INF5490 RF MEMS. L3: Modellering, design og analyse

Transkript

1 INF5490 RF MEMS L3: Modellering, design og analyse 1

2 Oversikt over forelesningen Metoder for å modellere RF MEMS 1. Enkle matematiske modeller Eks. parallell plate kondensator 2. Konvertering til elektriske ekvivalenter Eks. Mekanisk resonator Samvirke mellom ulike energi-domener 3. Analyse ved Finite Element Methods Eks. fra CoventorWare Modellering av bulk mikromaskinert prosess 2

3 1. Enkle matematiske modeller Ligninger, formler beskriver fysiske fenomener Approksimasjon Eksplisitte løsninger for enkle problemer Linearisering rundt et operasjonspunkt Direkte simulering av ligningssett Typisk differensialligninger Løses ved iterasjoner + Gir konstruktøren design-innsikt Hvordan endre funksjonalitet ved parametervariasjoner Kan benyttes til innledende overslag 3

4 Eks. på matematiske modeller Viktige ligninger for RF MEMS komponenter: Parallell plate kondensator Elektrostatisk aktivering av kondensator med bevegelig plate opphengt i fjær Beregning av pull-in Formler og figurer 4

5 Elektrostatikk + q - q F Elektrisk kraft mellom ladninger: Coulombs lov 1 q q F = 4 πε r r Elektrisk felt = kraft pr. enhetsladning E = Arbeid utført av en kraft = endring i potensial-energi F q 0 W a b b = F a dl = U a U b Potensial, V = potensial-energi pr. enhetsladning V = U q 0 Spenning = potensial-differansen V a V b b = E dl a 5

6 Kapasitans a b E d + Q V ab Definisjon av kapasitans C = Q V ab A -Q Overflate ladningstetthet = σ σ Q 1 E = = ε A ε 0 0 C = Q V ab = ε 0 A d Spenning V ab = E d = Q A ε 0 d Energi lagret i en kondensator, C, som lades opp til en spenning V 0 ved strøm i = Q & = C dv dt U = dv v i dt = v C dt = C dt V0 1 2 ε0 v dv = CV0 = A V d 2 0 6

7 Parallell plate kondensator Tiltrekningskraft mellom platene F U = d = d εa ( V 2d 2 ) = εav 2d 2 2 7

8 Bevegelig kondensator-plate Forutsetninger for beregninger: Anta luft mellom platene Fjær holder øvre plate Fjærkonstant: k Spenning settes på Elektrostatisk tiltrekning Ved likevekt Kreftene oppover og nedover balanserer 8

9 Kreftene balanserer k = fjærkonstant tøyning utfra likevekt d0 = gap ved 0V og null fjærutstrekning d = d0 z z=d0 d Kraft på øvre plate ved V og d: = 0 ved likevekt 9

10 Stabilitet Hvordan kreftene utvikler seg når d minker Anta en liten perturbasjon (endring) i gapet ved konstant spenning Anta at gapet minker Hvis kraften oppover også minker, er systemet USTABILT! 10

11 Stabilitet, forts. Stabilitetsbetingelse: Pull-in når: 11

12 Pull-in Pull-in oppstår når: 12

13 To likevekts-punkter ς = 1 d/d0 Senturia 13

14 Pull-in Senturia 14

15 2. Konvertering til elektriske ekvivalenter Mekanisk oppførsel kan modelleres ved elektriske kretselementer Mekanisk struktur forenklinger ekvivalent elektrisk krets Mulighet for å binde sammen elektrisk og mekanisk domene Motivasjon for konvertering Et rikt utvalg av analyse-verktøy finnes Eks. SPICE Modellering og sam-simulering av elektroniske og mekaniske systemer forenkles 15

16 Konvertering til elektriske ekvivalenter, forts. I det følgende gjennomgås: Litt bakgrunn fra kretsteori Konverteringsprinsipper Ulike analogier eksisterer Eksempel på en konvertering Mekanisk resonator Kobling og samvirke mellom ulike energidomener 16

