Universitetet i Agder. Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN
|
|
- Svanhild Tollefsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-149 (Statistikkdelen) Emnenavn: Statistikk og matematikkdidaktisk forskning Dato: 22. november 2011 Varighet: 5 timer Tall på sider inkl. framside 3 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator (grafisk kalkulator som ikke kommuniserer tillatt), vedlagt formelark. Merknader: Oppgave 1 Du kaster fire mynter. La X være antall "kron" som oppnås. Hvor mange ulike utfall kan inntreffe? Regn ut P(X = 2). Du får vite at en av myntene har blitt "kron". Hva er nå sannsynligheten for at du totalt har kastet 3 kron? Oppgave 2 I en eske er det tre gule og sju røde kuler. Du trekker en kule seks ganger etter hverandre. Etter hver trekning legger du kulen tilbake i esken igjen. Forklar hvorfor dette tilfredsstiller kravene for en binomisk forsøksrekke. Regn ut forventet antall gule og røde kuler. Hvilken fargekombinasjon av gule og røde kuler er mest sannsynlig å få når vi trekker seks ganger? Begrunn med regning.
2 Oppgave 3 Fabrikk A står for 65% av den totale produksjonen av en spesiell ventil, mens fabrikk B produserer resten. Fra fabrikk A er det feil på 4% av ventilene, mens den tilsvarende feilprosenten fra B er 8. Illustrer denne situasjonen med et valgtre (sannsynlighetstre). Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt ventil er feilfri. En ventil viser seg å ha en feil. Hva er sannsynligheten for at denne ventilen er produsert ved fabrikk A? Oppgave 4 16 filologer og 10 matematikere skal arrangere en fest. En arrangementskomite som består av 3 filologer og 2 matematikere skal lage i stand festen. På hvor mange måter kan denne komiteen velges? Hvis alle utfallene i a) er like sannsynlige, hva er da i. sannsynligheten for at en bestemt filolog er med i komiteen? Sannsynligheten for at en bestemt matematiker er med i komiteen? Etter festen velges blant de 26 deltakerne en komite på 5 til å rydde opp. På hvor mange måter kan det gjøres? Anta at fem festdeltakere har sovnet. Finn sannsynligheten for at ingen av disse velges ut. Oppgave 5 Vi antar at sannsynligheten for at to matematikklærere gir samme karakter på en eksamensbesvarelse er 0,80. To lærere vurderer i alt 160 slike besvarelser. La X være tallet på besvarelser som lærerne gir den samme karakteren. Hvorfor kan man anta at dette er en binomisk fordeling? Finn forventningsverdien og standardavviket til X. Finn P(120 X < 140) ved å bruke at X er tilnærmet normalfordelt. Oppgave 6 Forbrukerkontoret har mottatt klager på en bestemt pizzaprodusent. Denne produsenten hevder at deres store pizza i gjennomsnitt inneholder 60 gram pepperoni. Flere mener at vekten av pepperoni må være betydelig lavere. Du blir bedt om å lage en test som kan brukes for å få avklart uenigheten. Pepperonimengden i 100 pizzaer blir undersøkt. La X være vekten av pepperoni per pizza. X antas å være normalfordelt med forventningsverdien i = 60g og standardavviket o- = 15g. Signifikansnivået til testen skal være 5%. Følgende hypoteser settes opp: Ho: i = 60g H1: u < 60g a) Hva betyr hypotesene sagt med vanlige ord? Argumenter for at det er naturlig å velge nullhypotesen og den alternative hypotesen slik det er gjort her, og ikke omvendt.
3 Regn ut kritisk verdi for når vi skal forkaste 110når vi beregner gjennomsnittsmengden pepperoni på 100 pizzaer. (Dersom du ikke får noe svar på denne oppgaven kan du bruke kritisk verdi 58,1 videre i oppgaven, selv om dette tallet ikke er korrekt svar.) Skisser styrkefunksjonen til testen basert på g-verdier mellom 56 og 63. Beskriv og forklar grafen. Regn ut styrken for ii =57. Hva betyr denne verdien her? Hva vil det si å gjøre godtakingsfeil i denne testen? Hva er godtakingsfeilen når den sanne ukjente verdien for g er 59 gram? Undersøkelse av 100 pizzaer viste at gjennomsnittlig mengde pepperoni på pizzaen var 58,4 gram. Hva slags konklusjon anbefaler du å trekke utfra dette resultatet?
