HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for lærer- og tolkeutdanning Emnekode(r): Emnenavn: Studiepoeng: Eksamensdato: Varighet/Timer: Målform: Kontaktperson/faglærer: (navn og telefonnr på eksamensdagen) Oppgavesettet består av: (antall oppgaver og antall sider inkl. forside) LVUT8058 Matematikk (KFK) timer Bokmål Torkel Haugan Hansen tlf: oppgaver, 7 sider Vedlegg består av: (antall sider) Hjelpemidler: Inntil 4 sider med egne notater. Evnt. info: NB! Oppgaveteksten kan beholdes av studenter som sitter eksamenstiden ut. Resultatet blir gjort tilgjengelig fortløpende på studweb. når sensur er innlevert av sensor, senest første virkedag etter sensurfristen (15 virkedager etter eksamensdato). Lykke til! 1

2 Oppgave 1 Alle spørsmålene er knyttet til etterfølgende dialog. a. Hva kan være de faglige målene som læreren har i samtalen med de tre elevene? b. Drøft elevenes innspill, strategier og argumentasjon og belys gjennom dette elevenes forståelse for likhetstegnet og eventuell utvikling av denne i samtalen. c. Et mål i læringa av matematikk er at elevene skal oppdage og generalisere viktige sammenhenger. Hvordan ville du som lærer lagt opp det videre arbeidet med disse elevene for å strekke dem i retning av et slikt mål? Dialog Dialogen foregår mellom lærer og tre elever på 3.trinn. 1. Lærer: Neste oppgave er = _ Hva skal vi skrive på den åpne plassen her for at det skal være det samme på begge sidene? 2. Cecilie: Dette går ikke. 3. Vebjørn: Og så plusser de på Emma: Er ikke dette? (tenkepause.) 34? 5. Lærer: Hvorfor tror du det? Hva tenkte du når du fant 34? 6. Emma: Jeg tenkte at det var en tier her og en tier der (peker på 12 og 13). Og så har vi en nier og hvis jeg tar en ener fra den (peker på 12) så får jeg en tier. Da har jeg 30. Og så tar jeg treeren og pluss en ener. 7. Lærer: Ok. Men hvis vi ser på dette tegnet her, hva betyr det? (Peker på likhetstegnet.) 8. Cecilie: Det er det samme som. 9. Lærer: Ja. Er det det samme på begge sidene av likhetstegnet hvis vi setter inn 34? 10. Alle i kor: Nei. 11. Vebjørn: Da kan det ikke være Emma: Det blir Lærer: Hva tenker du da Emma? 14. Emma: Jeg tenker at det må være det samme på begge sidene. 15. Lærer: Ja. Men hvordan fant du 8? 16. Emma: Det er en mer der (peker på 13) enn der (peker på 12), og da må det være en mindre enn 9 på streken. 17. Lærer: Neste oppgave er 43 + x = Hva skal x være her for at dette skal være sant? 18. Emma: Vi kan ta Vebjørn: x kan være Emma: Jeg tror kanskje det må være Vebjørn: 43 + x skal bli 29, og det kan det ikke fordi det skal bli 29, og det er et tall som er mindre enn 43. Derfor kan vi ikke plusse. 22. Emma: Jo, men svaret på begge sidene skal være det samme. Jeg tror det blir Cecilie: Men hvis vi plusser sammen på den siden (peker på ), så kanskje vi finner hva svaret må være på der (peker på 43 + x). 24. Vebjørn: Ja. 25. Cecilie: Det blir Vebjørn: 71 minus 27. Cecilie: Nei, 71 pluss Lærer: Husk det dere sa om at det skulle være det samme på begge sidene. 2

3 29. Emma: Det blir 71 minus 43 da. 30. Cecilie: Eller 70 minus 1? 31. Emma: 28! 32. Lærer: Hvordan fant du ut det da? 33. Emma: 71 minus 43 blir Lærer: Men du sa jo 28 nesten med en gang dere fikk oppgaven. Regnet du ut 71 minus 43 da også? 35. Emma: Nei, da tenkte jeg at det måtte være en mindre enn 29, ettersom 43 er en mer enn Vebjørn: Oi, det var lettere enn å regne i hodet. 37. Cecilie: Da gjorde du det samme som på forrige oppgave? 38. Lærer: Ja, hun kikket godt på tallene istedenfor å regne det ut i hodet, og det kan være en veldig bra måte å finne svar på. 39. Lærer: Neste oppgave er = y. 40. Vebjørn: Eeeeeh Y en har vi aldri hatt om før. 41. Emma: Hva skal y liksom være? 42. Lærer: Det har ingen ting å si hvilken bokstav eller tegn det er vi bruker for å skjule det ukjente. Det trenger ikke bestandig å være en boks eller en x, men hvilken som helst bokstav eller et annet tegn. 43. Emma: Ahaa. Men vi har 22 på den ene siden. (peker på ). 44. Vebjørn: Og det er 22 her også. (peker på ). 45. Lærer: Hva må y være da? 46. Emma: Null? 47. Lærer: Ja. 48. Vebjørn: y er null fordi du mangler ingenting. 49. Lærer: Ja, bra. 3

