INF5490 RF MEMS. L3: Modellering, design og analyse. V2008, Oddvar Søråsen Institutt for informatikk, UiO

Transkript

1 INF5490 RF MEMS L3: Modellering, design og analyse V2008, Oddvar Søråsen Institutt for informatikk, UiO 1

2 Dagens forelesning MEMS - virkemåte Transduser-prinsipper Sensorprinsipper Metoder for å modellere RF MEMS 1. Enkle matematiske modeller 2. Konvertering til elektriske ekvivalenter (3. Analyse ved Finite Element Methods) L4 2

3 Transdusere for (RF) MEMS Elektromekaniske transdusere benyttes Transformasjon av elektrisk energi mekanisk energi Transduser-prinsipper Elektrostatiske Elektromagnetiske Elektrotermiske Piezoelektriske 3

4 Transduser-prinsipper Elektrostatiske transdusere Prinsipp: Krefter mellom elektriske ladninger Coulombs lov Energi som lagres når mekanisk eller elektrisk arbeid utføres på enheten kan konverteres til den andre energi-formen Den vanligste typen brukt ved elektromekanisk energikonvertering Enkel fabrikering Ofte realisert ved en kondensator med bevegelige plater Vertikal bevegelse: parallell plate Horisontal bevegelse: Kamstrukturer 4

5 Elektrostatisk transduser + Fordelaktig pga. enkelheten + Operasjon kontrolleres ved spenning spenning ladning tiltrekningskraft bevegelse + Bevegelse gir strøm bevegelse variabel kondensator strøm når spenningen er konstant Krever beskyttelse mot omgivelsene (støv) Krav til pakking (vakuum) Transduksjonsmekanismen er ulineær Gir forvrengninger (kraft er ikke proporsjonal med spenning) Botemiddel: små signalvariasjoner rundt en DC-spenning 5

6 Transduser-prinsipper, forts. Elektromagnetiske transdusere Magnetisk spole trekker på elementet Elektrotermiske aktuatorer Forskjellig termisk ekspansjon på ulike steder pga. temperaturforskjeller Store utbøyninger kan oppnås Langsomme 6

7 Transduser-prinsipper, forts. Piezoelektriske transdusere I enkelte anisotrope krystallinske materialer forskyves ladningene når de utsettes for stress elektrisk felt stress = mekanisk spenning Tilsvarende oppstår strain når de utsettes for et elektrisk felt strain = mekanisk tøyning Eks. PZT (lead zirconate titanates) keramisk materiale (Electrostrictive transdusere Mekanisk deformasjon ved elektrisk felt Magnetostrictive transdusere Deformasjon ved magnetfelt) 7

8 Sammenligning av ulike prinsipper 8

9 Sensor-prinsipper Piezoresistiv deteksjon Kapasitiv deteksjon Piezoelektrisk deteksjon Resonans deteksjon 9

10 Sensor-prinsipper Piezoresistiv deteksjon Resistans varierer pga. ytre trykk/stress Brukes til trykk-måler utbøyning av membran Piezo-motstander plasseres på membran hvor strain har høyest verdi Resistansverdien er proporsjonal med strain Ytelsen av piezoresistive mikrosensorer er temperaturavhengig 10

11 Trykksensor Senturia 11

12 Sensor-prinsipper, forts. Kapasitiv deteksjon Benytter kapasitans-endringer Trykk elektrisk signal Detekteres ved endring i f.eks. oscillasjons-frekvens, ladning, spenning (V) Har potensial for høyere ytelse enn ved piezoresistiv deteksjon + Høy følsomhet + Kan detektere små trykk-endringer + Høy stabilitet 12

13 Sensor-prinsipper, forts. Piezoelektrisk deteksjon Elektrisk ladningsfordeling endres ved kraftpåtrykk elektrisk felt strøm Resonans deteksjon Analogi: stressvariasjon på en streng fører til strain ( tøyning ) og endring av den naturlige svinge-frekvensen 13

14 Metoder for å modellere RF MEMS 1. Enkle matematiske modeller Eks. parallell plate kondensator 2. Konvertering til elektriske ekvivalenter 3. Analyse ved Finite Element Methods 14

