ECON2130 Obligatorisk Oppgave
|
|
- Sissel Dahle
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ECON2130 Obligatorisk Oppgave Oppgave 1 Vi lar være uavhengige og normalfordelte,, setter og ønsker å vise at og at den teoretiske korrelasjonskoeffisienten mellom og er. Vi betrakter her en standard normalfordeling på formen oppgitte informasjonen at og. Dermed også og har fra den,, som vi trenger for å vise. Med utgangspunkt i dette, ser vi at der vi har brukt at for å vise. Vi har her også benyttet oss av at da og er normalfordelte og uavhengige, noe som innebærer at paret har og. Dette følger av en enkel anvendelse av Fubini-Tonelli teoremet der vi betrakter et uttrykk Med andre ord er paret ukorrelerte, som gjør at vi kan forenkle utledningen til og som vi også kan benytte oss av når vi skal utlede. Dette bringer oss videre til det andre uttrykket vi skal utlede. Her har vi at. der Fra dette finner vi et uttrykk for, men har her både ukjent og.. Vi kan beregne fra uttrykket Side 1 av 26
2 som gir oss dersom vi setter inn i. Vi har nå vist både og. Side 2 av 26
3 Oppgave 2 Vi skal så simulere observasjoner av både og. Vi har her brukt MATLAB istedenfor MS Excel til å generere data, da undertegnede foretrekker dette. Programmet ligger vedlagt, og skal gi samme resultat som ved bruk av MS Excel. Da målet er lære mer om korrelasjonskoeffisienten, og ikke nødvendigvis MS Excel tar vi utgangspunkt i at dette er greit. Det første vi gjør er å plotte og mot hverandre i et spredningsplot. Figur 2.1: Spredningplot mellom og for observasjoner. Vi ser herfra at og er uavhengige av hverandre, noe som ville ha kommet bedre frem om vi hadde simulert dette for store. Vi skal videre beregne, og plotte mot. Figur 2.2: Spredningplot mellom og for observasjoner. Side 3 av 26
4 Vi ser her en avhengighet mellom og. Mens dataene er fordelt tilnærmet uniformt mellom kvadrantene i figur 2.1, så er dataen for dette tilfellet bundet til 2. og 4. kvadrant i figur 2. Vi kan fra dette anta at og har en negativ avhengighet, med andre ord at korrelasjonskoeffisienten er negativ. Vi kan trekke dette fra at punktene ligger nærme en avtagende rett linje, som betyr at vi har en negativ koeffisient. Vi velger å se på dette for et tilfelle der, for å se om dette stemmer. Figur 2.3: Spredningplot mellom og for observasjoner. Figur 2.4: Spredningplot mellom og for observasjoner. Vi ser fra figurene 2.3 og 2.4 at våre antakelser ser ut til å stemme. Vi ser her at og er uavhenigige og normalfordelt i figur 2.3, og at det er en negativ avhengighet (negativ korrelasjonskoeffisient) i figur 2.4. Side 4 av 26
5 Programmet (.m) som ble brukt til å simulere denne deloppgaven er vist under. % Oppgave 2 % Simulering av 2x20 uavhengige observasjoner n = 20; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Plotter x mot z figure(1) plot(x,z,'xk'); title('oppgave 2.1') xlabel('x') ylabel('z') axis equal % Beregning av y y = z-x; % Plotter x mot z figure(2) plot(x,y,'xk'); title('oppgave 2.2') xlabel('x') ylabel('y') axis equal % Oppgave 2 - ekstrasimulering for store n % Simulering av 2x20 uavhengige observasjoner n = 2000; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Plotter x mot z figure(3) plot(x,z,'xk'); title('oppgave store n') xlabel('x') ylabel('z') axis equal % Beregning av y y = z-x; % Plotter x mot z figure(4) plot(x,y,'xk'); title('oppgave store n') xlabel('x') ylabel('y') axis equal Side 5 av 26
6 Oppgave 3 Vi bruker videre samme metode som ovenfor til å simulere obserasjonspar, men her når og når. Vi setter der. Gitt at vi nå har oppgitt, må vi finne. Dette gjøres ved å løse for med utgangspunkt i det vi gjorde i oppgave 1. Vi setter så svaret inn i uttrykket for. Det vi mangler så er. Vi beregner dette på samme måte som i oppgave 1. Setter vi inn i får vi som vi kan løse med hensyn på. Vi lar programmet løse for, slik at vi kan beholde verdiene som flyttall for å unngå numeriske beregningsfeil. Svarene vi får for konstanten er hhv. og. Vi har her også tatt oss friheten til å generere data for for å lettere se formen på spredningsplottene. Figurene 3.1 og 3.2 er beregnet med for hhv. og, mens figurene 3.3 og 3.4 er beregnet for for tilsvarende. Side 6 av 26
7 Figur 3.1: Spredningplot mellom og for og. Figur 3.2: Spredningplot mellom og for og. Fra figurene over ser vi at den genererte dataen er tilnærmet uniformt fordelt mellom kvadrantene når. Likevel kan vi for figur 3.2 se at datasettet er ovalt, og ligger mot en avtakende rett linje. Vi kan fra dette (jmf. oppgave 2) konkludere med at jo nærmere er, desto nærmere vil punktene være den avtakende rette linjen. Side 7 av 26
