7. Lokale ekstremalpunkter.

Transkript

1 7. Lokale ekstremalpunkter. à 7. Innledning. Vi skal definere lokale ekstremalpunkter og gi nødvendige betingelser for at et punkt skal være et lokalt ekstremalpunkt. I en variabelteorien er betingelsen at den deriverte av funksjonen er i punktet. Dette kan vi forstå direkte siden den deriverte er funksjonens endring i punktet, og funksjonen kan ikke endre seg i et lokalt ekstremalpunkt. La punktet være et lokalt maksimum. Funksjonen vokser fra venstre mot høyre og når det lokale maksimum påtreffes stopper veksten ( ellers vokser funksjonen forbi maksimumsverdien ) hvorpå den flater ut eller minker. [ Funksjonen kan også svinge, men da slik at utslagene ikke overgår maksimumsverdien. ] Det lokale maksimumspunktet er i alle tilfeller stoppunktet for veksten og derfor kan ikke funksjonen endre seg i punktet. Tilsvarende for minimum ( det lokale minimumspunktet er altså stoppunktet for minkingen ), og påstanden følger. Vi skal finne tilsvarende kriterier for flervariabelfunksjoner ved å studere en variabel av gangen. Resultatet er at et lokalt ekstremalpunkt til en funksjon av flere variable er et stoppunkt for endring i alle variablene samtidig. Ekstremalrunkter bestemmes bl.a. ved å sette den deriverte lik null, helt analogt med envariabelteorien. Det blir gitt kriterier for å klassifisere punkter hvor den deriverte er null. Disse er videreføringer av testene for funksjoner av en og to variable og reduseres til disse når antall variable innskrenkes til en eller to. Videre utvikles metoder for å lokalisere mulige lokale ekstremalpunkter på flater. à 7. ødvendig kriterium for lokalt ekstremalpunkt. Definisjon 7... Punktet aêê œ D f Œ n er et lokalt maksimumspunkt eller et lokalt minimumspunkt hvis f HaêêL f HxêêL eller f HaêêL f HxêêL for alle punkter, xêê, i en åpen n- ball sentrert i aêê. Med et lokalt ekstremalpunkt forstås enten et lokalt maksimumspunkt eller et lokalt minimumspunkt. Funksjonens verdi i et lokalt maksimumspunkt eller i et lokalt minimumspunkt er henholdsvis en lokal maksimumsverdi eller lokal minimumsverdi. Funksjonsverdier som er lokale maksima eller lokale minima kalles lokale ekstremalverdier til funksjonen. Hvis funksjonen har en største verdi eller en minste verdi så kalles disse henholdsvis globalt/absolutt maksimum og globalt/absolutt minimum. Med de globale ekstremalverdiene til funksjonen forstås funksjonens største og minste verdi på definisjonsmengden. De globale/absolutte ekstremalpunktene finnes blant de lokale. La f : D f Ø, D f Œ n ha et lokalt maksimumspunkt ( som er et indre punkt ) aêê œ D f. Da finnes en n- ball sentrert i aêê hvor alle funksjonsverdiene til funksjonen er mindre enn eller lik funksjonsverdien i aêê, f HaêêL. Lager en envariabelfunksjon, ghx k L hvor kun variabelen x k varierer, ved å erstatte alle x i med a i for alle i k: ghx k L = f Ha,,a k-, x k, a k+,,a n L. iden f HaêêL f HxêêL for alle xêê i n- ballen så må ulikheten også holde for alle x k med Ha,,a k-, x k, a k+,,a n L i n- ballen. Dette medfører at det finnes et intervall sentrert om a k med f HaêêL = gha k L ghx k L for alle x k i intervallet. Altså er a k et lokalt maksimumspunkt til envariabelfunksjonen g. Fra envariabelteorien har vi at g Ha k L =. Innsetting gir g Ha k L = ÅÅÅÅÅÅÅ f x k Ha,,a k-, x k, a k+,,a n L xk =a k = ÅÅÅÅÅÅÅ f x k HaêêL =. iden k er vilkårlig og dermed kan velges fritt så må f ÅÅÅÅÅÅÅ x k HaêêL = for alle k med k n. Dermed er alle partielt deriverte null i det lokale maksimumspunktet aêê til flervariabelfunksjonen f. Kortformen er f HaêêL = êê, dvs. den deriverte av funksjonen er null i det lokale maksimumspunktet. Tilsvarende følger at f HaêêL = êê i et lokalt minimumspunkt. Resultatet er som for envariabelfunksjoner, nemlig at hvis funksjonen er deriverbar ( differensierbar ) i et lokalt ekstremalpunkt, så er den detiverte lik null. Forskjellen er at den deriverte er en vektor og likningen for de stasjonære punktene er en vektorlikning ( som er ekvivalent med n likninger for n ukjente ). Tilsvarende som for

2 TRev3HEV.mm3.nb envariabelfunksjoner er det lokale ekstremalpunktet aêê et stoppunkt for vekst eller minking i alle variablene samtidig. Kommentar. For en funksjon av to variable hvor grafen lar seg representere som en flate i rommet, er lokale maksima/minima lokale topper/bunner på flaten. At den deriverte er null (vektor) i de lokale ekstremalpunktene betyr at flaten er horisontal i ekstremalpunktene. iden funksjoner av flere variable enn to ikke lar seg beskrive geometrisk på denne måten, så er denne framstillingen av begrenset verdi. à Definisjon 7... Punktet aêê œ D f er et sadelpunkt hvis f HaêêL = êê og enhver n- ball sentrert i aêê inneholder minst ett punkt med funksjonsverdi større enn f HaêêL og minst ett punkt med funksjonsverdi mindre enn f HaêêL. Alle punkter, xêê, hvor f HxêêL = êê kalles stasjonære punkter ( den deriverte er null i punktet, som svarer til at funksjonen ikke endrer seg i punktet og er dermed stasjonær ). Et singulært punkt er et indre punkt hvor funksjonen f ikke er deriverbar ( differensierbar ). ( Merk at punktet kan være singulært selv om gradienten f eksisterer i punktet. ) Et kritisk punkt til funksjonen er enten et stasjonært punkt eller et singulært punkt. Kommentar. Et