4 + Vedlegg eksarnen i MA-149 Definisjon 2.1 (Gjennomsnitt) Vi tar utgangspunkt i snittet er i=1 E de n måleverdienexi, _ xj+x2+ +x,, 1 " x = = Ex, [2.1]. axi i= ax1 (ax1 b)= a nb' [2.3] i=1 1.1 E (xi b)2 = 2b x; nb2 1 - Varlans = s2 )7)2 n 1 1=1 Definisjon 3.7 (Union, snitt, komplement, d)sjunkthet) B inntreffer. treffer. Regel 3.8 (Addisjonsregel fo; disjunkte hendelser) Regel 3.9 (Komplernentregel) p(a UB) = P(A) P(B) Regel 3.11 (Generell addis(onsregel for tre hendelser) P(A(B) Regel 3.13 (Multip(ikasjonsregel) (A fl B) P(B) [3.6] P(A1 n A2 n A3) = P(As) P(A2),41) P(ASIAI n A2) [3.8] P(A) P (B1)- P(A(B1)+P(B2) P(A182) P(R) P(A(Bn) [3.9] Regel 3.15 (Total sannsynlighet) En, og bare en, av hendelsene 1, B2, B vil inntreffe. For enhver hendelse A gjelder: Unionenav og B er en ny hendelse A U B som inntreffer hvis A eller B eller begge inntreffer. Utdrag fra Gunnar Løvås (2004): Statistikkfor universiteter og høgskoter.universitetsforlaget. Snittet av A og B er en ny hendelse A n B som inntreffer hvis både A og Komplementettil A er en ny hendelse som inntreffer hvis A ikke inn- To hendelser er disjunkte hvis ikke beggeto kan inntreffe i sammeforsøk. x2, x.symbolet for utvalgets gjennomsnitt er 2, Formelen for gjennom- fl n P(Ai U A2 U 1JA ) = P(A P(A2) P(A ) Regel 2.2 I fortsettelsen kan dct were greit åkjenne de vanligste regnereglene for en sum. La a og b være to konstanter. Da gjelder følgende samrnenhenger: P(X) = 1 P(A) [3.2] E x, = x, + X2+ +. Regel 3.10 (Generell addisjonsregel) For mengdene A og B gjelder afitid: E.x [2.2] P(A U B) = P(A) + P(B) P(A fl B) [3.3] P(A1 U A2 U 43) = P(A1) + P(A2)+ P(A3) P(A1 rl A2) P(A1 n it3) P(A2 n A3) n A2 n As) [3.4] Delinisjon 3.12 (Retinget sannsynfighet) Den betingede sannsynligheten for hendelsen A gitt at hendelsen 13har inntruffet: Definisjon 2.3 (Varians og standardavvik) Standardavviket defineres som s, og vi kvadratroten av variansen. Symbolet for utvalgets standardavvik er skriver derfor symbolet for utvalgets varians som s2. P(A n B) = P(A) P(BIA) = P(B) P(A)B) (3.7) Standardavvik = s = Regel 3.14 (Generell multiplikasjonsregel) HviS alle P(A,) > 0, er
5 Regel 3.27 (Antall kombinasjoner) Vi velger ut k enheter, uten tilbakelegging, fra en samling med n merkede enheter.totaltantall ikke-ardnedekombinasjoner av k fran skrives n! Cn'ir= Ck) k)! k! Regel 4.5 X er en diskret eller kontinuerlig stokastiskvariabel.for alle vilkkrligekonstantera og b gjelder (vi forutsettera P (a X < b) = F(b) F(a) P(X > a) = I F(a) P (X < b) = F (b) Definisjon 4,6 (Forventningsverdi) Forventningentil en chskretvariabelx defineressom Forventningsverdi= sum av (verdi e sannsynlighet) P (X = xi) [4.1] VarX = (x1 P)2 = x1) + + (xn p)2 P(X xn). Vite at VarX også betegnes med ti2 ("sigma i annen1 Vite at Standardavvik er lik VOrX. Dette kan vi også skrive slik: Standardavik = NIVarX = a Regel 5.2 (Binomisk fordeling) Sannsynlighetsfordelingentil en binomisk variabel X, er P(X = x)= (xn)pa (l p)""' for x = 0, I 2 n Regel 5.3 (Forventning og varians) En binomisk variabel X har forventningsverdiog varianslik E (X) = np Var(X) = np(i p) Definisjon 5.4 (Hypergeometrisk fordeling) Vi har en populasjon med enbeter,hvoraviktenheterharenbestemt egenskap.viforetarn trekningeruten tilbakeleggingfrapopulasjonen,og definererx likantallenheteri utvalgetmed den bestemte egenskapen.da er X hypergeometriskfordelt med parametere (N, M, n). Sannsynlighetsfordelingener M N M P(X x) (x). n (A'n') Andelen p = MIN av populasjonensenheter har den bestemte egenskapen. En hypergeomeuisk N,ariabel X har forventning og varians N n Var(X) np(1 p) IV 1 Regel 3.18 (Bayes' regel) En, og bareen, avhendelsene131,132,, B vil inntreffe. Hendelsen A inntreffermed sannsynlighetenp(a), som regnes ut ved hjelp av regel Sannsynlighetenforat hendelsenbt inntraff,gitt at har inntruffet,er P(R) P(A(BL) P(B,)A) P(A) Definisjon3.18 (Uavhengighetsbetingelse) A og B er uavhengigehendelserhvis og bare hvis P(A fl B) = P(A) F(B) Definisjon3.19 (Uavhengighet avtre hendelser) HendelseneAt, A2og A3 er uavhengigehvis følgendefirekrav er tilfredsstilt: P(A1 n A2) = P(111) P(A2) P(A1 r A3) = P(A1) P(A3) P(A2 n A3) = P(A2) P(A3) P(A n A2 n A3) = P(A1) P(A2). P(A3) [3.10) Regel 3,20 (Multiplikasjonsregel for uavhengige hendelser) P(A1 n A2 n A ) = P(111) P(A2)-... P(A,,) (3.111 Regel 3.21 (Addisjonsregel for ttavhengige hendelser) P(A3 U A2 U U.A ) =1 P(27), P(A2)... - P(A) Regel 3.22 (Produktregelen) Et forsøkutføresi k etapper.i første etappeer det rn, mulige utfall, i andre etappe er det m2 mulige utfall, osv. Totalt antall utfall for hele forsøket er lik in -m2 m3... nik. Regel 3.23 (Potensregelen) Vi velger ut k enheter, med tilbakelegging,fra en samling med n merkedeenheter.totaltantallmulige ordnedeutfall ernk. Regel 3.24 (Antall permutasjoner) Vi velgerut k enheter, uten tilbakelegging, fraen samtingmedn rnerkedeenheter.totaltantalimulige ordnedeutfall kalles antall permutasjonerav k frass,oger lik n (n l) (n k + 1) = n! k)! Deflnisjon 3,25 (Faku ltet) Symboletn! at 0( = 1 uttalesun-fakultet, og er definertslik ogatn! = (rt 1) Regel 3.26 (Antall rekkefølger) n forskjelligeenheterkan organiseres i n! forskjelligerekkefølger.
