Introduksjon til Marinteknikk - MAS124

Introduksjon til Marinteknikk - MAS124 Forelesningsnotater Gloria Stenfelt gste@hvl.no

Innholdsfortegnelse med nøkkelord Viktige definisjoner Hydrostatikk deplasement, koordinatsystem, formkoeffisienter, linjetegninger tetthet, trykk, volum, Arkimedes lov, når gjelder Arkimedes? Skipets geometriske punkter tyngdepunkt, oppdriftssenter, flotasjonssenter, tyngdepunktsatsen, likevekt metasenterhøyde, hydrostatiske KB-/KM-/KG-kurver Initialstabilitet stabilitet små krengevinkler, likevekt, vekt og formstabilitet Beregning metasenterhøyde KB, BM, Steiners sats, arealtreghetsmoment (2. ordens moment) KG og virtuell tyngdepunktheving GG Fylling og lensing av bunntanker Krenge- og trimvinkel Tungløft usymmetrisk last, flytting/fjerning/tilføring last, minste fribord, lastelinjekonvensjonen Fritt hengende last, kranoperasjoner, likevekt Numerisk integrasjon GM beregning kurvete geometrier, Simpson og Trapez metode Krengeprøve historikk, beregninger se NTNU notater Store krengevinkler M kurve, B kurve, GZ kurve, KY kurve, Stabilitetskriterier krav på initialstabilitet, GZ-kurvens forløp og arbeid, KG-grensekurve se Stabilitetskriterier.pdf Dynamisk stabilitet vindens påvirkning, lagret energi i GZ-kurve Fullt neddykket legeme rettende arm, styring, hydrostatisk kraftbalanse Skadestabilitet angle of loll, grunnstøting ( beaching, dokking) vannfrylling, lost buoyancy method Øvrige temaer Referanser 2

Viktige definisjoner deplasement, koordinatsystem, formkoeffisienter, linjetegninger Til innholdsfortegnelse Notater MAS124

Definisjoner skip Notater MAS124 08.05.2018 4

Deplasement Vektdeplasement (Displacement mass) Gresk: capital Delta Enhet: [kg] Skipets vekt. Volumdeplasement (Displacement volume) Gresk: Nabla Enhet: [m 3 ] Neddykket volum, fortrengt væskemengde. Vektdeplasement Lettskipsvekt Dødvekt Skrog, maskineri, utrustning Payload (last), forråd, mennesker 5

Koordinatsystem og frihetsgrader z Hekk Baug 6 frihetsgrader (dof - degrees of freedom) - 3 translasjoner - 3 rotasjoner x y Babord x Styrbord Origo for koordinatsystemet er vanligvis definert ved roraksen i linje med kjølpunktet. Origo er referansepunktet for hele skipets geometri, last og tyngdepunktsplassering, x G, y G, z G. Når tyngdepunktet, G, er bestemt og man begynner med dynamisk analyse er det vanlig at flytte frem koordinatsystemet sånn at skipets rotasjonspunkt, C, er på samme vertikale akse som origo for det nye koordinatsystemet. Positive moment rundt akslene gir positive vinkler (høyre hånd regel) : Krengevinkel: ϕ (gresk: phi), positiv styrbord Trimvinkel: θ (gresk: theta), positiv baug ned Girvinkel: ψ (gresk: psi), positiv baug til venstre 6

Linjetegninger Profil, Oppriss (Profile) Spanteriss (Body plan) Vannlinjeplan (Plan view) Lagd i Freeship 7

Linjetegninger Spanteriss - Body plan 8

Formkoeffisienter Beskriver skrogets fyldighet/slankhet. 1. Vannlinjeareal koeffisient (Waterplane coefficient) 2. Midspant koeffisient (Midship section coefficient) 3. Blokk koeffisient (Block coefficient) 4. Prismatiske koeffisienter (Vertical and longitudinal prismatic coeff.) 9

1. Vannlinjearealkoeffisient (WL Waterline, Vannlinje) A W Typiske verdier: 0.7-0.9 10

2. Midspantkoeffisient A M T Dypgang (Draught) 11

3. Blokk koeffisient Typiske verdier: 0.88 tankfartøy 0.6 hangar fartøy 0.5 yacht 12

4. Prismatiske koeffisienter Longitudinell Vertikal 13

4. Prismatiske koeffisienter Setter man sammen formel for C M og C P, får man at C P =C B /C M Longitudinell Vertikal 14

Dimensjoner i riss Alle formkoeffisienter beregnes på basis av dimensjoner i riss, dvs. innside hud eller utside spant. 15

Øvingsoppgave Data for et fiskefartøy: L WL Lengde vannlinje 14.251 m B Bredde midskip 4.520 m T Dypgang 1.908 m Volum deplasement 58.536 m 3 A M Midspantareal 6.855 m 2 A W Vannlinjeareal 47.595 m 2 Beregn C WP, C M, C B, C P og C VP. 16

Resultat C WP 0.73889 C M 0.79486 C B 0.47628 C P 0.59920 C VP 0.64459 Alt material for formkoeffisienter er fra: Basic Ship Theory, Vol.1, s. 12-14 (Rawson and Tupper 1996) 17

Hydrostatikk tetthet, trykk, volum, Arkimedes lov, når gjelder Arkimedes? Til innholdsfortegnelse

Trykk på et legeme som flyter i vann Hydrostatiske trykket virker normalt på ytre flater på et legeme og er like stort i alle retninger på samme dybde. Horisontalkomponentene virker likt mot hverandre slik at det ikke er noen sideveis kraft totalt. De vertikale trykkreftene er større på bunn enn topp av legemet, dette gir Oppdriften. Oppdriften har sitt angrepspunkt (B) i senter på neddykket volum. (eng. Buoyancy) Bunnareal enkel kasseform = A F opp = A(p 0 + ρgt - p 0 ) = ρgt A = ρg [N] Denne utledning gjelder også generelt for alle neddykkede former Arkimedes lov 19

Arkimedes lov Likevekt gir g g [N] [kg] Δ (Delta) er legemets massedeplasement (nabla) er legemets volumdeplasement g er tyngdeakselerasjonen ρ er tettheten på væsken som fortrenges Et neddykket legeme får en oppdrift lik tyngden av den væskemengde legemet fortrenger. 20