8 Figur 3.3: Spredningplot mellom og for og Figure 3.4: Spredningplot mellom og for og. Vi kan se tilsvarende i figurene 3.3 og 3.4, der. Vi ser her at punktene i spredningsplottet ligger i nærheten av en økende rett linje. Her følger koden som ble brukt for å generere de fire figurene. % Oppgave 3 % Simulering av 2x20 uavhengige observasjoner n = 20; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Beregner a Side 8 av 26
9 rho = [-0.2, 0.9]; a = rho./sqrt(1-rho.^2) % Generer spredningsplott for (i=1:2) y = z+a(i).*x; % Plotter x mot y figure(i) plot(x,y,'xk'); title(['oppgave 3, \rho = ',num2str(rho(i)),', a = ',num2str(a(i)),', n = ',num2str(n)]) xlabel('x') ylabel('y') axis equal end % Generer spredningsplott for store n n = 20000; x = randn(n,1); z = randn(n,1); for (i=1:2) y = z+a(i).*x; % Plotter x mot y figure(i+2) plot(x,y,'xk'); title(['oppgave 3, \rho = ',num2str(rho(i)),', a = ',num2str(a(i)),', n = ',num2str(n)]) xlabel('x') ylabel('y') axis equal end Side 9 av 26
10 Oppgave 4 Vi har i de foregående deloppgavene benyttet oss av en kjent korrelasjonskoeffisient,. I praksis vil populasjonsstørrelsene og, og dermed også, være ukjente og må estimeres. Vi benytter oss her av relasjonene og for å estimere ut fra data ved. Vi kan fra dette lage en kode som estimerer. Denne koden er gitt som % Oppgave 4 % Simulering av 2x20 uavhengige observasjoner n = 20; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Beregning av y y = z-x; % Beregne sx, sy og sxy xavrg = sum(x)/n; yavrg = sum(y)/n; sx = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).^2) sy = (1/(n-1))*sum((y-yavrg).^2) sxy = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).*(y-yavrg)) % Beregne r og sjekke differanse r = sxy/sqrt(sx*sy) t = -1/sqrt(2) diff = abs(r-t) og estimerer i tillegg til når den blir kjørt. >> run('c:\users\nicolai Solheim\...\2013 ECON2130\oppg4.m') sx = sy = sxy = r = t = diff = Vi ser fra dette at forskjellen mellom den teoretiske og estimerte korrelasjonskoeffisienten er tilnærmet. Modellen vi bruker for å estimere har dermed vist seg helt grei for denne Side 10 av 26
11 ene gangen vi kjørte programmet. Likevel sier ikke dette ene svaret hvorvidt det er en god eller dårlig estimator. Dette skal vi se mer på i oppgave 5. Side 11 av 26
12 Oppgave 5 For å få et inntrykk av hvor god (eller dårlig) er som estimator skal vi se hvordan oppfører seg ved gjentatt bruk. Vi benytter oss av programmet vi lagde i forrige oppgave, og modifiserer dette til å gjøre beregninger ganger. Vi lagrer da for hver runde i en matrise og bruker dette til å se på om virker pålitelig som en estimator for. Vi kan presentere resultatene i et histogram, samt beregne gjennomsnitt, median, (øvre- og nedre) kvartil og standardavvik. Figur 5.1: Beregnede verdier av for og. Fra figur 5.1 synes å være normalfordelt, som gir oss et godt utgangspunkt for å bedømme hvorvidt er en pålitelig estimator. Vi kan videre se på gjennomsnitt, median, (øvre- og nedre) kvartil og standardavvik. >> run('c:\users\nicolai Solheim\...\2013 ECON2130\oppg5.m') rmean = diffmean = rquan = rstd = Fra programmet har vi at gjennomsnittsverdien mot, der vi ser en liten differanse. Videre har vi at medianen er, noe som heller ikke er langt unna. Ser vi nå på øvre og nedre kvartil, finner vi at disse ligger innenfor et standardavvik fra gjennomsnittet. Vi kan med andre ord konkludere med at er en pålitelig estimator for, da med et lite forbehold. Det ville vært ønskelig å øke både og med en faktor for å verifisere dette. Kildekoden til programmet som ble brukt til denne oppgaven er gitt på neste side. Side 12 av 26
13 % Oppgave 5 % Loop for m simuleringer m = 25; r = zeros(m,3); for (i=1:m) end % Simulering av 2x20 uavhengige observasjoner n = 20; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Beregning av y y = z-x; % Beregne sx, sy og sxy xavrg = sum(x)/n; yavrg = sum(y)/n; sx = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).^2); sy = (1/(n-1))*sum((y-yavrg).^2); sxy = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).*(y-yavrg)); % Beregne r og sjekke differanse r(i,1) = sxy/sqrt(sx*sy); r(i,2) = -1/sqrt(2); r(i,3) = abs(r(i,1)-r(i,2)); % Presentasjon av data figure(1) dm = max(r(:,3)); mid = -1/sqrt(2); x = mid-dm:0.01:mid+dm; hist(r(:,1),x) title(['oppgave 5, m = ',num2str(m),', n = ',num2str(n)]) ylabel('antall') xlabel('r(x,y)') rmean = sum(r(:,1))/m diffmean = sum(r(:,3))/m rquan = quantile(r(:,1),[0.25, 0.5, 0.75]) rstd = std(r(:,1)) Side 13 av 26
