MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA studiepoeng

Transkript

1 Individuell skriftlig eksamen i MATEMATISK MODELLERING, LTMAGMA studiepoeng UTSATT EKSAMEN Sensur faller innen BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs (se Timer: 4 Hjelpemidler: Kalkulator, ett A4-ark med egne notater, utdrag fra Læreplan i matematikk fellesfag (Vedlegg 1 og 3) og utdelt artikkel (Doorman & Gravemeijer, 2009). Informasjon: Oppgavesettet er på 8 sider, inkludert vedlegg, og består av 2 oppgaver som begge skal besvares. Oppgavene vektes i utgangspunktet likt, men ved endelig karaktersetting vil en helhetsvurdering av besvarelsen legges til grunn. Oppgave 1 Tabell 1 viser middelavstanden til sola for planetene i solsystemet (målt i millioner kilometer) og tiden det tar for planetene å gjøre et omløp rundt sola (målt i dager). 6 Planet Middelavstand til sola ( 10 ) Omløpstid R (km) T (dager) Merkur 57,9 88 Venus 108,2 225 Jorda 149,6 365 Mars 227,9 687 Jupiter 778, Saturn Uranus Neptun Pluto Tabell 1. Middelavstand til og omløpstid rundt sola for planetene i solsystemet 1

2 a) Velg data fra noen planeter fra Tabell 1 for å vise eksempler på at kvadratet av omløpstiden til to planeter forholder seg til hverandre som tredjepotensen av middelavstanden til sola for de samme planetene. b) Forklar hvordan det du har vist i forrige oppgave medfører at forholdet mellom kvadratet av omløpstiden rundt sola og tredjepotensen av middelavstanden til sola er det samme for alle planetene. c) La datamaterialet i Tabell 1 være utgangspunkt for undervisning av et valgt begrep fra et av kompetansemålene i matematikk på ungdomstrinnet (Vedlegg 1). Presenter en kort epistemologisk analyse av begrepet, og lag en oppgave som har som mål at elevene utvikler en modell for matematisk resonnement (rundt det valgte begrepet) inspirert av realistisk matematikkundervisning (RME). Bruk den vedlagte artikkelen til Doorman og Gravemeijer (2009), og forklar hvordan sentrale elementer fra RME er (tenkt) integrert i prosessen med å løse oppgaven du lagde. Oppgave 2 Problemet som i dag er kjent som Det kinesiske postmannproblemet, ble presentert av den kinesiske matematikeren Mei-ko Kwan i 1962 og kan formuleres slik: En postmann skal levere post til alle husene i byen. Han starter på postkontoret og skal returnere til postkontoret når han er ferdig med utleveringen. Hvilken rute skal han velge gjennom byen slik at han kommer gjennom alle gatene og samtidig tilbakelegger kortest mulig strekning. Du skal nå undersøke dette problemet basert på følgende kontekst. Postmann Pat skal levere post i alle gatene og til alle husene i bydelen Newtown. Han kjører med bil til et bestemt punkt og derfra går han til fots gjennom bydelen. Til slutt må han naturligvis tilbake dit bilen står parkert. Han vil gå kortest mulig strekning, så for å planlegge ruta får han tak i et kart over Newtown. På kartet kan han måle avstander langs de forskjellige gatene. På basis av kartet og målingene lager han følgende figur (Figur 1) over gatenettet i Newtown. Punktet P representerer det stedet der han parkerer bilen. 2

3 Figur 1 a) Gjør rede for hvorfor Figur 1 kan sies å være en realistisk modell av det realistiske problemet som Postmann Pat står overfor. Få spesielt med hvilke forenklinger som er gjort i det realistiske problemet og hvorfor modellen allikevel får med de aspektene ved problemet som er relevante for å løse det. b) I Vedlegg 2 finner du den samme figuren i større format. Tegn inn en rute på figuren på vedlegget som vil være en løsning på Postmann Pat sitt problem. Lever inn dette vedlegget sammen med besvarelsen. Gjør rede for hvorfor den ruta du har tegnet virkelig er en løsning, dvs. forklar at det ikke finnes en kortere rute. c) Postmann Pat vil også gjerne gjøre unna ruta si på kortest mulig tid. Hva slags informasjon kan du tenke deg ville være relevant å ha med i modellen i tillegg til den informasjonen du har, for å kunne vurdere hvilken rute som både er kortest og som kan tilbakelegges på kortest mulig tid? d) Etter en tid fikk Postmann Pat beskjed om at han skulle inkludere to nye gater i ruta si. Disse gatene er markert med tykke linjer på Figur 2. Gjør undersøkelser for å finne ut hvordan det å legge til disse to gatene har innvirkning på valget av kortest mulig rute. Hvor lang blir den korteste ruta i denne situasjonen? Begrunn svaret. 3

4 Figur 2 e) I Vedlegg 3 finner du utskrift av avsnittet Føremål i gjeldende læreplan for matematikk fellesfag. Tenk deg at du lar en gruppe elever arbeide med det samme problemet som du har arbeidet med i denne oppgaven. Vis til konkrete formuleringer i avsnittet Føremål som vil bli adressert gjennom å arbeide med dette problemet. Begrunn hvorfor du mener at nettopp disse formuleringene blir adressert. 4

