Dynamiske CO 2 -avgifter i en endogent bestemt avgiftsperiode. Ikke-lineære effekter.

Transkript

1 Dynamiske CO 2 -avgifter i en endogent bestemt avgiftsperiode. Ikke-lineære effekter. av Sigurd Aanestad 1, Leif K. Sandal 2 og Gerhard Berge april 24 1 Matematisk institutt, Universitet i Bergen. 2 Institutt for foretaksøkonomi, NHH.

2 1 Introduksjon 1 I denne artikkelen presenteres og analyseres en modell for velferdsoptimerende uttak av fossilt brensel i global målestokk. Modellen tar hensyn til forringelsen av miljøet ved bruk og utvinning. Forøvrig er velferdsmålet knyttet til produsent og konsumentoverskuddet i markedet for fossilt brensel, hvor tilbud/etterspørsel påvirkes av både pris og miljø. Den sosiale planleggeren bruker avgift til å justere omsetningen av fossilt brensel til et velferdsmaksimerende nivå som tar hensyn til eksternalitetene i modellen. Ellers er tidsperspektivet uendelig, og vi antar at ren teknologi etterhvert blir mer lønnsom enn tradisjonell energiutvinning. Denne rene teknologien gir en alternativ profitt som øker med tiden. Tidspunktet for teknologiskiftet inngår endogent i modellen. I lignende modeller er det vanlig å bruke en lineær funksjon som representant for naturens egen rensning av CO 2 fra atmosfæren. Dette arbeidet har ikke denne begrensningen. En lineær rensefunksjon overvurderer naturens egen evne til å rense opp. Det viser vi ved å demonstrere at en ikke-lineær og ikke-monoton rensefunksjon gir en langt mer restriktiv miljøpolitikk. Modellen løser vi numerisk. 1 Introduksjon I de senere tiår har verdenssamfunnet blitt mer og mer bekymret for global oppvarming forårsaket av den såkalte drivhuseffekten. Kyoto-konvensjonen, som trådde i kraft fra 1994, forpliktet de underskrivende land til å sette øvre grenser for sine utslipp av CO 2. Imidlertid har flere land, deriblant Norge, vegret seg for å ratifisere avtalen. USA under George Bush erklærte i 21 sogar å avvise den, grunnet konflikten med økonomisk vekst. I lys av dette kan det være interessant å analysere hva som er det optimale utslippsnivået av CO 2 i global målestokk sett fra en sosial planleggers side. Ettersom bruk og utvinning av fossilt brensel utgjør den betydeligste delen av våre utslipp av CO 2, har vi valgt å lage en modell der dette representerer hele forurensningen. Målet er å finne et avgiftsnivå som gir en optimal løsning for samfunnet som helhet når en veier fordeler og ulemper mot hverandre. I vår modell er optimalitet maksimering av velferdsoverskudd når det tas høyde for negative velferdsvirkninger av flyt- og oppsamlingseksternaliter forbundet med utslipp av CO 2. Den sosialt optimale løsningen sammenlignes med den rene markedsløsningen. På denne måten illustreres effekten av en aktiv miljøbevisst politikk. En viktig egenskap med modellen er at forurensningen ikke bare påvirker gjennom eksternalitetene. Vi åpner i tillegg for at tilbud og etterspørsel er direkte påvirket av dens akkumulerte nivå. Dermed kan vi også ta høyde for kundepreferanser som miljøbevissthet i markedet. Likeledes tenker vi oss at kostnader knyttet til produksjon kan endres av forurensningen. Dette kan for eksempel være kostnader grunnet strengere krav til rensning. I eksisterende økonomisk litteratur antas stort sett en lineær rensefunksjon. (Se f.eks. Vellinga og Withagen [4] og Tahvonen [16]). Denne antagelsen reduserer de matematiske utfordringene når en skal finne et optimalt skattenivå, men gjør også modellene mindre realistiske. Dersom rensefunksjonen virkelig var lineær, ville uendelig stor forurensning også

3 2 gitt uendelig renseevne. Virkeligheten er mindre rosenrød. Vi vet at en øket CO 2 -mengde i atmosfæren øker temperaturen, og dermed også mengden av CO 2 som frigjøres fra havet. Faren for å komme inn i en ond sirkel er derfor til stede. Mye tyder på at rensefunksjonen ikke bare flater ut, men også avtar og går helt i null for høye forurensningsnivå. Dette betyr at scenarier med irreversibel forurensning ikke kan utelukkes. Farzin og Tahvonen [8] modellerer rensefunksjonen ved å anta to typer karbonbeholdninger i atmosfæren. En type med lineær rensning og en type som naturen ikke klarer å rense. På denne måten mener de å fange opp forventede ikke-lineære egenskaper med den virkelige rensefunksjonen. Dessuten har Salo og Tahvonen [9] gitt ut en artikkel der forurensningen er skapt ved uttak av en fornybar ressurs. Her er rensefunksjonen gjort mer realistisk ved at den er strengt økende og konkav for lave forurensningsnivåer og avtagende og konveks for høye nivåer. Foruten de allerede nevnte arbeidene er Sandal og Steinshamn ([1],[11], [12] og [13]) blant dem som har utviklet modeller der det åpnes for ikke-lineære tilnærminger til rensefunksjonen. Vi bruker i dette arbeidet en ikke-lineær rensefunksjon. Den øker med forurensningen for lave akkumulerte verdier, men når en topp og avtar deretter mot null for høy verdier. Med utgangspunkt i en slik form for rensefunksjonen, bestemmes de ubestemte parametrene ved å kalibrere mot historiske data for utslipp av CO 2 og for aggregert mengde i atmosfæren. I tillegg sammenligner vi også med en lineær estimering basert på de samme data. Flere har påpekt at like viktig som størrelsen på avgiften er utviklingen over tid - om avgiften er avtagende eller økende. (jfr. Ulph og Ulph [5] og Sinclair [14]). I denne sammenheng er en realistisk rensefunksjon avgjørende. Dessuten er det svært viktig at man tar hensyn til at fossilt brensel er en ikke-fornybar ressurs som bare kan høstes i et endelig tidsperspektiv. Mange tar ikke dette hensynet, og antar isteden at CO 2 -nivået utvikler seg mot en likevekt der tilførselen av ny forurensning er lik renseevnen fra naturen. (W. Nordhaus [3] og K. Stollery[15]). Selv om optimeringsproblemet i vår modell har et uendelig tidsperspektiv, utvinnes der bare fossilt brensel i et begrenset tidsrom. Vi tenker oss at en alternativ ren energikilde etterhvert overtar. Profitten ved uttak av denne alternative energikilden er ikke konstant. Istedenfor åpnes det for at teknologiske fremskritt gir rom for økende profitt ved bruk av ren teknologi. Vi kjenner ikke til at tidsavhengig alternativ teknologi har blitt behandlet i litteraturen tidligere. Som nevnt er tidspunktet for teknologiskiftet, t = T, endogent i modellen vår. For T er der to muligheter. Enten har optimal politikk vært å bruke opp hele ressursen av fossilt brensel, eller så er der fremdeles mer igjen. Matematisk vil vi behandle dette som to adskilte tilfeller. I tilsvarende publiserte modeller er det typisk å anta T som en eksogen størrelse fordi det gjør modellene betydelig enklere. (Se f.eks Ulph og Ulph [5]). Våre resultater viser at avgiftsprofil og uttaksnivå av fossilt brensel kan endres vesentlig som følge av en slik forenklingen. Relativt små endringer i modellstørrelser, f.eks. funksjonen for etterspørsel etter fossilt brensel, kan gi svært stor endring i T når denne størrelsen finnes endogent. Dette er hovedårsaken til at T bør behandles som en endogen størrelse.