6 Regel 5.6 (Geometrisk fordeling) Y er geometrisk fordelt med parameter p hvis P(Y = y) = p (1, for y = 1, 2,... En geometrisk variabel har forventning og varians E(Y)= 1 Var(Y) 1 p2 p Regel 6.8 (Z-intervall) Når standardavviket er kjent, er det tilfeldige intervallet O' Cf [7 Z,d2 7r-it "-X-+ Z«12* 7"-7] [6.10] et 100(1 a) % konfidensintervall for p.. Når vi finner punktestimatet 7, kan vi beregne tallverdier for intervallgrensene. Det er en forutsetning at målingene er nommtfordelte eller at antall målinger er over 20. Definisjon 5.13 (Standardnormalfordelingen) FIVisX Normal(g, a) vil Regel 6.11 (Konfidensintervall for p) Det tilfeldige intervallet variabelen Z være standardnormalfordelt med kumulativ fordelingsfunksjon G. X ' [fi ze 1P(i, Z = -, Normal(0,1) n P) )1 G(z) = P(2 fl z) = 1 2ch, Definisjon 5.15 (Kvantiler) Verdien z, kalles a-kvantilet tll Z og defineres av følgende ligning: P(Z> z, )-=.er er et tilnærmet 100(1 a) % konfidensintervall for sannsynligheten p. Når vi observerer en bestemt verdi for X, kan vi beregne tafiverdien til og dermed finne intervallgrensene. Det er en forutsetning at X er tilnærmet normalfordelt, dvs. nf)(1 fr) > 5. Reget 5.17 (Normalfordelt sum) La X1, X2, X være uavhengige og normalfordelte variabler, og la aj, 02,, a»were vilkårlige konstanter. Da er summen Y = a1x1+ 02X2 + + a,,x,,normalfordelt. Regel 5.18 (Sentralgrenseteoremet) La X1, X2...Xv være uavhengige variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning 11.og standardavvik o. Da er = (X1 + X2 + X») tfinærmet Normal (p, fl Regel 5.19 La Xi, X2 X, være uavhengige varinbler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning a og standardavvik u. Da cr summen X1 + X2+ + X, tilnærmet Normal (ng, jiia) [5.6] Regel 62 (Estimering av,(2) Utvalgets gjennomsnitt er vår beste gjetning på populasjonens forventrtingsverdi. Den naturlige estimatoren for p. er derfor = q1 + X2 + + EX fl n 1=1 Regel 6.4 (Estimering av p) Den relative frekvensen av headelsen vil være vår beste gjetning på hendelsenssannsynlighet. Den naturlige estimatoren for sannsynligheten p er derfor. X P
7 D.3 Kumulativ standardnormalfordeling Tabellen viser Gaussfunksjonen G (z) for forskjellige valg av z. Areal (z) Standardnormalfordelingen 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,00,0013,0013,0013,0012,0012,0011,0011,0011-2,90,0010,0010,0019,0018,0018,0017,0016,0016,0015,0015-2,80,0014,0014,0026,0025,0024,0023,0023,0022,0021,0021-2,70,0020,0019,0035,0034,0033,0032,0031,0030,0029,0028-2,60,0027,0026,0047,0045,0044,0043,0041,0040,0039-2,50,0038,0037,0062,0036,0060,0059,0057,0055,0054,0052,0051-2,40,0049,0048,0082,0080,0078,0075,0073,0071,0069,0068-2,30,0066,0064,0107,0104,0102,0099,0096,0094,0091,0089-2,20,0087,0084,0139,0136,0132,0129,0125,0122,0119,0116-2,10,0113,0110,0179,0174,0170,0166,0162,0158,0154,0150-2,00,0146,0143,0228,0222,0217,0212,0207,0202,0197,0192,0188-1,90,0183,0287,0281,0274,0268,0262,0256,0250,0244-1,80,0239,0233,0359,0351,0344,0336,0329,0322,0314,0307-1,70,0301,0294,0446,0436,0427,0418,0409,0401,0392,0384-1,60,0375,0548,0367,0537,0526,0516,0505,0495,0485,0475,0465-1,50,0455,0668,0655,0643,0630,0618,0606,0594,0582-1,40,0571,0808,0559,0793,0778,0764,0749,0735,0721,0708,0694-1,30,0681,0,968,0951,0934,0918,0901,0885,0869,0853-1,20,0838,0823,1151,1131,1112,1093,1075,1056,1038,1020,1003-1,10,1357,0985,1335,1314,1292,1271,1251,1230,1210,1190-1,00,1587,1170,1562,1539,1515,1492,1469,1446,1423,1401,1379-0,90,1841,1814,1788,1762,1736,1711,1685,1660-0,80,1635,1611,2119,2090,2061,2033,2005,1977,1949,1922,1894-0,70,1867,2420,2389,2358,2327,2296,2266,2236,2206,2177-0,60,2148,2743,2709,2676,2643,2611,2578,2546,2514-0,50,2483,2451,3085,3050,3015,2931,2946,2912,2877,2843,2810-0,40,2776,3446,3409,3372,3336,3300,3264,3228,3192,3156-0,30,3121,3821,3783,3745,3707,3669,3632,3594,3557-0,20,3520,3483,4207,4168,4129,4090,4052,4013,3974,3936-0,10,3897,3859,4602,4562,4522,4483,4443,4404,4364,4325-0,00,4286,4247,5000,4960,4920,4880,4840,4801,4761,4721, ,00,5000,5040,5080,5120,5160,5199,5239,5279 0,10,5319,5359,5398,5438,5478,5517,5557,5596,5636,5675 0,20,5714,5753,5793,5832,5871,5910,5948,5987,6026,6064,6103 0,30,6141,6179,6217,6255,6293,6331,6368,6406,6443,6480 0,40,6517,6554,6591,6628,6664,6700,6736,6772,6808,6844 0,50,6879,6915,6950,6985,7019,7054,7088,7123,7157 0,60,7190,7224,7257,7291,7324,7357,7389,7422,7454,7486,7517 0,70,7549,7580,7611,7642,7673,7704,7734,7764,7794 0,80,7823,7852,7881,7910,7939,7967,7995,8023,8051,8078 0,90,8106,8133,8159,8186,8212,8238,8264,8289,8315,8340,8365,8389 1,00,8413,8438,8461,8485,8508,8531,8554,8577 1,10,8599,8621,8643,8665,8686,8708,8729,8749,8770,8790,8810 1,20,8830,8849,8869,8888,8907,8925,8944,8962,8980 1,30,8997,9015,9032,9049,9066,9082,9099,9115,9131,9147 1,40,9162,9177,9192,9207,9222,9236,9251,9265,9279,9292 1,50,9306,9319,9332,9345,9357,9370,9382,9394,9406,9418 