stasjonært punkt er enten et lokalt ekstremalpunkt eller et sadelpunkt ( andre muligheter finnes ikke, noe som følger fra definisjonene for enten er f HaêêL f HxêêL eller f HaêêL f HxêêL eller så må det finnes punkter med verdi større enn f HaêêL og andre punkter med verdi mindre enn f HaêêL i enhver n- ball sentrert i aêê ). Merk at randpunkter ikke er tatt med i definisjon 7... ovenfor. Randpunktene utgjør således en egen kategori punkter i definisjonsmengden som må undersøkes for seg. Dette har sammenheng med at vår definisjon av den deriverte bygger på at punktet funksjonen skal deriveres i er et indre punkt. Dette sikrer at det er mulig å komme inn mot punktet fra alle retninger. Vi har således ingen videreføring av det ensidige grensebegrepet fra envariabelteorien. à trategi for å lokalisere lokale ekstremalpunkter på en åpen mengde. La funksjonens definisjonsmengde være åpen ( alle punkter er indre punkter, dvs. D f inneholder ingen randpunkter (altså D f D f =«)). iden det ikke finnes randpunkter så må lokale ekstremalpunkter være kritiske punkter. Disse er enten stasjonære eller singulære. ) tasjonære punkter. Løs vektorlikningen f HxêêL = êê. Dette er det samme som å løse likningssystemet med n likninger for n ukjente: ÅÅÅÅÅÅÅÅ f x HxêêL = Ï ÅÅÅÅÅÅÅÅ f x HxêêL = Ï Ï ÅÅÅÅÅÅÅÅ f x n HxêêL =, xêê = Hx, x,,x n L. Merk at systemet ikke nødvendigvis er et lineært likningssystem. Vi har ingen metode for å løse likningssystemet, og er henvist til å se forenklinger ved prøving og feiling. år systemet ikke lar seg løse må tilnærmingsmetoder benyttes. ) ingulære punkter. Disse lokaliseres etter at vi har prøvd å derivere funksjonen. Alle punkter hvor en eller flere av de partielt deriverte ikke eksisterer eller punkter hvor funksjonen ikke er kontinuerlig, er singulære. iden gradienten bygger på envariabelgrensen så er det ikke nok at alle partielt deriverte eksisterer i punktet. Deriverbarhet bygger på flervariabelgrensen, og kontinuitet av alle de partielt deriverte i en n- ball om punktet sikrer at funksjonen er deriverbar der. Da er punktet ikke singulært. I praksis ser vi de singulære punktene fra funksjonsuttrykket enten som skjøtepunkt for to funksjonsforskrifter eller som et singulært punkt til en envariabelfunksjon som er en del av funksjonsforskriften. I alle tilfeller er det nok å undersøke de punkter hvor minst en av de partielt deriverte ikke er kontinuerlig. Kommentar. Lukkede definisjonsmengder ( hele randa er med i definisjonsmengden ) behandles senere under føringsbetingelser. Drøftingen består av de samme delene som i envariabelteorien. Først lokaliseres eventuelle kritiske punkter og deretter behandles eventuelle randpunkter. Likningene blir fort uhåndterlige og til og med uløselige. Vi skal kun drøfte enkle funksjoner hvor likningene er medgjørlige. Dette kan gi et feilaktig inntrykk av at ekstremalverdiproblemer i flere variable ikke er vanskeligere enn tilsvarende problemer i en variabel. Generelt vil flere ( muligens alle ) av de stasjonære punktene være sadelpunkter. Videre klassifikasjon må da basere seg på direkte bruk av definisjonene av de forskjellige stasjonære punktene. enere skal vi videreføre andre derivasjonstesten fra envariabelteorien og bruke denne til klassifisering av stasjonære punkter. à Vi er ikke sikret at en flervariabelfunksjon har en største verdi ( globalt maksimum ) og en minste verdi (globalt minimum ). etningen nedenfor er helt analog med den tilsvarende setningen for funksjoner av en variabel.

3 TRev3HEV.mm3.nb Global ekstremalverdisetning. En funksjon som er kontinuerlig på en lukket og begrenset mengde har både et globalt maksimum og et globalt minimum. ( Det spiller ingen rolle om funksjonen ikke er deriverbar eller om mengden består av flere deler. ) Det finnes minst ett punkt i mengden hvor maksimumsverdien antas og minst ett punkt i mengden hvor minimumsverdien antas. Eksempel 7... Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = xy- z. f Hx, y, zl = Hy, x, -L H,, L for alle x, y, z Hz =- L og funksjonen har ingen stasjonære punkter. iden funksjonen er deriverbar over alt ( de partielt deriverte er kontinuerlige funksjoner ) så har funksjonen ingen lokale ekstremalpunkter. á Eksempel 7... Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = xz- y. f Hx, y, zl = Hz, - y, xl = H,, L med eneste løsning H,, L. Velges y = så blir funksjonsverdien f Hx,,zL = xz og funksjonsverdien i det stasjonære punktet er f H,, L =. Fortegnet til xz varierer og vi skal vise at funksjonen antar både positive verdier ( større enn funksjonsverdien ) og negative verdier ( mindre enn funksjonsverdien ) vilkårlig nært H,, L. Dette kan gjøres på mange måter hvorav ett av valgene er z = x og z =-x. Dette gir f Hx,,xL = x >, x og f Hx,,-xL =-x <, x. iden x kan velges så nært vi bare ønsker så vil enhver kule ( 3- ball ) om H,, L inneholde punkter som har større verdi og andre punkter som har mindre verdi enn funksjonen i det stasjonære punktet. Altså er det stasjonære punktet et sadelpunkt. á à 7.3. Oppgaver. Oppgave Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = Hx - L Hy + L + 5 Hz - 3L 8. Oppgave Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = xy- xz+ yz+ ÅÅÅÅ 3 x3-4 x. Oppgave Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = x 3 y - Hy - L z.