14 Oppgave 6 Vi gjentar nå oppgave 5, men modifiserer programmet til er at vi får bedre estimater for. observasjoner. Det vi nå ser >> run('c:\users\nicolai Solheim\...\2013 ECON2130\oppg6.m') rmean = diffmean = rquan = rstd = [...] Vi ser her at og at medianen ligger enda nærmere. Samtidig ser vi også at kvartilene ligger noe nærmere medianen, og at standardavviket er mer enn halvert sammenlignet med forrige deloppgave. Det betyr at 69% av de estimerte -verdiene ligger innenfor intervallet som tyder på at blir en bedre estimator for dersom man øker antall observasjoner av og. Vi kan også fra figur 6.1 se at vi får en enda bedre normalfordeling av verdiene, sammenlignet med figur 5.1 i forrige oppgave. Figur 6.1: Beregnede verdier av for og. Likevel bør man gå steget lenger og beregne dette for enda større og. Spesielt vil en større være viktig, men da vi ser på egenskapene rundt må vi også øke betydelig. Vi øker nå verdiene til og, og vil se hvilken betydning dette har for som estimator for. [...] rmean = Side 14 av 26
15 diffmean = rquan = rstd = Vi ser her at vi har et standardavvik med en faktor 10 mindre, i tillegg til at medianen og gjennomsnittet er like. Tilsvarende er gjennomsnittsdifferansen redusert med en faktor 10, og kvartilene ligger godt inntil medianen. Vi ser også i figur 6.2 at vi har en jevn normalfordeling. Figur 6.2: Beregnede verdier av for og. Vi kan fra dette konkludere med at er pålitelig som estimator for, og ser at estimatet blir bedre dersom vi øker antall observasjoner av og. Under ligger programkoden som ble brukt for å løse denne oppgaven. % Oppgave 6 % Loop for m simuleringer m = 25; r = zeros(m,3); for (i=1:m) % Simulering av 2xn uavhengige observasjoner n = 50; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Beregning av y y = z-x; % Beregne sx, sy og sxy xavrg = sum(x)/n; yavrg = sum(y)/n; sx = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).^2); sy = (1/(n-1))*sum((y-yavrg).^2); Side 15 av 26
16 end sxy = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).*(y-yavrg)); % Beregne r og sjekke differanse r(i,1) = sxy/sqrt(sx*sy); r(i,2) = -1/sqrt(2); r(i,3) = abs(r(i,1)-r(i,2)); % Presentasjon av data figure(1) dm = max(r(:,3)); mid = -1/sqrt(2); x = mid-dm:0.01:mid+dm; hist(r(:,1),x) title(['oppgave 6, m = ',num2str(m),', n = ',num2str(n)]) ylabel('antall') xlabel('r(x,y)') rmean = sum(r(:,1))/m diffmean = sum(r(:,3))/m rquan = quantile(r(:,1),[0.25, 0.5, 0.75]) rstd = std(r(:,1)) % Oppgave 6 - store n og m % Loop for m simuleringer m = ; r = zeros(m,3); for (i=1:m) end % Simulering av 2xn uavhengige observasjoner n = 10000; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Beregning av y y = z-x; % Beregne sx, sy og sxy xavrg = sum(x)/n; yavrg = sum(y)/n; sx = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).^2); sy = (1/(n-1))*sum((y-yavrg).^2); sxy = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).*(y-yavrg)); % Beregne r og sjekke differanse r(i,1) = sxy/sqrt(sx*sy); r(i,2) = -1/sqrt(2); r(i,3) = abs(r(i,1)-r(i,2)); % Presentasjon av data figure(2) dm = max(r(:,3)); mid = -1/sqrt(2); x = mid-dm:0.001:mid+dm; hist(r(:,1),x) title(['oppgave 6, m = ',num2str(m),', n = ',num2str(n)]) ylabel('antall') xlabel('r(x,y)') rmean = sum(r(:,1))/m diffmean = sum(r(:,3))/m rquan = quantile(r(:,1),[0.25, 0.5, 0.75]) rstd = std(r(:,1)) Side 16 av 26
17 Oppgave 7 Vi lar nå der og er uavhengige og normalfordelte som i oppgave 1. Deretter simulerer vi og plotter mot. Vi lager igjen et enkelt program. % Oppgave 7 % Simulering av 2xn uavhengige observasjoner n = 50; x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Beregning av y y = z-3*x.^2; % Beregne sx, sy og sxy xavrg = sum(x)/n; yavrg = sum(y)/n; sx = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).^2); sy = (1/(n-1))*sum((y-yavrg).^2); sxy = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).*(y-yavrg)); % Beregne r og sjekke differanse r = sxy/sqrt(sx*sy) % Presentasjon av data figure(1) plot(x,y,'xk') xlabel('x') ylabel('y') title('oppgave 7') Dette programmet gir figur 7.1 og estimerer for dette datasettet. Figur 7.1: plottet mot for. Fra figur 7.1 tyder det på at det er en sammenheng mellom variablene og. Vi kan også beregne den sanne og sammenligne denne mot den estimerte. Vi benytter oss av samme fremgangsmåte som i oppgave 1. Side 17 av 26
18 Vi benytter oss videre av. Den sanne er i dette tilfellet, mot som vi estimerte. Dette estimatet kan komme av det lave antall simuleringer som er valgt,. Et større antall simuleringer vil mest sannsynlig gi et bedre estimat. Ved å kjøre programmet for ble estimatet som er betydelig bedre enn for estimatet som ble beregnet for. Plottet for kan ses i figur 7.2 under. Figur 7.2: plottet mot for. Side 18 av 26