1,60,9429,9441,9452,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525,9535 1,70,9545,9554,9564,9573,9582,9591,9599,9608,9616,9625 1,80,9633,9641,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693,9699 1,90,9706,9713,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761,9767 2,00,9772,9778,9783,9788,9793,9798,9803,9808 2,10,9812,9817,9821,9826,9830,9834,9838,9842,9846,9850 2,20,9854,9857,9861,9864,9868,9871,9875,9878,9881 2,30,9884,9887,9890,9893,9896,9898,9901,9904,9906,9909 2, ,9913,9916,9918,9920,9922,9925,9927,9929,9931,9932 2,50,9934,9936,9938,9940,9941,9943,9945,9946,9948,9949 2,60,9951,9952,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961,9962 2,70,9963,9964,9965,9966,9967,9968,9969,9970,9971,9972 2,80,9973,9974,9974,9975,9976,9977,9977,9978,9979 2,90,9979, ,9981,9982,9982,9983,9984,9984,9985,9985 3,00,9986,9986,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,9990,9990 Verdien til G(z) ér beregnet med Excel-funksjonen NORMALFORDELING(zA11). D.4 Standardnormalfordelingens kvantiltabell 1 Areal a zc,
8 Universitetet i Agder Fakultet for teknologi og realfag EKSAMEN Emnekode: MA-149 (Statistikkdelen) Emnenamn: Statistikk og matematikkdidaktisk forskning Dato: 22. november 2011 Varighet: 5 timer Tal på sider inkl. framside 3 Tillatne hjelpemiddel: Kalkulator (grafisk kalkulator som ikkje kommuniserer tillate), vedlagt formelark. Merknader: Oppgåve1 Du kastar fire mynter. La X vere kor mange "kron" du får. Kor mange ulike utfall kan inntreffe? Rekn ut P(X = 2). Du får vite at ein av myntane har blitt "kron". Kva er nå sannsynet for at du totalt har kasta 3 kron? Oppgåve2 I ei eske er det tre gule og sju røde kuler. Du trekk ei kule seks gonger etter kvarandre. trekning legg du kula attende i eska. Etter kvar Forklar kvifor dette tilfredsstiller krava for ei binomisk forsøksrekke. Rekn ut forventa tal av gule og røde kuler. Kva for ein fargekombinasjon av gule og røde kuler er mest sannsynleg å få når vi trekk seks gonger? Grunngi med rekning.
9 Oppgåve 3 Fabrikk A står for 65% av den totale produksjonen av ein spesiell ventil, medan fabrikk B produserer resten. Frå fabrikk A er det feil på 4% av ventilane, medan den tilsvarande feilprosenten frå B er 8. Illustrer denne situasjonen med eit valtre (sannsynstre). Finn sannsynet for at ein tilfeldig vald ventil er feilfri. Ein ventil viser seg å ha ein feil. Kva er sannsynet for at denne ventilen er produsert ved fabrikk A? Oppgåve 4 16 filologar og 10 matematikarar skal skipe til ein fest. Ein arrangementskomite av 3 filologar og 2 matematikarar skal lage i stand festen. På kor mange måtar kan denne komiteen veljast? Viss alle utfalla i a) er like sannsynlege, kva er då i. Sannsynet for at ein bestemt filolog er med i komiteen? Sannsynet for at ein bestemt matematikar er med i komiteen? Etter festen veljast blant dei 26 deltakarane ein komite på 5 til å rydde opp. På kor mange måtar kan det gjerast? Set føre at fem festdeltakarar har sovna. Finn sannsynet for at ingen av desse veljast ut. Oppgåve 5 Vi set føre at sannsynet for at to matematikklærarar gir same karakter på ein eksamensbesvarelse er 0,80. To lærarar vurderer i alt 160 slike besvarelser. La X vere talet på besvarelser som lærarane gir den same karakteren. Kvifor kan ein anta at dette er en binomisk fordeling? Finn forventningsverdien og standardavviket til X. Finn P(120 < X < 140) ved å bruke at X er tilnærma normalfordelt. Oppgåve 6 Forbrukarkontoret har motteke klagar på ein bestemt pizzaprodusent. Denne produsenten hevdar at deira store pizza i gjennomsnitt inneheld 60 gram pepperoni. Flere meiner at vekta av pepperoni må vere betydeleg lågare. Du blir beden om å lage ein test som kan brukast for å få avklart usemda. Pepperonimengda i 100 pizzaer blir undersøkt. La X vere vekta av pepperoni per pizza. Vi antar X er normalfordelt med forventningsverdien jt = 60g og standardavviket cr = 15g. Signifikansnivået til testen skal vere 5%. Følgande hypoteser blir sett opp: 1/0: = 60g H1: j.i < 60g a) Kva tyder hypotesene sagt med vanlege ord? Argumenter for at det er naturleg å velje nullhypotesa og den alternative hypotesa slik det er gjort her, og ikkje omvend.
10 Rekn ut kritisk verdi for når vi skal forkaste 1/0 når vi reknar ut gjennomsnittsmengda pepperoni på 100 pizzaer. (Dersom du ikkje får noko svar på denne oppgåva kan du bruke kritisk verdi 58,1 vidare i oppgåva, sjølv om dette talet ikkje er korrekt svar.) Skisser styrkefunksjonen til testen basert på pe-verdiar mellom 56 og 63. Beskriv og forklar grafen. Rekn ut styrken for g =57. Kva tyder denne verdien her? Kva vil det seie å gjere godtakingsfeil i denne testen? Kva er godtakingsfeilen når den sanne ukjende verdien for 1./er 59 gram? Undersøkelse av 100 pizzaer viste at gjennomsnittleg mengde pepperoni på pizzaen var 58,4 gram. Kva for konklusjon tilrår du å trekke ut frå dette resultatet?
