Aksijalno pritisnuti elementi

Transkript

1 Aksijalno pritisnuti elementi Metalne konstrukcije P5- Primena Metalne konstrukcije P5-

2 Oblici poprečnih preseka Metalne konstrukcije P5-3 eophodne kontrole graničnih stanja nosivosti - ULS Konrola nosivosti poprečnog preseka ( c,rd ); Kontrola nosivosti pritisnutog elementa kao celine na izvijanje ( b,rd ); Kod poprečnih preseka klase 4 treba uzeti u obzir i uticaj izbočavanja na nosivost poprečnog preseka na pritisak (A eff ); Metalne konstrukcije P5-4

3 Proračun nosivosti poprečnih preseka na dejstvo sile pritiska Ed ili, 0 Ed c, Rd c, Rd c, Rd A fy / M0 Aeff fy / M0 za preseke klase, i 3 za preseke klase 4 Ed proračunska vrednost sile pritiska, c,rd proračunska nosivost preska na pritisak, A poršina poprečnog preseka, A eff efektivna poršina poprečnog preseka, f y granica razvlačenja, M0 parcijalni koeficijenti sigurnosti ( M0 =,0) Metalne konstrukcije P5-5 Efektivan poprečni presek (klasa 4) a ovaj način se obuhvata uticaj izbočavanja delova poprečnog preseka (nožica i/ili rebara) usled normalnih napona pritiska; Efektivna širina se određuje za svaki pritisnuti deo poprečnog preseka koji je klase 4; Kod nesimetričnih poprečnih preseka može da dođe do pomeranja težišta efektivnog u odnosu na bruto poprečni presek javljaju se dodatni momenti savijanja (M= e). Metalne konstrukcije P5-6

4 Pomeranje težišta efektivnog preseka Metalne konstrukcije P5-7 Efektivan poprečni presek - savijanje Metalne konstrukcije P5-8

5 Efektivne širine pritisnutih delova preseka - b eff Potrebno je odrediti veličine neefektivnih zona i njihov položaj za svaki pritisnuti deo preseka klase 4; U Evrokodu 3 se koriste modifikovane Vinterove krive za određivanje koeficijenta redukcije ; b eff b b referentna širina dela poprečnog preseka: = c w za rebra i unutrašnje delove nožica = c f za konzolne delove nožica Metalne konstrukcije P5-9 Određivanje koeficijenta redukcije Metalne konstrukcije P5-0

6 Određivanje koeficijenta redukcije nastavak Metalne konstrukcije P5- Efektivne širine unutrašnjih delova preseka Metalne konstrukcije P5-

7 Efektivne širine konzolnih delova Metalne konstrukcije P5-3 Efektivan poprečni presek - A eff S75 A eff = 8639, mm A = 0000 mm Metalne konstrukcije P5-4

8 Izvijanje pritisnutih elemenata Kod pritisnutih elemenata, usled uticaja II reda, nosivost elementa kao celine, po pravilu je manja od nosivosti poprečnog preseka na pritisak; osivost elementa na izvijanje zavisi od više parametara (oblika poprečnog preseka, vitkosti elementa, graničnih uslova, načina naprezanja); Razlikuju se tri vida izvijanja: fleksiono, torziono i torziono-fleksiono; Metalne konstrukcije P5-5 Različiti vidovi izvijanja Metalne konstrukcije P5-6

9 Metalne konstrukcije P5-7 Linearno-elastična teorija fleksionog izvijanja Problem stabilnosti pritisnutih elemenata izvijanje prvi je razmatrao Ojler (Euler) 744. godine; Osnovne pretpostavke: materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan element je idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija), element je cenrično pritisnut konstantnom aksijalnom silom pritiska, element je zglobno oslonjen na oba kraja, poprečni presek elementa je konstantan i jednodelan, sprečene su torzione deformacije i Metalne konstrukcije P5-8

10 Postavka problema izvijanja uslovi ravnoteže na deformisanom elementu M( x) v( x) c Moment savijanja usled sile pritiska Metalne konstrukcije P5-9 Diferencijalna jednačina izvijanja d v dx v( x) M / EI Diferencijalna jednačina savijanja M( x) v( x) c c v ( x) v( x) 0 EI v ( x) k v( x) 0 k c / EI v M c EI deformacija (ugib) elementa, moment savijanja, sila pritiska, krutost elementa na savijanje, Metalne konstrukcije P5-0