4 2 Modellen 3 2 Modellen 2.1 Generelle betraktninger Nytten i modellen er knyttet til velferdsoverskuddet i markedet for fossilt brensel. For å maksimere dette overskuddet korrigeres markedet for alle flyt- og oppsamlingseksternaliteter. Med flyteksternaliteter mener vi i denne sammenheng de umiddelbare miljøkostnader forbundet med bruk og utvinning av fossilt brensel. Et eksempel kan være forringet luftkvalitet i nærheten av industriell virksomhet der dette nyttes. Oppsamlingseksternalitetene representerer de samfunnsmessige kostnader ved at utslipp i dag lagres i atmosfæren og får virkninger også for fremtiden. Vi lar y(t) være uttak av fossilt brensel ved tidspunkt t, mens a(t) betegner akkumulert CO 2 -nivå i atmosfæren og s(t) er den gjenværende mengden fossilt brensel i naturen. 3 Videre lar vi den inverse etterspørselskurven P(a, y) representere samfunnets etterspørsel etter fossilt brensel. Dette tenker vi oss som en ikke-separabel funksjon på formen P(a, y) = p (a) p 1 (a) y. (Se fig. 1). Legg merke til at denne kurven har generell a-avhengighet. Dermed åpner vi for at miljøhensyn kan påvirke verdensmarkedets etterspørsel etter fossilt brensel. Når det gjelder kostnadskurven/tilbudskurven har vi valgt å skille mellom privat kostnad, C p (a, y), og sosial kostnad, C s (a, y). Den private kostnadskurven tar kun opp kostnader som direkte vedrører produsenten/ressursuttakeren i markedet, mens den sosiale kostnadskurven også tar opp i seg flyteksternalitetene i modellen. Også her åpnes det for a-avhengighet. Oppsamlingseksternalitetene representeres av skadefunksjonen D(a), (D() =, D > og D > for a > ). Uttakerne av ressursen er bare opptatt av å maksimere produsentoverskuddet (P S), og er derfor blinde for de velferdsdempende faktorene (utslipp/forurensning) knyttet til uttaket y. Likeledes kan vi ikke forvente at samfunnets etterspørsel gjenspeiler alle de negative sider ved bruk av ressursen. Skjæringspunktet mellom P(a, y) og C p (y) markerer den uregulerte markedsløsningen av modellen. Vi tenker oss at en sosial planlegger kan korrigere markedslikevekten slik at det tas hensyn til både flyt- og oppsamlingseksternaliteter og slik blir soialt optimerende. Dersom markedslikevekten i utgangspunktet ligger i skjæringspunktet mellom P(a, y) og C p (a, y), flytter skatten τ(a, y) = P(a, y) C p (a, y) (1) likevekten mot venstre til det sosialt optimale nivået (y, P ). (Se fig. 1). Den dynamiske utviklingen av tilstandsvariablene a og s, styres av y. Vi tenker oss at utslippene til atmosfæren er proporsjonale med y. Dessuten påvirkes dynamikken av rensefunksjonen, f(a). Denne funksjonen tenker vi oss som naturens egen nettorensning av CO 2 fra atmosfæren. Den skal være økende for lave a-verdier, men når en topp ved et visst nivå. For veldig høye a-verdier antar vi at rensningen avtar konvekst mot null. Dette åpner for scenarier med irreversibel forurensning. 3 I fortsettelsen vil det være underforstått at a = a(t), y = y(t) og s = s(t).

5 4 P P* τ{ CS GS PS P(a,y) C (a,y) s C (a,y) p y* y 1 y Figur 1: Sosialt optimum, (y, P ). Skatten τ forskyver likevekten fra (y 1, P(a, y 1 )) til (y, P ). Tilstandsligningene er gitt ved 4 : ȧ = µy f(a), µ >, ṡ = y. (2) Vi antar at ressursen med fossilt brensel før eller siden brukes helt opp eller blir ulønnsom, og at en ny ren teknologi overtar. I denne siste perioden blir tilstandsligningene våre på formen ȧ = f(a), ṡ =, (3) mens vi tenker oss velferden som differansen mellom en kjent profittfunksjon π(t) og skadefunksjonen D(a). 2.2 Uregulert markedsløsning I den uregulerte markedsløsningen kan vi se bort i fra både flyt- og oppsamlingseksternaliteter. Det vil si at uttaket y vil være bestemt av a i henhold til markedslikevekten, mens skadefunksjonen D(a) ignoreres. Dermed er det bare verdien av a som avgjør hva som er den optimale y. I det uregulerte tilfellet er det eneste miljøhensyn i modellen a-avhengigheten i kostnadsog etterspørselsfunksjoner. Teknologiskiftet kommer enten som et resultat av at de samlede ressurser av fossilt brensel er oppbrukt, eller det kommer fordi markedsaktørenes profitt ved ren teknologi blir større enn ved tradisjonell teknologi. 4 Prikk over a og s markerer her tidsderiverte.