Arkimedes Any floating object displaces its own weight of fluid. 21

Når gjelder Arkimedes lov? Utledning på forelesning er basert på bok referanse: A. Biran, Ship Hydrostatics and Stability, side 27-28 (finnes på It s Learning) 22

Skipets geometriske punkter tyngdepunkt, oppdriftssenter, flotasjonssenter, metasenter tyngdepunktsatsen Oppdrift og tyngde vil være i likevekt Til innholdsfortegnelse

Definisjon viktige punkter Typisk plassering av: Metasenter (M) Flotasjonssenter (F) Tyngdepunkt (G) Oppdriftssenter (B) Kjøl (K) Samt angrepspunkter for oppdrift og tyngde i likevekt. 24

Bruk av tyngdepunktsatsen Vi trenger å bruke tyngdepunktsatsen for å regne ut plasseringen av disse: G = Tyngdepunkt = Massesenter til legeme B = Oppdriftssenter = Volumsenter av neddykket legeme F = Flotasjonssenter = Arealsenter av vannlinjearealet G B F Disse punkter har posisjon i skipets koordinatsystem: x G yg zg x B yb zb x y z (z T,dvs på areal i vannlinjeplanet) F F F F 25

Tyngdepunkt Massesenter - G x G L 0 xadx L 0 Adx n i1 n i1 m x i m i i n i1 n i1 m x i m i i Summen av (alle masser avstand til senter på hver masse) Summen av alle masser ( Vektdeplasement ) Lettskips tyngdepunkt z Tilført dødvekt Med lettskips tyngdepunkt gitt i=1,2 n, n=4 dx m 1 y A G m 3 Ref: Basic Ship Theory p. 17-19 m 2 x 26

Volumsenter Oppdriftsenter B (1) x B x2 x1 x2 x1 xa dx t t A dx z n i1 n i1 V x i V i i Summen av (alle neddykkede volumer avstand til senter på hver volum) Summen av alle neddykkede volumer (Volumdeplasement ) A t SAK kurve, Sektionsareal y dx x A t VL B T Ref: Basic Ship Theory p. 17-19 x1 x2 x 27

Volumsenter Oppdriftsenter B (2) z B T 0 T 0 za A w w dz dz n i1 n i1 V z i V i i Summen av (alle neddykkede volumer avstand til senter på hver volum) Summen av alle volumer (Volumdeplasement ) T Vannlinjearealkurve z y A w VL A w B dz T x1 Ref: Basic Ship Theory p. 17-19 x2 x 28

Arealsenter Flotasjonssenter F x F x2 x1 x2 x1 xydx ydx n i1 n i1 A x i A i i Summenav (alle arealdeler i vannlinjen avstand til senter påhvert areal) Summenav alle arealdeler i vannlinjen (Vannlinjeareal Aw) y dx A W ydx y A F x1 Ref: Basic Ship Theory p. 14-16 x2 x 29

Tyngdepunktsatsen (x-retning) x x G B x F n n 1 Summen av (alle neddykkede volumer i n 1 Summen av (alle masser i n i1 i1 n m x V x i i m V i i i i avstand til senter på hver masse) Summen av alle masser (Vektdeplasement) Homogent materiale som fortrenges, m=vρ, tetthet forsvinner. avstand til senter på hver volum) Summen av alle volumer (Volumdeplasement) 1 Summen av (alle arealer i vannlinjeplan i n i1 A x i A i i Konstant tykkelse, V=At, tykkelse forsvinner. Summen av alle arealer (Vannlinjeareal) avstand til senter på hvert areal) 30

Tyngdepunktsatsen (y-retning) y y y G B F n 1 Summen av (alle masser i n i1 n 1 Summen av (alle neddykkede volumer i n i1 n m y V y i i m V i i i i avstand til senter på hver masse) Summen av alle masser (Vektdeplasement) Homogent materiale som fortrenges, m=vρ, tetthet forsvinner. avstand til senter på hver volum) Summen av alle volumer (Volumdeplasement) 1 Summen av (alle arealer i vannlinjeplan i n i1 A y i A i i Konstant tykkelse, V=At, tykkelse forsvinner. Summen av alle arealer (Vannlinjeareal) avstand til senter på hvert areal) 31

Tyngdepunktsatsen (z- retning) z z G B n n 1 Summen av (alle neddykkede volumer i n 1 Summen av (alle masser i n i1 i1 m z V z i i m V i i i i avstand til senter på hver masse) Summen av alle masser (Vektdeplasement) Homogent materiale som fortrenges, m=vρ, tetthet forsvinner. avstand til senter på hver volum) Summen av alle volumer (Volumdeplasement) z F T 32

Metasenter Metasenter er skjæringspunktet mellom gammel og ny oppdriftslinje når skipet krenger en vinkel φ. Hvor M skal ligge, bestemmes av hvor aktuelt oppdriftssenter B ligger, dvs. av skipets form. Ref: Basic Ship Theory p. 19 33

Metasenterhøyde initial metasenterhøyde Avstanden fra skipets tyngdepunkt til metasenter, kalles metasenterhøyde og betegnes GM. Hvor G ligger, bestemmes av hvordan vekten om bord er plassert. GM Ref: Basic Ship Theory p. 93-94 34

Initialstabilitet stabilitet små krengevinkler, vekt og formstabilitet Til innholdsfortegnelse

Stabilitet ved små krengevinkler Oppdriften og tyngden av skipet danner et kraftpar og det oppstår et moment med vektarm GZ mellom disse kraftparene når skipet blir krenget. Når M ligger over G dannes ett opprettende moment rundt G. M r Det opprettende momentet rundt G gis av M r = ρgz [kgm]. For små vinkler (φ < 5 ) antas metasentret ligge i ro og da viser det seg geometrisk fra figuren at GZ = GM sin φ. Ref: Basic Ship Theory p. 94 36

Initialstabilitet ved Metasenterhøyden GM Initialstabilitet beskriver skipets bevegelse etter en forstyrrelse. Et skip er: (a) stabilt når det etter en forstyrrelse retter seg opp av seg selv, (b) labilt når det ved en forstyrrelse blir kvar i sin nye posisjon, (c) ustabilt når det etter en forstyrrelse vil krenge mer og mer. (a) Stabil, GM > 0 GZ >0, rettende momentarm Ref: Basic Ship Theory p. 94, Intro Nav Arch. p. 36 (b) Labil, GM = 0 GZ = 0, null moment (c) Ustabil, GM < 0 GZ < 0, veltende momentarm 37

