9 Spherical box. Systems with cylindrical

Transkript

1 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 1 TILLEGG 9 9 Spherical box. Systems with cylindrical symmetry This Tillegg treats the spherical box potential (section 9.1). The discussion of cylindrically symmetric systems in section 9.2 is not a part of FY2045/TFY Spherical box [See in Griffiths, and 7.3 in B&J.] A very simple example of a spherically symmetric potential is the spherical box, with { 0 for r < a, V (r) = for r > a. The radial equation (T5.41) may then for 0 r < a be written on the form (kr) 2 d2 R d(kr) + 2(kr) dr 2 d(kr) + [ (kr) 2 l(l + 1) ] R(r) = 0, (T9.1) This differential equation is known as the spherical Bessel equa- where tion. k 2mE/ h 2. Spherical Bessel and Neumann functions For a given l the general solution of this equations is a linear combination of the spherical Bessel function j l (kr) and the spherical Neumann function n l (kr): R(r) = A j l (kr) + B n l (kr).

2 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 2 These two types of functions are respectively regular and irregular (diverge) at the origin. The Neumann functions are therefore not relevant when we need solutions in an r-region which includes the origin, which is the case at hand. It can be shown that ( j l (z) = z l 1 z d dz ) l sin z Thus for l = 0 and 1 we have z j 0 (z) = sin z z and n l (z) = z l (, j 1 (z) = sin z z 2 1 z ) l d cos z dz z. (T9.2) cos z z n 0 (z) = cos z and n 1 (z) = cos z sin z. z z 2 z Here we see that the Neumann functions diverge at the origin, while expansion for small z shows that the Bessel functions behave as, j 0 (z) 1 and j 1 (z) z 3 for small z. For generel values of l it can be shown that j l (z) z l for small z. This shows that the behaviour for small r of the radial functions R l (r) = A l j l (kr) (T9.3) for the spherical box agrees with the general formula (T5.44). Energy quantization and wave functions Because V = for r > a, we must require that R l (r) = 0 for r = a. This leads to energy quantization. For l = 0 this is very simple. The continuity condition R 0 (a) = Aj 0 (ka) = A sinka ka requires that ka is an integer multiple of π. Thus the allowed k-values are k (0) n = πn/a, so that the energies and the radial functions are E n,l=0 = ( hk(0) n ) 2 2m = 0 = ( hπn)2 sin(πnr/a) and R 2ma 2 n,l=0 (r) = A n0, n = 1, 2,. πnr/a (T9.4) These energies are the same as for the one-dimensional box of width a, and that is not at all surprising. This is because for l = 0 the effective potential is equal to zero for 0 r < a, so that the one-dimensional radial equation (T5.42) for u 0 (r) = rr 0 (r) takes the form h2 d 2 u 0 (r) = E u 2m dr 2 0 (r), with u 0 (0) = u 0 (a) = 0. This equation describes a one-dimensional box, and the solutions must all be of the type sin kr in order to satisfy the requirement u 0 (0) = 0. The condition u 0 (a) = 0 the requires that ka is equal to one of the zeros of the sine function, πn. This gives a set of solutions u n0 (r) sin(πnr/a), which are precisely the solutions found above.