15 1. Enkle matematiske modeller Ligninger, formler beskriver fysiske fenomener Forenkling, approksimasjon Eksplisitte løsninger for enkle problemer Evt. linearisering rundt et operasjonspunkt Numerisk løsning av ligningssett Typisk differensialligninger + Gir konstruktøren design-innsikt/ forståelse Hvordan funksjonaliteten endres ved parametervariasjoner Kan benyttes til innledende overslag 15

16 Eks. på matematisk modellering Viktige ligninger for mange RF MEMS komponenter: Parallell plate kondensator! Elektrostatisk aktivering av kondensator med bevegelig plate opphengt i fjær Beregning av pull-in Formler og figurer 16

17 Elektrostatikk + q - q F Elektrisk kraft mellom ladninger: Coulombs lov 1 q q F = 4 πε r r Elektrisk felt = kraft pr. enhetsladning E = Arbeid utført av en kraft = endring i potensial-energi F q 0 W a b b = F a dl = U a U b Potensial, V = potensial-energi pr. enhetsladning V = U q 0 Spenning = potensial-differansen V a V b b = E dl a 17

18 Kapasitans a b E d + Q V ab Definisjon av kapasitans C = Q V ab A -Q Overflate ladningstetthet = σ σ Q 1 E = = ε A ε 0 0 C = Q V ab = ε 0 A d Spenning V ab = E d = Q A ε 0 d Energi lagret i en kondensator, C, som lades opp til en spenning V 0 ved strøm i = Q & = C dv dt U = dv v i dt = v C dt = C dt V0 1 2 ε0 v dv = CV0 = A V d

19 Parallell plate kondensator Tiltrekningskraft mellom platene F U = d = d εa ( V 2d 2 ) = εav 2d

20 Bevegelig kondensator-plate Forutsetninger for beregninger: Anta luft mellom platene Fjær holder øvre plate Fjærkonstant: k Spenning settes på Elektrostatisk tiltrekning Ved likevekt Kreftene oppover og nedover balanserer 20

21 Kreftene balanserer k = fjærkonstant tøyning utfra likevekt d0 = gap ved 0V og null fjærutstrekning d = d0 z z=d0 d Kraft på øvre plate ved V og d: = 0 ved likevekt 21

22 To likevekts-punkter ς = 1 d/d0 Senturia 22

23 Stabilitet Hvordan kreftene utvikler seg når d minker Anta en liten perturbasjon (endring) i gapet ved konstant spenning Anta at gapet minker Hvis kraften oppover også minker, er systemet USTABILT! 23

24 Stabilitet, forts. Stabilitetsbetingelse: Pull-in når: 24

25 Pull-in Pull-in oppstår når: 25

26 Pull-in Senturia 26

27 2. Konvertering til elektriske ekvivalenter Mekanisk oppførsel kan modelleres ved elektriske kretselementer Mekanisk struktur forenklinger ekvivalent elektrisk krets eks. fjær/masse R, C, L Gir mulighet for å binde sammen elektriske og mekaniske energi-domer Forenklet modellering og sam-simulering av elektroniske og mekaniske deler av systemet Et rikt utvalg av analyse-verktøy kan brukes Eks. SPICE 27

28 Konvertering til elektriske ekvivalenter, forts. I det følgende gjennomgås: Litt bakgrunn fra kretsteori Konverteringsprinsipper effort - flow Eksempel på en konvertering Mekanisk resonator I en senere forelesning: Kobling og samvirke mellom ulike energi-domener 28

29 Kretsteori Grunnleggende kretselementer: R, C, L Strøm og spennings-ligninger for grunnelementene (ved lave frekvenser) Ohms lov, C og L-ligninger V = RI, I = C dv/dt, V = L di/dt Laplace transformasjon Fra differensial-ligninger til algebraiske (s-polynomer) Komplekse impedanser: R, 1/sC, sl Kirchhoffs ligninger Σ strøm inn i noder = 0, Σ spenning rundt løkker = 0 29