Formstabilitet og Vektstabilitet Formstabilitet Formstabilitet avhenger av skipets form. Det er skipsbyggerens ansvar å designe en form som gir god stabilitet, dvs. et bredt vannlinjeareal og god forflytting av Oppdriftssenter fra B til B ved trim og krengning. Vektstabilitet Vektstabilitet avhenger av hvordan lasten blir plassert om bord. Det er Lasteoffiserens ansvar å plassere lasten slik at skipet oppfyller Stabilitetskravene, dvs. at metasenter M ligger over tyngdepunkt G. 38

Kvadratiske homogene elementer, eksperiment Naturen liker positiv GM. KB = T 2 KG = D 2 KB = 2T 3 KG = D sin 45 GM = KB + Ix/ KG Hvor kan skrives som funksjon av materialtetthet: vann V stav vann stav Notater MAS124 08.05.2018 39

Beregning Metasenterhøyde GM KB, BM, Steiners sats, arealtreghetsmoment (2. ordens moment) KG og virtuell tyngdepunktheving GG Fylling og lensing av bunntanker Til innholdsfortegnelse

Beregning initialmetasenterhøyde En geometrisk betraktning av figuren viser at hvor KM er avstanden fra kjøl til metasenter og KG er avstanden fra kjøl til tyngdepunkt. Videre ses at KM = KB + BM sånn at Her er KB avstanden fra kjøl til oppdriftssenter og BM er avstanden fra oppdriftssenter til metasenter. 41

Høyde over kjøl [m] Metasenterkurvediagram (KB-, KM- og KG-kurve Tilhør Øving: 1. oppg 3 Praktisk å bruke kurvediagram for å raskt kunne se at GM er positiv for alle dypganger et skip opererer i. GM > 0 BM KM KG KB T [m] KB er kun lineær ved rake sider på legeme! Ref: Basic Ship Theory p. 76-77, Intro Nav Arch. p. 39 42

Høyde over kjøl [m] Metasenterkurvediagram (KB-, KM- og KG-kurve Tilhør Øving: 1. oppg 3 Praktisk å bruke kurvediagram for å raskt kunne se at GM er positiv for alle dypganger et skip opererer i. GM < 0 KM KG G høyt oppe, dårlig planlagt vektstabilitet! BM KB T [m] M lavt nede, dårlig planlagt formstabilitet! (liten bredde på vannlinjeareal) Ref: Basic Ship Theory p. 76-77, Intro Nav Arch. p. 39 43

Høyde over kjøl [m] Metasenterkurvediagram (KB-, KM- og KG-kurve Fysikalsk betydelse av hva som skjer ved minimum KM verdi vannlinjen skjærer M. M T M T M T KM>T KM=T KM<T KM min KB KM KG T [m] Ref: Basic Ship Theory p. 76-77, Intro Nav Arch. p. 39 44

Beregning metasenterhøyde En geometrisk betraktning av figuren viser at hvor KM er avstanden fra kjøl til metasenter og KG er avstanden fra kjøl til tyngdepunkt. Videre sees at KM = KB + BM sånn at 1. 2. 3. Her er KB avstanden fra kjøl til oppdriftssenter og BM er avstanden fra oppdriftssenter til metasenter. 45

1. KB beregning Vertikal plassering av B gis av skipets neddykkede form og beregnes ved hjelp av tyngdepunktssatsen for volumsenter n i1 i n Vi zi Vi z i1 i1 KB n V i. Her er V i en neddykket volumandel av skipet, z i er avstand til sentrum for respektive volumandel og i = 1 n, der n er totalt antall neddykkede volumandeler. Noter att summen av alle volumandeler er det samme som volumdeplasementet. For et kasseformet skip med vertikale sider blir KB = T/2, hvor T er dypgangen. 46

2. BM beregning (initialmetasenterradius) Avstanden til metasenter fra oppdriftssenter gis av initialmetasenterradius hvor I er arealtreghetsmomentet for vannlinjearealet A VL. Arealtreghetsmomentet må beregnes med hensyn til en akse som går gjennom vannlinjearealets senter, dvs. Flotasjonssenter. For tverrskips BM T brukes I x og for langskips BM L brukes I y. Utledning: Basic Ship Theory p. 19-20, Intro Nav Arch p. 36-38, Havromsteknologier p. 2-14/2-15 for enkel kasseform 47

2. Bruk av Steiners sats ved beregning av I x og I y Steiners sats (Parallellakseteoremet) gis av I x I Ae og 2 2 x 0 y y y 0 x hvor I x0 og I y0 er lokale arealtreghetsmoment for arealet A, og e y og e x er avstand fra global x-akse respektive y-akse til de lokale aksene. De lokale aksene går igjennom sentrum S på arealet A. For et skip er dette analogt med flotasjonssenteret, dvs. arealsenter av vannlinjearealet. I I Ae 48

3. KG beregning Plassering av G bestemmes av lettskipets initiale tyngdepunktplassering og av hvordan lastene om bord er plassert. For vertikal tyngdepunkt angis avstand i z fra kjøl, dvs.. Her er m i en masseandel av skipet og i = 1 n, der n er totalt antall masser. Noter att summen av alle masser er det samme som vektdeplasementet Δ. For tverrskips tyngdepunkt y G angis avstanden y i fra senterlinjen positiv babord (venstre) til alle masser. For langskips tyngdepunkt x G angis avstand x i fra roraksen positiv forover til alle masser. 49

(3.) Virtuell tyngdepunktheving pga fri væske Effekten av fri væskeoverflate. Vi betrakter en tank med væske som er fylt så at væsken ligger an på de vertikale sidene av tanken: Virtuell GG 2 il ' tyngdepunktheving : i : arealtreghetsmoment fri væskeoverflate ρ l : tetthet væske i tank Ref: Basic Ship Theory p.103, Intro Nav Arch p. 51-53, ShipStabMastersMates p. 202-> Redusert stabilitet : GM KB BMKG GG KB BM 2 KG GG 2 50

(3.) Utleding virtuell tyngdepunktheving GG 2 GG1 GG2 2 gg1 2 y 3 sin( ) Flyttet væskevolum : 1 1 V l dz y y tan( ) yl 2 2 Ref: Basic Ship Theory p.103, Intro Nav Arch p. 51-53 y tan() Horisontal pga flyttet væskevolum, TP - sats : ml gg1 GG1 2 lvl 2 y GG 3 1 1 2 2 l y tan( ) l 2 y GG 2 3 1 2 3 l y l tan( ) GG1 3 li tan( ) sin( ) GG2 Små vinkler ( tan( ) sin( ) ) : GG 2 il tyngdepunktforskyving Arealtreghetsmoment 51