3 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 3 The figure shows the radial functions, that is, the spherical Bessel functions j 0 (k (0) n r) = sin(πnr/a), πnr/a for n = 1, 2, 3, 4, corresponding to the radial quantum numbers n r = 0, 1, 2, 3. Note that all these s-waves differ from zero at the origin; for l = 0 there is no centrifugal barrier, which would otherwise give a zero at the origin. States with angular momentum For l 1 it is not quite as simple. Both R nl (r) and u nl (r) = rr nl (r) now become more complicated, due to the effective potential which in this case consists of the centrifugal term: Veff(r) l = h2 l(l + 1). 2mr 2 (See the figure on page 21 in Tillegg 5.) For a given l the set R nl (r) of solutions is determined by the Bessel function j l (kr), which must have a zero at r = a. This requires that ka is one of the zeros of j l, which we may denote by Π (l) n (in analogy with the zeros πn of the function R 0 (r) = j 0 (r) = sin(kr)/r): R(a) = A j l (ka) = 0 = k (l) n a = Π (l) n. The energies and the wave functions for angular momentum l thus are E n,l = ( hk(l) n ) 2 2m = ( hπ(l) n ) 2 and ψ 2ma 2 nlm (r, θ, φ) = R n,l (r)y lm (θ, φ), m = 0, ±1, ±2, where R n,l (r) = A nl j l (Π (l) n r/a), n = 1, 2,,. (T9.5) The table gives some of the zeros Π n (l) (given on page 467 in Abramowitz and Stegun). 1 Note that the radial quantum number is n r = n 1. j 0 j 1 j 2 j 3 n r = 0 Π (0) 1 = π Π (1) 1 = Π (2) 1 = Π (3) n r = 1 Π (0) 2 = π 2 Π (1) 2 = Π (2) 2 = Π (3) n r = 2 Π (0) 3 = π 3 Π (1) 3 = Π (2) 3 = Π (3) 1 = = = (T9.6) 1 These zeros, and vast amounts of other information both on Bessel functions and other important special functions, are available in a standard handbook by M. Abramowitz and I.A. Stegun; Handbook of Mathematical Functions.

4 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 4 A small exercise: Show that the zeros Π (1) n of j 1 (z) are determined by the condition tan Π (1) n = Π (1) n, and check that the zeros in the table satisfy this condition. The figure shows the radial functions R n1 (r) j 1 (Π (1) n r/a) for l = 1 and n = 1, 2, 3, corresponding to the radial quantum numbers n r = 0, 1, 2. These radial functions all behave as r for small r. For higher angular momenta (l) the centrifugal term causes a stronger suppression of the radial functions near the origin; as mentioned above they behave as r l for small r. Another small exercise: Use the above table to find the quantum numbers for the first excited levels. Find the (degree of) degeneracy for these levels. Suppose that we put a small number of non-interacting fermions with spin 1 into the box. 2 How many fermions are allowed in each energy level? 9.2 Sylindersymmetriske potensialer *** a Todimensjonale systemer (Se avsnitt 5.3 i Hemmer) Figuren viser en rekke boks-potensialer som alle har z-aksen som symmetriakse. I (a) er den endimensjonale boksen side 4 i Tillegg 8 bøyd sammen til en sirkulær ring. I (b) er denne ringen utvidet til en todimensjonal sirkulær skive. I (c) er dimensjonen i z-retningen økt and ikke lenger liten. I (d) er diameteren til sylinderen gjort liten, slik at vi har en trådformet boks ( kvantetråd ). I alle disse tilfellene er bevegelsen i z-retningen på en måte triviell: Den er som for en endimensjonal boks. I (a) and (b) eksiteres dessuten frihetsgraden i z-retningen først ved høyere energier. 2 Not compulsory in FY2045/TFY4250.

5 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 5 Baneplan-koordinater for todimensjonale systemer Om vi ser bort fra bevegelsen i z-retningen har vi da et todimensjonalt system med rotasjonssymmetri mhp z-aksen. For slike todimensjonale, rotasjonssymmetriske systemer enten det nå er bokser, mer realistiske brønner, eller mer kompliserte potensialer er det praktisk å bruke polar-koordinater i planet (baneplan-koordinater), som beskrevet i avsnitt 5.3 hos Hemmer: x = r cos φ, r = x 2 + y 2, y = r sin φ, tan φ = y/x, r x = x r = cos φ, Vha kjerneregelen har vi r y = y r = sin φ, φ x = sin φ r, φ y = cos φ. r og x = r y = r Vha disse relasjonene er det lett å vise at r x + φ φ x = cos φ r sin φ r r y + φ φ y = sin φ r + cos φ r L z = h i (x y y x ) = h i φ, φ φ. (som i kulekoordinater). baneplan-koordinater er 3 Med litt mer regning vil du også finne at Laplace-operatoren i 2 = ( ) 2 ( ) 2 + = 2 x y = 2 r r r L 2 z h 2 r 2. r r r + 1 r 2 2 φ 2 (T9.7) Kommuterende operatorer and simultane egenfunksjoner I dette underkapitlet kaller vi partikkelmassen for µ, da vi ellers kan komme i skade for å blande den sammen med det magnetiske kvantetallet m. Hamilton-operatoren tar dermed formen ( Ĥ = h2 2µ 2 + V (r) = h2 2 2µ r r ) + r 3 Ved å addere 2 /z 2 fås Laplace-operatoren i sylinderkoordinater; se Rottmann. L 2 z + V (r). (T9.8) 2µr2