4 4 TRev3HEV.mm3.nb à 7.4. Teoretiske anvendelser. De neste tre eksemplene viser teorien brukt på problemstillinger fra andre kurs ( statistikk, matematiske metoder og økonomi ). Vi skal finne formelen for regresjonslinja fra statistikken og gi den på kjent form. Vi skal se at fourierkoeffisientene for periodiske funksjoner kan betraktes som et minimunspunkt. Vi skal også studere lineær programmering, kjent fra kurset i økonomi hvor problemet ble løst på en annen ( grafisk ) måte ( ved iso - linjer ). Eksempel Vi skal bruke kriteriet for stasjonære punkter til å vise minste kvadraters metode og dermd formelen for regresjonslinja fra statistikken. Vi har observasjonspunkter, Hx i, y i L, i =,,. Datasettet skal tilnærmes best mulig med en rett linje på formen y = ax+ b. Vi skal bestemme koeffisientene a og b slik at den kvadratiske feilen blir minst mulig. I målepunktet x i gir linja verdien y = ax i + b i stedet for den målte verdien y i. Det kvadratiske avviket mellom målt og beregnet verdi er da Hy i - ax i - bl. Det totale kvadratiske avviket for alle målepunktene blir da EHa, bl = Hyi - ax i - bl. iden alle leddene er positive så er den kvadratiske feilen aldri negativ. ummen er nedentil begrenset av og har derfor en minimal verdi. Feilen kan gjøres så stor vi vil bare koeffisientene velges store nok. Følgelig må et stasjonært punkt være et globalt minimum for den kvadratiske feilen. tasjonære punkter til feilfunksjonen bestemmes fra ÅÅÅÅÅÅ E = ÅÅÅÅÅÅ E =. Partiell derivasjon av funksjonen gir ved bruk av derivasjonsregler for sum og for. gradsfunksjon at E ÅÅÅÅÅÅ a b a = ÅÅÅÅÅ a Hyi - ax i - bl = xi Hy i - ax i - bl = og ÅÅÅÅÅ a Hy i - ax i - bl =- Hyi - ax i - bl =. Dette er to lineære likninger for to E ÅÅÅÅÅÅ b = ÅÅÅÅÅÅ b Hyi - ax i - bl = ÅÅÅÅÅÅ b Hy i - ax i - bl =- ukjente ( a og b ) hvor koeffisientene er summer over datasettet. I den første likningen forkorter vi faktoren og samler de ukjente på venstre side som gir likningen i j xi y z a + i y j xi z b = xi y i. Vi gjør det samme i den andre k k likningen og får i y j xi z a + i y j z b = yi. Å summere tallet ganger gir =. Likningssystemet blir på k k i matriseform j k xi xi ƒ xi xi y i yi xi b` = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xi xi ƒ xi ƒ ƒ = y i ÿ i j a y z = kb z j k xi xi y i xi yi - xi xi y i yi y. Cramers regel gir løsningene à = z xi y i ƒ xi yi ƒ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xi xi xi ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ƒ = xi y i - xi - i y j xi z k ƒ xi yi ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ og xi - i k xi y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ. Det gjenstår å omskrive uttrykkene slik at de får den kjente formen fra statistikken. Vi har at estimert middelverdi er m` X = ÅÅÅ Å z xi og m` Y = ÅÅÅ Å yi, estimert varians er s` X = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i - j xi - Hm` X k Ly z og estimert kovarians er Cov Est HX, YL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i - j k korrelasjonskoeffisienten er r` XY = Cov EstHX,YL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ s` X s` Y får vi à = xi y i - m` m` X Y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. Vi forkorter så og dividerer teller og nevner med -. Dette gir at xi - m` X à = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i - j xi y i - m` m` y X Y z k = Cov EstHX,YL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i - j xi - m` y = s` Cov EstHX,YL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿ s` Y ÅÅÅÅÅÅÅ s` X z X X s` Y s` X k xi m` Y - m` X og forkorting av i likningen for b gir b` = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xi y i - m` m` y X Y z. Den estimerte. ettes de estimerte middelverdiene inn for summene i løsningen for a så =r` XYÿ ÅÅÅÅÅÅÅ s` Y. Tilsvarende innsetting av estimerte middelverdier xi - m` X og vi legger til og trekker fra m` Y m` X i telleren. Dette gir at xi y i s` X m` Y = xi -m` X ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xi - m` X xi y i ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. Vi ønsker å få m` Y som et eget ledd

5 TRev3HEV.mm3.nb 5 xi -m` Y m` X +m` Y m` X -m` xi y i b` m` Y = X ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =m` -m` Y X ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. Divisjon i teller og nevner med - gir xi - m` X xi y i - m` Y m` X xi - m` X b` =m` -m` Cov EstHX,YL Y X ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =m` -m` s` Y X à. Dette er presis formlene fra statistikkboka bortsett fra at a og b er byttet. Vi har X følgende resultat fra minimering av den kvadratiske feilen: Blant alle rette linjer y = ax+ b er den linja som er best tilpasset datasettet i betydningen minst kvadratisk avvik, gitt ved koeffisientene à =r` XY ÿ s` Y ÅÅÅÅÅÅÅ og b` =m` -m` s` Y X à. Denne X kalles regresjonslinja. á Eksempel I dette eksemplet skal vi også minimere en kvadratisk feil, men nå på et intervall og ikke kun i enkeltpunkter. Dette svarer til overgang fra et diskret datasett til et kontinuerlig datasett. Funksjonen som skal tilnærmes er p periodisk og vi bruker derfor p periodiske funksjoner i tilnærmingen ( i stedet for en rett linje ). Vi skal se hvordan fourierkoeffiesientene framkommer ved minimalisering. La funksjonen f : Ø ha periode p. Vi skal bestemme koeffisientene i det trigonometriske polynomet T HxL = a + 8an cos nx+ b n sin nx< slik at det kvadratiske avviket mellom f n= og T HxL blir minst mulig på intervallet. Den