6 2.3 Regulert markedsløsning Regulert markedsløsning I modellen vår skiller vi mellom flyt- og oppsamlingseksternaliteter. Med bare flyteksternalitetene til stede, er markedslikevekten gitt ved skjæringspunktet mellom den inverse etterspørselskurven og den sosiale kostnadskurven. I dette tilfellet lar vi funksjonen π(a, y) definere flyten av velferdoverskudd i markedet for fossilt brensel. Denne funksjonen representerer da arealet mellom invers etterspørsel, P(a, y), og marginal sosial kostnad, C s (a, y), som er skissert i fig.1. På grunn av manglende viten om hvordan disse størrelsene oppfører seg i virkeligheten, nøyer vi oss med å tilnærme dem lineært. Vi setter P(a, y) = p (a) p 1 (a)y, C s (a, y) = c s (a) + c 1s (a)y. (4) Dette gir hvor π(a, y) = y ( P(a, x) Cs (a, x) ) dx = β(a)y γ(a)y 2, β, γ >, (5) β(a) = p (a) c s (a) og γ(a) = 1 2( p1 (a) + c 1s (a) ). (6) Den sosiale planleggeren tar hensyn til oppsamlingseksternaliteter representert ved skadefunksjonen D(a). Målet er å maksimere summen av PS + CS + GS. 5 I appendiks A.1 viser vi at summen av PS + CS + GS = π(a, y ) D(a). Dersom vi lar Φ(a(T), T) T e rt ( π(t) D(a))dt, kan vi formulere vårt to-periodeoptimeringsproblem som et en-periode-problem med skrapverdi. Velferdsmaksimum er da gitt ved { T max y,t under bibetingelse [ ] [ ȧ y f(a) = ṡ y e rt( π(a, y) D(a) ) } dt + Φ(a(T), T) ], når t < T. (8) I forhold til ligning (2) har vi her skalert både y og s slik at parameteren µ får verdien 1, og kan ignoreres. Skattenivået som korresponderer med det optimale uttaksnivået y blir da τ(a, y ) = P(a, y ) C p (a, y ), mens tilhørende ad-valorem skatt blir θ(a, y ) = P(a, y ) C p (a, y ). (9) C p (a, y ) 5 GS (Government Surplus) er noe misvisende i denne sammenheng ettersom vi ser på uttak av fossilt brensel i global - ikke nasjonal - målestokk. P S og CS representerer henholdsvis produsent- og konsumentoverskudd. (7)

7 6 Maksimeringsproblemet i (7) og (8) kan formuleres to-periodisk med y som enslig kontrollvariabel. Nåverdi-hamiltonfunksjon blir da 6 { π(a, y) D(a) + m(y f(a)) ny, t T H(a, y, t) = (1) π(t) D(a) mf(a), t > T, med tilhørende første ordens betingelser ṁ = rm H a, ṅ = rn H s, H y =, (11) (12) (13) der m(t) er skyggepris (kofaktor) for a og n(t) er skyggepris for s. Vi refererer til (11) og (12) som henholdsvis kofaktor 1 og kofaktor 2, mens (13) er kravet for indre optimum. Når det gjelder transversalitetskravene til maksimeringsproblemet (7) og (8), blir transversalitetskravet svarende til at ressursen er endelig 7 n(t)s(t) =, s, n(t). (14) Filipov-Cesaris eksistensteorem 8, garanterer eksistens av en optimal løsning for problemet vårt. (Se appendiks A.2). En formulering av hvordan vi har løst optimeringsproblemet vårt følger i appendiks A.3. 3 Numeriske eksempler Før vi presenterer numeriske løsninger av av modellen, skal vi gjøre noen spesifikasjoner over aktuelle modellstørrelser. Rensefunksjonen er valgt på formen f(a) = k 1 max {, e k 2( a â 1)2 e k 2 }, (15) der â er topp-punktet for f(a). I vår modell blir â = 625. Konstantene k 1 og k 2 er funnet ved kalibrering av rensefunksjonen med data for atmosfærisk CO 2 -nivå, (se [1]), og tilsvarende utslipp, (se [2]). Resultatet vi fant var k 1 = og k 2 = Verdien â = 625 kan kritiseres for å være noe pessimistisk ettersom vi snart skal se at det svarer til dagens nivå på forurensningen. Da følger det at dagens nivå utgjør maksimum for vår rensefunksjon, og at høyere forurensning gir lavere rensning enn vi har nå. Dessuten betyr formen vi har valgt på rensefunksjonen at rensningen opphører hvis a blir større enn 2â = 125. Da får vi irreversibel forurensning. Fordelen med verdien vi har valgt for â er at den effektivt illustrerer verste utfall-scenarier. Dette er scenarier som neppe kan avvises fra et biologsk ståsted. 6 Prinsippene for optimal kontrollteori kan f.eks finnes i [7]. 7 En mer generell diskusjon av transversalitetskrav finner man i [6] og [7]. 8 Se Seierstad-Sydsæther [6].

8 3.1 Regulert versus uregulert markedsløsning 7 Virkninger av den ikke-lineære rensefunksjonen skal vi i del 3.2 sammenligne med virkningene av en lineær tilnærming som er kalibrert med de samme data. I de andre delene undersøker vi bare den ikke-lineære tilnærmingen. Vi fant følgende lineære tilnærming: f lin (a) =.17a. (16) Legg merke til at f() =. Vi har med andre ord foretatt skaleringen a a ã, der ã er pre-industrielt a-nivå. Dette er fornuftig fordi CO 2 -nivået i atmosfæren var relativt stabilt før den industrielle revolusjon, iallefall mellom istidene. Vi har allerede vært inne på at vi får a() = 625 når vi skalerer med ã = 2187 Gt CO 2, som var det pre-industrielle nivå. Skadefunksjonen er i likhet med rensefunksjonen en veldig usikker størrelse. Vi har valgt å følge Sandal og Steinshamn [11], som brukte D(a) = a2 1. Denne funksjonen har de ønskelige egenskapene D() =, D når a > og D >. For den tidsavhengige alternative profitten benytter vi π(t) = 14 7 e.7t. (18) Vi tenker oss dermed en alternativ teknologi som utvikler seg veldig fort i begynnelsen, men etterhvert tar ut hele sitt potensiale og stabiliserer seg mot lim t π(t) = 14. Det må understrekes at både π(t) og D(a) er høyst usikre størrelser. Vi har spesifisert disse funksjonene så nøyaktig først og fremst fordi dette kreves ved numerisk løsning av modellen. Når det gjelder tidsskalaen, tilsvarer t = 1 ett år. Dette er et naturlig valg ettersom vi genererte f(a) på grunnlag av årlige gjennomsnittstall for utslipp og rensning. Vi har i modellen vår antatt generell a-avhengighet i markedet for fossilt brensel. Dermed gis det rom for at miljøbevissthet blant forbrukerne kan påvirke etterspørselen. Et tilfelle uten a-avhengighet og et tilfelle med aavhengighet undersøkes. Disse sammenlignes i del 3.1. I de delene undersøker vi bare a-avhengighet. I tilfellet med a-avhengighet satte vi p (a) = a. Da er p o (a ) = 15.25, som er nesten lik verdien i tilfellet med p o konstant lik Dette er ingen sterk avhengighet for den inverse etterspørselen P(a, y) = p (a) p 1 (a)y, men vi skal se at den likevel får en del å si for a og T. Vi har satt diskontering r =.5 dersom annet ikke er spesifisert. De andre parametrene for etterspørsels- og kostnadskurver finner vi i tabell Regulert versus uregulert markedsløsning I denne delen skal vi fokusere på virkningen av eksternalitetene i modellen. Det vil si at vi skal sammenligne den uregulerte markedsløsningen med den regulerte. Samtidig ser vi også (17)