6 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 6 Her kan vi identifisere det første leddet på høyresiden som radialdelen ( K r ) av kinetisk-energioperatoren K for den todimensjonale bevegelsen. Ledd nr to, operatoren K L = L 2 z/(2µr 2 ), er åpenbart rotasjonsdelen. Med et rotasjonssymmetrisk potensial V (r) er det lett å se at Ĥ kommuterer med L z. 4 Dette betyr at vi kan finne simultane egenfunksjoner ψ(r, φ) til Ĥ and L 5 z : Ĥψ = Eψ, L z ψ = m h ψ. Her angir det dimensjonsløse kvantetallet m egenverdien til L z. (Dette er grunnen til at vi har kalt massen for µ.) Egenverdiligningen for L z For fastholdt r tar egenverdiligningen for L z formen dψ ψ = im dφ. Integrasjon over φ gir da ln ψ = ln R(r) + imφ, der integrasjonskonstanten R(r) er uavhengig av φ, men en vilkårlig funksjon av r, slik at ψ(r, φ) = R(r) e imφ. Her kan ikke kvantetallet m være helt vilkårlig. For at ψ skal bli kontinuerlig, må vi nemlig ha ψ(r, 0) = ψ(r, 2π) = e 2imπ = 1 = m = 0, ±1, ±2,. (T9.9) Merk at kontinuitetskravet ovenfor er det samme som ble brukt i (T8.8) i Tillegg 10. Merk også at denne kvantiseringen av dreieimpulsen L z enkelt sagt er en følge av at bølgefunksjonen må bite seg selv i halen for φ = 0, som svarer til φ = 2π. Kvantiseringen er altså en konsekvens av at vinkelrommet er kompakt. Radialligningen Radialfunksjonen R(r) bestemmes nå ved innsetting i energiegenverdiligningen. Siden ˆL 2 zψ = R(r)ˆL 2 ze imφ = h 2 m 2 R(r)e imφ, (T9.10) finner vi at R(r) må oppfylle radialligningen ( h2 d 2 2µ dr r ) [ d R(r) + V (r) + h2 m 2 ] R(r) = ER(r). dr 2µr 2 (T9.11) 4 I det tredimensjonale tilfellet, med V = V (r, z), dvs rotasjonssymmetri mhp z-aksen, kommuterer Ĥ med L z, men ikke med de øvrige komponentene av L, and heller ikke med L 2. 5 Det at ˆL z kommuterer med Ĥ betyr ifølge ligning (4.19) i Hemmer også at d dt L z = ī h [Ĥ, L z ] = 0, dvs L z er tidsuavhengig for en vilkårlig tilstand i potensialet V (r). Vi sier da at L z er en bevegelseskonstant i kvantemekanisk forstand. Se avsnitt 4.3 hos Hemmer.