totale kvadratiske feilen på intervallet er E = Ÿ H f HxL - T HxLL dx. iden det er + koeffisienter som skal bestemmes så er feilen en funksjon av n + variable. Et stasjonært punkt ( som må være et globalt minimum av samme årsak som for minste kvadraters metode ) er karakterisert ved at alle n + partielt deriverte må være. Vi setter inn og beregner de partielt deriverte. EHa, a,,a n, b,,b n L = Kravet på den første variabelen, a, blir E ÅÅÅÅÅÅÅÅ a = integralene Ÿ p Ÿ p p cos nxdx = Ÿ p i j f HxL - i ja + an cos nx+ b n sin nx y z y z k k n= f HxL - a dx=. Løst mhp. a gir dette a = ÅÅÅÅÅÅÅ p Ÿ p i j f HxL - i k k dx. ja + an cos nx+ b n sin nx y z y z H-L dx=. iden n= sin nxdx =, n =,, så er det kun f og a som bidrar. Bidraget er p f HxL dx. Vi bestemmer så koeffisientene foran cosinusleddene fra kravene på de neste n variablene a,,a n : E ÅÅÅÅÅÅÅÅ a m = p Ÿ p i j f HxL - i k k ja + an cos nx+ b n sin nx y z y z H-cos mxl dx=. iden integralene n= cos nxcos mxdx =,n m og Ÿ at eneste bidrag er fra f HxL og cos mx. Dette gir a n = ÅÅÅÅ p Ÿ variablene b,,b n : E ÅÅÅÅÅÅÅÅ b m = p Ÿ p p i j f HxL - i k k cos nxsin mxdx = for alle m og n, og Ÿ sin nxcos mxdx= for alle m og n samt at Ÿ følger at eneste bidrag er fra f HxL og sin mx. Dette gir b n = ÅÅÅÅ p Ÿ a = ÅÅÅÅÅÅÅ p p Ÿ f HxL dx, a n = ÅÅÅÅ p p Ÿ p p p cos mxdx = p for alle m følger f HxL cos nxdx. Tilsvarende blir kravet på de siste n ja + an cos nx+ b n sin nx y z y z H-sin mxl dx=. iden integralene n= p sin nxsin mxdx= for alle n n samt at Ÿ p p sin mxdx =p for alle m f HxL sin nxdx. Dette er fourierkoeffisientene f HxL cos nxdx og b n = ÅÅÅÅ p p Ÿ f HxL sin nxdx med n =,, for en p periodisk funksjon. Fourierkoeffisientene er altså ( koordinatene til ) det globale minimumspunktet for den kvadratiske feilen ( feilfunksjonen ) på intervallet. á

6 6 TRev3HEV.mm3.nb Eksempel I dette eksemplet skal vi studere grunnprinsippene bak lineær programmering. Problemet går ut på å optimere en funksjon som består av en lineær del og en konstant, på et område som er avgrenset av flere plane områder. Den lineære delen av funksjon i n variable er på formen c x + + c n x n, hvor c,,c n er konstanter. Innføres vektorene cêê = H c,,c n L og xêê = H x,,x n L så kan den lineære delen skrives på formen cêê ÿ xêê. Funksjonen som er et polynom av. grad i n variable kan da skrives som f HxêêL = cêê ÿ xêê + d, og er deriverbar ( differensierbar ) med derivert f HxêêL = cêê. Den deriverte er altså konstant ( vektor ). Fra retningsderivasjon har vi at enhver funksjon vokser hurtigst i gradientens retning og faller hurtigst i retningen motsatt gradienten. Dette gjelder i ethvert fast punkt hvor funksjonen er deriverbar. iden den deriverte av den lineære funksjonen er konstant så er vekstretningen ( maksimal vekst ) den samme i alle punkter ( og dermed er også fallretningen ( maksimalt fall ) den samme i alle punkter ). Fra dette følger at funksjonen antar global maksimumsverdi i det punkt/de punkter i definisjonsmengden som i gradientens retning er mest fjerntliggende og at absolutt minimumsverdi antas i det punkt/de punkter i definisjonsmengden som i retning motsatt gradienten er mest fjerntliggende. Merk at dette gjelder uavhengig av definisjonsmengdens form, spesielt behøver ikke definisjonsmengden være avgrenset av plane områder. Plan i n variable er gitt ved likninger på formen a x + + a n x n = b. Dette er en direkte videreføring av plan i rommet som inneholder 3 variable. Funksjonen er konstant på ethvert plan som har gradienten f HxêêL = cêê som normalvektor, dvs. er på formen cêê ÿ xêê =a, for et vilkårlig reelt tall a. Området avgrenses så av ulikheter av typen a x + + a n x n b eller a x + + a n x n b. Vi skal studere et optimeringsproblem i variable, hvor området er avgrenset av rette linjer ( er plan i dimensjoner ). Hvis den rette linja er normal til gradienten, så er den retningsderiverte langs linja fordi funksjonsgradienten og linjas retningsvektor er vinkelrette på hverandre. Dermed er funksjonen konstant langs linja. Hvis linja ikke er normal til gradienten, så er skalarpuoduktet av gradienten og linjas retningsvektor forskjellig fra. Dermed er funksjonen ikke konstant langs linja. Funksjonen vokser langs linja i gradientens retning og maksimun langs linja finnes hvor linja slutter, dvs. der hvor den skjærer neste linje som avgrenser området ( fremdeles i gradientens retning ). Tilsvarende antar funksjonen minimum langs linja der hvor linja skjærer neste linje som avgrenser området, denne gang i retning motsatt gradienten. I alle tilfeller antas funksjonens største og minste verdi i ett eller flere av skjæringspunktene mellom linjene som avgrenser området. ( Dette er riktig også i tilfellet hvor linja er normal til gradienten siden verdien er konstant langs linja og dermed lik verdien i punktene hvor linja slutter, dvs. skjæringspunktet med neste linje. Merk at i dette tilfellet er alle punktene langs linjestykket ekstremale hvis et av skjæringspunktene til dette linjestykket er det. ) Totalt gir dette at de globale ekstremalverdiene ( disse eksisterer hvis området er lukket og begrenset siden funksjonen er kontinuerlig ) er blant skjæringspunktene til linjene som avgrenser området. Det er derfor nok å beregne funksjonsverdiene i disse punktene. Tilsvarende følger at de globale ekstremalpunktene er blant hjørnepunktene når området avgrenses av plan ( i n variable ). Kommentar. ivåflaten hvor funksjonen f HxêêL = cêê ÿ xêê + d antar verdien M er gitt ved f HxêêL = cêê ÿ xêê + d = M fl cêê ÿ xêê = M - d som er likningen for et plan. Hvis M velges så stor at nivåplanet ligger utenfor definisjonsområdet til f ( i gradientens retning ) for så å minskes til nivåflaten akkurat berører definisjonsmengden for verdien ( som vi kaller ) M så er alle berøringspunkter globale maksimumspunkter. Den globale maksimumsverdien er da M. Tilsvarende kan M velges så liten at det tilhørende nivåplan ikke berører definisjonsområdet til f ( denne gang i retning motsatt gradienten ). En økning av M vil føre til at nivåplanet akkurat berører definisjonsområdet for verdien ( som vi kaller ) M M. Alle berøringspunkter er globale minimumspunkter og den globale minimumsverdien er M M. ivåplanene kalles også iso- plan og dette er en geometrisk måte å løse problemet på uten å benytte den deriverte av funksjonen. I to variable blir iso- planene til iso- linjer og de globale ekstremalpunktene er berøringspunktene nedenfra og ovenfra ( øker / minker M ) mellom iso- linjene og funksjonens definisjonsmengde ( mulighetsområde ). Dette er den geometriske løsningsmåten som ble benytte i økonomikurset. à å til selve regneeksemplet. Et gatekjøkken har kr. 5 å kjøpe pølser for. Pølsene som selges er ( i hovedsak ) wiener grill og løkpølse. Pølsemakeren tar kr..5 per wiener grill og kr. 5 per løkpølse. Pølsemakeren kan levere 7 wiener grill og 4 løkpølser. etto fortjeneste er kr. 3.5 per solgte wiener grill og kr. 5 per solgte løkpølse. Hvor mange pølser skal gatekjøkkenet kjøpe inn for å optimalisere dagsfortjenesten? La w være antall solgte wiener grill og l være antall solgte løkpølser. Kravene er da w, l, w 7, l 4 og innkjøpskostnad.5 w + 5 l 5. Fortjenesten blir F = FHw, ll = 3.5 w + 5 l. kjæringspunktene til linjene w =, l =, w = 7, l = 4,.5 l + 5 w = 5 er: w = fl l = er H, L, w = fl l = 4 er H, 4L, w = 7 fl l = er H7, L, w = 7 fl l = 4 er H7, 4L, w = fl.5 w + 5 l = 5 er H, 5L,

7 TRev3HEV.mm3.nb 7 w = 7 fl.5 w + 5 l = 5 er H7, 5L, l = 4 fl.5 w + 5 l = 5 er H, 4L og l = fl.5 w + 5 l = 5 er H, L. Dette er alle skjæringspunktene og vi må plukke ut de som er med i (mulighets ) området. Vi ser at H, 5L og H, L begge strider mot maksimalt antall pølser som kan leveres. Punktet H7, 4L overskrider maksimal kapital for innkjøp. Dette gir de 5 punktene H, L, H7, L, H, 4L, H7, 5L, H, 4L. En skisse av området og gradienten til fortjenestefunksjonen ( eventuelt iso- linjene vinkelrett på gradienten ) viser at de tre første punktene kan utelukkes. Fortjenesten i de to andre punktene blir FH7, 5L = 3.5 ÿ ÿ 5 = 3 og FH, 4L = 3.5 ÿ + 5 ÿ 4 = 7. ( De øvrige punktene gir FH, L = 3.5 ÿ + 5 ÿ =, FH7, L = 3.5 ÿ ÿ = 4, FH, 4L = 3.5 ÿ + 5 ÿ 4 =. ) Maksimal fortjeneste oppnås ved å kjøpe 7 wiener grill og 5 løkpølser. Til slutt litt om begrepene fra økonomidelen. Linjene w = 7 og l = 4 er salgsbegrensningslinjene ( kapasitetslinjer ) for de to pølseslagene. Linja.5 l + 5 w = 5 er kapasitetslinja for innkjøp. Linjene 3.5 w + 5 l = F, er isobidragslinjene for fortjenesten med verdi F. Isobidragslinjen som svarer til optimal fortjeneste er isobidragslinjen for optimal produktmiks ( dvs. forholdet mellom wiener grill og løkpølser ). Området som avgrenses av linjene og dermed er definisjonsområdet til fortjenestefunksjonen FHw, ll kalles mulighetsområdet. á Kommentar. Problemet er så enkelt at vi uten regning kan si at fortjenesten maksimeres hvis vi kjøper maksimalt av den pølsentypen som vi tjener mest på, og så bruker resten av pengene til å kjøpe den andre pølsetypen. Her er det ikke nok å se på fortjenestefunksjonen siden pølsetypene har ulik pris og dermed får vi forskjellig antall pølser av de to typene for samme beløp. Vi kan se på spesifikk fortjeneste ( når denne gis i prosent kalles den for resultatgraden ) definert som enhetsfortjeneste per enhetskostnad. Dette gir for wiener grill ÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅ 7 5 =.4 og løkpølser ÅÅÅÅ =. iden 5 5 den spesifikke fortjenesten er størst for wiener grill ( tjener mest per kjøpt enhet ) så lønner det seg å kjøpe maksimalt av denne pølsesorten. Tilsvarende betraktning holder for slike problemer med mer enn variable. De spesifikke fortjenestene ( resultatgradene ) beregnes for hvert produkt. Det kjøpes maksimalt av produktet med den største spesifikke fortjenesten. Innkjøpet fortsettes så med produktet med nest størst spesifikk fortjeneste osv. til hele innkjøpskapitalen er brukt opp, forutsatt at alle enhetene blir solgt. à à 7.5. Kriterier for klassifikasjon av stasjonære punkter. La f : D f Ø, D f Œ n ha et stasjonært punkt i et indre punkt aêê œ D f slik at f HaêêL = êê. Hesse-matrisa HaêêL består i f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x x HaêêL f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x x n HaêêL y av alle. ordens partielt deriverte i punktet aêê. Utskrevet blir dette HaêêL = eller kortformen HaêêL = A f j f k ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x n x HaêêL f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x n x n HaêêL z ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x i x j HaêêLE, hvor i =,, n angir radnummer og j =,, n angir kolonnenummer. Vi skal gi to kriterier for å karakterisere stasjonære punkter. Den ene karakteriseringen er ved egenverdiene til HaêêL. Disse bestemmes som løsningene til den karakteristiske likningen DetH HaêêL -lil =, hvor I er enhetsmatrisa av orden n. Følgende resultat gjelder: Lokale ekstremalpunkter ( kun for indre punkter ). I et stasjonært punkt