19 Oppgave 8 Vi ser i denne oppgavene på tall fra 60-årene som tar for seg gjennomsnittlig sigarettforbruk og dødlighet av hjertekarsykdommer (HKS) for land. i) Det første vi ønsker å gjøre er å beregne og der står for sigarettkonsum og for HKS-dødlighet. Vi ønsker så å beregne korrelasjonskoeffisienten mellom sigarettforbruk og HKS-dødlighet. Vi har igjen benyttet oss av en programkode og beregnet disse verdiene numerisk. % Oppgave 8.1 % Data n = 21; x = [3900;3350;3220;3220;2790;2780;2770;2290;2160;1890;1810;1800;1770;1700; 1680;1510;1500;1410;1270;1200;1090]; y = [256.9;211.6;238.1;211.8;194.1;124.5;187.3;110.5;233.1;150.3;124.7;41.2; 182.1;118.1;31.9;114.3;144.9;59.7;126.9;43.9;136.3]; % Beregne gjennomsnitt, sx, sy og sxy xavrg = sum(x)/n yavrg = sum(y)/n sx = sqrt((1/(n-1))*sum((x-xavrg).^2)) sy = sqrt((1/(n-1))*sum((y-yavrg).^2)) sxy = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).*(y-yavrg)) % Beregne rho r = sxy/(sx*sy) ii) Videre antar vi at benevningen for HKS-dødlighet endres fra pr til pr Det vi ønsker er å se på hvilken konsekvens denne endringen får for standardavvik, kovarians, korrelasjonskoeffisienten og deres estimater. Side 19 av 26
20 Vi ser her at både gjennomsnittet, standardavviket og kovariansen reduseres med en faktor 10. Alt annet forblir uendret. Et spørsmål er hvorfor korrelasjonskoeffisienten er uberørt. Dette kan forklares ved uttrykket for. Fra uttrykket ser vi hele prosessen, og fra dette ser vi også at vi regner på en relativ skala. Det vil si at dersom vi reduserer benevningene på, så vil vi redusere både nevner og teller tilsvarende. og ble redusert med en faktor 10, mens vi lot forbli uendret. Vi har med andre ord redusert med en faktor i både nevner og teller, som betyr at korrelasjonskoeffisienten ikke er berørt. Dette forklarer hvorfor ikke endrer seg selvom vi endrer benevningen for. Programmet som ble brukt for å regne ut dette er gitt under. % Oppgave 8.2 % Data n = n; x = x; y = y/10; % Beregne gjennomsnitt, sx, sy og sxy xavrg = sum(x)/n yavrg = sum(y)/n sx = sqrt((1/(n-1))*sum((x-xavrg).^2)) sy = sqrt((1/(n-1))*sum((y-yavrg).^2)) sxy = (1/(n-1))*sum((x-xavrg).*(y-yavrg)) % Beregne rho r = sxy/(sx*sy) Side 20 av 26
21 Oppgave 9 Tallene i oppgave 8 betraktes som et representativt utvalg av observasjoner trukket fra en større populasjon med en ukjent korrelasjonskoeffisient,. Det er denne koeffisienten vi er interessert i, og skal i denne oppgaven se på hvor sterk evidensen av data er for at den ukjente faktisk er positiv når vi tar henyn til usikkerhet knyttet til estimatet. Vi lar her være vårt estimat som betraktes som en observasjon av en stokastisk variabel. Vi er altså interessert i å betrakte sannsynligheten under antakelsen at. Dersom denne sannsynligheten er liten nok, anses dette som en sterk evidens mot antakelsen. For at den skal være liten nok skal -verdien ha en størrelsesorden. For å kunne beregne trenger vi å kjenne til sannsynlighetsfordelingen til. Vi benytter oss her av Fishers -transformasjon der, og som er tilnærmet normalfordelt,, når. Vi har definert den for. i) Vi starter med å betrakte funksjonen og plotte denne for å vise at den er voksende. Figur 9.1: Fishers -transformasjon plottet mot. Fra figur 9.1 ser vi at er en strengt voksende funksjon av på området. Programkoden følger under. % Oppgave 9.1 % Data n = 21; r = [-0.99:0.01:.99]; % Generere h(x) h = sqrt(n-1).*log((1+r)./(1-r)); % Plott h(x) mot r figure(1) Side 21 av 26
22 plot(r,h,'-k') title('oppgave 9.1') xlabel('r') ylabel('h(r)') ii) Vi ser fra figur 9.1 at begivenhetene og er logisk ekvivalente og dermed også at. Dette kommer av forholde da er den inverse av, altså. Dette viser at dersom den ene begivenheten intreffer, så intreffer den andre også. iii) Til slutt skal vi bruke i) og ii) til å beregne -verdien,. Vi benytter oss her av fordelingstettheten til og bruker dermed at for å beregne. Figur 9.2: Plottet viser løsningen. -verdien vil da være gitt ved som er sannsynligheten for å få. Gitt at denne -verdien er på størrelsorden så er det ikke å anse som sterk nok evidens for at. Vi kan derfor trekke den slutning at ut fra den -verdien vi beregnet. Side 22 av 26
23 Tillegg til oppgave 1 og 2 Som et lite tillegg til oppgave 1 og 2 kan vi forklare, der både og er normalfordelte og uavhengige, og dermed også ukorrelerte. Dette innebar at paret har og dermed også. Vi kan forklare dette grafisk. Hver for seg har vi at de tilfeldige fordelingene er normalfordelte, nemlig og, og uavhengig av hverandre. Figur 10.1: Vi har her plottet tilfeldige trekk for. Punktene vil her ha størst tetthet rundt og innenfor av dette. Figur 10.2: Vi har her plottet tilfeldige trekk for. Punktene vil som i figur 10.1 ha størst tetthet rundt og innenfor av dette. Side 23 av 26
24 Dersom vi slår disse sammen i et tredimensjonalt plott vil vi få en klokkeformet figur, slik som figurene viser. Figur 10.3: Figuren viser fra siden. Figur 10.4: Figuren viser. Figur 10.5: Figuren viser fra oversiden. Side 24 av 26