7 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 7 Her legger vi merke til at potensialet V (r) opptrer sammen med leddet h 2 m 2 2µr 2 = L2 z 2µr 2. Dette er et sentrifugalledd som svarer til sentrifugalkraften knyttet til dreieimpulsen L z. Sammen med det egentlige potensialet utgjør altså sentrifugalleddet et slags effektivt potensial V m eff (r) = V (r) + h2 m 2, m = 0, 1, 2,. (T9.12) 2µr2 Dette betyr på en måte at vi har én radialligning for hver verdi av m, med et sett av radialfunksjoner R (m) (r) som vi kan karakterisere ved m and antall nullpunkter n r (det såkalte radial-kvantetallet), om vi ønsker. De tilhørende energiene avhenger som vi ser ikke av fortegnet til kvantetallet m, siden det er m 2 som inngår i radialligningen. For m 1 har vi altså degenerasjonsgrad 2. Siden krumningen øker med antall nullpunkter, vil energiene E generelt øke med radialkvantetallet n r for fastholdt m. De vil også øke med m for fastholdt n r, fordi det positive 6 (og frastøtende) sentrifugalleddet øker med økende m. Dette illustreres i eksemplet nedenfor. 9.2.b Sirkulært todimensjonalt bokspotensial Her antar vi at partikkelen er tvunget til å bevege seg på en sirkelflate med radius a. Dette svarer til et todimensjonalt sirkulært boks-potensial { 0 for 0 < r < a, V (r) = for r > a. Figuren viser det effektive potensialet i (T9.11) for m = 0, 1 og 2. 6 Disse konklusjonene holder selv om vi ikke har skrevet radialligningen ovenfor på såkalt endimensjonal form. Det siste er lett å gjøre. Ved innføring av R(r) = v(r)/ r finner en istedenfor radialligningen (T9.11) en radialligning for funksjonen v(r) der leddet r 1 d/dr.. er borte, mens leddet h 2 m 2 /(2µr 2 ) er erstattet med h 2 (m 2 1/4)/(2µr 2 ).

8 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 8 Med kan vi da skrive radialligningen på formen E h2 k 2 2µ (kr) 2 d 2 R d(kr) + kr dr 2 d(kr) + [ (kr) 2 m 2] R = 0, (0 < r < a), (T9.13) med randkravet at R(a) = 0, siden bølgefunksjonen skal være kontinuerlig and lik null for r > a. Det er denne radialligningen and randkravet som bestemmer de mulige verdiene for k and dermed energiegenverdiene, for hver verdi av m. Fra diagrammet ovenfor and diskusjonen i avsnitt a må vi vente å finne grunntilstanden for m = 0. Dessuten venter vi å finne et sett med løsninger for hver verdi av m. Denne differensialligningen er en standard-ligning i anvendt matematikk, and er kjent som Bessel-ligningen. Løsningene, de såkalte sylinderfunksjonene, har et stort bruksområde i fysikk and teknologi. For hver m ( 0) har ligningen to uavhengige løsninger. Disse kan velges slik at den ene, Bessel-funksjonen J m (kr), er regulær (endelig) i origo, slik vi må kreve av en radialfunksjon. Den andre, Neumann-funksjonen N m (kr), er irregulær i origo (går mot uendelig når r 0) and kan derfor ikke brukes i et område som inkluderer origo, slik vi har her. Figuren viser J 0 (z) (relevant for m = 0), J 1 (z) (relevant for m = ±1) and J 8 (z) (relevant for m = ±8). Under disse kurvene har vi til sammenligning tatt med sin z. Legg merke til at nullpunktene for J 0, som vi har kalt Π (0) n, kommer litt før nullpunktene for sinusen, som svarer til z = πn. (Derfor betegnelsen Π (m) n for nullpunktene til Bessel-funksjonen J m (z).) Legg også merke til at nullpunktene Π (1) n for J 1 (z) (m = 1) ligger til høyre for de tilsvarende nullpunktene for m = 0. Dette er en generell tendens. J 8 (z), f.eks, har det