Fylling og lensing av bunntanker Ved fylling av bunntanker fra å være helt tom, vil det være 2 faktorer som påvirker stabiliteten: M 1. G går ned til G da en tilføres en vekt lavt nede i legemet. 2. G går opp til G pga fri væskeoverflate Den samlede effekten vil avgjøre hvor meget metasenterhøyden vil bli redusert eller økt. G G G G ny 52

Fylling og lensing av bunntanker Ved lensing av bunntanker fra å være helt fulle vil det ha følgende effekter på stabiliteten: M 1. G går opp til G da en fjerner en vekt lavt nede i legemet. 2. G går opp til G pga fri væskeoverflate Den samlede effekten gir at metasenterhøyden alltid vil reduseres. G G G G ny 53

Fylling og lensing av bunntanker Ved lensing av bunntanker fra å være helt fulle vil det ha følgende effekter på stabiliteten: M 1. G går opp til G da en fjerner en vekt lavt nede i legemet. 2. G går opp til G pga fri væskeoverflate Den samlede effekten gir at metasenterhøyden alltid vil reduseres. G G G G ny 54

Krenge- og Trimvinkel usymmetrisk last, flytting/fjerning/tilføring last, minste fribord, lastelinjekonvesjonen Antar små vinkler, dvs at vannlinjearealet og neddykket volum ikke forandrer seg og ikke må beregnes på nytt ved trim/krengning. GM=konstant ved likt deplasement. Til innholdsfortegnelse

Krengevinkel/Trimvinkel ved usymmetrisk last Krengevinkel definert positiv mot styrbord Trimvinkel definert positiv når baug går ned tan GG' y GG' GM T G',med last (-1) - y En last plassert på styrbord side, gir positiv krengning etter definisjonen at positiv krengning gis av positivt krengemoment rundt x-aksen. Pga kartesiskt koordinatsystem, gir dette en negativ verdi for posisjonen av lasten langs med y aksen. For å tilfredsstille definisjonen for positiv vinkel, må krengevinkelen multipliseres med (-1). G,ved 0 med last Konstant GM, små vinkler og deplasement må være likt! tan GG' x GG' GM L G',med last - x G,ved 0 med last 56

Vinkelendring pga Flytting (Fjerning/Tilføring) av last Når man raskt vil beregne vinkelendring om bord i krengning eller trim: Flytting : Tilføring : Fjerning : va GG' va GG' v va GG' v d GG' atan GMT (-1) d GG' atan GML 57

Minste fribord ved trim z VL0 F f min VL0 T A D T F T δ f f TF TA min min (L x x F F ) tan( ) tan( ) D T (L x D T x F F x F ) tan( ) tan( ) L L-x F Trim definisjon i avstand t = T F - T A (positiv verdi baug ned) vedpositiv trimvinkelbaug ned vednegativ trimvinkelhekk ned x 58

Minste fribord ved krengning z VL0 F f min VL0 D T y δ B TK tan( ) 2 B f min D T tan( ) 2 B B/2 positiv krengevinkel mot styrbord 59

Minste fribord ved krengning og trim For små krenge og trimvinkler er det en god tilnærmelse at subtrahere endringen i dypgang grunnet krengning og grunnet trim separat fra størrelsen D. θ > 0 θ < 0 f min = D T δtk δtf f min = D T δtk δta 60

Lastelinjekonvensjonen (ICLL International convention on load lines) TF F T S W WNA LR Tropical fresh water Fresh water Tropical salt water Salt water in summer Salt water in winter Winter in North Atlantic Lloyd's Register (AB,NV,CM etc for different countries) 61

Tungløft Fritt hengende last, kranoperasjon Til innholdsfortegnelse

Fritt hengende last Den fritt hengende vekten W vil ved en ny krengevinkel plassere seg rett under sin opphengningspunkt S. Effekten på skipet er at det virker som at lasten er plassert i punktet S., p. 101 Basic Ship Theory. 63

Fritt hengende last Tungløft med kran Når løftet tas vil tyngde-punktet G heves til G1 og forskyves sidledes til G2. Vekten har sitt angrepspunkt i opphengningspunktet. Globalt ny tyngdepunkt fra origo : z G v(zg a) zg1 v y G v(y G b) y G2 ( y v Tyngdepunktforskyving : v a GG1 v v b G1G2 v G 0) v b v 64

Tungløft likevekt Krengende moment fralast : M M M K R K v bcos Rettende moment fra oppdrift (Δ v)g Z Ny likevekt med last : M R v bcos (Δ v)g Z vbcos G1Z G1G Δ v 1 1 2 cos : 65

Numerisk integrasjon GM beregning kurvete geometrier, Simpson og Trapez metode Generalisering av følgende beregninger for kurvete geometrier: - Vannlinjeareal og flotasjonssenter beregninger - Arealtreghetsmoment-beregning for BM T og BM L - Beregning av neddykket volum og volumsenter. Disse trengs for å kunne beregne GM T og GM L. Til innholdsfortegnelse

Generelle integraler Arealunder enkurve ydx 1.ordens moment xy dx rundt y - aksen 1 2 y 2 dx rundt x aksen 2. ordens moment x 2 y dx rundt y - aksen I y, treghetsmoment 1 3 y 3 dx rundt x aksen I x, treghetsmoment Tyngdepunktsats 1. ordens moment Arealunder enkurve Ref: Intro Nav Arch p. 24 (i 3rd edition fra1996 er det en feil i boken for 2. ordens moment rundt x-aksen, 1/3y 3 stemmer.) 67

Vannlinjeareal og flotasjonssenter integrasjon Flotasjonssenter,reminder : x F n i1 n i1 A x i A i i xydx ydx M A y w 1. ordens moment (for areal) Arealunder kurven Det er vanlig at bare halve symmetriplanet av skipet beskrives geometrisk, dvs at y koordinatene beskriver halve vannlinjebredden av skipet. Man må då huske på at arealmoment og vannlinjeareal må multipliseres med 2. y F =0, pga symmetri. y y dx A F x 68