9 8 Markedslikevekt Parameter verdi parameter verdi avhengig av a p a p 1.6 uavhengig p 15.3 p 1.6 av a c s 1 c 1s.9 c p 1 c 1p.2 Tabell 1: Benyttede verdier for parameterne i etterspørsels- og kostnadsfunksjonen. på virkningen av at etterspørselen gjøres negativt korrelert med akkumulert forurensning. Dette kan vi kalle idealistisk marked. La oss først konsentrere oss om virkningen av å regulere markedet med skatt eller avgift. Skatten, som viser seg å ligge mellom 13 og 16 % over uregulert markedspris, får store konsekvenser i dette numeriske eksempelet. I fig. 2(a) og 2(b) gir et uregulert marked irreversibel forurensning. Dette ser vi fordi den akkumulerte forurensningen ikke avtar etter teknologiskiftet. Istedenfor stabiliseres den på et veldig høyt nivå. Denne egenskapen ville modellen vår ikke fanget opp dersom rensefunksjonen var lineær. Det at vi har antatt dagens nivå for rensning som det maksimale, gjør at virkeligheten kan komme til å se noe lysere ut enn i vår numeriske beregning, men det er ikke gitt at vårt anslag for rensefunksjonen er for pessimistisk. Tab. 2 viser at tiden frem til teknologiskiftet forlenges kraftig når markedet er uregulert. Særlig i tilfellet der etterspørselskurven ikke er a-avhengig. Da brukes ressursen av fossilt brensel opp, og som en konsekvens av dette blir ikke teknologien ren før etter over 3 år. Uten a-avhengighet kommer teknologiskiftet allerede etter 53 år. Dermed ser vi at forbrukernes miljøbevissthet kan ha veldig mye å si. Vi registrerer også at uten a-avhengighet så er forurensningen ved teknologiskiftet nesten 5 ganger høyere for det uregulerte tilfellet enn for det regulerte. Dessuten legger vi merke til at y() = y(t) for tilfellet uten a-avhengighet i den rene markedsløsningen. For en sosial planlegger kan det på tab. 2 og fig. 2 se ut som betydningen av miljøbevissthet i markedet er mindre enn for det uregulerte markedet. Vi kan forstå dette som at planleggerens skatter gjør markedets bevissthet mindre nødvendig, og de negative konsekvensene av forurensningen blir i dette tilfellet ikke så store fordi forurensningen begrenses av skatten som blir pålagt. Studerer vi imidlertid fig. 2(a) og 2(b) nøye, ser vi at miljøbevisstheten likevel har stor betydning. I det idealistiske tilfellet har a-kurven en spiss topp - det vil si at den avtar fort etter teknologiskiftet. Årsaken er at forurensningen på sitt høyeste nivå ikke er høyere enn at naturens rensning fremdeles bidrar vesentlig. Uten a-avhengighet blir imidlertid a-kurven mye flatere. Dette fordi stor forurensning har svekket naturens egen renseevne så mye at teknologiskiftet i første omgang bare utløser en beskjeden reduksjon i akkumulert forurensning. I de neste delene vil vi la etterspørselen være a-avhengig.

10 3.1 Regulert versus uregulert markedsløsning 9 Marked etterspørsel y() y(t) a(t) s(t) T θ() θ(t) Uregulert konstant a-avhengig Regulert konstant a-avhengig Tabell 2: Randstørrelser i regulert/uregulert marked. Konstant/a-avhengig etterspørsel a(t) regulert marked a(t) uregulert marked a(t) regulert marked a(t) uregulert marked t (a) Ikke-idealistisk marked t (b) Idealistisk marked. Figur 2: Akkumulert forurensning. Regulert versus ikke regulert marked.

11 1 3.2 Lineær eller ikke-lineær rensefunksjon I denne delen skal vi se hvilken betydning formen på rensefunksjonen har for optimeringsproblemet vårt. Vi tester den ikke-lineære formen (15) mot den lineære (16). Forskjellen i virkninger av lineær og ikke-lineær rensefunksjon illustreres kanskje best i det uregulerte tilfellet. Dersom vi betrakter a-kurvene for dette tilfellet i fig. 3, ser vi at det tar relativt lang tid før teknologiskiftet finner sted slik at forurensningen er svært høy. I tilfellet med lineær rensning (fig. 3(a)) avløses skiftet i teknologi umiddelbart av en sterk nedgang i akkumulert forurensning. Dette fordi antagelsen om lineær rensning gir svært optimistiske renseverdier for høye forurensningsnivå. I motsetning ser vi at langt lavere rensning for høye a-nivå i det ikke-lineære tilfellet gir irreversibel forurensning. En interessant egenskap ved det lineære tilfellet, som er særlig tydelig i det uregulerte markedet, er at etterhvert som tiden går flater den akkumulerte forurensningen ut. Årsaken er at rensningen stiger lineært med forurensningen. Dermed er vi i en slags likevekt med svært store utslipp og svært stor forurensning. (Se fig 3(a)). I vårt numeriske eksempel kommer teknologiskiftet som et resultat av at den alternative rene teknologien blir den mest lønnsomme, men dersom vi hadde endret litt på modellparameterne kunne skiftet kommet på grunn av knapphet av fossilt brensel. I det regulerte markedet ser vi en mer moderat virkning av ikke-linearitet. Tendensene er likevel de samme. Ikke-lineæriteten fremskynder teknologiskiftet kraftig, og de fremtidige skadevirkninger av forurensningen er større fordi anslagene for naturens renseevne er mer pessimistiske. Når det gjelder skattetrykket ser vi i fig. 4 at dette blir noe større i det ikke-lineære tilfellet. Forskjellene er imidlertid ikke dramatiske. Initielt er skatten henholdsvis 138 % og 157 %, mens den for begge tilfellene er konkav frem til teknologiskiftet og da har gått betydelig ned. Marked Rensefunksjon y() y(t) a(t) s(t) T θ() θ(t) Uregulert Lineær Ikke-lineær Regulert Lineær Ikke-lineær Tabell 3: Randstørrelser. Lineær versus ikke-lineær rensefunksjon. 3.3 Virkning av diskontering Vi skal nå se hvilken innvirkning diskonteringen, r, har for modellen vår. Dette tester vi bare ut for den regulerte markedsløsningen ettersom diskonteringen ikke har noe å si når markedet er uregulert. (Se del 2.2). Særlig skal vi konsentrere oss om sammenhengen mellom diskontering og skatt. Vi ser av tabell 4 at forurensning og uttaksperiode stiger klart med økende diskonteringer. I tillegg ser vi at initielt uttak øker tydelig, mens uttaket like før teknologiskiftet

12 3.3 Virkning av diskontering a(t) regulert marked a(t) uregulert marked a(t) regulert marked a(t) uregulert marked t (a) Lineær rensefunksjon f lin (a) t (b) Ikke-lineær rensefunksjon f(a). Figur 3: Akkumulert forurensning. ad valorem skatt t (a) Lineær rensefunksjon f lin (a). ad valorem skatt t (b) Ikke-lineær rensefunksjon f(a). Figur 4: Ad-valorem skatt, θ(t).