aêê hvor alle. ordens partielt deriverte eksisterer og er kontinuerlige i en åpen n- ball om punktet gjelder: Hvis alle egenverdiene til HaêêL er positive så er punktet et lokalt minimum. Hvis alle egenverdiene til HaêêL er negaitive så er punktet et lokalt maksimum. Hvis HaêêL har både positive og negative egenverdier så er punktet et sadelpunkt. Hvis en eller flere av egenverdiene til HaêêL er og de andre egenverdiene har samme fortegn, så gir testen ingen konklusjon. Kommentar. HaêêL er en symmetrisk matrise når de blandede partielt deriverte er like. ( Dette er tilfellet når alle de involverte partielt deriverte er kontinuerlige. ) Fra lineæralgebraen vet vi at slike matriser har reelle egenverdier, og eneste problem som kan oppstå er at en eller flere egenverdier er ( det spiller ingen rolle om noen av egenverdiene er like ). Merk at det stasjonære punktet er et sadelpunkt straks to egenverdier har motsatt fortegn ( det spiller ingen rolle

8 8 TRev3HEV.mm3.nb om en eller flere av de andre egenverdiene er ). I en variabel reduseres matrisen til den dobbelderiverte f HaL som også er egenverdien. Testen reduseres til den vanlige. derivasjonstesten med at f HaL > gir lokalt minimum og f HaL < gir lokalt maksimum ( når f HaL = ). I to variable reduseres testen til kriteriet for lokale ekstremalpunkter ( det kreves litt regning for å se dette ). à Den andre karakteriseringen er ved underdeterminanter til hesse-matrisa Determinantkriterium for å bestemme stasjonære punkter. La rr HaêêL være undermatrisa til hesse-matrisa som framkommer ved å stryke de n - r siste kolonnene og de n - r siste radene i hesse-matrisa. La» rr HaêêL» være determinanten til undermatrisa. Det stasjonære punktet aêê er: ) et lokalt maksimum hvis H-L r» rr HaêêL» >, r =,, n. ) et lokalt minimum hvis» rr HaêêL» >, r =,, n. 3) et sadelpunkt hvis» HaêêL» og verken ) eller ) holder ( det er nok at en av underdeterminantene er ). Testen gir ingen konklusjon hvis determinanten til hesse-matrisa,» HaêêL», er. Kommentar. I en variabel er HaL = HaL f HaLD. Hesse- matrisa har kun ett element og dermed kun en undermatrise. Determinanten er dermed f HaL og kriteriene f HaL > gir at det stasjonære punktet er et lokalt minimum, og f HaL < gir at det stasjonære punktet er et lokalt maksimum ( her er r = n = ). Dette er andrederivasjonstesten fra envariabelteorien. For en funksjon av to variable blir hesse- matrisa i k j fxxhaêêl f yx HaêêL y z. Determinantene til de to undermatrisene i testen er» HaêêL»= f xx HaêêL og D =» HaêêL»= f xx HaêêL f yy HaêêL - H f xy HaêêLL, hvor vi har antatt at de blandede f xy HaêêL f yy HaêêL partielt deriverte er like. Hvis D > og f xx HaêêL > ( dvs. alle determinantene er positive ) så gir kriteriet at det stasjonære punktet er et lokalt minimum. Hvis D > og f xx HaêêL < ( dvs. den første determinanten, f xx HaêêL, er negativ, som den skal være siden r = og den andre determinanten, D, er positiv, som den skal være siden r = ) så gir kriteriet at det stasjonære punktet er et lokalt maksimum. Hvis D < så er gir kriteriet at det stasjonære punktet er et sadelpunkt ( dette er eneste måten å bryte mønstret for maksimum og minimum ). Merk at tilfellet HaêêL»= faller inn under dette tilfellet. Hvis D = ( D er determinanten til hesse- matrisa ) så gir kriteriet ingen konklusjon ( avgjørelse ). Dette kjenner vi igjen som kriteriet for lokale ekstremalpunkter og sadelpunkter for funksjoner av to variable. Fordelen med determinantkriteriet over egenverdikriteriet er at en ikke trenger å løse likninger for å karakterisere de stasjonære punktene, noe som må gjøres ved bruk av egenverdikriteriet. Dog er det en forenkling at vi kun er ute etter egenverdienes fortegn ( de eksakte verdiene spiller ingen rolle ). Dette gjør at det er nok å bestemme egenverdiene tilnærmet, og dette kan gjøres effektivt med ferdige rutiner. (» rr HaêêL», r =,, n kalles de ledende prinsipale ( hoved ) underdeterminantene til hesse- matrisa. ) à Eksempel Vi skal bruke kriteriene ovenfor til å forsøke og klassifisere de stasjonære punktene i eksempel Funksjonen er f Hx, y, zl = xy-xz+ yz + ÅÅÅÅ 3 x3-4 x og de stasjonære punktene er H-, -, L og H,, -L. Funksjonens hessei4 x - y i-8 - y matrise er. I punktet H-, -, L blir matrisa j z j z. Egenverdiene til matrisa er, è!!!!!! ÅÅÅÅ I-9-57 M k- k- og ÅÅÅÅ è!!!!!! I M. iden disse er både positive og negative så må det stasjonære punktet H-, -, L være et i 4 - y sadelpunkt. I punktet H,, -L blir matrisa j z og egenverdiene til matrisa er, è!!!!!! ÅÅÅÅ I3-33 M og k- è!!!!!! ÅÅÅÅ I M. Igjen har hesse- matrisa både positive og negative egenverdier så det stasjonære punktet H,, -L er et sadelpunkt. Vi skal benytte determinantkriteriet på det første stasjonære punktet for å se hvilke beregninger som da må gjøres. De tre prinsipale underdeterminantene til hesse- matrisa i det stasjonære punktet H-, -, L er -8» H-, -, L»=-8,» H-, -, L»= =- og ƒ ƒ -8 -» 33 H-, -, L»=» H-, -, L»= = 6. iden determinanten til hesse- matrisa er forskjellig fra ƒ - ƒ så oppnås avgjørelse. Vi ser at ingen av de to kriteriene for lokale ekstremalpunkter følges ( det er to negative