Arealtreghetsmoment (2. ordens moment) For BM beregningen langskips og tverrskips trengs arealtreghetsmomentet av vannlinjearealet. Dette er det samme som 2. ordens moment. Bruker man x og y verdier gitt med origo fra hekken og integrerer med disse, så resulterer dette i treghetsmomentet rundt hekken. Omvendt Steiners sats må brukes for å finne arealtreghetsmomentet rundt flotasjonssenteret, dvs I y0 for Aw. I y I A 2 y 0 W x F I I A 2 y 0 y W x F 69

Volumdeplasement og Oppdriftsenter integrasjon Oppdriftsenter,reminder : z B n Vz za Vi dz i i i 1 w M 1. n V Awdz i i1 ordens moment (for volum) Arealunder kurven tyngdepunktsats T Vannlinjearealkurve Integrasjonsmetode den samme, bare at man nå integrerer verdier på vannlinjearal over dypgangen T. Dvs T er vårt x verdi og A w vårt y verdi og arealet under (til venstre om) kurven er volumdeplasementet. y, A w A w x, T 70

Numerisk integrasjon For å kunne beregne integraler eksakt, trengs en eksakt funksjon y=f(x). Ofte finnes ikke en slik funksjon, dersom det bare er tilfeldig fordelte punkter som beskriver en skroggeometri. Då brukes numerisk integrasjon for å kunne finne ut av arealet, 1. ordens moment og 2. ordens moment til denne geometrien. Den enkleste metoden er Trapez metode illustrert: y x 0,y 0 o Trapez metode: x 2,y 2 x o 1,y 1 o A 0 A 1 A 2 Ekte geometri x 3,y o 3 x o 4,y 4 A 3 s s s s x Hvert s Ai ( yi yi 1) 2 Tilnærmet totalareal : A tot areal s ( y 2 0 av en 2y 1 trapez : 2y 2 2y 3 y 4 ) 71

Numerisk integrasjon Det kan være slik at man bare har veldig få punkter gitt fra en tegning eller målinger av en kurvete skroggeometri. Da er det viktig å velge rett integrasjonsmetode. Simpson s metode tilnærmer et. 2 ordens polynom til tre gitte punkter og tilnærmingen til en kurvete geometri blir nøyere enn med Trapez. y x 0,y 0 o Simpson s metode: x 2,y 2 x o 1,y x 3,y 1 o 3 o A 0 A 1 s s s s Ekte geometri x o 4,y 4 Tilnærmet geometri A ( 4 2 4 ) tot y0 y1 y2 y3 y4 x Hvert areal s Ai ( yi 4yi 1 yi2) 3 Tilnærmet totalareal : s 3 under tre punkter : Siden Simpson metoden bruker tre punkter, så må antall punkter som arealet tilnærmes under være odde i antall, minimum 3 st. 72

Numerisk integrasjon Integrasjonsmetoden er den samme om man regner areal, 1. ordens moment eller 2. ordens moment. En integrasjon er alltid en beregning av et areal under en kurve, men enheten på dette areal kan vare vad som helst, dvs man integrerer i en dx retning med ulike verdier på y aksen. Matematisk sett har man ulike integrander y. (En integrand er den parameteren som blir integrert). Neden er integrandene for et areal, 1. ordens moment og 2. ordens moment vist på y-aksen: y = y, xy, 1/2y 2, x 2 y, 1/3y 3 y x 0,y 0 o x 2,y 2 x 1,y 1 o o A tot x 3,y o 3 s s s s x o 4,y 4 x x verdiens enhet typisk for skip: langs med trinnet i integralen. dx, langskips dz, med dypgang y verdien typisk for skip: B/2, halvbredde > A w, x F, I x, I y A w, Vannlinjearealer A t, Tverrskipsarealer 73

I praktikken, bruk av Simpson/Trapez ' * 2... 2 ) 2... 2 2 ( 2 1 2 1 0 1 2 1 0 y TF s y y y y y s y y y y y s I n n n n 1 2 2... 2 1 Trapez : Generelt 1xn nx1 ' * 3... 3 ) 4... 2 4 2 4 ( 3 1 2 1 0 1 4 3 2 1 0 y SF s y y y y y s y y y y y y y s I n n n n 1 4 2... 4 2 4 1 Generelt Simpson : Integrand y Trapez Faktorer Simpson Faktorer 08.05.2018 Notater MAS124 74

I praktikken for skip (Eks ved Simpson) A M x M y I I w y F x F y x s SF *( y)' 3 s SF *( xy)' 3 M A 1 s SF *( y 2 3 M x A w y w 2 )' s 2 SF *( x y)' 3 1 s 3 SF *( y )' 3 3 Vannlinjeareal 1. ordens Flotasjonssenter fra 1. ordens Flotasjonssenter fra 2. ordens 2. ordens moment moment moment moment rundt rundt x - aksen rundt y aksen x aksen y - aksen i i x - retning Vil man bruke Trapez, så er det bare å erstatte at skrittet deles med 2 og bruke Trapez faktorene y - retning, oftest 0 pga symmetri y - aksen, arealtreghet vannlinjeplan rundt x - aksen, arealtreghet halvt vannlinjeplan 75

I praktikken for skip (Eks ved Simpson) s SF *( A 3 w )' Volumdeplasement via vannlinjearealer, s : trinn i dypgangsretning s SF *( At )' 3 Volumdeplasement via tverrsnittsarealer, s : trinn langskips M z M x y y B y B B s SF *( zaw )' 3 1.ordens moment vertikal retning M z Vertikal oppdriftssenter s SF *( xat )' 3 1.ordens moment langskips retning M x Langskips oppdriftssenter 0 pga symmetri Vil man bruke Trapez, så er det bare å erstatte at skrittet deles med 2 og bruke Trapez faktorene 76

Krengeprøve litt historikk, notater for beregninger se NTNU kompendiet Til innholdsfortegnelse

Krengeprøvens gjennomførelse historisk Regalskeppet Vasa Forliste år 1628 Uproporsjonerlig form for den lasten som skipet skulle bære. Vekt måtte plasseres høyt opp grunnet lite plass i bunn. Stabilitetsprøve 1600-tallet: 30 man springer 6 gånger frem og tilbake. Stor press fra Kongen, Gustav II Adolf 78

Modellskip for krengeprøve 79

Store krengevinkler M- kurve, B- kurve, GZ-kurve, KY-kurve Til innholdsfortegnelse