17 Kretsteori Grunnleggende kretselementer: R, C, L Strøm og spennings-ligninger for grunnelementene (ved lave frekvenser) Ohms lov, C og L-ligninger V = RI, I = C dv/dt, V = L di/dt Laplace transformasjon Fra differensial-ligninger til algebraiske (s-polynomer) Komplekse impedanser: R, 1/sC, sl Kirchhoffs ligninger Σ strøm inn i noder = 0, Σ spenning rundt løkker = 0 17

18 Effort - flow Elektriske kretser beskrives av et variabelsett: Spenning V: across eller effort-variabel Strøm I: through eller flow-variabel En effort ( innsats ) -variabel driver en flow-variabel gjennom en impedans, Z Eks. på e,f-par i andre energi-domener: Kraft og hastighet Kraftmoment (torque) og angulær hastighet 18

19 Through- og across-variable Kretselement modelleres som 1-port med terminaler Samme strøm (f = flow) inn og ut og gjennom (through) elementet f = flow = through-variabel e= effort= across-variabel Positiv flow inn i terminal der samme terminal definerer positiv effort 19

20 Konjugerte power-variable: e,f Anta konverteringer mellom energidomener der energien bevares! Egenskaper e * f = effekt (power) e / f = impedans Generalisert displacement representerer tilstanden (state), f. eks. posisjon eller ladning f ( t) = q& ( t) e * q = energi t q( t) = f ( t) dt + q( t0) t 0 20

21 Generalisert momentum p * f = energi t p( t) = e( t) dt + p( t ) 0 t 0 21

22 Energi-domener, analogier Det eksisterer ulike energi-domener Elektrisk, elastisk, termisk, for væsker etc. For hvert energidomene er det mulig å definere et sett konjugerte power-variable som kan brukes som basis for en diskretkomponent modellering (lumped modelling) med krets-elementer som er ekvivalente Tabell 5.1 Senturia -> 22

23 Eks. på konjugerte power variable 23

24 Mekanisk energidomene 24

25 Elektrisk energidomene 25

26 e V - konvensjonen Senturia og Tilmans holder seg til e V konvensjonen Eks. elektriske og mekaniske kretser e V (spenning) tilsvarer F (kraft) f I (strøm) tilsvarer v (hastighet) q Q (posisjon) tilsvarer x (posisjon) e * f = power som tilføres elementet H. Tilmans, Equivalent circuit representation of electromagnetical transducers: I. Lumped-parameter systems, J. Micromech. Microeng., Vol. 6, pp ,

27 Andre konvensjoner Det finnes ulike konvensjoner for å definere through- eller across-variable 27

28 Generaliserte krets-elementer En-port krets-elementer R dissiperende element C, L energi-lagrings elementer Elementene kan ha en generell funksjon! Kan brukes i forskjellige energi-domener 28

29 Generalisert kapasitans Sammenlign med et forenklet tilfelle: - en lineær kondensator definisjon av C 29

30 Generalisert kapasitans, forts. Kapasitans assosieres med lagret potensiell energi Co-energy: 30

31 Energi lagret i parallell-plate kondensator Energy: W ( Q) Q Q = e dq = 0 0 q C dq = 2 Q 2C Co-energy: W * ( V ) = V V q de = C v dv = 0 0 CV 2 2 * W ( V ) = W ( Q) for lineær kapasitans 31

32 Mekanisk fjær Hook s lov: F = k x Lagret energi: Sammenlign med kondensator Q x1 1 1 W ( Q) = Q 2 C displacement displacement 2 1/C tilsvarer k 32

33 Compliance Compliance = ettergivenhet 1 C spring = k Stiv fjær liten kondensator Myk fjær stor kondensator 33

34 Generalisert induktans Energi er også definert som: Energi = lagret kinetisk energi 34

35 Eks.: Elektrisk spole Co-energy: 35

36 Analogien mellom masse (mekanisk inertance ) og induktans L Et mekanisk system har lineært momentum: p = mv Flow: Co-energy: 36