25 Vi har for figurene brukt en uniform Gauss-kurve for å vise dette, da det å bruke tilfeldige genererte trekk er en litt større jobb. Det disse figurene er ment å vise er at paret er ukorrelerte, uavhengige og normalfordelte. Vi kan blant annet se dette på symmetrien på figuren da det ikke er noe lineært forhold mellom og. Dette har vi også vist i figur 2.3, men da som et spredningplot mellom og for observasjoner. Programkoden for disse figurene er gitt under. % Tillegg til oppgave 1 og 2 % Definere PDF function f = gauss_distribution(x, mu, s) p1 = -.5 * ((x - mu)/s).^ 2; p2 = (s * sqrt(2*pi)); f = exp(p1)./ p2; end % Globale variable m = 0 s = 1; n = 100; d=3; % Definere x og z x = randn(n,1); z = randn(n,1); % Plott X figure(1) f = gauss_distribution(x, m, s); plot(x,f,'.k') title('x~n(0,1)') xlabel('x_i') ylabel('p(x)') axis([ ]) % Plott Z figure(2) f = gauss_distribution(z, m, s); plot(z,f,'.k') title('z~n(0,1)') xlabel('z_i') ylabel('p(z)') axis([ ]) % Simulering N(0,1) 3D n = 100; d = 3; x=linspace(-d,d,n);y=x'; [x,y] = meshgrid(x,y); z=exp(-(x.^2+y.^2)/2); % Plotter x mot z figure(3) mesh(x,y,z) title('(x,y)~n(0,\sigma)') xlabel('x~n(0,1)') ylabel('z-n(0,1)') Zlabel('P(X,Z)') axis equal Side 25 av 26
26 Kilder Løvås, G. Gunnar. (2004). Statistikk for universiteter og høgskoler. Universitetsforlaget. Vedlegg Programkode, oppgave 1 (tillegg) Programkode, oppgave 2 Programkode, oppgave 3 Programkode, oppgave 4 Programkode, oppgave 5 Programkode, oppgave 6 Programkode, oppgave 7 Programkode, oppgave 8 Programkode, oppgave 9 Side 26 av 26
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 2130
Andreas Mhre April 15 Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON 13 Oppgave 1: E(XY) = E(X(Z X)) Setter inn Y = Z - X E(XY) = E(XZ X ) E(XY) = E(XZ) E(X ) E(XY) = - E(X ) X og Z er uavhengige, så
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Øvelsesoppgave i: ECON30 Statistikk Dato for utlevering: Mandag 6. mars 009 Dato for innlevering: Tirsdag 3. mars 009 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Innleveringssted: Ved siden av SV-info-senter
DetaljerKort overblikk over kurset sålangt
Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente
DetaljerIllustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20).
Econ 130 HG mars 017 Supplement til forelesningen 7. februar Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.0). Regel 5.19 sier at summer, Y X1 X X
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 29. november 1993. Tid for eksamen: 09.00 15.00. Oppgavesettet
Detaljerbetyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2
ECON30: EKSAMEN 06v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerECON2130 Kommentarer til oblig
ECON2130 Kommentarer til oblig Her har jeg skrevet ganske utfyllende kommentarer til en del oppgaver som mange slet med. Har noen steder gått en del utover det som det strengt tatt ble spurt om i oppgaven,
DetaljerA. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25
1 ECON21: ESAEN 215v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i > Grensen til bestått bør ligge på ca
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte
DetaljerSted Gj.snitt Median St.avvik Varians Trondheim 6.86 7.50 6.52 42.49 Værnes 7.07 7.20 6.79 46.05 Oppdal 4.98 5.80 7.00 48.96
Vår 213 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Matlabøving Løsningsskisse Oppgave 1 a) Ingen løsningsskisse. b) Finn, for hvert datasett,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen i: ECON30 Statistikk UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 03.06.06 Sensur kunngjøres: 4.06.06 Tid for eksamen: kl. 09:00 :00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerTabell 1: Beskrivende statistikker for dataene
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 a) Utfør en beskrivende analyse av datasettet % Data for Trondheim: TRD_mean=mean(TRD);
DetaljerNotat 3 - ST februar 2005
Notat 3 - ST1301 1. februar 2005 1 Simulering fra modell Når vi skal analysere et gitt konkret innsamlet datasett vil vi gjøre dette med utgangspunkt i en statistisk modell. Vi kan si at en slik statistisk
DetaljerTMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerKapittel 3: Studieopplegg
Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<. >>. Oppgave 1
ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 0 delspørsmål som anbefales å veie like mye. Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerFerdig før tiden 4 7 Ferdig til avtalt tid 12 7 Forsinket 1 måned 2 6 Forsinket 2 måneder 4 4 Forsinket 3 måneder 6 2 Forsinket 4 måneder 0 2
Besvar alle oppgavene. Hver deloppgave har lik vekt. Oppgave I En kommune skal bygge ny idrettshall og vurderer to entreprenører, A og B. Begge gir samme pristilbud, men kommunen er bekymret for forsinkelser.