Store krengevinkler Ved store krengevinkler kan vannlinjearealet og den neddykkede volumen ikke lenger antas vare konstant. Metasentret flytter seg fra senterlinjen pga. att oppdriftssenteret flytter seg mye og flotasjonssenter flytter seg ettersom vannlinjearealet endres og samtidig blir usymmetrisk rundt langskips aksen. Tyngdepunktet blir kvar på samme sted og derfor er det fortsatt GZ-armen som er av stor interesse for stabiliteten., p. 118 Basic Ship Theory. 81

B- og M-kurve Tegner man plasseringen på ny oppdriftssenter for hver krengevinkel så dannes en s.k. B-kurve. Metasentret flytter seg sånn att det bildes en M-kurve. Geometrisk beskrives M-kurven som evolutten (eng: evolute) til B- kurven, dvs. kurven som blir resultatet når man tegner senter på kurvaturen i hver punkt for B-kurven. 82

GZ som funksjon av fast punkt For å kunne tegne hydrostatiske data (plassering på oppdriftssenter) uavhengig av aktuell tyngdepunkt, vil man relatere disse data til en fast punkt på skroget. Dette kan vare kjølpunktet K eller en annen godt definert punkt S. Då kan GZ etterpå bestemmes ved: GZ = KY KG sin φ GZ = SY + GS sin φ GZ = SY SG sin φ Ref: Basic Ship Theory p. 112, Ship Stab. Masters and Mates p. 176 83

KY Krysskurver (KY-kurve, KN cross curves) Fig. 4.10, p. 106 Basic Ship Theory. 84

KY og KGsin φ KY KY kurve ved konstant deplasement KY KG sin φ KY vs φ ved konstant deplasement (punkter fra seksjon A1-A Fig. 4.10) GZ = KY- KGsin φ Fig. 4.18, p. 114 Basic Ship Theory. φ 85

GZ kurven Konstant KG, (T) Rettende momentarm: GZ = KY- KGsin φ p. 113 Basic Ship Theory. φ kantring >90deg 86

Rettende (GZ) vs krengende (k) momentarm til punkt G Rettende og krengende momentarm Rettende momentarm: GZ = KY- KGsin φ Krengemomentarm k grunnet konstant usymmetrisk last: vind, strøm k= GG cos φ φ likevekt φ kantring p. 113 Basic Ship Theory. 87

Rettende (GZ) vs krengende (k) momentarm til punkt G GZ kurve ved konstant tyngdepunktplassering Ved likevekt: GZ =k φ likevekt k φ kantring p. 113 Basic Ship Theory. 88

GZ kurvens egenskaper O-C: Range of stability. For vinkler innom dette området, vil skipet gå tilbake til opprett tilstand når kilden for det krengende momentet fjernes. A-B: Maksimalt rettende moment. Dette er proporsjonalt med den største krengevinkel som skipet kan beholde uten å kantre. H: Ved denne punkt endres kurvaturen på GZ-kurven og nær denne vinkel går dekkskanten på et skip ned i vann. For skip med åpent dekk, er dette i de fleste fall likt kantrings vinkelen. Finne GM: 1) Tegn en tangent til GZ-kurven i origo (OD). 2) Tegn en vertikal linje (ED) ved φ = 1 rad = 57.3, som blir lik stigningsgraden på tangent kurven OD. 3) Les av GM på GZ-aksen (F), der OD og ED krysses. Ref: Basic Ship Theory p. 113, Ship Stab. MastersMates p. 176-181 F O H B A E D C 89

Korreksjon for fri væskeoverflate effekt, p. 117 Basic Ship Theory. 90

Videre hydrostatiske kurver samlet GZ- kurven, KY-kryss kurver (KN cross curves) og nå følgende: TPC MCT LCF LCB Ref: Ship stability for Masters and Mates p. 182 91

TPC og MTC TPC Tonnes per centimeter TPC A w 100 2 m 100 tonn m 3 tonn cm MCT Moment to change trim one centimeter MCT GM 100L L tonn 100 m m tonn cm m 92

Stabilitetskriterier krav på initialstabilitet, GZ-kurvens forløp og arbeid, KG-grensekurve Referanser: Se Stabilitetskriterier.pdf på Its Learning under Notater, IMO intact stability code side 11 Ch 2.1-2.2, LOVDATA forskrift FOR-1991-12-20-878 og DNV regelverk DNV-OS-C301 og DNVGL-RU-SHIP-Pt3Ch15 Til innholdsfortegnelse

Standarder- Forskrifter - Rekommandasjoner IMO International Maritime Organisation UN-organ som setter regler for internasjonal skipsfart med hensyn til Sikkerhet og Miljø. Ca 176 land er medlemmer. Mest relevant dette fag er International code on intact stability IMO MSC.267(85) 2008, søkes via Internasjonale konvensjoner Sjøfartsdirektoratet. Offshore Drilling Units, se IMO MODUS. Sjøfartsdirektoratet I tillegg til internasjonale regler (IMO) så finner man her nasjonale lover og forskrifter i meny Regelverk. Forskrift «Bygging av skip» og «Stabilitetsforskriften» er mest relevant for dette fag, refererer til LOVDATA Nærings- og fiskeridepartementet. Notater MAS124 08.05.2018 94

Standarder- Forskrifter - Rekommandasjoner DNVGL Klassifiserer/Sertifiserer skip og setter nye standarder (f.eks. installasjon batterier om bord, operasjoner vind turbiner etc). Har detaljerte rekommandasjoner og beregningsformler for ingeniører. Følges disse, så kan skipet klassifiseres/sertifiseres via DNVGL. Andre klassifiseringsselskap er mulige å bruke også, da bruker man deres regelverk for beregninger. ITTC - International Towing Tank Conference En klynge av organisasjoner som eier slepe/bølge tank fasiliteter rundt om i verden. Jobber med å forutse hydrodynamiske egenskaper på skip ved eksperiment og validering med simuleringsprogrammer. Gir ut dokumenter med rekommandasjoner for hvordan gjennomføre tester/simuleringer slik at sammenligning forenkles mellom ulike testanlegg. Disse dokumenter blir relevante i hydrodynamikk faget og hvis det blir bacheloroppgave på MarinLab. Notater MAS124 08.05.2018 95