13 12 er noe mindre følsomt. Dette er slik vi på forhånd kunne forvente ettersom diskonteringen øker betydningen av umiddelbar profitt. Marked Diskontering y() y(t) a(t) s(t) T θ() θ(t) reg- r = ulert r = r = Tabell 4: Randstørrelser. Diskonteringens virkning i to typer marked. Akkumulert forurensning viser seg å bli en del større ved 5 % diskontering enn ved 1 % diskontering. (Se fig. fig.5). Både høyere uttaksnivå og senere teknologiskifte må ta skylden, men forskjellene er ikke dramatiske. Når det gjelder skattetrykket er ikke virkningene av diskonteringen store. Vi ser av fig. 6 at skatten faller etterhvert som vi nærmer oss teknologiskiftet. Ved lav diskontering er der mye høyere skatt initielt, men ved teknologiskiftet er forskjellene mindre. Dette er også hva vi kunne forvente ettersom vi så at initielt uttak var følsomt for diskontering. Ellers ser vi at skatten er konkav i tiden. Fig. 7 viser også at skatten avtar med økte mengder av akkumulert forurensning. Når a-nivåene ikke er høyere enn i disse eksemplene, ser vi også at skatten er konkav i a. Det at skatten avtar når akkumulert forurensning øker er kanskje ikke helt intuitivt. Mange vil kanskje forvente at høy forurensning også vil gi høy skatt ettersom skaden av utslippene da er større. Men vi må huske at når forurensningen allerede er veldig stor, så vil en liten økning være enda mindre relativt sett. En økning i skattenivå som reduserer uttaket kan da gi et større tap for markedsaktørene enn den inntekt det gir for planleggeren. I tillegg kommer at flyteksternalitetenes innvirkning i noen grad kan sies å ta over skattens uttaksdempende funksjon i tilfellet med a-avhengig etterspørsel. Numeriske eksempler viser at skattens konkavitetsegenskaper forsvinner for store a-verdier i tilfellet uten idealistiske markedsaktører. 4 Oppsummering og konklusjoner I dette arbeidet sammenligner vi først en uregulert markedsløsning med en regulert markedsløsning. Vi ser at skatt som justerer marledslikevekten for oppsamlingseksternaliteter får store konsekvenser for akkumulert forurensningsnivå og teknologiskiftetidspunkt. Uten skatt gir modellen en tilstand med irreversibel forurensning ettersom det akkumulerte CO 2 - nivå blir så høyt at naturens egen rensning kollapser. Modellformuleringen med etterspørsel som avtar med økt forurensning virket sterkt inn på resultatene. Dette gir også irreversibel forurensning i den rene markedsløsningen, men om vi velger større negativ forurensningskorrelasjon for etterspørselen kan dette gi et annet resultat. Egenskapen med irreversibel forurensning er kun et mulig scenario når der brukes en ikke-lineær rensefunksjon. Dersom rensefunksjonen velges lineær, vil naturen uavhengig

14 4 Oppsummering og konklusjoner a a t (a) r = t (b) r =.5. Figur 5: Agg. forurensning a(t) for ulike diskonteringsverdier. av forurensningsnivå rense seg selv relativt kort tid etter et teknologiskifte. Dette skyldes at den naturlige renseevnen øker lineært med akkumulert forurensning. Uendelig stor forurensning gir dermed uendelig rensning. Det viser seg at antagelsen om lineær rensefunksjon resulterer i langt lavere avgifter på uttak av fossilt brensel enn en ikke-lineære funksjon av den typen vi bruker. Betrakter vi tidshorisonten frem til teknologiskiftet for de to tilfellene, ser vi at forskjellene kan bli svært store. Lineær rensning utsetter teknologiskiftet betydelig. Sammen med lavere avgifter gir dette et mye høyere samlet uttak over tid, og dermed blir langt mer av ressursen brukt opp. I det uregulerte tilfellet blir nesten hele ressursen brukt opp. Alt i alt er det nærliggende å konkludere med at det å bruke en lineær tilnærming til rensefunksjonen er urealistisk og misvisende når en skal si noe om den virkelige verden. I den siste delen undersøker vi hvordan diskonteringsnivået påvirker den regulerte markedsløsningen. Resultatene er svært følsomme for diskontering slik vi normalt kan forvente. Høy diskontering gir sent teknologiskifte og lav skatt initielt. Resultatet er høyere forurensning. Skattekurvene vi observerer er konkave og fallende med tiden. Dessuten ser vi at de faller med forurensningsnivået og er svakt konkave også som funksjon av dette. Denne konkaviteten ser ut til å forsvinne for store forurensningsverdier. I modellen vår finner vi tidspunktet frem til teknologiskiftet endogent. Den store forskjellen i T for de ulike variantene av optimeringsproblemet vi tester ut, viser hvor avgjørende det kan være å bestemme T endogent. En eksogen tilnærming gir rom for store feil. Ellers bruker vi en tidsavhengig alternativ profitt, og viser at det lar seg gjøre å bestemme den optimale løsning med a-avhengig etterspørsel ( idealistisk marked ). Begge deler kan være med og gjøre modellen mer realistisk.

15 14 ad valorem skatt t (a) Diskontering r =.1. ad valorem skatt t (b) [Diskontering r =.3. ad valorem skatt t (c) [Diskontering r =.5. Figur 6: Ad-valorem skatt, θ(t), for ulike diskonteringsverdier. ad valorem skatt a (a) Diskontering r =.1. ad valorem skatt a (b) Diskontering r =.3. ad valorem skatt a (c) Diskontering r =.5. Figur 7: Skatt som funksjon av forurensning (θ(a)) når r =.5.