11 Rešenje diferencijalne jednačine izvijanja Kritična sila izvijanja v( x) A sinkx B coskx v( 0) 0 v(l) 0 Pretpostavljeni oblik rešenja Granični uslovi sinkl 0 kl n k n L k / c EI cr E EI L Kritična (Ojlerova) sila izvijanja Metalne konstrukcije P5- Definicija dužine izvijanja Definicija u matematičkom smislu: Dužina izviajnja je dužina između susedni, realnih ili fiktivnih prevojnih tačaka izvijenog oblika štapa; Definicija u fizičko-mehaničko smislu: Dužina izvijanja je dužina zamenjujućeg, obostrano zglobno oslonjenog štapa, opterećenog koncentrisanim sila pritiska na svojim krajevima, koji ima istu kritičnu silu kao i razmatrani štap; Metalne konstrukcije P6-

12 Dužine izvijanja L cr (Ojlerovi slučajevi) cr EI L cr Metalne konstrukcije P6-3 Kritičan napon izvijanja (Ojlerova hiperbola) E cr A EI L A E A i površina poprečnog preseka elementa, vitkost elementa, poluprečnik inercije. L / i I / i A Metalne konstrukcije P5-4

13 esavršenosti realnih elemenata Sopstveni ili zaostali naponi; Geometrijske imperfekcije (nesavršenosti); ehomogenost osnovnog materijala; Ekscentričnost opterećenja Metalne konstrukcije P5-5 Sopstveni (zaostali) naponi astaju kao posledica tehnologije proizvodnje (vrućegvaljanja, ili zavarivanja); Sopstveni naponi su uravnoteženi, odnosno njihov integral po poprečnom preseku je jednak nuli! Utiču na homogenost poprečnog preseka i redosled plastifikacije pri dostizanju graničnih stanja; Metalne konstrukcije P5-6

14 Uticaj sopstvenih napona na krutost pritisnutog elementa Metalne konstrukcije P5-7 Geometrijske imperfekcije Metalne konstrukcije P5-8

15 Izvijanje zakrivljenog elementa - postavka problema v x) 0( 0 x sin L Metalne konstrukcije P5-9 Ponašanje zakrivljenog (realnog) elementa Moment savijanja x M( x) c ( v( x) v0( x)) cv( x) c 0 sin L c x v ( x ) k v ( x ) 0 sin EI L Diferencijalna jednačina izvijanja realnog elementa v( x) c L 0 / EI sin x L Rešenje diferencijalne jednačine funkcija deformacije elementa Metalne konstrukcije P5-30

16 Deformacije realnog elementa Dodatna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona tot v( x L / ) cr / c cl / EI / c cr Ukupna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona 0 tot cr c početna deformacija štapa u sredini raspona, dodatna deformacija štapa u sredini raspona, ukupna deformacija štapa u sredini raspona, kritična (Ojlerova) sila, sila pritiska. Metalne konstrukcije P5-3 aprezanja krivog elementa (štapa) max c A c W tot c A W c 0 y / c cr f u A W u 0 ( / u cr ) f y u pl A u / pl W / 0 u cr A 0 W u pl ( u u / / pl pl )( pl / cr ) u granična sila izvijanja; pl plastična nosivost preseka u pl pl cr relativna vitkost na izvijanje bezdimenzionalni koeficijent izvijanja; Metalne konstrukcije P5-3

17 Ajrton-Perijeva formula Ajrton-Perijeva formula 0 ) ( 4 ) ( Φ 4 ) ( Φ Φ Φ Φ Φ Φ ) / (, i L Peri-Robertsonova formula Metalne konstrukcije P5-33 Smanjanje nosivosti elementa na izvijanje usled imperfekcija Sopstveni (zaostali) naponi Geometrijske imperfekcije Metalne konstrukcije P6-34