30 Effort - flow Elektriske kretser beskrives av et variabelsett: konjugerte power-variable Spenning V: across eller effort-variabel Strøm I: through eller flow-variabel En effort ( innsats ) -variabel driver en flow-variabel gjennom en impedans, Z Kretselement modelleres som 1-port med terminaler Samme strøm (f = flow) inn og ut og gjennom (through) elementet Positiv flow inn i terminal der samme terminal definerer positiv effort 30

31 Energi-domener, analogier Det eksisterer ulike energi-domener Elektrisk, elastisk, termisk, for væsker etc. For hvert energidomene er det mulig å definere et sett konjugerte power-variable som kan brukes som basis for en diskretkomponent modellering (lumped modelling) med krets-elementer som er ekvivalente Tabell 5.1 Senturia -> 31

32 Eks. på konjugerte power variable 32

33 Konjugerte power-variable: e,f Anta konverteringer mellom energidomener der energien bevares! Egenskaper e * f = effekt (power) e / f = impedans Generalisert displacement representerer tilstanden (state), f. eks. posisjon eller ladning f ( t) = q& ( t) e * q = energi t q( t) = f ( t) dt + q( t0) t 0 33

34 Generalisert momentum t p( t) = e( t) dt + p( t ) 0 Mekanikk: kraftstøt, impuls F*dt= mv mv0 t 0 Generelt: p * f = energi 34

35 Eks.: Mekanisk energidomene 35

36 Eks.: Elektrisk energidomene 36

37 e V - konvensjonen Senturia og Tilmans holder seg til e V konvensjonen Eks. elektriske og mekaniske kretser e V (spenning) tilsvarer F (kraft) f I (strøm) tilsvarer v (hastighet) q Q (posisjon) tilsvarer x (posisjon) e * f = power som tilføres elementet H. Tilmans, Equivalent circuit representation of electromagnetical transducers: I. Lumped-parameter systems, J. Micromech. Microeng., Vol. 6, pp ,

38 Andre konvensjoner Det finnes ulike konvensjoner for å definere through- eller across-variable * alternativt 38

39 Generaliserte krets-elementer En-port krets-elementer R dissiperende element C, L energi-lagrings elementer Elementene kan ha en generell funksjon! Kan brukes i forskjellige energi-domener 39

40 Generalisert kapasitans Sammenlign med et forenklet tilfelle: - en lineær kondensator definisjon av C 40

41 Generalisert kapasitans, forts. Kapasitans assosieres med lagret potensiell energi Co-energy: 41

42 Energi lagret i parallell-plate kondensator Energy: W ( Q) Q Q = e dq = 0 0 q C dq = 2 Q 2C Co-energy: W * ( V ) = V V q de = C v dv = 0 0 CV 2 2 * W ( V ) = W ( Q) for lineær kapasitans 42

43 Mekanisk fjær Hook s lov: F = k x Lagret energi: Sammenlign med kondensator Q x1 1 1 W ( Q) = Q 2 C displacement displacement 2 1/C tilsvarer k 43

44 Compliance Compliance = ettergivenhet 1 C spring = k Stiv fjær liten kondensator Myk fjær stor kondensator 44

45 Generalisert induktans Energi er også definert som: Energi = lagret kinetisk energi 45

46 Eks.: Elektrisk spole Co-energy: 46

47 Analogien mellom masse (mekanisk inertance ) og induktans L Et mekanisk system har lineært momentum: p = mv Flow: Co-energy: 47

48 Analogi mellom m og L Sammenlign med: L tilsvarer m m = L inertance Mekanisk inertance (treghet) = masse m har analogi til induktans L 48

49 Sammenkobling av elementer e V har to grunnleggende prinsipper Elementer som deler en felles flow og derved en felles variasjon i displacement er koblet i serie Elementer som deler en felles effort er koblet i parallell 49

50 Eks. på sammenkobling: Direkte omforming 50

51 51

52 52

53 53

54 Udempet system (b=0, R=0) ω 1 ω LC 0 =, 0 = k m 54

55 Udempet system, forts. 55

56 Ved demping 56

57 Dempet system, forts. 57

58 58

59 Hva betyr damping time? 59

60 Q-faktor og dempetid 60

61 Amplituden ved resonans 61