37 Analogi mellom m og L Sammenlign med: L tilsvarer m m = L inertance Mekanisk inertance (treghet) = masse m har analogi til induktans L 37

38 Sammenkobling av elementer e V har to grunnleggende prinsipper Elementer som deler en felles flow og derved en felles variasjon i displacement er koblet i serie Elementer som deler en felles effort er koblet i parallell 38

39 Eks. på sammenkobling: Direkte omforming 39

40 40

41 41

42 42

43 Udempet system ω 1 ω LC 0 =, 0 = k m 43

44 Udempet system, forts. 44

45 Ved demping 45

46 Dempet system, forts. 46

47 47

48 Hva betyr damping time? 48

49 Q-faktor og dempetid 49

50 50

51 Q-faktor, forts. 51

52 52

53 Amplituden ved resonans 53

54 Interaksjon mellom energidomener Sammenkobling av forskjellige energidomener hvor det ikke er energitap 1. Hver av energidomenene omformes til sin elektriske ekvivalent 2. Transformator og gyrator benyttes til sammenkobling 3. Transformator kan fjernes komponentverdiene må regnes om til nye verdier vindingstall ( turn ratio ) er en sentral parameter 54

55 Interaksjon mellom energidomener Lineære 2-port elementer er Transformator og gyrator 55

56 Transformator n = turns ratio 56

57 Gyrator 57

58 Impedanser transformeres 2 n = koblingskoeff mellom energidomenene 58

59 3. Analyse ved Finite Element Methods Typiske trekk Oppdeling i små-elementer: meshing Løse matematiske ligninger for interaksjonen mellom elementene Mange iterasjoner utføres før stabil løsning oppnås + Mer realistiske resultater Matematiske modeller er approksimasjoner Utilstrekkelige ved komplekse sammenhenger og strukturer Jmfr. bøyning av bjelke: ladningsfordeling kraft Bruk av FEM-simuleringer CoventorWare Eksempler fra modellering av bulk prosess 59

60 Finite Element Methods Features + good precision + coupled electrostatic/ mech interaction + can cope with irregular topologies - insight into parameters influence is lost - only small parts are practical Critical issues proper system selection, building the 3D model partitioning (meshing), simulation parameters 60

61 3D model building: process specification Specify a process file which matches an actual foundry process simplifications realistic: essential process features included --> pseudo layers 61

62 3D model building: layout Make accompanying layout 62

63 MultiMEMS, typical features 63

64 How to model the MultiMEMS bulk process in CoventorWare? Problem: the process is not based on stacking layers Create a pseudo process! simplified, but matching transfer to a procedure of stacking layers some layers with zero spacing slicing the bulk material into sub-layers in contact make etchings and re-fillings 64

65 Two slices of the base material stacked. N-well opening 65

66 N-well in-filling. Etching holes for buried conductor implant and buried resistor implant 66

67 Add epi-layer. Etch holes for surface conductor and surface resistor, -fill in. Etch hole for n+ implant. (Implants are invisible) 67

68 Surface conductor is made visible Epi-layer is invisible 68

69 3D model building: expansion (some layers invisible) 69

70 Complete structure with some layers made invisible 70

71 3D modelling procedure To introduce one diffusion: etch base material fill in implanted material deposit planar with thickness = 0 To introduce multiple overlapping diffusions: etch base material with all diffusion masks (the deepest first) fill in the deepest implanted material re-etch the remaining diffusion openings fill in the next deepest implant etc. 71

72 Meshed model Mirror meshed by tetrahedrons 23 µm, 3 µm Electrodes meshed by Manhatten bricks 5 µm Rather coarse dim due to pullin analysis 72

73 Mirror deflection, snapshot 73

74 Simulation: pull-in 74