9 TRev3HEV.mm3.nb 9 determinanter etter hverandre ) og dermed er det stasjonære punktet H-, -, L et sadelpunkt. Dette er i overenstemmelse med det vi fant fra egenverdikriteriet. Tilsvarende beregninger gir at også det stasjonære punktet H,, -L er et sadelpunkt. á kisse av bevis for egenverdikriteriet og determinantkriteriet. g HnL HL Vi ser på envariabelfunksjonen ghtl = f Haêê + t hêêl. Denne har taylorutviklingen ghtl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t n, i punktet t =. Vi n= n! har at ghl = f HaêêL. Videre gir kjerneregelen at g HtL = fhaêê + t hêêl ÿ hêê, som reduseres til g HL = fhaêêl ÿ hêê. år punktet aêê er stasjonært blir gradienten êê og dette leddet bidrar ikke til utviklingen. Det er derfor nødvendig å utvikle til. orden for å se hvordan fortegnet til tilveksten nær punktet aêê varierer. Vi skriver ut komponentene i den førstederiverte g n f HtL = fhaêê + t hêêl ÿ hêê = ÅÅÅÅÅÅÅÅ j= x j Haêê + t hêêl h j. Vi deriverer en gang til og finner g n n HtL = f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ j= x i x j Haêê + t hêêl h j h i. I punktet t = blir dette g n n HL = f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ j= x i x j HaêêL h j h i. Vi ser at de høyere ordens deriverte ( minst 3 derivasjoner ) inneholder produkter med minst tre komponenter fra tilvekstvektoren hêê. Derfor er disse bidragene så små at vi kan sløyfe dem sammenlignet med leddet fra den dobbeltderiverte, siden alle komponentene til tilvekstvektoren er små. ( Produktene i de dobbeltderiverte inneholder to komponenter fra tilvekstvektoren og er derfor mye større. ) Vi setter t = i taylorutviklingen og får for funksjonstilveksten f Haêê + hêêl - f HaêêL = ghl - ghl º ÅÅÅÅ g HL = ÅÅÅÅ n n f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ j= x i x j HaêêL h j h i. De dobbeltderiverte er koeffisientene i hesse- matrisen. Det er ikke helt klart hvordan det forholder seg med fortegnene til denne summen. Det er derfor ønskelig å skrive denne på en oversiktligere form. iden hesse- matrisen er symmetrisk så har den egenvektorer som er vinkelrette på hverandre og som utgjør en basis for n. La egenverdiene til hesse- matrisen være l i, i =,, n. Egenverdiene er reelle tall. ( oen eller alle egenverdiene kan være like og verdien er tillatt. ) La tilvekstvektoren være uêê = H u,,u n L, i egenvektorbasisen. I denne basisen er hesse- matrisen diagonal og tilveksten kan skrives f Haêê + hêêl - f HaêêL =l u + +l n u n. Vi ser at positive egenverdier gir positiv tilvekst og det stasjonære punktet er et lokalt minimum. Tilsvarende gir negative egenverdier at det stasjonære punktet er et lokalt maksimum. Hvis to egenverdier har motsatt fortegn, så gir det motsatte bidrag. Ved å variere en av dem fås punkter med verdi større eller mindre enn funksjonsverdien og det stasjonære punktet er et sadelpunkt. Vi ser at de andre egenverdiene ikke spiller noen rolle og de kan godt være null. Hvis en eller flere egenverdier er null og resten av egenverdiene har samme fortegn så gir testen ingen konklusjon fordi tilveksten er da i de høyereordens leddene i utvikingen og disse har vi sløyfet. Det er da nødvendig å utvikle til høyere orden enn for å avgjøre ekstremalverdiproblemet. Determinantkriteriet er en direkte konsekvens av egenverdikriteriet. iden hesse-matrisen er diagonal så er de aktuelle underdeterminantene» rr HaêêL»=l ÿ ÿl r, r =,, n. Hvis alle disse determinantene er positive, så er alle egenverdiene positive og punktet er et lokalt minimum. Hvis alle egenverdiene er negative, så er determinanten positiv når r er partall og negativ når r er oddetall. Da er H-L r» rr HaêêL» alltid positiv og kriteriet for lokalt maksimum følger. Kravet at determinanten til hesse- matrisen ikke får være utelukker at noen av egenverdiene er. Hvis mønsteret i de to tilfellene ovenfor brytes, så finnes minst en positiv og en negativ egenverdi og det stasjonære punktet må være et sadelpunkt. à à 7.6. Oppgaver. Oppgave Klassifiser de stasjonære punktene fra oppgavene 7.3. og Oppgave Besten eventuelle lokale ekstremalpunkter til funksjonen f Hx, y, zl = e -Hx +y +z L.

10 TRev3HEV.mm3.nb à 7.7. Ekstremalverdiproblemer med føringer. Lagranges metode. I avsnitt 7. fant vi nødvendige kriterier for at en funksjon av n frie variable har et lokalt ekstremalpunkt når funksjonen er deriverbar i punktet ( punktet må være stasjonært ). Det er ikke alltid tilfelle at variablene er frie, og da ryker forutsetningen for vår metode. Problemer av denne typen oppstår når variablene må oppfylle ekstra betingelser, dvs. føringer. Anta at vi kjenner temperaturen i rommet ved et fast tidspunkt THx, y, zl. Vi ønsker å lokalisere eventuelle lokale ekstremale punkter til temperaturfunksjonen ( og dermed også lokale ekstremale temperaturer ). år alle variablene er frie må lokale ekstremalpunkter være stasjonære og de er løsninger av vektorlikningen T = êê. Hvis vi i stedet for hele rommet 3 kun er interessert i temperaturen på kuleflaten x + y + z = 64 så må variablene oppfylle denne ekstra betingelsen, føringen, og de er ikke frie lenger. Problemet er endret til kun å lokalisere ekstremale punkter på kuleflaten. Merk at eventuelle ekstremale punkter til temperaturfunksjonen på rommet ikke behøver å ligge på kuleflaten og dermed være ekstremale på kuleflaten. Ei heller behøver ekstremale punkter til temperaturfunksjonen på kuleflaten være ekstremale punkter til temperaturfunksjonen på rommet. Det at temperaturfunksjonen restrikteres ( begrenses ) til kuleflaten vil generelt gi nye ekstremalpunkter, punkter som ikke er ekstremale når alle variablene er frie og omvendt ( punkter som er ekstremale når alle variablene er frie er ikke lenger ekstremale når funksjonen restrikteres ). Det vi kan si er at de globale ekstremalverdiene til den restrikterte funksjonen ikke overskrider de globale ekstremalverdiene til