Elektrisitetslære TELE2-A 3H HiST-AFT-EDT Øving ; løysing Oppgave En ladning på 65 C passerer gjennom en leder i løpet av 5, s. Hvor stor blir strømmen? Strømmen er gitt ved dermed blir Q t dq. Om vi forutsetter at er konstant, blir 65 5 3 3A. Potensialdifferansen (spenning mellom to punkter er 42, V. Hvor stort arbeid kreves for å flytte en ladning på 6, C mellom punktene? Effekt arbeid / tidsenhet. Hvor stor er effekten dersom flyttinga av ladningen tar,3 s? Finn strømmen og vis at effekten også kan finnes som strøm multiplisert med spenning. dq Q t og A - Q B - Tegner figur som viser ladningen Q som skal flyttes fra punkt A til B. Potensialforskjellen (spenning mellom punktene er i angitt retning (+ i punkt A). Arbeidet blir: W Q 6 42252 W 252 J. Effekten er gitt ved P dw. Forutsatt at P er konstant blir P W t 252,3 84 P 84 W. Forutsatt konstant blir Q t 6,3 2 2, A. dw W t. Altså blir P dw d( Q) dq (forutsatt at er konstant). Setter inn tallverdier: P42 284 P 84 W. Dette stemmer med tidligere utregning. Gjennom en leder flyter det 42 C/min. løpet av 3, s omformes 742 J elektrisk energi til varme i lederen. Hvor stort er spenningsfallet (potensialdifferansen) over lederen? Hvor stor er resistansen (motstanden) i lederen? Strømmen blir: 42 C min 42 C s 7,A gitt ved: W t. Løser mhp. : W t. Når og er konstant er energien 742 7 3 3,533 3,53V.
Resistansen i lederen finner vi av Ohms lov: R 3,533,547 R,55 Ω. 7 Oppgave 2 Nødvendige data: ρ Cu,72 8 Ω m (Resistivitet for kopper) ρ Al 2,83 8 Ω m (Resistivitet for aluminium) T kcu 234,5 C En bit av en koppertråd har resistansen 5, Ω. Dersom vi bytter til en aluminiumstråd med samme dimensjoner, hva blir da resistansen? Figuren under viser prinsipielt hvordan resistansen i en leder kommer fram: A l Her er A ledertverrsnittet, l lederlengda og ρ resistivitet i lederen. Da er resistansen: R ρ l A. Forutsetter videre at vi har glødet (annealed) kopper med ρ Cu,72 8 Ω m og at ρ Al 2,83 8 Ω m. (Tabell 4-2 i læreboka.) For å finne resistansen i aluminiumslederen kan vi sette: og R Cu R Al ρ Cu l A ρ Al l A ρ Al l A R Cu ρ Cu l A ρ R Cu Al ρ Cu R Cu ρ Al ρ Cu 5 2,83 8,72 8 82,267 R Al 82,3Ω Feltviklinga i en motor er av kopper og har resistansen 48 Ω ved 25, C. Etter at motoren er brukt en tid, måles resistansen til 554 Ω. Hvor stor er temperaturøkningen i viklinga? Denne oppgaven kan løses uten kunnskap om temperaturkoeffisienten (α) for kopper, som er gitt i tabell 4-3, side 69, for 2, C og C. Vi kaller temperaturen der kopperet har resistansen Ω for T k. Denne temperaturen er utgangspunktet for bokas beregning av ρ. stedet for å sette inn ΔT i formelen som er gitt i boka, benyttes temperaturendringa i forhold til T k : R t T k R 2 t 2 T k R 2 R t 2 T k t T k
t 2 R 2 R (t T k )+T k 554 48 (25 ( 234,5))+( 234,5) 65,6 t 2 65, C ΔT t 2 t 65 25 4 ΔT 4,K Altså en temperaturøkning på 4 C. Denne løsningen forutsetter at α ikke endres over temperaturintervallet fra t til t 2. Denne forutsetningen er ikke helt riktig, men den er god nok for vårt formål. Oppgave 3 En resistans på 2,7 kω koples til en spenningskilde på, V. Hvor stor effekt omsettes i resistansen? Etter minutt med konstant spenningsnivå reduseres spenninga lineært til i løpet av minutt. Hvor mye energi omsettes i resistansen i løpet av disse to minuttene? Tegner figur: R, P Når påtrykt spenning er, V og resistansverdien er 2,7 kω kan vi bestemme strømmen: R Da kan vi også finne effekten:,3737 A 3,7 ma P,3737,3737 W P 37, mw Vi kan også finne effekten uten å bestemme strømmen først: P R 2 R 2 Skisse over tilført spenning og effekt: [V] P [mw],3737 W P 37, mw Påtrykt spenning 8 6 4 2 8 4 2 Effekt i resistansen.5.5 2 t [min] Energien som omsettes i resistansen finnes ved å integrere effekten over tida. Tida settes inn i