4 Oppgave 2 Omgrepet faktor Omgrepet faktor har to tydingar i matematikk. I utrekningar innan multiplikasjon seier vi at de to tala som multipliseras sammen er faktorer i stykket. Til dømes, i stykket 4 5 = 20 seier vi at 4 og er faktorar. I stykket 12 6 seier vi at 12 og er faktorar. 2 2 Faktor har også ei anna tyding, og det er denne som nyttas i denne oppgåva. Innafor talteori, som er studiet av eigenskaper til heiltala, ser ein mest på positive heile tal. Då er faktor det same som divisor. Et (heil)tall n er en faktor i et (heil)tall m, eller vi kan seie at et (heil)tall er en divisor i et (heil)tal, dersom n delar m utan å gje rest. Til dømes er 5 en faktor i 20, men 3 er ikkje en faktor i 20. Vidare er 6 en faktor i 12, men 2 1 er ikkje en faktor i 12. Del A Vi er hos Grace som underviser i tredje klasse. Hver morgen så finner hun og elevene ut hvor mange dager de har gått på skolen (dette skoleåret), tallet kalles «Dager på skolen». Litt ut i skoleåret etter at di har arbeid med «Dagar på skolen» og sett på hva de kan stegtelle med, så er de klare for å arbeide med faktorer/divisorer. Elevene finner snart ut følgende sammenhenger: - Hvis 4 er en faktor, så må 2 være en faktor - Hvis 10 er en faktor, så må 5 være en faktor - Hvis 3 ikke er en faktor, så kan ikke 6 og 9 være faktorer - Alt som 20 går opp i, går 4 opp i. - Hvis det er et like tall med 2-steg (det vil si at en kan telle et likt tall ganger i steg på 2 for å komme til tallet, for eksempel , 6 gang), så må 4 være en faktor. Hvis det er et odde tall med 2-steg, så kan ikke 4 være en faktor På bakgrunn av ideene til elevene så bestemte Grace seg for å utforske en ide som elevene brukte mer intuitivt: Dersom n er en faktor i m, så er alle faktorene i n og faktorer i m. Grace var ikke heilt sikker på hvordan ho kunne strukturere utforskinga men ho sa til elevene at de skulle arbeide i partnergruppane sine (de arbeider ofte to og to saman) og studere et passande tal. Ho valte et tall som ho meinte var interessant å utforske, og samtidig ikke for stort. Tallet var 48. På tavla skreiv ho: Er det sant at alle faktorene i også er faktorer i 48? Elevene plasserte ulike tall i det tomme feltet. I noen tilfelle var det enkelt å avgjøre om utsagnet var sant, slik som 1, 2, 3, 4 og 48. Før elevene starta å se på andre faktorer så sa Mary: «Du kan ikke liksom bytte om. Vi seier at alle faktorene i faktorene til 48 også er faktorer i 48, men ikke omvendt. Vi seier ikke at alle faktorene i 48 er faktor i kvar faktor av 48, ikke sant?». 4

5 Utforskingen gjekk mot slutten, klassen var sikker på at det var sant at alle faktorene av faktorer i 48 selv var faktorer i 48. Grace spurte de om de trudde dette var noe spesielt med tallet 48 eller om de trudde dette gjelder for alle tall. En elev foreslo at de skulle teste et primtal, til dømes 53. Utsagnet «Er det sant at alle faktorene i også er faktorer i 48?» vart til «Er det sant at alle faktorene i 1 også er faktorer i 53?», og «Er det sant at alle faktorene i 53 også er faktorer i 53?». Det er sant, men Grace ville generalisere mer. Spørsmål: I. Er 48 en faktor i 288? Er alle faktorene i 48 også faktorer i 288? II. I klassen til Grace (del 1) arbeider elevene med påstanden «Dersom n er en faktor i m, så er alle faktorene i n og faktorer i m» (n og m er to heltall). Bevis denne påstanden. Du kan gjerne bruke algebra, men kom også med et representasjonsbevis. Del B Vi er i fjerdeklassen til Jean, det er januar. Klassen har de to siste dagene arbeid med å finne faktorene til hundretallene (100, 200, 300,, 900, 1000). Noen elever arbeidet alene, noen i par, og så var det to mindre grupper av elever som arbeidet sammen. Alle arbeidet med samme oppgave, men hvordan de nærmet seg problemet og de strategiene de brukte varierte mye. Noen valgte et tall og stegtelte på en lommeregner for å se om de landet på et hundretall. Noen elever delte hundretall på det tallet de testet for å sjekke om svaret ble et heltall. Andre adderte tall og brukte papir og blyant, mens andre brukte hoderegning. Noen valgte tall tilfeldig, andre testa med alle tall i en valgt rekkefølge. Andre kunne i stor grad si hvilke tall som var faktorer og sjekka disse. Den siste dagen så laga klassen en poster der de skrev opp antallet faktorer som de hadde funnet for ulike hundretall. De skrev ikke opp faktorene, kun hvor mange de hadde funnet. Elevene utviklet strategier for å bestemme om de hadde alle faktorene, sjekka listene sine med medelever, sjekka andre sine lister og dobbeltsjekka sine egne. Elevene kom fram til 25 observasjoner i tilknytning til dette arbeidet. Jean skrev disse på et ark. Neste dag ga ho en kopi av dette til elevene og bad de om å velge noen få observasjoner og bestemme om disse alltid er sanne eller sanne for noen tal, og komme med et bevis for sine påstander. Jean snakka med klassen om hvordan en kunne bevise disse observasjonene. Er det nok å teste ut noen tal? Hvor mange tall må du teste før du kan si at noe alltid er sant? Hva anna kan du gjøre for å si at noe alltid er sant? Tyrone undersøkte påstand 25: «300 har flest faktorer». Han sa: «Jeg tror ikke 300 har flest faktorer. Her er beviset mitt: Fordi 600 er et multiplum av 300 så har 600 alle faktorene til 300 pluss seg selv og 8». Jean spurte han hva han mente med at 600 har alle faktorene til 300, og dette skrev han da: Spørsmål: Grunnen til dette er at hver faktor av et mindre tall vil være en faktor i alle multiplum av dette tallet. Dette fordi du bare multipliserer tallet med faktoren som du multipliserer med så mange gang som det minste tallet går opp i multiplumet I. Hva er det Tyrone mener? Er det sant at 600 har flere faktorer enn 300? Begrunn svaret ditt. 5

