Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato ) Utsagn : 3 er et partall er usann Utsagn : primtall Åpenbart at er et ekte utsagn, men ikke enkelt å avgjøre om det er sant eller usant. Dette er derimot ikke utsagn: Øl er godt Matematikk er gøy Mange vil nok synes det, men langt i fra alle. Dette er en subjektiv påstand og ikke et utsagn. Forhåpentligvis synes noen det, men neppe alle! Igjen en subjektiv påstand og ikke et utsagn. Predikater ( åpne utsagn ) Eksempler: Han har flere OL-gull Et predikat er formelt sett ikke et utsagn, men regnes ofte som det. Vi får et utsagn når vi setter inn verdier for x eller han. F.eks.: (usant), O.E. Bjørndalen har flere OL-gull (sant)
Konnektiver ( Logiske operatorer ) Det finnes en rekke logiske operatorer vi kan benytte for å lage sammensatte utsagn ( proposisjoner). Negasjon: Kan leses som ikke. har alltid motsatt verdi av. Hvis vil og omvendt. ( Alternative skriveformer: Konjunksjon: Kan leses som i betydningen både/og, dvs. utsagnet er bare sant hvis både p og q er sanne. Disjunksjon: Kan leses som i betydningen og/eller, dvs. utsagnet er sant hvis p eller q eller begge er sanne. Implikasjon: Kan leses som hvis så eller impliserer. ( Alternativt: Biimplikajson: ( Alternativt:. Kan leses som hvis og bare hvis, dvs. utsagnet er sant bare hvis p og q har samme sannhetsverdi Eksklusiv eller: ( Alternativt: Kan leses som enten eller, dvs. utsagnet er sant hvis enten p eller q er sann, men ikke begge. Sannhetsverditabell: S S U U S S S S U S U U S U S U U S U S S U U S S U S U U S S U U S S U Hvor: S er sann, U er usann Merk! I tabellen har vi 2 enkeltutsagn ( ) og dermed mulige kombinasjoner av sant/usant. Med 3 utsagn ( ) ville vi fått kombinasjoner, osv.
Implikasjon, Erfaringsmessig kanskje den vanskeligste operasjonen å forstå. Hvis så innebærer at dersom premissen p er sann, så må konklusjonen q være sann. En sann premiss skal altså ikke kunne lede til en usann konklusjon. Hvis derimot premissen er usann, spiller ikke konklusjonen noen rolle For : Hvis så er Her:,, Dersom vi prøver med vil være sann, og da innser vi at også må være sann siden Derimot er det ikke mulig å finne verdier av slik at og Dersom kan være hva den vil. ( F.eks. gir,, mens gir ) Valgløfte: Dersom vi (parti X) danner regjering skal vi bruke 100 milliarder til vegutbygging. Dette kan oversettes til hvor Parti X danner regjering, 100 milliarder bevilges til veg Case 1: Parti X danner regjering og holder hva de lover (!) Case 2: Politisk løftebrudd! Case 3,4: Uinteressant hvor mye penger som brukes på vegnettet, det påvirker ikke valgløftet siden det er andre partier som regjerer.
I dagligtale forstår vi ofte meningen selv om vi formulerer setningene på ulike måter. Skal vi oversette til maskinspråk må vi være mer presise. : 1) Hun studerer norsk eller filosofi. Her: p: Hun studerer norsk q: Hun studerer filosofi 2) Han er fra Japan eller Korea Her: p: Han er fra Japan q: Han er fra Korea I 1) mener vi sannsynligvis at hun studerer norsk, filosofi eller begge deler, dvs. I 2) mener vi åpenbart at han er fra enten Japan eller Korea, dvs. Et lite komma kan også utgjøre en stor forskjell a) Hvis sola skinner vil hun reise på badestranda og han vil spille golf. b) Hvis sola skinner vil hun reise på badestranda, og han vil spille golf. Her: p: Sola skinner q: Hun reiser på badestranda r: Han spiller golf I a) kan vi tolke det dithen at både badestranda og golfspillet avhenger av godt vær, dvs. I b) kan vi tolke det dithen at han vil spille golf uavhengig av været, dvs.: p q S S S S S S S S U U U U S U S U U U S U U U U U U S S S S S U S U U S U U U S U S S U U U U S U
Tautologi Sammensatt utsagn (proposisjon) som alltid er sann. : p q S S S S S U S S U S S S U U U S Selvmotsigelse (kontradiksjon) Sammensatt utsagn (proposisjon) som alltid er usant. : p q S S U U U S U U U U U S S S U U U S U U
Logisk algebra Vi kan sette opp en rekke uttrykk, analogt til mengdelære Kommutative lover: Idempotente lover: Identitetslover:, s = selvmotsigelse (alltid usann) Domineringslover:, t = tautologi (alltid sann) Komplementære lover: Assosiative lover: Distributive lover: Dobbel negasjon: DeMorgans lover:
Logisk ekvivalens 2 sammensatte utsagn som har nøyaktig samme sannhetsverdi. : p q S S U U S S S S U U S U U U U S S U S S S U U S S S S S Som vi ser er alle de 3 proposisjonene logisk ekvivalente, dvs: Sistnevnte ( ) kalles et kontrapositivt utsagn Gitt predikatet, F: For Dvs., hvor p: og q: I henhold til tabellen er, hvor : Predikatet F kan altså omskrives til: For Med andre ord: F er sann for. Kontrapositivt bevis Gitt utsagnet: Her: p:, q:, r:, slik at: Det kontrapositive utsagnet blir da omskrives til:., som vha. demorgans teorem kan Med andre ord har vi det ekvivalentet utsagnet: Men hvis og er odde vil, hvor og er heltall, og dermed Med andre ord: Hvis både og er odde må også. Utsagnet er dermed motbevist, dvs. det er ikke sant
Forsøk å forenkle utsagnet Bruker ekvivalensen : DeMorgan og dobbel negasjon: Distributive lover: : Komplementær lov: Kommutativ lov: Kontroll: p q (1) (2) S S S U S S U U S U S S U S S S S S S S S U S U U S U U S U S U U S U U U S S S U S S U S S U U S U U S U S S S S S S S U U S U S S U U U U U U U S S S U U U U Det viser at
I utsagnslogikk kan et sammensatt utsagn være hinsides all normal fornuft, men likevel være et logisk korrekt resonnement. : Hvis så kan alle hester fly, og hvis så er månen en gul ost. Altså kan hester fly eller månen er en gul ost. Her: : (sann), : (usann), : Alle hester kan fly (usann), : Månen er en gul ost (usann) Utsagnet kan altså oversettes til: Utsagnet er sant (!) fordi premissen er usann ( konklusjonen noen rolle. ), dermed spiller ikke Kontroll p q Premiss (1) Konklusjon (2) Utsagn: S S S U S S S S S S S U U S S S S S S U S U U S U S S S U U U U S U U S U S S S S S S S S U S U S S U U S S U U S S S S S S S U U U S S U U U S Vi ser at utsagnet er en tautologi (alltid sant) uansett hvilken sannhetsverdi måtte ha. I dette tilfellet hvor vi vet sannhetsverdien til hvert enkeltutsagn, kunne vi nøyd oss med å kontrollere den fargelagte raden.
Slutningsregler Et alternativ til bl.a. sannhetsverditabeller for å avgjøre om et utsagn er logisk korrekt er å bruke såkalte slutningsregler. 3 av de mest kjente er: Hypoteser Modus ponens (1) Syllogismeloven (2) Modus tollens (3) Konklusjon For hvert tilfelle: Konklusjonen er sann hvis hypotesene er sanne. Eller sagt på en annen måte: Dersom konklusjonen er usann, kan ikke hypotesen være sann. De 3 viste slutningsreglene tilsvarer tautologiene (1) (2) (3) Hvis så er. Dette tilsvarer: Med andre ord: Dette er et eksempel på modus tollens, så konklusjonen korrekt. må være Hvis Kari har tippet Lotto så vinner hun en premie ( ) Kari vinner en premie ( ) Kari har tippet Lotto ( ) Vi kan ikke bruke noen av de gitte slutningsreglene, men det er ikke så vanskelig å vise at konklusjonen ikke holder. Kan f.eks. gå ut i fra at er usann, da vil være sann, og q kan være sann. Med andre ord: Vi kan ha en hypotese som er sann, selv om konklusjonen er usann. Det skal ikke være mulig i et logisk korrekt resonnement. ( Mer direkte: Hvis Kari vinner premie, behøver det ikke være i Lotto. Hun kan ha vunnet i tipping, skrapelodd, kakelotteri eller lignende )
Induksjonsbevis Gitt et åpent utsagn, hvor Dersom vi skal vise at er sann for alle, kan vi i utgangspunktet tenke oss følgende framgangsmåte: Vis at Hvis, vis at, dvs. Hvis, vis at, dvs. osv. Det gir følgende implikasjonskjede: Vi innser at det blir umulig å teste for alle, men vi kan gjøre følgende (1) Induksjonsgrunnlaget: Vis at (2) Induksjonstrinnet: Anta at er sann, og vis at da må være sann, dvs. Hvis både (1) og (2) holder, har vi vist med induksjon at er sann for alle er delelig med 5 for alle (1) Sann (2) Hvis er sann må Da får vi Det viser at er sann når er sann. Begge betingelsene er oppfylt, utsagnet er sant for alle
(1) Induksjonsgrunnlaget: (2) Induksjonstrinnet: Hvis er sann får vi: Både (1) og (2) er oppfylt (venstre side = høyre side av likningene), p(n) er derfor sann