11 E Ex7 i=1 n E D i=t E i=1 XI = Xl + X " --= x axi nex, axt + b)= aexi + nb' (.x, 1s)2= 2b-E Varians= s2= standardavvil, n t " 1=1.2)2 [2.1] [2.2] [2.3] B inntreffer. treffer. PGA)= 1 P(A) [3.2] P(A18) P(AB) P(B) [3.6] P (A) = P(B1). P(AIBI)+ P(B2) P(A182)+. + P(85)' P(A185) 13.9) P(Aln A2 n A3) = P(At) (A2141) P(AslAt ri A2) (3.8) Definisjon3.12 (Betingetsannsynlighet)Denbetingedesannsynligheten forhendelsena gittathendelsenb harinntruffet P (A UB) = P(A)+ P(B) P(A n B) [3.3] P(A n B)= P(A). P(BIA) = P(B). P(A1B) [3.7] Regel3.10 (Generelladdisjonsregell FormengdeneAogB gjelderalltid; Bl, 82. Regel3.18 (Totalsannsynlighet)En, og bareen, av hendelsene B vilinntreffe.forenhverhendelsea gjelder: P(A1U A2 U A3) = "Ai)+ P(A2) + P (A3) P(A1 n 42) P (At n 43) P(A2 n As) + P(Ain A2n As) [3.4] unionen ava ogb erennyhendelsea li B sominntrefferhvisa eller 1 B ellerbeggeinntreffer. Sninet av A og B erenny hendelseafl 8 sominntrefferhvisbåde A og Komplementettil A erennyhendelse sominntrefferhvis A ikkeinn- Tohendelsererdisjunkte hvisikkebeggetokaninntreffe1sammeforsøk. P(A UB) = P(A)+ p(b) P(Atu A2U u 115) r-- P(111) + "A2) + + "Aa) Regel3.13 (Multiplikasjonsregel) Regel3.14 (Generellmu)tiplikasjonsregellHvisalle.P(A,) 0,er Regel3.11(Generelladdisjonsregelfortre hendelser) Definisjon3.7 (Unkm,snitt,komplement,disjunkthet) Regel3.8 (Addisjonsregel fo disjunktehendelser) Regel3.9 (Komplementregel) Vedlegg eksamen i MA-149 Utdragfra GunnarImås (2004):Statistikk for universiteter og høgskoler. Universitetsforlaget. Regel2.2 fortsettelsenkandetværegreitåkjennedevanligsteregnereglene forensum.laa ogb væretokonstanter.dagjelderfølgendesamrnenhenger: Definisjon2.3 (Variansog standardavvik)standardavviket defineresom kvadratrotenav variansen.symboletforutvalgetstandardavviker.r,og vi skriverderforsymboletforutvalgetsvariansom Definisjon2.1 (Gjennomsnitt)Vitarutgangspunkt i den måleverdienexi,., x. Symboletforutvalgetsgjennomsnitt er2".formelenforgjennomsnitteter xt x 1 x1+ nb2 fl n
12 Regel 3.27 (Antall kombleasjoner) VI velger ut k enheter, uten tilbakelegging, fra en samling med n merkede enheten Totalt antall ikke-ordnede kombinasjoner av k fra n skrives n! Cu.k (n) = k k)! Regel 4.5 X er en diskret eiler kontinuerlig stokastisk variabel. For alle vilkårlige konstanter a og b gjelder (vi forutsetter a < b): P(a < X <_b) = F(b) F(a) P(X > a) = 1 F(a) P(X b)= F(b) Definisjon 4.6 (Forventningsverdi) Forventningen til en diskret variabel X defineres som Forventningsverdi = sum av (verdi x sannsynlighet) P(X xi) [4.1] alk VarX (x2 p)2 P(Y = x1) + + (24, 1.)2 = xn). Vite at VarX også betegnes med (I2 ("sigma i annen1 Vite at Standardavvik er lik-v17afg. Dette kan vl også skrive slik: Standardavik = =, r?= Regel 5.2 (Binomisk fordeling) Sannsynlighetsfordelingen til en binomisk variabel X, er for x = 0, I 2 n Regel 5.3 (Forventning og varians) En binomisk variabel X har forventningsverdi og varians lik E(X)= np Var(X) = np(1 Definisjon 5.4 (Hypergeom etrisk fordeling) VI har en populasjon med N enheter,irvorav M enheterharen bestemtegenskap.vi foretarn trekninger uten tilbakelegging frapopulasjonen, og definerer X likantall enheteri utvalget med den bestemm egenskapen.da er X hypergeometrisk fordelt med parametere (N, M,n). Sannsynlighetsforcleingen er P (X = (") x (Nn (Nn) Andelen p = MIN av populasjonens enheter bar den bestemte egenskagen. En hypergeometrisk variabel X har forventning og varians N n E(X) = np, Var(X) np(l p) N 1 Regel 3.16 (Bayes' regel) En, og bare en, avhendelsene B1, B2 B vil innoeffe. Hendelsen A inntreffer med sannsynligheten P(A), som regnes ut ved hjelp av regel Sannsynligheten for at hendelsen 6, inntraff, gitt at A har inntruffet, er P(IMA) P(Bi), P(AIB;) P (A) Definisjon 3.18 (Uavhengighetsbetingelse) A og B er uavhengige hendeiserhvis og bare hvis P(A n B)= P(A) P(B) Definisjon 3.19 (Uavhengighet avtre hendelser) HendelseneAt, As og A3 er uavhengige hvis følgende fire krav er tilfredsstile P (A1 tl A2) = P(At). P(A1 n As n As) = "Al) P (A2) F(As) P(A2) P(At n A3) = P(A1) - P(A3) P(A2 n A3) = P(A2) p(a3) [3.10] Regel 3.20 (Multiplikasjonsregel for uavhengige hendelser) P(At n A2 n n A ) P(Al) P (A2)... P(A,,) [3.11] Regel 3.21 (Addisjonsregel for uavhengige hendelser) P(Ai A2 U U An) 1 P (74.7) P(A2) P(An) Regel 3.22 (Produktregelen) Et forsøk utføres i k etapper.i første etappe er det mt mulige utfall, i andre etappe er det m2 mulige utfall, osv. Totalt antall utfall for hele forsøket er lik ni1 m2 ms... ine- Regel 3.23 (Potensregelen) Vi velger ut k enheter, med tilbakelegging, fra en samling med n merkede enheten Totalt antall mulige ordnede utfall er trk. Regel 3.24 (Antall permutasjoner) VI velger ut k enheter, uten tilbakelegging, fra ensanding med n merkede enheter.totalt antallmulige ordnedeutfall kalles antall permutasjoner av k fra n, og er lik pu.k a. (n l) k 1) n! k)! Definisjon 3.25 (Fakultet) Symboletnluttales an-fakultet»og erdefinertslik ato! = 1 og atn! = n.(n 1) Regel 3.26 (Antall rekkefølger) n forskjellige enheter kan organiseres 1n I forskjellige relckefølger.