sekund. Sjekk at uttrykkene for spenninga er korrekte: W T P d t T u(t ) 2 R ( 2 2 2 d t+ ( 36 t 2 2 + 3 ) t+4) 2 ( 6 t+2)2 ( [2 t ] +[ 8 t 3 3 t 2 2 +4 t] ( ( )+(( 8 23 3 22 +4 2) ( 8 3 3 2 +4 )) ) 8 2,963 W 2,96 J ) Hvor mange, W lyspærer kan det koples til en strømkurs som er sikret med, A når spenninga er 23 V? Vi forutsetter en ideell sikring som kopler ut med en gang strømmen blir større enn, A. Tegner figur: 2 N L L 2 L N Det går like mye strøm i alle lampene, ettersom alle er oppgitt å trekke, W. Vi kan da sette: 2 N L Totalstrømmen kan finnes som summen av alle greinstrømmene, og ettersom alle disse er like kan vi sette: + 2 + + N N L der N er antall lamper. Bestemmer først et uttrykk for greinstrømmene: L P L der P L er effekten i en lyspære. På grunn av sikringen vet vi at maksimal strøm fra kilden er max A, og vi kan bestemme N. max N L N P L N max P L 23 38,8 N 38 Vi kan altså kople maksimalt 38 stk., W lyspærer til en kurs som er sikret med, A når spenninga er 23 V.
(Legg merke til at vi her må stryke desimalene uansett, ettersom en avrunding oppover vil forårsake at det trekkes mer strøm fra anlegget enn det som er tilgjengelig.) Sluttkommentar: oppgaven er det sagt at sikringen er ideell og slår ut straks strømmen blir >, A. Det vil nok i praksis si at vi ikke kan kople til 38 pærer samtidig. Resistansen i en lyspære endres (øker) nemlig kraftig fra kald pære til varm (lysende) pære. Det betyr at med det samme pærene koples til vil det gå en strøm som er vesentlig større enn når pærene lyser, og da vil jo sikringen ryke?! Så det er kanskje det beste at vi ikke bruker ideelle sikringer i praksis. En motor på 23 W går 2 timer pr. uke i 2 uker. Hvor mye energi i kwh har den brukt i løpet av denne tida? W motor 23 W 2 h 2 55,2 kw h d) En elektrisk (likestrøms-)motor med virkningsgrad 8 % leverer en mekanisk effekt på 2 W. Hvor stor strøm trekker motoren når spenninga er 23 V? P mek η P elektr η P mek η 2,8 23,9A Oppgave 4 Tre motstander (resistanser) på henholdsvis, kω, 2, kω og 3, kω er koplet i serie. Tegn skjema. Hva blir total resistans i seriekoplinga? Hver enkelt motstand tåler en effekt på,5 W. Hva er største spenning seriekoplinga kan tåle? R serie (, + 2, + 3,) kω 6, kω. en seriekopling er strømmen den samme i alle seriekoplede enheter. Da effekten i en resistans er P R 2, vil maksimal tillatt strøm i koplinga være bestemt av den største resistansen. 2 maks P P,5 R maks R maks 3 dermed: serie R serie 77,5 V. 2,9 ma. Maks. spenning over seriekoplinga blir Motstandene i a parallellkoples. Tegn skjema. Hva blir total resistans i parallellkoplinga? Hvor stor spenning og strøm tåler denne koplinga? R paral ( + 2 + 3) 545 Ω. en parallellkopling har alle elementer i parallell samme spenning. Siden effekten i en resistans nå kan skrives som P 2, ser vi at det er resistansen med lavest resistansverdi som tåler R minst spenning. Dermed blir maksimal tillatt spenning over parallellkoplinga: P R min,5 22,4 V De to største resistansene i a parallellkoples. Den minste resistansen koples så i serie med denne parallellkoplinga. Tegn skjema. Finn koplingas totale resistans. Hvor stor spenning tåler denne koplinga?