DetaljerMerk at vi for enkelthets skyld antar at alle som befinner seg i Roma sentrum enten er italienere eller utenlandske turister.
ECON230: EKSAMEN 20 VÅR - UTSATT PRØVE 2 TALLSVAR. Oppgave Da Anne var på besøk i Roma, fikk hun raskt problemer med språket. Anne snakker engelsk, men ikke italiensk, og kun av 5 italienere behersker
DetaljerDet anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON 0 EKSAMEN 0 VÅR TALLSVAR Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerSentralverdi av dataverdi i et utvalg Vi tenker oss et utvalg med datapar. I vårt eksempel har vi 5 datapar.
Statistisk behandling av kalibreringsresultatene Del 4. v/ Rune Øverland, Trainor Elsikkerhet AS Denne artikkelserien handler om statistisk behandling av kalibreringsresultatene. Dennne artikkelen tar
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2012
TMA424 Statistikk Høst 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Løsningsskisse Matlabøving Beskrivende analyse Oppgave 1 a) Finn, for hvert datasett,
DetaljerBootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100
Bootstrapping og simulering Tilleggslitteratur for STK1100 Geir Storvik April 2014 (oppdatert April 2016) 1 Introduksjon Simulering av tilfeldige variable (stokastisk simulering) er et nyttig verktøy innenfor
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
TMA4240 Statistikk Høst 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 11 Oppgavene i denne øvingen dreier seg om hypotesetesting og sentrale begreper
DetaljerLØSNING: Oppgavesett nr. 1
LØSNING: Oppgavesett nr. MAT0 Statistikk, 208 (Versjon 0) Oppgave : ( fordeling, gjennomsnitt, varians og standardavvik ) a) Plotter fordelingen til x i : antall personer 5 4 5 3 2 2 2 2 40 50 60 70 80
DetaljerDatamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio)
Datamatrisen: observasjoner, variabler og verdier. Variablers målenivå: Nominal Ordinal Intervall Forholdstall (ratio) Beskrive fordelinger (sentraltendens, variasjon og form): Observasjon y i Sentraltendens
DetaljerBefolkning og velferd ECON 1730, H2016. Regresjonsanalyse
Netto innfl. Befolkning og velferd ECON 1730, H2016 Regresjonsanalyse Problem: Gitt planer for 60 nye boliger i kommunen neste år, hvor mange innflyttere kan vi forvente? Tabell Vestby kommune Nye boliger
DetaljerLøsningsforslag oblig 1 STK1110 høsten 2014
Løsningsforslag oblig STK høsten 4 Oppgave I forbindelse med en studie av antioksidanter og antocyanider, ble innholdet av antocyan i 5 beger med blåbær målt. De målte verdiene var (i mg per gram): 55
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 29.05.2019 Sensur kunngjøres: 19.06.2019 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerMAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1
13. september, 2018 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 27/9-2018, kl. 14:30 i Devilry Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerHøgskolen i Gjøviks notatserie, 2001 nr 5
Høgskolen i Gjøviks notatserie, 2001 nr 5 5 Java-applet s for faget Statistikk Tor Slind Avdeling for Teknologi Gjøvik 2001 ISSN 1501-3162 Sammendrag Dette notatet beskriver 5 JAVA-applets som demonstrerer
DetaljerSeksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen
Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data ved tall Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver
DetaljerForelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet. Jo Thori Lind
Forelesning 7: Store talls lov, sentralgrenseteoremet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Estimering av variansen 2. Asymptotisk teori 3. Store talls lov 4. Sentralgrenseteoremet 1.Estimering
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Løsningsskisse Oppgave Scriptet run confds.m simulerer n data x,..., x n fra en normalfordeling med
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode Løsningsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løsning y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Kandidat til løsning: y = e x3/2. Vi deriverer
DetaljerØving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab
Øving 1 TMA4245 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab For grunnleggende bruk av Matlab vises til slides fra basisintroduksjon til Matlab som finnes på kursets hjemmeside. I denne øvingen skal vi analysere
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
1 ECON213: EKSAMEN 217 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerForelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering. Jo Thori Lind
Forelesning 6: Punktestimering, usikkerhet i estimering Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Trekke utvalg 2. Estimatorer og observatorer som stokastiske variable 3. Egenskapene til en estimator
DetaljerUtvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling
Kapittel 8 Utvalgsfordelinger; utvalg, populasjon, grafiske metoder, X, S 2, t-fordeling, χ 2 -fordeling TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 Til nå... Definert sannsynlighet og stokastiske variabler (kap. 2 & 3).