9 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 9 første nullpunktet for z > 12. Tabellen gir noen av disse nullpunktene: 7 J 0 J 1 J 2 J 3 Π (0) 1 = Π (1) 1 = Π (2) 1 = Π (3) Π (0) 2 = Π (1) 2 = Π (2) 2 = Π (3) Π (0) 3 = Π (1) 3 = Π (2) 3 = Π (3) 1 = = = (T9.14) Poenget med disse nullpunktene blir kanskje klarere dersom vi rekapitulerer framgangsmåten for en ordinær endimensjonal boks med vidde a. Også i dette tilfellet har egenverdiligningen to uavhengige løsninger: Den ene, cos kx, må vi forkaste pga oppførselen for x = 0. Den andre, sin kx, oppfører seg bra i x = 0, and gir en akseptabel egenfunksjon dersom et av nullpunktene (se sinus-kurven ovenfor) faller i x = a. Dette svarer til k n a = πn and E n = ( hk n) 2 2µ = ( hπn)2 2µa 2 (ordinær én-dim. boks). På denne måten beskrives f.eks grunntilstanden av den delen av sinus-kurven som ligger mellom 0 and π, første eksiterte tilstand beskrives av den delen av sinusen som ligger mellom 0 and 2π, and får dermed et nullpunkt, osv. For den todimensjonale sirkulære boksen må vi tilsvarende, for en gitt m (> 0), kreve at radialfunksjonen R (m) (r) = J m (kr) har et nullpunkt for r = a. Tar vi m = 0 som et eksempel, gir dette at k (0) n a = Π (0) n and E (0) n = ( hk(0) n ) 2 2µ = ( hπ(0) n ) 2. (T9.15) 2µa 2 Den laveste av disse energiene svarer til den aller laveste nullpunktsverdien i tabellen, Π (0) 1 = (for n = 1). Den tilhørende radialfunksjonen er den delen av Bessel-funksjonen J 0 som ligger mellom 0 and Π (0) 1 : R (0) 1 (r) = J 0 (k (0) 1 r) = J 0 (Π (0) 1 r/a). Denne er vist i diagrammet nedenfor, hvor vi også har tatt med løsningene for n = 2 and n = 3, med hhvis ett and to nullpunkter i intervallet 0 < r < a. Energiene til disse tilstandene finner vi ved å sette inn i (T9.15) verdiene for Π (0) n fra tabellen ovenfor. Som tabellen viser, and som diskutert på slutten av avsnitt b, vokser selvsagt energiene med antall nullpunkter, fordi flere nullpunkter i radialfunksjonen betyr mer krumning. 7 Disse nullpunktene, and mye annen informasjon både om Bessel-funksjoner and andre viktige spesielle funksjoner, kan du finne bl.a i et standard oppslagsverk av M. Abramowitz and I.A. Stegun; Handbook of Mathematical Functions.

10 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 10 Disse radialfunksjonene er alle bestemt av Bessel-funksjonen J 0 : Analogt med at de ordinære boks-løsningene alle er bestemt av sinusfunksjonen, sin(k n x) = sin(πnx/a), har vi at R (0) n (r) = J 0 (k (0) n r) = J 0 (Π (0) n r/a). (T9.16) For m 1 blir det helt tilsvarende: Energiene and de tilhørende radialfunksjonene finnes fra betingelsen k n (m) a = Π (m) n, som gir E (m) n = ( hk(m) n ) 2 2µ = ( hπ(m) n ) 2 og R (m) 2µa 2 n (r) = J m (Π (m) n r/a). (T9.17) Figuren nedenfor viser radialfunksjonene R (1) n (r) for m = 1 and n = 1, 2 og 3. Disse radialfunksjonene for m = 1 går alle mot null som r for små r (i motsetning til radialfunksjonene for m = 0, som har et maksimum for r = 0). Dette skyldes sentrifugalleddet for m = 1. Figuren viser også radialfunksjonen R (8) 1 (r) = J 8 (Π (8) 1 r/a) for m = 8. Her er sentrifugalleddet så kraftig frastøtende at radialfunksjonen undertrykkes sterkt for små r. (Den går som r 8 nær origo.) Bortsett fra normeringskonstanter er de komplette bølgefunksjonene and energiene gitt ved ψ (m) n = e imφ R n ( m ) (r) = e imφ J m (Π ( m ) n r/a) and E n (m) = ( hπ( m ) n ) 2, (T9.18) 2µa 2 der m = ± m and n = 1, 2,. Sannsynlighetstetthetene er som vi ser rotasjons-symmetriske, dvs de er gitt ved kvadratene av radialfunksjonene. Fra figurene ovenfor ser vi at antall nullpunkter (i radialfunksjonene) for 0 < r < a er n 1. Dette antallet kalles som nevnt ofte for radial-kvantetallet, and er altså her n r n 1. For n r 1 (n 2) kan vi si at vi har eksitasjon av den radielle frihetsgraden. Dette er analogt med at m 1 svarer til eksitasjon av rotasjons-frihetsgraden. Grunntilstanden svarer selvsagt (som vi har sett) til at ingen av disse frihetsgradene er eksitert, dvs til m = 0 and n = 1. Bølgefunksjonen ψ (0) 1 = R (0) 1 (r) er da vinkeluavhengig (null dreieimpuls L z ), and radialfunksjonen har ingen nullpunkter for 0 < r < a, dvs minimal krumning i radialretningen. Dette bekreftes av energiformelen ovenfor and tabellen, som viser at den laveste nullpunktsverdien er Π (0) 1 =