6 II. Hvilket hundretall (hundretall opp til og med 1000) har flest faktorer? Begrunn. Del C Vi er i en blandet femte og sjetteklasse. Læreren, Rosali, starter timen med å vise til en oppgave fra læreboken: Brian sa at hvis 6 er en faktor i et tall, så er også 2 og 3 faktorer i same tallet. Tror du Brian har rett? Hvorfor eller hvorfor ikke?. Rosali spør så elevene om hva de har kommet fram til. Flere elever sier at jo, Brian har rett, de har sjekka med noen tall. Etter noen minutter med diskusjon så oppsummerer Rosali: 1. Rosali: Vi har fire tall som dette fungerer for, tala er 36, 18, 24 og 12. Hvorfor? 2. Chloe: En anna ting er at 6 er et partall. Hver gang du har 6 så vil 2 gå opp i det tallet. 3. Dan: Ja, 3 er halvparten av 6, så hvis 6 fungerer så fungerer 3. Samtalen er livlig og går fram og tilbake. Av og til bryt klassesamtalen ned til mindre gruppediskusjonar. Midt i en slik gruppediskusjon seier Anthony slik at heile klassen høyrer det: 4. Anthony: De sier kanskje at 2 gange 3 er 6 og 6 går opp i 6. Da må du prøve med et anna tall. Slik som 8, 2 gange 4 er 8. Elevene og læreren ser ut til å tenke at Anthony tar opp ting som ligg på sida av diskusjonen. Ingen tar opp det han sa. Diskusjonen fortsetter rundt ideer om 2, 3, 6, faktorer, og multiplum. Anthony seier innimellom noe om 2, 4, og 8, men alle ignorerer dette. Diskusjonen er jo om 2, 3 og 6. Diskusjonen fortsetter til læreren, Rosali, foreslår følgende strategier for å få utforskinga på sporet: Rosali: Les igjen problemet som Brian sa, vi kaller dette Utsagn 1 (hun skriver opp disse utsagnene). Les så vårt siste utsagn, det kaller vi Utsagn 2. Hvordan henger de to utsagnene sammen? På tavla står det: Utsagn 1: Dersom 6 er en faktor i et tall, så er og 2 og 3 faktorer i tallet. Utsagn 2: Dersom 2 og 3 er faktorer i et tall, så er 6 en faktor i tallet. Anthony sier etter ca. 4 minutter med tenking og diskusjoner i mindre grupper: 5. Anthony: Jeg trur jeg har funne en feil med Utsegn 2. Det er slik at 2 og 4 er faktorer i 12, og 2 gange 4 er 8, men 8 kan ikke gå opp i 12. Medelevene protesterer, men Anthony sier videre: 6. Anthony: Jeg sier bare at dette ikke kan fungere med alle tall. Du kan gjøre det med oddetall. Nå går det opp for læreren og noen medelevene kva Anthony prøver å få fram. Han prøver å bestemme det generelle prinsippet bak det spesielle eksemplet med 2, 3 og 6. 6

7 7. Anthony: jeg snakker om et helt anna tall, 2 og 4 er faktorer i 8, 2 og 4 er faktorer i 12, men 8 kan ikke gå opp i 12. Jeg prøver å se om det fungerer for alle tall. Hvis det er en regel så må det virke for alle tall. Spørsmål: I. Hva er sammenhengen mellom utsagn 1 og utsagn 2? II. Er utsagn 1 sant? Begrunn svaret ditt. III. Hva er det Anthony prøver å komme fram til med «Du kan gjøre det med oddetall»? Gjøre hva? Gi et konkret eksempel på hva han prøver å komme fram til. 7