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt
UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerOppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1
ECON 130 EKSAMEN 005 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom , Oppgave 1 I denne oppgaven kan du anta at
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Underveiseksamen i: STK1000 Innføring i anvendt statistikk. Eksamensdag: Fredag 13.10.2006. Tid for eksamen: Kl. 09.00 11.00. Tillatte hjelpemidler:
DetaljerKap. 8: Utvalsfordelingar og databeskrivelse
Kap. 8: Utvalsfordelingar og databeskrivelse Utvalsfordelingar Utvalsfordeling for gjennomsnitt (med kjent varians) ( X ) Sentralgrenseteoremet (SGT) Utvalsfordeling for varians (normalfordeling) Utvalfordeling
DetaljerKapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable
Kapittel 4.4: Forventning og varians til stokastiske variable Forventning og varians til stokastiske variable Histogrammer for observerte data: Sannsynlighets-histogrammer og tetthetskurver for stokastiske
DetaljerØving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab
Øving 1 TMA4240 - Grunnleggende dataanalyse i Matlab For grunnleggende introduksjon til Matlab, se kursets hjemmeside https://wiki.math.ntnu.no/tma4240/2015h/matlab. I denne øvingen skal vi analysere to
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
1 ECON130: EKSAMEN 014 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variason i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i >. Oppgave 1 Fra en eldre
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2018
TMA4240 Statistikk Høst 2018 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 5 Dette er andre av tre innleveringer i blokk 2. Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerLøsningsforslag Til Statlab 5
Løsningsforslag Til Statlab 5 Jimmy Paul September 6, 007 Oppgave 8.1 Vi skal se på ukentlige forbruk av søtsaker blant barn i et visst område. En pilotstudie gir at standardavviket til det ukentige forbruket
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen i: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØONOIS INSTITUTT Eksamensdag: 01.06.2015 Sensur kunngjøres: 22.06.2015 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerMAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1
22. september, 2016 MAT-INF 1100: Obligatorisk oppgave 1 Innleveringsfrist: 6/10-2016, kl. 14:30 i Devilry Obligatoriske oppgaver («obliger») er en sentral del av MAT-INF1100 og er utmerket trening i å
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.
DetaljerForslag til endringar
Forslag til endringar Bakgrunn: Vi har ingen forelesningar veka etter påske. Eg skal bort 18. og 19. april. Eksamen er 30.mai Forslag til endringar: Ekstra forelesningar onsdag 16.mars og onsdag 30 mars
DetaljerLøsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)
1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel
DetaljerBinomisk sannsynlighetsfunksjon
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Binomisk sannsynlighetsfunksjon La det være n forsøk, sannsynlighet p for suksess og sannsynlighet q for fiasko. Den tilfeldige
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling
DetaljerEksamen i. MAT110 Statistikk 1
Avdeling for logistikk Eksamen i MAT110 Statistikk 1 Eksamensdag : Torsdag 28. mai 2015 Tid : 09:00 13:00 (4 timer) Faglærer/telefonnummer : Molde: Per Kristian Rekdal / 924 97 051 Kristiansund: Terje
DetaljerSeksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen
Seksjon 1.3 Tetthetskurver og normalfordelingen Har sett på ulike metoder for å plotte eller oppsummere data Vil nå starte på hvordan beskrive data ved modeller Hovedmetode er tetthetskurver Tetthetskurver
DetaljerSannsynlighetsregning og Statistikk.
Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den
Detaljerår i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 alder x i 37 38 39 40 41 42 43 44 45 tid y i 45.54 41.38 42.50 38.80 41.26 37.20 38.19 38.05 37.45 i=1 (x i x) 2 = 60, 9
TMA424 Statistikk Vår 214 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II Oppgave 1 Matlabkoden linearreg.m, tilgjengelig fra emnets hjemmeside, utfører
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerTMA4245 Statistikk Høst 2016
TMA5 Statistikk Høst 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving Løsningsskisse Oppgave a) Den tilfeldige variabelen X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerInferens i regresjon
Strategi som er fulgt hittil: Inferens i regresjon Deskriptiv analyse og dataanalyse først. Analyse av en variabel før studie av samvariasjon. Emne for dette kapittel er inferens når det er en respons
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst
DetaljerMA155 Statistikk TI-nspire cx Kalkulator Guide
MA155 Statistikk TI-nspire cx Kalkulator Guide Magnus T. Ekløff, Kristoffer S. Tronstad, Henrik G. Fauske, Omer A. Zec Våren 2016 1 Innhold 1 Basics... 4 2 1.1 Dokumenter... 4 1.1.1 Regneark... 4 1.1.2
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST0 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Torsdag 9. mai 994. Tid for eksamen: 09.00 5.00. Oppgavesettet
DetaljerFordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål. Tron Anders Moger
Fordelinger, mer om sentralmål og variasjonsmål Tron Anders Moger 20. april 2005 1 Forrige gang: Så på et eksempel med data over medisinerstudenter Lærte hvordan man skulle få oversikt over dataene ved
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel.