18 Evropske krive izvijanja Krive izvijanja predstavljaju modifikaciju teorijskih krivih izvijanja (Peri-Robertsonove formule); Definišu vezu između relativne vitkosti i bezdimenzionalnog koeficijenta izvijanja; Brojna istraživanja u ECCS-u (70-ih godina); Makua i Rondal (978) su formulisali faktor kao: ( 0, ) Proračun nesavršenosti realnih štapova preko ekvivalentnih geometrijskih imperfekcija; Zbog složenosti problema uvedena je familija evropskih krivih izvijanja (A 0, A, B, C i D) koje su definisane teorijskoeksperimentalnim putem; Metalne konstrukcije P5-35 Evropske krive izvijanja Kriva izvijanja a 0 a b c d 0,3 0, 0,34 0,49 0,76 Metalne konstrukcije P5-36

19 Izbor odgovarajuće krive izvijanja Zavisi od: Oblika poprečnog preseka; Odnosa visina/širina; Ose oko koje se razmatra izvijanje; Debljine lima; Metalne konstrukcije P5-37 Relativna vitkost za fleksiono izvijanje ( ) Rk / cr relativna vitkost elementa A Rk f y plastična nosivost preska za klase, i 3 Rk Aeff fy nosivost efektivnog preska za klasu 4 cr EI Lcr A fy EI L cr L kritična sila izvijanja cr I / A E f A eff / A za klasu 4 y za klase, i 3 Metalne konstrukcije P5-38

20 Vitkost na granici razvlačenja - Vitkost štapa na granici razvlačenja je vitkost pri kojoj je Ojlerov kritičan napon jednak naponu na granici razvlačenja! E E cr f 93, 9 y f y 35 / f y Za određenu vrstu čelika ima konstantnu vrednost! Metalne konstrukcije P5-39 Kontrola nosivosti na fleksiono izvijanje b, Rd A f A eff y / f y M / Ed b, Rd M,0 za preseke klase, i 3 za preseke klase 4 Φ Φ za 0, Φ, 5 0, za 0, Metalne konstrukcije P U opštem slučaju treba proveriti izvijanje oko obe glavne ose inercije y-y i z-z. Merodavna je manja vrednost! min, y z

21 Torziono izvijanje Karakteristično za otvorene centralnosimetrične poprečne preseke (krstasti, zrakasti,...) koji imaju značajne krutosti na savijanje oko obe glavne ose inercije, a malu torzionu krutost; Kod ovakvih preseka potrebno je odrediti kritičnu silu za torziono izvijanje ( cr,t ) na osnovu koje se određuje relativna vitkost elementa; Kada se odredi relativna vitkost, nosivost elementa na torziono izvijanje se određuje na isti način kao i za fleksiono izvijanje, a kriva izvijanja se usvaja kao za izvijanje oko slabije z-z ose; Metalne konstrukcije P5-4 Kritična sila torzionog izvijanja cr, T EI GI t i 0 LT w Rk cr, T G I t E I w i y i z y o, z o i o i y i z y o z modul smicanja, torzioni moment inercije bruto poprečnog preseka, modul elastičnosti, sektorski moment inercije bruto poprečnog preseka, poluprečnik inercije bruto poprečnog preseka oko y-y ose, poluprečnik inercije bruto poprečnog preseka oko z-z ose, koordinate centra smicanja u odnosu na težište bruto poprečnog preseka. o Metalne konstrukcije P5-4

22 Torziono-fleksiono izvijanje Kombinacija fleksionog i torzionog izvijanja; Karakteristično za monosimetrične (ili nesimetrične) poprečne preseke kod kojih se težište i centar smicanja ne poklapaju! y-y osa y-y osa Metalne konstrukcije P5-43 Kritična sila torziono-fleksionog izvijanja za monosimetrične poprečne preseke (y-y osa simetrije) cr, TF cr y cr T cr T,,, cr, T 4 y o cr, y cr, y cr, y io cr min cr, z, cr, TF Za obostrano simetrične poprečne preseke kritična sila izvijanja se određuje kao: cr min cr, y, cr, z, cr, T Metalne konstrukcije P5-44

23 Određivanje dužine izvijanja Umesto kritične sile, za određivanje relativne vitkosti na fleksiono izvijanje može da se koristi dužina izvijanja. Opšti izraz za određivanje dužine izvijanja: L cr L L cr L dužina izvijanja, sistemna dužina elementa (štapa), koeficijent dužine izvijanja. Metalne konstrukcije P5-45 Dužine izvijanja stubova sa konstantnim momentom inercije i konstantnom normalnom silom a b c d = = = 0,7 = 0,5 e f g h < < = < < = Metalne konstrukcije P5-46