16 A Appendiks 15 A Appendiks A.1 Sosialt optimum Vi skal her vise at PS + CS + GS = π(a, y) D(a). (Se fig. 1). Vi har PS = y C p (a, y ) CS = y GS = y τ D(a) Dermed får vi y C p (a, x) dx, (19) P(a, x) dx y ( C p (a, y ) + τ(a, y ) ), (2) y PS + CS + GS = y C p (a, y ) + y ( Cs (a, x) C p (a, x) ) dx. (21) y C p (a, x) dx P(a, x) dx y ( C p (a, y) + τ(a, y ) ) + y τ D(a) = y A.2 Eksistensbevis y ( Cs (a, x) C p (a, x) ) dx ( P(a, x) Cs (a, x) ) dx D(a) = π(a, y ) D(a). (22) Vi skal her vise at det alltid eksisterer løsning for optimeringsproblemet definert i (7) og (8). I den sammenheng begrenser vi oss til å vise at betingelsene i Filipov-Cesaris eksistensteorm, som vi finner som teorem 6.18 i Seierstad-Sydsæther [6], er oppfylte. Kravet om at mengden N(a, y, t) er konveks, utgjør sammen med kravet om en øvre grense for tilstandsvariablene, de eneste ikke-trivielle betingelser stilt i dette teoremet. Når det gjelder det siste kravet har vi at ȧ + ṡ = y f(a) + ( y) = f(a), slik at a + s a + s. Følgelig er dette tilfredsstilt. Teoremet forutsetter at mengden N(a, y, t) = { (e rt [π(a, y) D(a)] + γ, y f(a), y) : γ, y [, ŷ] } (23) er konveks for alle (a, t) R [, T]. (I (23) er ŷ gitt ved π y (a, ŷ) = ). Bevis: Fikser (a, t), la z i e rt [π(a, y i ) D(a)] + γ for i = 1, 2, og la y 3, z 3 være en konveks kombinasjon av y 1, y 2 og z 1, z 2. Vi får λ(z 1, y 1 f(a), y 1 ) + (1 λ)(z 2, y 2 f(a), y 2 ) = (λz 1 + (1 λ)z 2, λy 1 + (1 λ)y 2 f(a), λy 1 (1 λ)y 2 ) = (z 3, y 3 f(a), y 3 ). Konkaviteten til π(a, y) gir z 3 = e rt [λπ(a, y 1 ) + (1 λ)π(a, y 2 ) D(a)] + λγ 1 + (1 λ)γ 2 e rt [π(a, y 3 ) D(a)] + λγ 1 + (1 λ)γ 2 γ 3 λγ 1 + (1 λ)γ 2 (z 3, y 3 f(a), y 3 ) N(a, y, T).

17 16 A.3 Formulering av modell I det følgende viser vi først i del A.3.1 hvordan vi kommer frem til en differensialligning som gir en feedback-form for den optimale kontrollen, y = y(a). Deretter gjør vi i del A.3.2 rede for hvordan vi benytter oss av denne differensialligningen til å finne en numerisk løsning av modellen. Optimeringsproblemet i ligningene (7) og (8) kan formuleres slik at det strekker seg over to perioder - før og etter teknologiskiftet. Kontrollvariabelen er uttaket, y, og vi har et tilpasningsproblem i tidspunktet T. Hamilton-funksjonen med tilstandsligninger, kofaktorlligninger og det indre optimalitetskravet er oppsummert i tab. 5. Vi krever at denne Hamilton-funksjonen, tilstandsvari- Beskrivelse Første periode Sluttperiode Tid t T T < t produksjon y >, y(t) = y T > y = Sosial velferd π(a, y) D(a) π(t) D(a) Tilstandligning 1 ȧ = y f(a) ȧ = f(a) Tilstandsligning 2 ṡ = y Hamilton H = π(a, y) D(a)+m(y f(a)) ny H = π(t) D(a) mf(a) Indre optimum H y = m n = π y (a, y) Kofaktor 1 ṁ = (r + f (a))m π a (a, y) + D (a) ṁ = (r + f (a))m + D (a) Kofaktor 2 ṅ = rn ṅ = rn, ns = og n, s Tabell 5: Førsteordens betingelser. ablene og multiplikatorene er kontinuerlige i t = T. Løser vi ligningen for kofaktor 2 i tabell 5, får vi n(t) = n e rt, der n = n(). (24) Dette kombinerer vi med (14) og får to muligheter for skyggeprisen n(t): Tilfelle 1: s(t) > og n(t) = for alle t. Tilfelle 2: s(t) = og n(t) = n e rt. A.3.1 Feedback-formulering I det følgende skal vi utlede en 1. ordens differensialligning for feedback-kurven til y for tilfelle 1 og tilfelle 2. La oss først anta en generell autonom nåverdiform for Hamilton-funksjonen, slik at H = e rt H = w(x, y)+p T ẋ, der ẋ = g(x, y). For at denne funksjonen skal representere vårt problem lar vi x og p være to-dimensjonale vektorer svarende til tilstandsligningene og deres tilhørende multiplikatorligninger, mens y er kontrollvariabel og w(x, y) π(a, y) D(a). Antar vi indre løsning gir den generelle teori ṗ = rp H x, H y =.

18 A.3 Formulering av modell 17 Vi totalderiverer Hamilton-funksjonen: d dt H = HT xẋ + HT y ẏ + H T pṗ = H T xẋ + T ẏ + ẋ T (rp H x ) = rẋ T p. (25) Dette skal vi om litt bruke i utledningen av en feedback-form for de to tilfellene, men først setter vi kravet om indre løsning, se tab. 5, inn i Hamilton-funksjonen. Vi får H(a, y) = π(a, y) D(a) yπ y mf(a). (26) Tilfelle 1: s(t) > og n(t) = for alle t. La oss sette m(t) = M(a, y) og n(t) = Ñ(a, y). Vi kan da definere P(a, y) H ( a, y, m = M(a, y), n = Ñ(a, y)) = π(a, y) D(a) + M(a, y) ( y f(a) ) Ñ(a, y)y. (27) Innsatt i (25) sammen med betingelsen n = gir dette [ P a + P y y ]ȧ = r Mȧ. a Utenom i likevekt hvor ȧ = får vi dermed P a + P y y a = r M. (28) De kjente størrelsene innsatt i (28) gir da 9 y (a)(y f)π yy = π a D (y f)π ay + (r + f )π y. (29) Hvis vi forutsetter at der ikke er noen mangel på fossilt brensel, vil dette være differensialligningen for optimalt uttak på feedback-form av forurensningsnivået. Tilfelle 2: s(t) = og n(t) = n e rt. I dette tilfellet blir feedback-formen mer komplisert. Kravet om indre løsning innsatt i (25) gir [ H a + H ] y ȧ = rmȧ + rnṡ = r ( y(m n) mf ) = r(yπ y + mf). (3) y a Vi setter inn (26) og får ( πa D yπ ay mf ) (y f) + r ( yπ y + mf ) y (a) = yπ yy (y f) G 1 (a, y, m), (31) 9 I resten av A.3.1 er det underforstått at π = π(a, y), f = f(a) og D = D(a).