Dynamisk Stabilitet vindens påvirkning, lagret energi i GZ-kurve Referanser: IMO intact stability code side 12-16 Ch 2.3, LOVDATA forskrift FOR-1991-12-20-878 og DNV regelverk DNV-OS-C301 og DNVGL-RU-SHIP-Pt3Ch15 Til innholdsfortegnelse

Påvirkning av vind og vindkast (gust) - Dynamisk stabilitet Ref: Intro Nav Arch, p. 71 97

Krav på GZ kurve ved vind og vindkast (gust) Ref: IMO intact stability code p. 12-16, ch 2.3 eller informasjon i LOVDATA og DNV-OS-C301 98

Bilge keel for mindre rullbevegelse Skipets utforming påvirker beregningene for stabilitetskrav på GZ kurve med vindforhold. Bilge keel er noe som demper rullebevegelse for eksempel. Også avrundet eller kantete skrogform gjør forskjell, følg standardverdier som er gitt i IMO eller forskrifter Notater MAS124 08.05.2018 99

Fullt neddykket legeme rettende arm, styring, hydrostatisk kraftbalanse Til innholdsfortegnelse

Rettende arm Repetisjon: rettende arm med vannlinje små vinkler: GZ GM sin Rettende arm fullt neddykket: s GBsin, BM 0 GB 0, GB 0, GB 0, stabilt neutralstabilt ustabilt Oppdriftssenter vill også ligge i ro! 101

Store vinkler Maksimal rettende arm: s GB max s GBsin 90 φ 102

Styring TRIM (pitch) ROLL GIR (yaw) AUV Autonomous Underwater Vehicle ROV Remotely Controlled Underwater Vehicle Styring i rotasjon med ror: -Horisontalt ror bak for trim -Vertikalt ror bak for gir -Ailerons på vingene for roll, et ror går ned og på den andre vingen opp, eller hele vingen roterer Eller bruk av thrusters i alle frihetsgrader Styring fremover med thruster eller glidevinkel 103

Vertikal posisjon bestemmes av tetthet Statisk likevekt via kraftbalanse mellom tyngde og oppdrift: mg g For homogent materiale og helt neddykket legeme: Volum objekt = Fortrengt væskevolum m V obj V obj obj obj g g V obj Tetthet må være lik ved likevekt ρ obj < ρ vann ρ obj > ρ vann ρ obj = ρ vann Legemet heves Legemet synker Legemet ligger i ro vann obj vann obj 104

Blæreteknikk for vertikal styring undervann Endringer i tetthet brukes inni farkosten: Blære fylles med olje og presser ut vann ut ur vanntett skott, får oppdrift for stigning. Blære tømmes for olje og vanntett skott fylles med vann igjen, oppdrift forsvinner, neddykking To satellite Undervannsglidere 105

Trykk på dybde P gh p atmosphere Kraft jevnt fordelt over et areal F PA Strukturanalyse må gjøres for å se at konstruksjonen klarer trykket. Typisk FEM Finite Element Method Programvare som er vanlig er ANSYS, Abaqus, NASTRAN. 106

Skadestabilitet angle of loll, vannfylling, grunnstøting ( beaching, dokking), lost boyancy method En ingeniør som regner på skadestabilitet har som hovedoppgave å holde skipet over vannlinjen så lenge som mulig etter skade, sånn at personer om bord rekker å redde seg selv eller bli reddet. I beste fall skal skipet klare mange vannfylte områder uten å kantre, samt klare lettere grunnstøting uten hull i skrog eller oljetanker. Til innholdsfortegnelse

Angle of loll I noen tilfeller kan skipet ha en liten negativ verdi på GM, dvs at G ligger noe over M og skipet vil krenge mer og mer. Når skipet begynner å krenge flytter seg oppdriftsenter sidledes og når avstanden GM er liten, så finner skipet et likevektstilstand når B har havnet rett under G. Då legger seg skipet i en liten vinkel ulik null på antingen styrbord eller babord side, def: angle of loll. Skipet vil generelt stabilisere seg kring en vinkel der GZkurven krysser null med positiv stigningsgrad: dgz d 0 Intreffer typisk ved GM verdier på -0.05m, -0.1m langt under stabilitetskravet: GM min > 0.15m God grafisk forklaring av B forflyttingen i Ship Stability for MastersMates s. 49 Ref: Basic ship Theory p. 115, Ship Stab. MastersMates p. 49, p, 178 109

Extreme angle of loll 2004 kom nye regler at skip må bytte ut ballastvann for å forhindre spredning av skadelige organismer. Bytte av ballastvann må beregnes nøyaktig og rekkefølge i valg av tankstørrelse er viktig å tenke på grunnet fri væske overflateeffekt. (Se igjen notater for fylling/lensing av bunntank) Dårlig utført ballastbytte ledde til at the Cougar Ace neste forliste i 2006, angle of loll blev nesten større en kantringsvinkel. Lastfordelingen tverrskips mens ballast ble skiftet var helt symmetrisk, dvs krengning berodde bare på negativ GM, dvs loll vinkel. 110

Vannfylling Vanntette skott (bulkheads) Titanic 111

Lost boyancy metoden ved vannfylling Denne metoden trenger ikke kunnskap om ny middeldypgang etter vannfylling og er enkel å regne på raskt for hånd. Alternativet er å regne på samme vis som att vekt blir tilført legemet med tyngdepunktsatsen, men då må man iterere seg frem til vad dypgang etter vannfylling blir. Metoden bygger på at man ser på en vannfylt situasjon hvor man har tapt oppdrift i volumet som er vannfylt mens tyngdepunktet G ligger i ro. Moderne programvare brukes for å regne på vanskelige situasjoner. δt Skadet volum Ref: Intro Nav Arch. p. 145, Ship StabMastersMates p.213 δt v A b : vannlinjearealet ovenfor vannfyllt volum A w : totalt vannlinjeareal A i : intakt vannlinjeareal Skadet volum opp til original vannlinje er lik uskadet volum ovenfor original vannlinje til ny vannlinje y z v δt(a ( A w v A b w A b ) TA i Volum av tapt oppdrift ) Areal av intakt vannlinjeplan 112