13 Regel 5.6 (Geometrisk fordefing) Y er geometrisk fordelt med parameter p hvis /,(y = y) p pri, for y = 1, 2,... En geometrisk variabel har forventning og varians 1 1 p E(Y) Var(Y) = p 2 Definisjon 5.13 (Standardnormalfordelingen) Hvis X Nonnal(g, a) vil variabelen Z være standardnormalfordelt med kumulativ fordelingsfunksjon G. Z = Normal(0, 1) G(z) Definisjon 5.15 (Kvantiler) Verdien zil kalles tr-kvantilet til Z og defmeres av følgende ligning: P(Z > z) = rs Regel 5.17 (Normalfordelt sum) La XI, X2 Xil være uavhengige og normalfordelte variabler, og la al, a2, anvære vilkårlige konstanter. Da er summen Y = 41X1 + a2x2 + ailx normalfordelt. Regel 5.18 (Sentralgrenseteoremet) La XI X2, X,, være uavhengige variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning js og standardavvik a. Da er 1 X = (X1 + X2 + Xn) tilnærmet Normal (p, -21 ).171 Regel 5.19 La It, X2 Xn være uavhengige variabler fra samme sannsynlighetsfordeling med forventning s og standardavvik rr. Da er summen X1 + X2 + + XJ/ tilnærmet Normal (nl.t.,,fusr) [5.6] Reget 6.2 (Estimering avp.) Utvalgets gjennomsnitt er vår beste gjetning på populasjonens forventningsverdi. Den naturlige estimatoren for p. er derfor 1 1 " TC= + X2 + + X ) = n E Xi n Regel 6.4 (Estimering av p) Den relative frekvensen av hendelsen vil være vår beste gjetning på hendelsenssannsynlighet. Den naturlige estimatoren for sannsynligheten p er derfor P n Regel 6.8 (Z-interva)l) Når standardavviket er kjent, er det tilfeldige intervallet [Tf Z./2 a 4/ ] [6.10] et 100(1 a) %konfidensintervall for g. Når vi finner punktestimatetl, kanvi beregne tallverdier for intervallgrensene, Det er en forutsetning at målingene er normalfordelte eller at antall målinger er over 20. Regel 6.11 (Konfidensintervall for p) Det tilfeldige intervallet v n P+z 12 13(1 n er et tilnterme 100(1 a) % konfidensintervall for sannsynligheten p. Når vi observerer en bestemt verdi for X, kan vi beregne tallverdien til og dermed finneintervallgrensene. Det er en forutsetning at X er tilnærmet normalfordelt, dvs. nj3(1 j3) > 5.
14 D.3 Kumulativ standardnormalfordeling Tabellenviser GaussfunksjonenG (z) for forskjelligevalg av z. Areal G(z) Standardnormalfordelingen 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08-3,00 0,09,0013, ,0012,0012,0011-2,90,0011,0011,0010, ,0018,0018,0017,0016,0016,0015-2,80,0015, ,0014,0025,0024,0023,0023,0022-2, ,0021,0020,0035,0019,0034,0033,0032,0031,0030-2,60,0029,0028,0027,0047,0026,0045,0044,0043,0041,0040,0039,0038-2,50,0037,0062,0036,0060,0059,0057,0055,0054-2, ,0051,0049,0082,0048,0080,0078,0075,0073,0071,0069-2,30,0068,0066,0107,0064,0104,0102,0099, ,20,0091,0089,0087,0139,0084,0136,0182,0129, , ,10,0113,0179, ,0170,0166,0162,0158,0154-2,00,0150,0146,0228,0143,0222, ,0207,0202,0197,0192,0188-1,90,0183,0287,0281, ,0262,0256,0250,0244-1,80,0239,0359,0233,0351,0344, ,0322,0314-1,70,0307,0301,0294,0448,0436,0427,0418,0409,0401-1,60,0392,0384,0375,0548,0367,0537,0526, ,0495,0485,0475,0465-1,50,0668,0455,0655,0643,0630,0618,0606,0594-1,40,0582,0571,0808,0559, ,0764,0749,0735,0721,0708-1,30,0694,0,968,0681,0951,0934,0918,0901,0885,0869,0853-1,20,0838,1151,0823,1131,1112,1093,1075,1056,1038-1,10,1020,1003,1357,0985,1335,1314,1292,1271,1251,1230,1210-1,00,1190, ,1562,1539,1515,1492,1469,1446,1423,1401-0,90,1379,1841,1814,1788,1762,1736,1711,1685,1660-0,80, ,1611,2090,2061,2033,2005,1977,1949,1922-0,70,1894,1867,2420,2389,2358,2327,2296,2266,2236-0,60,2206,2177,2743,2148,2709,2676,2643,2611,2578,2546,2514-0,50,2483,3085,2451,3050,3015,2981,2946,2912,2877,2843-0,40,2810,2776,3446,3409,3372,3336,3300,3264,3228-0,30,3192,3156,3821,3121,3783,3745,3707,3669,3632,3594-0,20,3557,3520,4207,3483,4168,4129,4090,4052,4013,3974,3936-0,10,3897,4602,3859,4562,4522,4483,4443,4404,4364-0,00,4325,4286,5000,4247,4960,4920,4880,4840,4801,4761, ,1 0,00,4641,5000,5040,5080,5120,5160,5199,5239 0,10,5279,5319,5398,5359,5438,5478,5517,5557,5596 0,20,5636,5675,5714,5793,5753,5832,5871,5910,5948,5987,6026 0,30, ,6179,6141,6217,6255,6293,6331,6368,6406 0,40,6443,6480,6554,6517,6591,6628,6664,6700,6736,6772 0,50,6808,6844,6915,6879,6950,6985,7019,7054,7088,7123 0,60,7157,7190,7257, ,7324,7357,7389,7422,7454 0,70,7486,7517,7580, ,7642,7673,7704,7734 0,80,7764,7794,7823,7881,7852,7910,7939,7967,7995,8023 0,90,8051,8078,8159 M106,8133,8186, ,8264, ,8365 1,00,8389,8413,8438, ,8508,8531,8554 1,10,8577,8599,8643,8621,8665,8686, ,8749,8770 1,20,8790,8810,8849,8830,8869,8888, ,8944,8962 1,30,8980,8997,9032,9015,9049,9066,9082,9099,9115,9131 1,40,9147,9162,9192,9177,9207,9222,9236,9251,9265,9279 1,50,9292,9306,9332,9319,9345,9357,9370,9382,9394,9406 1, ,9429,9452,9441,9463,9474,9484,9495,9505,9515,9525 1,70,9535,9554,9545,9564, ,9599,9608 1,80,9616,9625,9641,9633,9649,9656,9664,9671,9678,9686,9693 1,90,9699,9713,9706,9719,9726,9732,9738,9744,9750,9756,9761 2,00,9767,9772,9778,9783,9788,9793,9798 2,10,9803,9808,9812,9821,9817,9826,9830,9834,9838,9842,9846 2,20,9850,9854,9861, ,9868,9871,9875,9878 2,30,9881,9884,9887,9893,9890,9896,9898,9901,9904,9906 2,40,9909, ,9920, ,9925,9927,9929 2,50,9931,9932, , ,9941, ,9946,9948,9949 2,60,9951,9952,9953,9955,9956,9957,9959,9960,9961 2,70,9962,9963,9965,9964,9966,9967,9968,9969,9970,9971 2,80,9972,9973,9974,9974,9975,9976,9977,9977,9978 2,90,9979,9979, , ,9982,9983,9984,9984,9985 3,00,9985,9986,9987,9986,9987,9987,9988, ,9989,9990,9990 Verdien ti G(z) èr beregnet med Excel-funksjonen NORMALFORDELING(z;0;1;1). D.4 Standardnormalfordelingens kvantittabell Areala a za
Høgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerHøgskoleni Øs fold EKSAMEN. Om noe er uklart eller mangelfullt i oppgaven inngår det som en del av oppgaven å ta de nødvendige forutsetninger.