19 18 der vi antar y f. Vi kjenner ikke verdien på m, og trenger derfor differensialligningen for denne kofaktoren i tabell (5), nemlig ṁ = (r + f )m π a + D. I denne setter vi y = y(a) og m(t) M(a) slik at vi kan skrive Ṁ = dm ȧ. Dette gir: da Ṁ = (r + f )M π a + D dm da ȧ = (r + f )M π a + D, eller dm da = (r + f )M π a + D (y f) G 2 (a, y, M), når y f. (32) Ligning (31) sammen med (32) gir en differensialligning for tilfellet med knapphet på ressursen. Dermed finner vi y = y(a) og m = M(a) som feedback av a. Vi kan også enkelt gjøre systemet (31) og (32) tidseksplisitt igjen. Vi har nemlig dy dt = ȧ ẏ ṁ = y f(a) G 1 (a, y, m)(y f(a)) (r + f (a))m + D (a). (33) (Merk at vi i (33) har satt inn G 2 (a, y, m)(y f(a)) = (r + f (a))m + D (a)). A.3.2 To randverdiproblem I del A.3.1 fant vi differensialligninger for optimale løsningskurver for hvert av de to spesialtilfellene av optimeringsproblemet vårt. Nå skal vi finne tilstrekkelige randbetingelser som sammen med differensialligningene gir oss løsningskurvene for hvert av tilfellene. Fremgangsmåten blir i praksis at man først antar at der ikke er noen ressursknapphet, altså tilfelle 1. Man finner så optimale løsningskurver for dette tilfellet og kontrollerer at uttaket gir s(t). Deretter søker man en løsning hvor ressursen brukes helt opp. (Tilfelle 2). Hvis det eksisterer potensielle løsninger for begge de to tilfellene, må man sammenligne overskuddet knyttet til løsningene. (Se appendiks A.3.4). Tilfelle 1: s T > og n(t) = for alle t. I dette tilfellet er randkravene initialbetingelsen a() = a, samt overgangsbetingelsene i t = T. Siden n(t) =, er Hamilton-funksjonen vår H = π(a, y) D(a) + m(y f(a)). Ligningen for kofaktor 1 sammen med betingelsen lim t a(t) =, det indre optimalitetskravet og kravet om kontinuerlig hamilton-funksjon gir oss følgende betingelser i teknologiskiftetidspunktet: (Se appendiks A.3.3 for utledning av disse

20 A.3 Formulering av modell 19 ligninger). 1 at dm m T = m( ) + da da G(a T), t T, (34) H y = π y (a T, y T ) + m T =, (35) π(t) + γ(a T )y 2 T =. (36) Størrelsene som skal bestemmes er T, a T, y T og m T. I tillegg til de tre overgangsbetingelsene i teknologiskiftetidspunktet, (34)-(36), krever vi at initialbetingelsen er oppfylt. Vi har dermed fire randkrav og fire ukjente størrelser. Siden vi har eksplisitt tidsavhengighet i den alternative profittfunksjonen, π(t), lønner det seg å bruke eksplisitt tidsavhengighet også når vi skal finne de optimale løsningskurvene for y og a. Vi har [ dy ȧ dt = ẏ ] [ = y f(a) y (a) ( y f(a) ) ], (37) der y (a) er gitt ved (29). Randkravene er (34) - (36) samt a() = a. Det viser seg at dy er numerisk ustabil når man integrerer fra t = til t = T. Går man dt motsatt vei fra t = T til t = blir systemet stabilt. Siden man har randkrav både i t = og t = T, er det ikke et trivielt problem å løse (37) med tilhørende randkrav. Vi ble nødt for å utvikle en egen skyte-metode som kunne håndtere dette randverdiproblemet numerisk. Tilfelle 2: n(t) = n e rt og s(t) = Vi bruker følgende randkrav: a() a =, π(t) + γ(a T )yt 2 =, (38) m T M(a T ) =, s(t) =. Dessuten innfører vi parameteren Ω(t) med initialkrav Ω() =. Denne betegner samlet neddiskontert overskudd ved tidspunkt t, og er tatt med fordi differensialligningene våre med tilhørende randkrav i noen tilfeller kan ha flere løsninger slik at vi må sammenligne dem for å skille ut hvilken som er den beste. (Se appendiks A.3.4). Antall mulige løsninger vil avhenge av a-avhengigheten i γ (Se andre ligning i (38)). Dette vil vi imidlertid ikke komme noe mer inn på her. I tillegg til de nevnte randkravene har vi m T n T = π y (a T, y T ), men dette kravet bidrar ikke med noe nytt siden det innfører en ny ukjent, nemlig n T. 1 Vi har i det følgende brukt a(t) = a T, y(t) = y T, s(t) = s T og m(t) = m T.

21 2 Differensialligningssytem (33) utvider vi med uttrykk for ṡ og Ω. Dermed får vi: ȧ y f(a) dy dt = ẏ ṁ ṡ = G 1 (a, y, m)(y f(a)) (r + f (a))m + D (a) y Ω e rt( π(a, y) D(a) ), (39) Vi ser at vi har fem randkrav og fem differensialligninger. Dette randverdiproblemet er like komplisert som tilsvarende problem under tilfelle 1. Vi brukte en såkalt kollokasjonsmetode for å løse problemet numerisk. A.3.3 Overgangsbetingelser i teknologiskiftetidspunktet Vi skal se at vi finner uttrykket i (34) ved å ta utgangspunkt i lim t a(t) = og ligningen for kofaktor 1. La M(a(t)) m(t). Vi betrakter ligningen for kofaktor 1 for t > T : dm dt = (r + f (a))m + D (a) = M (a) = 1 f(a) [(r + f (a))m(a) + D (a)], når t > T og f(a). (4) (I overgangen nyttet vi at dm = dm dt da dt Vi krever at M () <. Dermed gir (4) da da og dt = f(a) når t > T). (r + f ())M() + D () = = D (a) ( M() = lim r + f () ) M() = D () =. (41) a r + f (a) Ved å bruke l Hôpitals regel finner vi også M () = f ()M() + D (). (42) r + 2f () Tilsammen gir (4) - (42) oss m(t) for alle t > T. Vi har m T = M(a( )) + at M (a) da = M() + at M (a) er her gitt ved (4) og M ( a( ) ) = M() er gitt ved (41). M (a) da. (43) Overgangsbetingelsen fra krav om kontinuerlig Hamilton og indre optimum: Kravet om kontinuerlig Hamiltonfunksjon i teknologiskiftetidspunktet gir π(a T, y T ) D(a T ) + m T ( yt f(a T ) ) n T y = π(t) D(a T ) m T f(a T ). Setter vi inn kravet om indre optimum, altså m T n T = π y (a T, y T ) = ( γyt 2 + βy T), får vi π(t) + γ(a T )yt 2 =. Dermed har vi funnet (36).

