Matematisk modellering og IKT, LMM

Transkript

1 Individuell skriftlig eksamen i Matematisk modellering og IKT, LMM studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN BOKMÅL Sensurfrist: Resultatet blir gjort tilgjengelig fortløpende på studentweb senest første virkedag etter sensurfrist. (se Timer: 6 Hjelpemidler: Kalkulator, ett A4-ark med egne notater, utdrag fra LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK (vedlegg 1) og utdelt artikkel (Gravemeijer, 1999). Informasjon: Oppgavesettet er på 9 sider, inkludert vedlegg, og består av 3 oppgaver som alle skal besvares. Oppgavene vektes i utgangspunktet i følge prosentangivelse gitt i parentes etter oppgavenummeret, men ved endelig karaktersetting vil en helhetsvurdering av besvarelsen legges til grunn. Oppgave 1 (10 %) En bakteriekultur inneholder 1000 bakterier ved tiden t = 0. Endringsraten målt i bakterier per time er i ethvert tidspunkt lik 30 % av bakterietallet. a) Finn et uttrykk for bakterietallet B etter t timer. Beskriv kort hva som kjennetegner denne vekstmodellen. b) Regn ut bakterietallet etter 10 timer, samt endringen i antall bakterier per time i tidspunktet 10 timer. c) Bruk uttrykket for B(t) til å verifisere at endringsraten alltid er 30 % av bakterietallet. Oppgave 2 (50 %) Elever på 9. trinn jobber med temperaturendring i vann. De har brukt elektronisk dataloggingsutstyr med temperatursensor for å måle og registrere temperaturen i et krus med varmt vann over en tidsperiode på 20 timer. En tabell med 24 tidspunkter er delt ut for at elevene skal fylle inn temperaturen i de aktuelle tidspunktene. Rommet der kruset står har en konstant temperatur på 20 grader Celsius. 1

2 Oppgaven til elevene er gitt slik: a) Les av målingene gjort med dataloggeren og fyll inn de registerte temperaturene i tabellen som er utdelt. Tegn grafen til temperaturen som en funksjon av tiden (bruk GeoGebra). b) Hvor mye har temperaturen endret seg i disse tidsintervallene: - fra 0 til 15 minutter? - fra 60 til 75 minutter? - fra 120 til 150 minutter? - fra 830 til 890 minutter? c) Beskriv temperaturutviklingen i vannet i de 20 timene som målingene har pågått. Aina, Bertil og Christer er elever i klassen og samarbeider om oppgaven. Deres måleresultater er gjengitt i Tabell 1. Figur 2 er grafen de har tegnet ved hjelp av Polylinje i GeoGebra. Tabell 1: Aina, Bertil og Christers måledata avlest fra dataloggeren Tid (minutter) Temperatur (grader Celsius)

3 Figur 2: Aina, Bertil og Christers graf fra GeoGebra Aina, Bertil og Christer har funnet disse temperaturdifferansene som svar på oppgave (b): 0 15 min: 6 grader min: 3,2 grader min: 4,5 grader min: 0,2 grader Følgende dialog utspiller seg på deres gruppe: 1. Christer: De tallene vi har regnet ut stemmer ikke med grafen, for på grafen ser det ut som forskjellen blir mindre og mindre. 2. Aina: Ja, og så flater det ut når det nærmer seg 20 [grader] 3. Christer: og det er romtemperaturen, så det er ganske logisk 4. Aina: Ja, for vannet kan ikke bli kaldere enn det er i rommet. 5. Bertil: Men det er ikke like lang tid mellom de tallene. 6. Aina: Hva mener du? 7. Bertil: Det er 15 minutter mellom punktene i de to første målingene, så er det 30 i den neste og 60 i den siste. Så vi kan ikke bare sammenlikne 8. Aina: Nei, vi må kanskje si noe om hvor lang tid de forskjellene gjelder for da? At de to første er i løpet av 15 minutter, den tredje er i løpet av 30 minutter og den siste for 60 minutter. 9. Christer: Hvordan blir det da? 6 grader i løpet av 15 minutter og 3,2 grader i løpet av 15 minutter. Så 4,5 grader i løpet av 30 minutter og 0,2 grader i løpet av 60 minutter. 10. Bertil: Her ser det ut som at forskjellen eller differansen blir mindre dess lengre tid vi tar differansen over. Er det svaret på oppgave (c)? (Stillhet 8 sek.) 3