Lost Boyancy metoden ved vannfylling Fremgangsmåte beregninger: 1. Sjekk permeabilitet μ og eventuelt reduser volum av tapt oppdrift. 2. Beregne x Fi, y Fi av intakt areal A i =(A w -A b ) Grunnet innredning i et rom vannfylles bare en viss andel. Permeabilitet, μ, viser i andel hvor mye av rommet som kan fylles med vann. Typiske verdier for ulike typer rom er 0.6-0.97, gitt i Basic Ship Theory s. 149 3. Beregne ny I xi og I yi av intakt areal rundt de nye x Fi, y Fi 4. Beregne oppdriftsenter av intakt volum, x Bi, y Bi, z Bi 5. Beregne GMi=KBi+BMi-KG (KG er lik, skipets G har ikke flyttets i denne metoden) 6. Beregne krenge og trimvinkel ved usymmetrisk vannfylling ved hjelp av likevektssituasjon mellom rettende og krengede moment. Krengende moment beregnes rundt en vertikal akse gjennom flotasjonssenter til senter på vannfyllt volum. GMi brukes for rettende moment ΔGZ. 7. Beregne minste fribord med vanlige formler Gjenstander i rommet Vannfylt område μv, hvor V er totalvolum uten gjenstander Ref: Basic Ship Theory p 149 113

Grunnstøting RENA, October 2011 Menneskelige faktorer, Stresset tidskjema, tok snarvei, logget feil på kart grunnet hierarki på bryggen og i etterhand forfalskning av ruteplan. Naturkatastrofe med svære oljeutslipp som følgje New Zealand coast Bay of Plenty Grounding on Astrolabe reef 114

Bedre konstrukjsonsregler gjelder for nybygg IMO SOLAS Convention (Safety of life at sea) 2009 Oljetanker skal ikke være i direkte kontakt med skrog. Bedre materialer sånn at skrog ikke går sønder. Dobbel bunn, ekstra vanntett skott i bunn. Vi ingeniører kan regne på vad som skjer etter en grunnstøting å prøve å designe skipet sånn at det klarer dette på beste måte, men i grunnen gjelder det at i største grad mulig skydde skip og passasjerer mot den verste fienden, menneskelige faktorer på bryggen. Dette gjelder også kollisjoner. Avanserte kollisjons-varningssystemer mellom fartøy er helt vanlig innen flyverden men fortsatt på forskningsbasis innen skipsindustrien. 115

Avsiktlig grunnstøtning ( eng: beaching) I hovedsak for å redde et skip som havnet i trøbbel: Hoegh Osaka, (Hoegh Autoliner) Ro-Ro ship, grounds deliberately 1h after departure from Southampton on the 3rd of January 2015, without any damages. It had begun to list (heel) shortly after departure. Pilot and Master are rewarded for great skill and quick handling of the problem that could have ended in disaster further out at sea. 116

Grunnstøting/Dokking Δ - w: Redusert oppdrift, w i [kg,tonn] M Krengende moment: M k wkg sin Redusert rettende moment: M r ( w) GM sin Δ Δ VL før Antatt liten endring i vannlinje Likevekt M k = M r MM ' wkm / GM ' GM MM ' gir via utledning: Ved grunnstøting reduseres GM til såkalt effektiv GM hvor M går ned til virtuell M, stabilitet reduseres. Effektiv rettende arm blir GZ=GM sinϕ. Ref: Intro NavalArchitecture p 55-56, Stability for Masters and Mates Ch. 35 117

Last w ved dokking w wl : wl tmct tmct w MCT i [tonn m/m hvis w er i tonn og t,l er i m] l Moment tilført skip ved dokking rundt F tmct : Tapt moment ved dokking antatt at skipet flyter ved t før dokking og ved t=0 ved dokking. 118

Øvrige temaer Langskips belastning, hogging, sagging. Skalering modellskala-fullskala Til innholdsfortegnelse

Langskips belastning Skipets neddykkede volum påvirkes av langskips belastning, dette gir effekt på GZ-kurvens utforming. Typisk bedre stabilitet i «Sagging» tilstand. Stillevann last + Dynamisk bølgelast må beregnes. Vekt/lengde enhet Oppdrift/lengde enhet + WAVE LOAD HOGGING SAGGING Ref: Intro NavalArchitecture p. 177-179, Introduction to Naval Architecture p. 128-130 Notater MAS124 08.05.2018 120

Skalering mellom modellskala og fullskala Vet man hvordan skalere enhetene [m], [s], [kg] så kan man utlede alle skaleringer. Skalafaktor fra modell til fullskala beregnes : L f /L m = λ (f.eks. λ=25) Parameter eksempel Enhet Skalering Eksempel modellskala (m) til fullskala (f) Lengde (GM, Dypgang, etc) [m] λ L f = L m λ (GM f = GM m λ T f = T m λ) Massedeplasement [kg] λ 3 Δ f = Δ m λ 3 Volumdeplasement [m 3 ] λ 3 f = f λ 3 Arealtreghetsmom. [m 4 ] λ 4 I x,f = I x,m λ 4 Rulleperiode [s] λ T r,f = T r,m λ Hastighet [m/s] λ / λ = λ u f = u m λ Kraft [N=kg m/s 2 ] λ 3 λ / ( λ λ)= λ 3 gδ f = gδ m λ 3 Treghetsmoment [kg m 2 ] λ 3 λ 2 = λ 5 I xx,f = I xx,m λ 5 Treghetsradie [m] λ 3 λ 2 /λ 3 = λ R xx,f = I xx,m /Δ m = R xx,m λ Ref: Kompendium WEC tank_testing, og matlabfil skalering.m i mappe ovingsoppgaver Notater MAS124 08.05.2018 121

Referanser Referanser til følgende bøker på FTP er gitt i presentasjonen med sidehenvisning. [1] K. J. Rawson and E. C. Tupper. Basic Ship Theory. Elsevier Butterworth- Heinemann, Jordan Hill, Oxford and Woburn, MA, 5th edition, Volume 1, 2001. [2] E. Tupper. Introduction To Naval Architecture, Elsevier Butterworth- Heinemann, Jordan Hill, Oxford,3 rd edition, 1996. [3] B. Barrass and D. R. Derrett. Ship Stability for Masters and Mates, Elsevier Butterworth-Heinemann, Jordan Hill, Oxford, 6 th edition, 2006. [4] A. B. Biran. Ship Hydrostatics and Stability, Elsevier Butterworth- Heinemann, Jordan Hill, Oxford, 1 st edition, 2003. [5] DNV GL AS, DNVGL-RU-SHIP, Part 3 Hull Ch15 Stability, edition October 2015. Til innholdsfortegnelse 122