24 Uticaj krutosti grede na dužinu izvijanja stuba Metalne konstrukcije P5-47 Dužine izvijanja štapova rešetkastih nosača Posebno se analizraju pojasni štapovi i štapovi ispune (dijagonale i vertikale), kao i izvijanje u ravni rešetkastog nosača i izvan ravni rešetkastog nosača; Sistemna dužina u ravni rešetkastog nosača jednaka je rastojanju između čvorova rešetkastog nosača, a izvan ravni je jednaka osovinskom rastojanju između tačaka bočnog proidržavanja; Metalne konstrukcije P5-48

25 Dužine izvijanja pojaseva Generalno, dužina izvijanja pojasnog elementa u ravni i izvan ravni jednaka je njegovoj sistemnoj dužini L ( = )! Za pojasne štapove od I ili H preseka, može se usvojiti da je dužina izvijanja u ravni jednaka 0,9L ( = 0,9) a izvan ravni jednaka je sistemnoj dužini L ( = )! Za pojasne štapove od šupljih profila, dužina izvijanja u ravni i izvan ravni jednaka je 0,9L ( = 0,9), gde je L sistemna dužina! Za izvijanje izvan ravni sistemna dužina jednaka je rastojanju tačaka bočnog pridržavanja! Metalne konstrukcije P5-49 Dužina izvijanja pritisnutog elementa na elastičnim osloncima Tipičan primer za gornji pojas kod otvorenih rešetkastih mostova! Krutost elastičnih oslonaca - opruga zavisi od deformabilnosti okvirnih ukrućenja. Metalne konstrukcije P5-50

26 Dužine izvijanja štapova ispune Generalno, dužina izvijanja štapova ispune izvan ravni jednaka je sistemnoj dužini L; Dužina izvijanja u ravni rešetkastog nosača jednaka je 0,9L izuzev u slučaju štapova od ugaonika; Kod rešetkastih nosača od šupljih profila kod kojih je odnos širine štapa ispune i širine pojasa manji od 0,6 (d i /d 0 <0,6) dužina izvijanja u ravni i izvan ravni je 0,75L; Metalne konstrukcije P5-5 Dužine izvijanja štapova ispune od L profila Za štapove ispune od ugaonika (L profila), kada veza sa pojasom poseduje određen stepen uklještenja (zavarena ili sa bar zavrtnja) može se zanemariti ekscentricitet, a ugaonik se proračunava kao centrično pritisnut element sa ekvivalentnom relativnom vitkošću: 0 0, 7 eff, v, , 7 eff, y, 50 v y 0 0, 7 eff, z, 50 z U slučaju veze sa samo jednim zavrtnjem ekscentričnost mora da se uzme u obzir, a dužina izvijanja je jednaka sistemnoj dužini L; Metalne konstrukcije P5-5

27 Izvijanje neuniformnih elemenata Uniformni elementi su elementi konstantnog poprečnog preseka opterećeni konstantno aksijalnom silom pritiska; euniformni elementi su elementi kod kojih: se poprečni presek menja duž elementa (promena visine elementa i/ili promena dimenzija poprečnog preseka); je promenljiv dijagram normalne sile pritiska duž elementa (linearno ili skokovito). Metalne konstrukcije P5-53 Proračun nosivosti neuniformnih elemenata na izvijanje Proračun neuniformnih elemenata može da se sprovede na dva načina: primenom proračuna po teoriji II reda sa početnim geometrijskim imperfekcijama i kontrolom nosivosti najopterećenijeg preseka; određivanjem kritične sile cr, a potom primenom algoritma za elemente konstantnog poprečnog preseka; Kritična sila može da se odredi pomoću softvera, ili uprošćenih postupaka za pojedinačne slučajeve (npr. metoda ekvivalentnog momenta inercije); Metalne konstrukcije P5-54

28 Metoda ekvivalentnog momenta inercije - I eq Kritična sila za izvijanje oko y-y ose I profila promenljive visine. Ostale dimenzije poprečnog preseka su konstantne. (L < 0,5L) cr, eq EI L eq I eq C I max C 0, 08 0, 9r C 0, 08 0, 9r ( 0, 3 4 r 4, 3r )( L / L) C 0, 7 0, 33r 0, 5 r ( 0, 6 r 6, r )( L / L) r I min / I max Metalne konstrukcije P5-55