beskriver en sirkel med radius i xz-planet, og denne strekker vi langs y-aksen. Området som tilfredstiller begge likningene er et området som ligner på et pille. Eller mer matematisk, området innenfor en sfære med radius 4. Oppgaver 10.2 27. (The triangle equality) let u and v be two vectors. (a) Show that u + v 2 = u 2 + 2 u v + v 2. Utifra definisjon vet vi at v 2 = v v dette gir oss u + v 2 = (u + v)(u + v) = u u + v u + u v + v v = u 2 + 2u v + v 2 2
Som var det som skulle vises (b) Show that u v u v Utifra definisjonen at a b = a b cos(α) får vi u v u v u v cos(α) u v cos(α) 1 Vi har lov å dele begge sider på v u siden vi vet at lengden av en vektor alltid er positiv. Videre vet vi at den siste likheten stemmer utifra definisjonen av cos når vi ser på enhetssirkelen. (c) Deduce from (a) and (b) that a + b a + b Ved å kvadrere begge sider, og skrive ut får vi at u + b u + v u + b 2 ( u + v ) 2 (u + v)(a + v) ( u + v )( u + v ) u 2 + 2u v + u 2 u 2 + 2 u v + v 2 u v u v Den siste ulikheten vet vi holder fra a. Kvadreringen skader ingen løsninger siden lengden av vektorer uansett er positive. Oppgaver 10.3 6. Find a unit vector with a positive k component that is perpendicular to the vectors 2i j 2k and 2i 3j + k. Her kan vi regne ut kryssproduktet (2, 3, 1) (2, 1, 2) = (7, 6, 4). Dette er en vektor med riktig retning, men ikke størrelse. Enhetsvektoren må ha lengde 1. Vi ganger vektoren med 1/ v for å oppnå riktig lengde. (Dette er i praksis en ortonormal vektor...) Oppgaver 10.4 v = v v = 1 1 (7, 6, 4) = (7, 6, 4) (7)2 + (6) 2 + 42 101 2. Find the equation of the planes satisfying the given conditions: Passing through 0, 2, 3 and normal to the vector 4i j 2k Vi kan definere et plan ved et punkt og en vektor som står normalt på planet altså a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 4(x 0) (y 2) 3(z + 3) = 0 4x y 3z 7 = 0 10. Under what geometric conditions will three distinct points in R 3 not determine a unique plane passing through them? How can this condition be expressed algebraically in terms of the position vectors, r 1, r 2 and r 3, of the three points? Dersom tre punkter ligger på linje, så beskriver de ikke et unikt plan. Dette kan vi vel skrive som at betingelsen som må oppfylles for at tre vektorer eller punkter skal beskrive et unikt plan er at r 2 r 1 r 3 r 1 3
30. Show that the line x 2 = y+3 2 = z 1 4 is parallell to the plane 2y z = 1. What is the distance between the lines of the plane? Et plan kan bli beskrevet som a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 og x x 0 a Så vi foretar omskrivningen: x 2 = y + 3 2 = z 1 4 = y y 0 b = z z 0 c 1(x 2) + 2(y + 3) + 4(z 1) = x + 2y + 4z = 0 Altså er planene ikke parallelle, og den minste avstanden mellom dem er null... Oppgaver 10.5 Identify the surfaces represented by the equations and sketch their graphs: 1. x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 x 2 + (2y) 2 + (3z) 2 = 6 2 Dette er en Ellipsoide, eller på godt norsk en sfære som er strukket innover i y og zretningen. 5. z = x 2 + 2y 2 Er en sykloide eller en slags bolle, som er strekt i y retningen. Altså rotasjonlegemet til en ellipse. 4
9. z = xy Dette beskriver en slags saddelformet figur... Tror det er en hyperbolsk paraboloide... Ligner på pringles. 10. x 2 + 4z 2 = 4 Er en ellipse i xz-planet, og denne ellipsen strekker seg langs y-aksen. 15. (z 1) 2 = (x 2) 2 + (y 3) 2 Litt usikker her og. Blir vell en slags hyperbolsk funksjon som strekker seg i z-retningen. Likner på et timeglass. Describe and sketch the geometric objects represented by the systems of equations: 18. { x 2 + y 2 = 1 z = x + y Den første likningen beskriver en sirkel som utstrekker seg langs z-retningen. Altså en sylinder. Mens den neste likningen beskriver et plan. Området er altså en sirkel inne i sylinderen, avkuttet av planet. 5
Oppgaver 10.6 1. Convert the Cartesian coordinates (2, 2, 1) to cylindrical coordinates and to spherical coordinates. I sylinderkoordinater får vi at (Lengde, vinkel, z-verdi) r = x 2 + y 2 ) 2 2 + ( 2) 2 = 2 2 θ = arctan( y x ) = arctan( 2 2 ) = π 4 (2, 2, 1) (2 2, π 4, 1) = (2 2, 45, 1) Ved sferiske koordinater får vi (lengde, vinkel, vinkel) ρ = x 2 + y 2 + z 2 = 2 2 + ( 2) 2 + 1 2 = 3 ( ( ) y 2 ϕ = arctan = arctan = x) π 2 4 = 3π 4 ( ) z θ = arccos = arccos( 1 ρ 3 ) 1.23 (2, 2, 1) (3, 3π 4, arccos(1 )) = (3, 70.5, 135) 3 6