22 A.3 Formulering av modell 21 A.3.4 Sammenligning av løsninger Når vi løser optimeringsproblemet vårt ender vi opp med et system av differensialligninger med tilhørende randkrav. Systemet vil i noen tilfeller ha flere mulige løsninger. Vi er bare interesserte i løsningen, (y, T ), som tilfredsstiller max y,t T J(y, T) max e rt( π(a, y) D(a) ) dt + e rt ( π(t) D(a)) dt. (44) y,t T Strategien for å finne den beste løsning er enkel og intuitiv. La to mulige løsninger være: L 1 : (y 1 (t), T 1 ), t [, T 1 ] gir a(t 1 ) = a T1, (45) L 2 : (y 2 (t), T 2 ), t [, T 2 ] gir a(t 2 ) = a T2. (46) Vi beregner nå differansen J (y 1, y 2, T 1, T 2 ) J(y 1, T 1 ) J(y 2, T 2 ) for å finne (y, T) - paret som maksimerer (44). Å beregne J(y, T) ville vært umulig i tilfeller uten diskontering, siden vi da med sikkerhet ville hatt divergens i siste integral. Differansen J er imidlertid mindre problematisk. Diskonteringen og rensefunksjonen avgjør om vi får konvergens eller divergens i J. (Se 47). Skulle vi få divergens, er problemet likevel løsbart. Det er nemlig tilstrekkelig å finne ut om J er positiv eller negativ. La oss anta T 2 > T 1 og at (a i (t), y i (t)) gir løsningskurvene for løsning nummer i. (i=1,2). J (y 1, y 2, T 1, T 2 ) = J(y 1, T 1 ) J(y 2, T 2 ) T1 T2 = e rt( π(a 1, y 1 ) D(a 1 ) ) dt + e rt [ π(t) D(a 1 )] dt + T ( 1 T2 e rt( π(a 2, y 2 ) D(a 2 ) ) ) dt + e rt [ π(t) D(a 2 )] dt ω 1 (y 1, T 1, y 2, T 2 ) + T 2 T 2 e rt [ π(t) D(a 1 )] dt T 2 e rt [D(a 2 (t)) D(a 1 (t))] dt. (47) Her er ω 1 konvergent og enkel å finne numerisk når vi har løsningskurvene y 1 og y 2 samt T 1 og T 2. La oss også definere ω 2 (T, t, a 1, a 2 ) t T e rt [D(a 2 (t)) D(a 1 (t))] dt, slik at J = ω 1 (y 1, T 1, y 2, T 2 ) + ω 2 (T,, a 1, a 2 ). Integralet ω 2, er ikke nødvendigvis konvergent dersom r =. Dog er det mulig å finne fortegnet til ω 1 + ω 2 selv om integralet divergerer. Vi kan dele problemet opp i fire tilfeller: 1. ω 1 > og a 1 (T 2 ) < a 2 (T 2 ) I dette tilfellet trenger vi ikke regne ut ω 2. Siden D (a) < og a (t) = f(a) < for alle t, vet vi at ω 2 >. Følgelig er J = ω 1 + ω 2 >, og L 1 er beste løsning uavhengig av om ω 2 konvergerer eller divergerer.

23 22 2. ω 1 < og a 1 (T 2 ) > a 2 (T 2 ) Heller ikke i dette tilfellet trenger vi å regne ut ω 2. Vi har ω 2 < siden a 1 (T 2 ) > a 2 (T 2 ). Dermed har vi J < og L 2 er beste løsning uavhengig av om ω 2 er konvergent eller divergent. 3. ω 1 > og a 1 (T 2 ) > a 2 (T 2 ) Her får vi ω 2 <. Dermed må vi begynne å beregne størrelsen på ω 2 < før vi kan si noe om fortegnet til J. Istedenfor å beregne ω 2 (t,, a 1, a 2 ), beregner vi ω 2 (T, t, a 1, a 2 ), der t er første t-verdi hvor ett av følgende to stopp-kriterier er tilfredsstilt: (i) a 2 (t) a 1 (t) < δ, hvor δ > er svært nær, (ii) ω 1 + ˆ ω 2 (T, t) <. Dersom (i) er stoppkriteriet som iverksettes, må vi anta konvergens av ω 2. Dette er dessverre intet bevis for konvergens, men siden dette kun er et spesialtilfelle som neppe vil bli aktuelt under løsningssøk, går vi ikke grundigere inn på problemstillingen konvergens/divergens av dette integralet. Dersom ω 2 konvergerer og ω 1 + ω 2 >, har vi J > og L 1 er beste løsning. Stoppkriterium (ii) gir derimot J < og L 2 som beste løsning uavhengig av eventuell konvergens i ω ω 1 < og a 1 (T 2 ) < a 2 (T 2 ) I dette tilfellet må vi beregne ω 2 (T, t, a 1, a 2 ) før vi kan si noe om fortegnet til J. Her er t første tidspunkt hvor enten ω 1 + ω 2 (T, t, a 1, a 2 ) > eller (i) inntreffer. Dersom ω 1 + ω 2 (T, t, a 1, a 2 ) >, så vil J > og L 1 vil være beste løsning uavhengig av konvergens i ω 2. I motsatt fall antar vi konvergens med L 2 som beste løsning.

24 REFERANSER 23 Referanser [1] Data for aggreget mengde CO 2 i atmosfæren. Tilgjengelig på [2] Globalt menneskeskapt utslipp av CO 2 fra Tilgjengelig på [3] W. Nordhaus. How Fast Should We Graze the Global Commons. The American Economic Review, 72, [4] N. Vellinga og C. Withagen. On the concept of green national income. Oxford Economic Papers, 48, [5] A. Ulph og D. Ulph. The optimal time path of a carbon tax. Oxford Economic Papers, 46, [6] A. Seierstad og K. Sydsæther. Optimal Control Theory with Economic Applications. Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, [7] I. Kamien og N. L. Schwarz. Dynamic Optimization. The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management, Second Edition. Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, [8] Y. H. Farzin og O. Tahvonen. Global Carbon Cycle and the Optimal Time Path of a Carbon Tax. Oxford Economic Papers, 48, [9] O. Tahvonen og S. Salo. Nonconvexities in Optimal Pollution Accumulation. Journal of Environmental Economics and Management, 31, [1] Leif K. Sandal og Stein I. Steinshamn. Dynamic corrective taxes with flow and stock externalities: A feedback approach. Natural Resource Modelling, 11(3), [11] Leif K. Sandal og Stein I. Steinshamn. Dynamiske adaptive miljøavgifter. SNF Rapport, 84, 2. [12] Leif K. Sandal og Stein I. Steinshamn. A Simplified Feedback Approach to Optimal Resource Management. Natural Resource Modelling, 14, 21. [13] Leif K. Sandal og Stein I. Steinshamn og R. Quentin Grafton. More is Less : The Effects of Ignoring Flow Externalities. Resource an Energy Economics, 25(3), 23. [14] P. J. N. Sinclair. On the Optimum Trend of Fossil Taxation. Oxford Economic Papers, 46, [15] Kenneth R. Stollery. Constant Utility Paths and Irreversible Global Warming. The Canadian Journal of Economics., 31, 1998.

25 24 REFERANSER [16] O. Tahvonen. Fossil Fuels, Stock Externalities, and Backstop Technology. The Canadian Journal of Economics, 3, 1997.