R tot + 2 3 2+3 22 Ω. Dersom vi sier at strømmen i motstanden på Ω er, finner vi vha. strømdeling at strømmen i 2 Ω-en blir,6 og,4 i 3 Ω-motstanden. Effekten i hver av de tre motstandene uttrykt ved blir da i følge formelen P R 2 : 2 2 (,6 ) 2 72 2 3 (,4 ) 2 48 2 ngen av disse tre effektene får bli større enn,5 W. Dermed ser vi at strømmen begrenses av effekten i Ω-en: maks,5 22,3mA. Da blir maks R tot maks 49,2 V. Oppgave 5 En spenningskilde (batteri) har indre elektromotorisk spenning (EMS) E og en indre resistans R i. Disse er ukjente størrelser og vi ønsker å beregne dem ved å måle klemmespenninga ved to forskjellige belastninger. Voltmeteret vi benytter har en indre resistans på kω. Måler vi direkte på spenningskilden viser voltmeteret 2,94 V. Kopler vi en belastning med resistansverdi på 2, kω til batteriet, viser voltmeteret 2,679 V. Tegn skjema for de to situasjonene. Voltmeteret kan vi i begge tilfelle se på som en resistans på kω. Finn E og R i. Spenningskilde Voltmeter R i R R iv V E Vi tegner først et ekvivalentskjema. R iv kω. tilfelle måles spenninga uten R til stede og det er bare R iv som belaster kilden. Strømmen blir i dette tilfelle lik strømmen i voltmeteret: V R iv 2,94 29,4 µa tilfelle 2 belastes kilden med parallellkoplinga av R og R iv (R L ). Strømmen blir nå summen av strømmene i parallellkoplinga: ' V ' R + V ' R iv 2,679 2 + 2,679,7 µa Vi kan nå sette opp to likninger med E og R i som ukjente: E R i V E R i ' V ' Vi subtraherer likningene og finner R i :
R i ( ' ) V V ' R i ' V V 2,94 2,679 ' (,74 29,4) 994,9 R 6 i Av den første likninga finner vi: E V +R i 2,94+,9949 3 29,4 6 2,99967 E 3,V,99 kω Hvor stor blir spenningskildens kortslutningsstrøm? k E R i 2,99967 994,97,536 3 k,5 ma Oppgave 6 a 2 5kΩ kω + - V 4kΩ b + - 5V 3 Finn strømmen og spenningene, 2 og 3 i kretsen over (vær obs. på fortegn). V 5kΩ kω 5 V 4 kω ( 5)V (5++4)kΩ,5mA 5 kω 2,5 V ; 2 kω,5 V ; 3 4 kω 2, V Finn spenninga ab mellom punktene a og b. Spenningsloven: ab 2 5V ab 2 +5 V,5+5 4,5V Leverer eller mottar V -kilden effekt? er negativ, og da går strømmen i realiteten inn ved +-polen på V -kilden. Den mottar derfor effekt. Om kilden er et oppladbart batteri, så lades den nå.