4 11. Christer: Det stemmer ikke, for hvis vi ser på tabellen så har temperaturen gått ned med 20 grader på de første 60 minuttene. Det er over lang tid, men forskjellen er ikke akkurat liten. Det hadde vært greiere om vi hadde snakket om temperaturendringen per minutt i stedet for 15 minutter og så videre. Da hadde det vært lettere å svare på oppgave (c) tror jeg. 12. Aina: Ja, vi prøver å dele på 15 på de to første, og så 30 og 60. Hva får vi da? 13. Bertil: (Regner ut på kalkulatoren) Den første blir 0,4 og den neste blir 0,2 cirka, den tredje blir 0,15 og den siste blir 0,003 cirka. Da stemmer det med grafen, at de blir mindre og mindre. 14. Aina: Ja. 15. Christer: Og til slutt blir det ingen forskjell. Se på forskjellen mellom 1010 og 1200 minutter. Da er temperaturen i vannet lik romtemperaturen er etter nesten 17 timer (har regnet ut på kalkulatoren). 16. Aina: Forskjellen i temperatur per minutt er størst når vi starter, og så blir den mindre og mindre inntil det ikke er noen forskjell lenger. Den går ned til null. 17. Bertil: Men i stad sa dere at den aldri blir mindre enn 20 grader? 18. Christer: Temperaturen blir ikke mindre enn 20, men det er temperaturendringen vi snakker om nå. (Stillhet 16 sek.) 19. Aina: Når temperaturen i vannet er høy, så er temperaturendringen per minutt høy også. 20. Christer: Ja, og når temperaturen i vannet er blitt nesten som romtemperaturen, så er temperaturendringen liten også. 21. Bertil: Men hva betyr egentlig de tallene vi fikk når vi delte på minuttene? At vi fikk 0,4 for eksempel når vi tok forskjellen mellom 0 og 15 minutter? Jeg skjønner ikke hvorfor 0,4 er bedre enn 6 som vi fikk først. Begge er jo grader. a) Analyser episoden der du drøfter elevenes løsninger og ytringer (inkludert grafen de har laget) med tanke på matematisk innhold. Identifiser viktige ytringer med tanke på begrepet endringsrate, og begrunn hvorfor du mener de er viktige. b) Hvordan ville du som lærer ha brukt denne episoden til å jobbe videre med det aktuelle begrepet? Beskriv en oppfølgingsoppgave du ville ha gitt disse elevene. Definer hvilket kunnskapsmål oppgaven sikter mot. Begrunn hvorfor du mener oppfølgingsoppgaven er egnet til å nå dette målet. c) Den gitte episoden og det du har beskrevet som oppfølgende undervisningsenhet skal videre drøftes med tanke på begrepet oppståtte modeller fra RME (Realistic Mathematics Education): Fokuset skal være på overgangen fra en modell av en situasjon til en modell for matematisk resonnement. Drøftingen skal forankres i relevant litteratur. d) Sett opp en differensiallikning med startbetingelser som representerer temperaturutviklingen i vannet som gitt i tabellen til Aina, Bertil og Christer. Hvilken kunnskap bygger du på når du setter opp denne differensiallikningen? Løs likningen, og kommenter løsningen. e) I hvilket tidspunkt vil temperaturendringen være lik -0,3 grader per minutt? 4

5 Oppgave 3 (40 %) De tre grafene i Figur 3 nedenfor viser posisjonen til tre roboter som funksjon av tiden. Den horisontale aksen viser tiden i minutter, og den vertikale aksen viser robotenes avstand i meter fra et gitt startpunkt. Robotene beveger seg langs en rett linje. Robot 1 Robot 2 Robot 3 Figur 3: Robotenes posisjon som funksjon av tiden a) Lag en skisse av hastighetsgrafene til de tre robotene i koordinatsystemet på Vedlegg 2. Du får oppgitt at momentanhastigheten til robot 1 er 0 meter per minutt både for t=0 og for t=10, momentanhastigheten til robot 2 er 30 meter per minutt for t=0 og for t=10, og momentanhastigheten til robot 3 er 30 meter per minutt for t=0 og 60 meter per minutt for t=10. b) Forklar med ord hvordan bevegelsen i de 10 minuttene som grafene viser, arter seg for hver av de tre robotene. Angi alle tidspunkter der to roboter har samme hastighet og tidspunkter der to roboter er på samme sted samtidig. Forklar hvordan du finner dette. c) Du får oppgitt at funksjonene F(t) = 0,4t 3 6t t og G(t) = -0,2t 3 + 3t 2 viser posisjonen til to av robotene 1, 2 eller 3. Hvilken funksjon passer til hvilken robot? Svaret skal begrunnes. En fjerde robot ble satt inn sammen med de tre andre. Hastigheten til denne roboten for tidsintervallet fra 0 til 10 minutter er programmert til å følge funksjonen h(t) = 20 2t. d) Tegn grafen til posisjonen til robot 4 sammen med grafene til posisjonen til robotene 1, 2 og 3. Bruk Vedlegg 3 til dette. På Vedlegg 3 finnes også fire kopier av en akse som representerer strekningen robotene beveger seg. Marker posisjonen til hver av de fire robotene på disse aksene etter 2, 4, 6 og 8 minutter. Lykke til! 5

6 Vedlegg 1: Utdrag fra LK06 LÆREPLAN I MATEMATIKK Kompetansemål etter 10. årssteget Tal og algebra samanlikne og rekne om heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, og uttrykkje slike tal på varierte måtar rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar utvikle, bruke og gjere greie for metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likningssystem med to ukjende setje opp enkle budsjett og gjere berekningar omkring privatøkonomi bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Geometri analysere, også digitalt, eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke dei i samband med konstruksjonar og berekningar utføre og grunngje geometriske konstruksjonar og avbildingar med passar og linjal og andre hjelpemiddel bruke formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt ved å bruke ulike hjelpemiddel bruke koordinatar til å avbilde figurar og finne eigenskapar ved geometriske former utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear, og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur Måling gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum og tid, og bruke og endre målestokk velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling, og drøfte presisjon og måleusikkerheit gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum 6

7 Statistikk, sannsyn og kombinatorikk gjennomføre undersøkingar og bruke databasar til å søkje etter og analysere statistiske data og vise kjeldekritikk ordne og gruppere data, finne og drøfte median, typetal, gjennomsnitt og variasjonsbreidd, og presentere data med og utan digitale verktøy finne sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spell beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal vise med døme og finne dei moglege løysingane på enkle kombinatoriske problem Funksjonar lage, på papiret og digitalt, funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekst identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og enkle kvadratiske funksjonar, og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane 7

8 Vedlegg 2 8

9 Vedlegg 3 Robot 1 Robot 2 Robot 3 t = 2 t = 4 t = 6 t = 8 9