5 Vedlegg 1. Utdrag 1 fra Læreplan i matematikk fellesfag (gjeldende fra ) Kompetansemål etter 10. årssteget Tal og algebra samanlikne og rekne om mellom heile tal, desimaltal, brøkar, prosent, promille og tal på standardform, uttrykkje slike tal på varierte måtar og vurdere i kva for situasjonar ulike representasjonar er formålstenlege rekne med brøk, utføre divisjon av brøkar og forenkle brøkuttrykk bruke faktorar, potensar, kvadratrøter og primtal i berekningar utvikle, bruke og gjere greie for ulike metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane løyse likningar og ulikskapar av første grad og likningssystem med to ukjende og bruke dette til å løyse praktiske og teoretiske problem gjere berekningar om forbruk, bruk av kredittkort, inntekt, lån og sparing, setje opp budsjett og rekneskap ved å bruke rekneark og gjere greie for berekningar og presentere resultata analysere samansette problemstillingar, identifisere faste og variable storleikar, kople samansette problemstillingar til kjende løysingsmetodar, gjennomføre berekningar og presentere resultata på ein formålstenleg måte bruke tal og variablar i utforsking, eksperimentering og praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar utføre, beskrive og grunngje geometriske konstruksjonar med passar og linjal og dynamisk geometriprogram bruke og grunngje bruken av formlikskap og Pytagoras setning i berekning av ukjende storleikar tolke og lage arbeidsteikningar og perspektivteikningar med fleire forsvinningspunkt, med og utan digitale verktøy bruke koordinatar til å avbilde figurar og utforske eigenskapar ved geometriske former, med og utan digitale verktøy utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnement ved hjelp av geometriske idear og gjere greie for geometriske forhold som har særleg mykje å seie i teknologi, kunst og arkitektur 5

6 Måling gjere overslag over og berekne lengd, omkrins, vinkel, areal, overflate, volum, tid, fart og massetettleik og bruke og endre målestokk velje høvelege måleiningar, forklare samanhengar og rekne om mellom ulike måleiningar, bruke og vurdere måleinstrument og målemetodar i praktisk måling og drøfte presisjon og måleusikkerheit gjere greie for talet π og bruke det i berekningar av omkrins, areal og volum Statistikk, sannsyn og kombinatorikk gjennomføre undersøkingar og bruke databasar til å søkje etter og analysere statistiske data og vise kjeldekritikk ordne og gruppere data, finne og drøfte median, typetal, gjennomsnitt og variasjonsbreidd, presentere data, med og utan digitale verktøy, og drøfte ulike dataframstillingar og kva inntrykk dei kan gje finne og diskutere sannsyn gjennom eksperimentering, simulering og berekning i daglegdagse samanhengar og spel beskrive utfallsrom og uttrykkje sannsyn som brøk, prosent og desimaltal drøfte og løyse enkle kombinatoriske problem Funksjonar lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar identifisere og utnytte eigenskapane til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære og kvadratiske funksjonar og gje døme på praktiske situasjonar som kan beskrivast med desse funksjonane 6

7 Vedlegg 2 Lever inn dette sammen med besvarelsen 7

8 Vedlegg 3. Utdrag 2 fra Læreplan i matematikk fellesfag (gjeldende fra ) Føremål Matematikk er ein del av den globale kulturarven vår. Mennesket har til alle tider brukt og utvikla matematikk for å systematisere erfaringar, for å beskrive og forstå samanhengar i naturen og i samfunnet og for å utforske universet. Ei anna inspirasjonskjelde til utviklinga av faget har vore glede hos menneske over arbeid med matematikk i seg sjølv. Faget grip inn i mange vitale samfunnsområde, som medisin, økonomi, teknologi, kommunikasjon, energiforvalting og byggjeverksemd. Solid kompetanse i matematikk er dermed ein føresetnad for utvikling av samfunnet. Eit aktivt demokrati treng borgarar som kan setje seg inn i, forstå og kritisk vurdere kvantitativ informasjon, statistiske analysar og økonomiske prognosar. På den måten er matematisk kompetanse nødvendig for å forstå og kunne påverke prosessar i samfunnet. Matematisk kompetanse inneber å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er. Dette har òg språklege aspekt, som det å formidle, samtale om og resonnere omkring idear. I det meste av matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi. Både det å kunne bruke og vurdere ulike hjelpemiddel og det å kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget. Kompetanse i matematikk er ein viktig reiskap for den einskilde, og faget kan leggje grunnlag for å ta vidare utdanning og for deltaking i yrkesliv og fritidsaktivitetar. Matematikk ligg til grunn for store delar av kulturhistoria vår og utviklinga av logisk tenking. På den måten spelar faget ei sentral rolle i den allmenne danninga ved å påverke identitet, tenkjemåte og sjølvforståing. Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk. Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktivitetar og ferdigheitstrening. I praktisk bruk viser matematikk sin nytte som reiskapsfag. I skolearbeidet utnyttar ein sentrale idear, former, strukturar og samanhengar i faget. Elevane må utfordrast til å kommunisere matematikk skriftleg, munnleg og digitalt. Det må leggjast til rette for at både jenter og gutar får rike erfaringar med matematikkfaget, som skaper positive haldningar og ein solid fagkompetanse. Slik blir det lagt eit grunnlag for livslang læring. 8