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i ECON2130 våren 2014 av Jonas Schenkel. Det er i flere av oppgavene flere fremgangsmåter. Om din måte var riktig burde komme frem i rettingen. A Både X og Y tilfredsstiller
DetaljerOPPGAVEHEFTE I STK1000 TIL KAPITTEL Regneoppgaver til kapittel 7. X 1,i, X 2 = 1 n 2. D = X 1 X 2. På onsdagsforelesningen påstod jeg at da må
OPPGAVEHEFTE I STK000 TIL KAPITTEL 7 Regneoppgaver til kapittel 7 Oppgave Anta at man har resultatet av et randomisert forsøk med to grupper, og observerer fra gruppe, mens man observerer X,, X,2,, X,n
DetaljerInferens i fordelinger
Inferens i fordelinger Modifiserer antagelsen om at standardavviket i populasjonen σ er kjent Mer kompleks systematisk del ( her forventningen i populasjonen). Skal se på en situasjon der populasjonsfordelingen
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
Detaljer(Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1
ÅMA1 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen vår 2011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget.) Oppgave 1 a) Data: x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Gjennomsnitt: x = 1 5 (x 1
DetaljerStatistisk beskrivelse av enkeltvariabler. SOS1120 Kvantitativ metode. Disposisjon. Datamatrisen. Forelesningsnotater 6. forelesning høsten 2005
SOS110 Kvantitativ metode Forelesningsnotater 6 forelesning høsten 005 Statistisk beskrivelse av enkeltvariabler (Univariat analyse) Per Arne Tufte Disposisjon Datamatrisen Variabler Datamatrisen Frekvensfordelinger
DetaljerSnøtetthet. Institutt for matematiske fag, NTNU 15. august Notat for TMA4240/TMA4245 Statistikk
Snøtetthet Notat for TMA424/TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag, NTNU 5. august 22 I forbindelse med varsling av om, klimaforskning og særlig kraftproduksjon er det viktig å kunne anslå hvor
DetaljerFørste sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015
Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts
DetaljerEKSAMENSOPPGAVE STA «Tabeller og formler i statistikk» av Kvaløy og Tjelmeland. To A4-ark/ 4 sider med egne notater. Godkjent kalkulator. Rute.
Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1001. Dato: Tirsdag 26. september 2017. Klokkeslett: 09 13. Sted: Åsgårdvegen 9. Tillatte hjelpemidler: «Tabeller og formler i statistikk»
DetaljerLøsningsforslag øving 8, ST1301
Løsningsforslag øving 8, ST3 Oppgave Hva gjør følgende funksjon? Hvilken fordeling har variabelen n som returneres som funksjonsverdi? Forklar hvorfor. Forutsett at to enkle positive tall blir oppgitt
DetaljerEn innføring i MATLAB for STK1100
En innføring i MATLAB for STK1100 Matematisk institutt Universitetet i Oslo Februar 2017 1 Innledning Formålet med dette notatet er å gi en introduksjon til bruk av MATLAB. Notatet er først og fremst beregnet
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerMATLAB for STK1100. Matematisk institutt Univeristetet i Oslo Januar Enkel generering av stokastiske variabler
MATLAB for STK1100 Matematisk institutt Univeristetet i Oslo Januar 2014 1 Enkel generering av stokastiske variabler MATLAB har et stort antall funksjoner for å generere tilfeldige tall. Skriv help stats
Detaljera ) Forventningen estimeres med gjennomsnittet: x = 1 12 (x 1 + + x 12 ) = 1 (755 + 708 + + 748) = 8813/12 = 734.4
ÅMA110 Sannsylighetsregning og statistikk Løsningsforslag til eksamen høst 011, s. 1 (Det tas forbehold om feil i løsningsforslaget. Oppgave 1 Vi betrakter dataene x 1,..., x 1 somutfall av n = 1 u.i.f.
DetaljerLøsningsforslag. n X. n X 1 i=1 (X i X) 2 og SY 2 = 1 ny S 2 X + S2 Y
Statistiske metoder 1 høsten 004. Løsningsforslag Oppgave 1: a) Begge normalplottene gir punkter som ligger omtrent på ei rett linje så antagelsen om normalfordeling ser ut til å holde. Konfidensintervall
DetaljerLøsningskisse seminaroppgaver uke 15
HG April 0 Løsningskisse seminaroppgaver uke 5 Oppg. 5.6 La X = antall barn i utvalget som har lærevansker. Andel barn med lærevansker i populasjonen av barn antas å være p = 0,5. Utvalgsstørrelsen er
DetaljerAnalyse av kontinuerlige data. Intro til hypotesetesting. 21. april 2005. Seksjon for medisinsk statistikk, UIO. Tron Anders Moger
Intro til hypotesetesting Analyse av kontinuerlige data 21. april 2005 Tron Anders Moger Seksjon for medisinsk statistikk, UIO 1 Repetisjon fra i går: Normalfordelingen Variasjon i målinger kan ofte beskrives
DetaljerTogforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at
Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være
DetaljerObligatorisk oppgave 1
Obligatorisk oppgave Oppgave a) Vi kan finne divergens og virvling av det todimensjonale hastighetsfeltet ved å finne v og v. Gitt at v = ui + vj, hvor u = cos x sin y og v = sin x cos y, får vi følgende:
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 13: Lineær korrelasjons- og regresjonsanalyse Kap. 13.1-13.3: Lineær korrelasjonsanalyse. Disse avsnitt er ikke pensum,
DetaljerKap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering
Kap. 6.1: Fordelingen til en observator og stok. simulering Data, observatorer og relaterte fordelinger. Stokastisk simulering. Illustrasjon: - Sammenligning av jury bedømmelser i idrett. Fra data til
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Øvelsesoppgave i: ECON2130 Statistikk 1 Dato for utlevering: Mandag 22. mars 2010 Dato for innlevering: Fredag 9. april 2010 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Innleveringssted: Ved siden av SV-info-senter
DetaljerLøsningsforslag MAT102 Vår 2018
Løsningsforslag MAT102 Vår 2018 Universitetet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT102 Tirsdag 12 juni 2018, kl 0900-1400 Oppgavesettet har fem oppgaver Hver deloppgave
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Øvelsesoppgave i: ECON30- Statistikk Dato for utlevering: 5.03.06 Dato for innlevering: 05.04.06 innen kl. 5:00 Innleveringssted: Ekspedisjonen i. etasje ES hus
Detaljer