11 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 11 Spørsm alet er n a om 1. eksiterte niv a svarer til en eksitasjon av radial- eller rotasjonsbevegelsen? Svaret finner vi i tabellen. Denne viser at det nest laveste energiniv aet er (1) (1) 2 (1) 2 E1 = ( hπ1 ) /(2µa ), med Π1 = De to tilstandene p a dette niv aet har radialkvantetall nr = n 1 = 0 and dreieimpuls-kvantetall m = ±1 (dvs Lz = ± h). S a her er det rotasjonsbevegelsen som er eksitert, and som gir vinkelavhengige bølgefunksjoner, proporsjonale med e±iφ. (2) (2) (2) Tabellen viser videre at 2. eksiterte niv a er E1 = ( hπ1 )2 /(2µa2 ), med Π1 = Her har alts a de to tilstandene Lz = ±2 h, and energiøkningen henger sammen med at vi har f att en raskere vinkelvariasjon, gjennom faktorene e±2iφ. (0) Den radielle eksitasjonen kommer først inn i bildet for 3. eksiterte niv a, som er E2 = (0) (0) (0) (0) ( hπ2 )2 /(2µa2 ), med Π2 = Her er vi tilbake til en rotasjonsfri tilstand ψ2 = R2 (r), med m = 0 and nr = n 1 = 1. Den radielle eksitasjonen kommer til uttrykk ved at (0) R2 (r) har et nullpunkt for r 0.44 a (se figuren). Dette gir raskere krumning and alts a høyere energi enn for tilstandene p a 1. and 2. eksiterte niv a. Legg ellers merke til at nullpunktet (noden) til radialfunksjonen svarer til en sirkulær node-linje for bølgefunksjonen ψ(r, φ). Noe av moralen i denne diskusjonen er at rekkefølgen av energiniv aene bestemmes av (m) nullpunkts-verdiene Πn for Bessel-funksjonen; jf tabellen. Dersom vi tenker oss at denne todimensjonale boksen fylles med et antall identiske fermioner, f.eks elektroner, s a bestem(m) mer tabellen fyllingsrekkefølgen, med to elektroner pr romlig tilstand ψn (r, φ). Dette er analogt med fyllingsrekkefølgen ved oppbygningen av atomer. Partikkeltettheten for en slik fler-elektron-tilstand vil bli rotasjons-symmetrisk, siden den er en overlagring av sannsynlighetstetthetene h i2 ψn(m) (r, φ) 2 = Rn(m) (r). Figuren viser et sveipe-tunnelerings-bilde tatt av en overflate av kopper. P a denne overflata er det laget en kvante-innhengning ( quantum corral ) vha 48 jern-atomer. Dette bildet forteller veldig tydelig at kotekartet over elektrontettheten p a overflata inne i innhengningen er rotasjons-symmetrisk. Figuren nedenfor viser et forsøk p a a etterligne den observerte elektrontettheten vha tilstander for en sylindrisk boks.

12 TFY4250/FY2045 Tillegg 9 - Spherical box. Syatems with cylindrical symmetry 12 Det er komplikasjoner ved en slik sammenligning: Overflate-elektronene i kopper utgjør ikke et rent todimensjonalt system. Jern-atomene gir ingen boks, men snarere en brønn (eller en innhengning avgrenset av en endelig barriere), osv. På tross av slike innvendinger er det vel likevel klart at sveipebildet gir en tydelig demonstrasjon av fysikken i diskusjonen ovenfor.