Høgskoleni Øs fold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Deleksameni statistikk Dato: 3. januar 2014 Eksamenstid: kl. 0900 til kl. 1300 Hjelpemidler: Faglærer:
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN
et) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: SFB10711Metode 1 Statistikkdel Dato: 5. feb. 2016Eksamenstid: kl. 1400 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling til kl. 1800 Faglærer: Nils Ingar Arvidsen
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emnenavn: Metodekurs 1: statistikk, deleksamen Dato: Eksamenstid: 4. januar 2017 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Faglærer:
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB107111 Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen Dato: 16. mai 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian
DetaljerHogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k
Hogskoleni Østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 5. jan 2015 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metodekurs I: Grunnleggende matematikk og statistikk (Statistikk, ny og utsatt eksamen)
DetaljerOppgavesettet består av 11 sider inklusiv denne forsiden, hvorav de 7 siste er formelsamling og tabeller.
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1, statistikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 18. mai 2016 4 timer Hjelpemidler: Faglærer: Kalkulator og vedlagt Hans Kristian Bekkevard formelsamling
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk Dato: 4. mai 2015 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 13.00 Hjelpemidler:
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerEmnenavn: Grunnleggende matematikk og statistikk
Høgskolen i østfold EKSAMEN Emnekode: IR13511 Emnenavn: Grunnleggende matematikk og statistikk Dato: 14.06.2016 Eksamenstid: 0900-1300 Sensurfrist: 05.07.2016 Antall oppgavesider: 3 Faglærer: Mikjel Thorsrud,
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerLøsning eksamen desember 2017
Løsning eksamen desember 017 Oppgave 1 Innfører hendelsene D: enheten er defekt K: enheten blir kassert a i Disse sannsynlighetene kan leses ut av oppgaveteksten: P D = 0, 10 P K D = 0, 07 P K D = 0, 95
DetaljerMAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem
MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi
Detaljera) Vi har det lineære likningssettet
Høgskolen i Østfold Avdeling for ingeniørfag EKSAMEN Faglærer: Mikjel Thorsrud, 1R113511 Grunnleggende matematikk Dato: 30.03.2016 Tid: 0900-1300 og statistikk Sensurfrist: 20.04.2016 Antall oppgavesider:
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
1 ECON213: EKSAMEN 217 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 30. AUGUST 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerA. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25
1 ECON21: ESAEN 215v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i > Grensen til bestått bør ligge på ca
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerSkrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret.
Eksamen 7. mai 2014 Eksamenstid 4 timar IR201812 Statistikk og Simulering Skrivne og trykte hjelpemiddel samt kalkulator er tillate. Ta med all mellomrekning som trengst for å grunngje svaret. Oppgåve
DetaljerEksamen 30.11.2012. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 30.11.01 REA308 Matematikk S Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del : 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter timar. Del skal leverast
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom << >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSMEN 007 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom >. Oppgave. La begivenhetene BC,, være slik at og
DetaljerFormelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene
DetaljerHØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning
HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): LGU52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10), emne 2 Studiepoeng: 15 Eksamensdato: 11. mai 2015 Varighet/Timer: Målform: Kontaktperson/faglærer:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen i: ECON130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 1306017 Sensur kunngjøres senest: 3006017 Tid for eksamen: kl 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte
DetaljerRegneregler for forventning og varians
Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene
DetaljerRegler i statistikk STAT 100
TORIL FJELDAAS RYGG - VÅREN 2010 Regler i statistikk STAT 100 Innhold side Sannsynlighetsregning 3 - Uttrykk 3 - Betinget sannsynlighet 4 - Regler for sannsynlighet 4 - Bayes teorem 4 - Uavhengige begivenheter
DetaljerAntall oppgavesider: 4 Vedlegg: Ett internt notat (8 sider)
Høgskolen i Østfold Avdeling for ingeniørfag EKSAMEN STATISTIKK Statistikk IRF22009 Deleksamen 1 Statistikk: IRB22515, IRBI022013 IRD22612, IRE22512 IRM22012, IRM 22013 Lærer: Elise Øby Mobilnummer: 91747727
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerStatistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG
Statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2. årskurs, 30. mai 2007 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVDELING FOR MAT- OG MEDISINSK TEKNOLOGI Matteknologisk utdanning Kandidatnr: Eksamensdato:
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE. «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Mandag 9. mai 017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk»
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerSannsynlighet og statistikk S2 Løsninger
Sannsynlighet og statistikk S2 Løsninger Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 2 3.2 Forventningsverdi Varians Standardavvik... 9 3.3 Normalfordelingen... 7 3.4 Sentralgrensesetningen...
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen i: ECON30 Statistikk UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 03.06.06 Sensur kunngjøres: 4.06.06 Tid for eksamen: kl. 09:00 :00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerLøsningsforlag statistikk, FO242N, AMMT, HiST 2.årskurs, 7. desember 2006 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG
Løsningsforlag statistikk, FO4N, AMMT, HiST.årskurs, 7. desember 006 side 1 ( av 8) LØSNINGSFORSLAG HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG AVDELING FOR MAT- OG MEDISINSK TEKNOLOGI Matteknologisk utdanning Kandidatnr:
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.
DetaljerEksamensoppgåve i Løsningsskisse TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i Løsningsskisse TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Gunnar Taraldsen a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 464 32 506, b 962 09 710 Eksamensdato: 23
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
DetaljerEksamen 23.11.2011. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.11.2011 MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerEmnekode: LGU Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: LGU 52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Grafen i Vedlegg 1 viser farten som en deltaker i et ultramaraton holder
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerEKSAMEN I FAG 75510/75515 STATISTIKK 1 Tirsdag 20. mai 1997 Tid: 09:00 14:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Håvard Rue 73 59 35 20 Håkon Tjelmeland 73 59 35 20 Bjørn Kåre Hegstad 73 59 35 20
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerStatistikk 1 kapittel 5
Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
1 ECON130: EKSAMEN 014 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variason i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i >. Oppgave 1 Fra en eldre
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerTest, 3 Sannsynlighet og statistikk
Test, 3 Sannsynlighet og statistikk Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3. Forventningsverdi, varians og standardavvik... 5 3.3 Normalfordelingen... 4 3.4 Sentralgrensesetningen...
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerEksamen 23.11.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.11.2011 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (frå til): 09.00-13.00
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerKræsjkurs i statistikk
Kræsjkurs i statistikk Tommy Odland 22. november 2016 Sammendrag En liten samling oppgaver basert løst på fagene ELE103 (HiB) og STAT110 (UiB). Tema: Kombinatorikk Forkunnskaper: multiplikasjonsprinsippet,
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerTMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger
TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerObservatorar og utvalsfordeling. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Observatorar og utvalsfordeling Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 08.10.2018 I dag Til no i emnet Observatorar Utvalsfordelingar Sentralgrenseteoremet 2 Til no i emnet definisjon av
DetaljerBetinget sannsynlighet
Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av
DetaljerEksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009
Eksempeloppgåve/ Eksempeloppgave 2009 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgangsmåte:
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
DetaljerNynorsk. Eksamensinformasjon
Eksamen 27.05.2008 MAT1005 Matematikk Påbygging 2P-Y Elevar/Elever, Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på del 1: Hjelpemiddel på del 2: Vedlegg:
DetaljerOppgave 1: Feil på mobiltelefoner
Oppgave 1: Feil på mobiltelefoner a) Sannsynlighetene i oppgaven blir P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + P (F 2 ) P (F 1 F 2 ) P (F 1 ) + 1 P (F2 C ) P (F 1 F 2 ) 0.080 + 0.075 0.006 0.149 P (F 1 F 2 ) P (F 1 F 2
DetaljerFerdig før tiden 4 7 Ferdig til avtalt tid 12 7 Forsinket 1 måned 2 6 Forsinket 2 måneder 4 4 Forsinket 3 måneder 6 2 Forsinket 4 måneder 0 2
Besvar alle oppgavene. Hver deloppgave har lik vekt. Oppgave I En kommune skal bygge ny idrettshall og vurderer to entreprenører, A og B. Begge gir samme pristilbud, men kommunen er bekymret for forsinkelser.
DetaljerEksamen 23.05.2014. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål
Eksamen 23.05.2014 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.
ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerEKSAMEN I TMA4245 Statistikk
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Turid Follestad (98 06 68 80/73 59 35 37) Hugo Hammer (45 21 01 84/73 59 77 74) Eirik
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
DetaljerEKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK Tysdag 21. mai 2013 Tid: 09:00 13:00 (Korrigert )
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Nynorsk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73593538/48221896 Ola Diserud 93218823 EKSAMEN I TMA4245 STATISTIKK
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo
DetaljerÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 2010, s. 1. Oppgave 1. Histogram over frekvenser.
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 0, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) a) Gjennomsnitt: x = 1 Emp. standardavvik: Median: 1 (1.33 + 1.) = 1.35
DetaljerSannsynlighet og statistikk S2 Oppgaver
annsynlighet og statistikk 2 Oppgaver Innhold 3 tokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger 2 32 Forventningsverdi Varians tandardavvik 5 33 Normalfordelingen 9 34 entralgrensesetningen 35 Hypotesetesting
Detaljerbetyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2
ECON30: EKSAMEN 06v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling
Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen i: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØONOIS INSTITUTT Eksamensdag: 01.06.2015 Sensur kunngjøres: 22.06.2015 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1
ECON 130 EKSAMEN 005 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom , Oppgave 1 I denne oppgaven kan du anta at
DetaljerBinomisk sannsynlighetsfunksjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerStatistikk og dataanalyse
Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel
Detaljer