funksjonen når alle variablene er frie. Hvis vi ikke skal studere temperaturen på hele kuleflaten, men kun på den delen av kuleflaten som også ligger på den elliptiske paraboloiden z = x + ÅÅÅÅ 5 y så har problemet to føringer ( betingelser ), nemlig x + y + z = 64 og z = x + ÅÅÅÅ 5 y. En måte å løse problemet på er å løse føringslikningene med hensyn på samme antall variable som det er føringer. I problemet ovenfor har vi to føringer og løser f. eks. y og z med hensyn på x. Dette gir en eksplisitt beskrivelse av skjæringskurven mellom kuleflaten og den elliptiske paraboloiden. I beskrivelsen er x en fri variabel siden løsningens sikrer at føringsbetingelsene er oppfylt ( og da er det ikke flere krav igjen på variablene ). Uttrykkene for y og z settes inn i temperaturfunksjonen som da blir en funksjon av en fri variabel. Eventuelle ekstremalpunkter til temperaturfunksjonen på skjæringskurven er da stasjonære punkter til envariabelfunksjonen. Tilsvarende kan funksjoner av et vilkårlig antall variable og et antall føringer ( som er mindre enn antall frie variable slik at skjæringsmengden i det minste blir en kurve ) behandles. ammme antall variable som føringer løses fra føringslikningene og settes inn i funksjonen. Denne avhenger kun av frie variable og eventuelle ekstremalpunkter er stasjonære punkter. En annen metode er å ta utgangspunkt i føringsbetingelsene på implisitt form ( dvs. uten å løse ut noen av variablene ). I eksemplet blir de to føringene på implisitt form H Hx, y, zl = x + y + z - 64 = og H Hx, y, zl = x + ÅÅÅÅ 5 y - z =. Lagranges metode går ut på å skaffe likninger som ekstremalpunktene til den restrikterte funksjonen må oppfylle og som kun benytter føringsbetingelsen på implisitt form. Det er altså ikke nødvendig å løse føringslikningene for å lokalisere ekstremalpunktene ( senere i beregnigen kan det dog bli nødvendig med hele eller delvise løsninger ). Vi skal alltid forutsette at føringslikningene gir pene løsninger ( glatte kurver, glatte flater etc. ). Vi skal kalle mengden som oppfyller føringslikningene for en flate, selv om det er en kurve ( endimensjonal ) eller et område i rommet ( tredimensjonalt ) etc. om symbol for denne "flaten" bruker vi. Vi skal bestemme eventuelle ekstremalpunkter til funksjonen f HxêêL på flaten i D f Œ n. Flaten er gitt på implisitt form ved m føringer H HxêêL = fl fl H m HxêêL =, H m < n L. Funksjonens definisjonsmengde restrikteres ( begrenses ) til flaten. Funksjonen med flaten som definisjonsmengde kalles restriksjonen av funksjonen f til flaten og skrives f» ( leses " f restriktert til " ). Merk at funksjonen f og dens restriksjon f» antar samme verdi i ethvert punkt på flaten, men funksjonene er forskjellige siden de ikke har samme definisjonsmengde ( f» er ikke definert på D f \ ). Problemstilling. Finn eventuelle ekstremalpunkter til f : D f Ø, med D f Œ n når eventuelle ekstremalpunkter skal oppfylle føringskravene H HxêêL = fl fl H m HxêêL =, H m < n L. Løsningen av denne problemstillingen er kjent som Lagranges metode: Lagranges metode: La xêê være et ekstremalpunkt til funksjonen f på flaten, gitt ved føringene H HxêêL = fl fl H m HxêêL =. Hvis gradientvektorene H i Hxêê L, i =,, m er lineært uavhengige og alle føringsfunksjonene ( H i ) er deriverbare

11 TRev3HEV.mm3.nb med kontinuerlige partielt deriverte i en n- ball sentrert i xêê, så finnes reelle tall l,, l m med f Hxêê L =l H Hxêê L + +l m H m Hxêê L. Tallene l,, l m kalles lagrangemultiplikatorer. Kommentar. Merk at metoden ikke sier noe om hvordan multiplikatorene skal bestemmes, kun at de eksisterer. Merk også at metoden sier at alle ekstremalpunkter oppfyller likningene ovenfor og at den ikke utelukker at også andre punkter enn de ekstremale kan oppfylle de samme likningene. Kriteriet er derfor nødvendig, men ikke tilstrekkelig. Det er nødvendig å teste punktene ytterligere for å avgjøre om de er ekstremale. annsynliggjøring av Lagranges metode. I n er det n uavhengige retninger ( en for hver fri variabel ). Hver føring reduserer antall frie retninger med, altså reduseres antall frie retninger ( kalles også antall frihetsgrader ) til n - m. La HHxêêL = være en vilkårlig av de m føringene, og xêê = xêêhtl være en kurve i n som oppfyller føringsbetingelsen. Da er for alle t i kurvens parameterområde HHxêêHtLL =. Derivasjon mhp. t og bruk av kjerneregelen gir HHxêêHtLL ÿ xêê HtL =. iden xêê HtL er tangent ( en av de uavhengige retningene i punktet ) og H er normal på alle uavhengige tangentretninger så er H en normal til flaten gitt ved føringen HHxêêL =. Merk at vi må kreve at H êê for ellers gir vektoren ingen retning i punktet. Totalt gir dette at H,, H m alle er normaler til de n - m uavhengige tangentretningene. Hvis disse normalvektorene er lineært uavhengige så utgjør de en basis for rommet som består av alle retninger normalt på tangentretningene. Dette er tilfellet fordi det kun er m mulige normalretninger ( en for hver føring ) og vi har samme antall lineært uavhengige vektorer. Dette gjelder i ethvert punkt på flaten, hvor H,, H m er lineært uavhengige. Vi ser nå spesielt på det lokale ekstremalpunktet xêê på flaten. La kurven êê x = xêêhtl gå gjennom ekstremalpunktet xêê til funksjonen ( kurven oppfyller alle føringene ) for t = t. Da er fra envariabelteorien for lokale ekstremalpunkter f Ht L =. Kjerneregelen gir f Ht L = fhxêê L ÿ êê x Ht L, som kombinert med envariabelresultatet gir f Hxêê L ÿ êê x Ht L =. Resultatet er at f Hxêê L er normal til alle uavhengige tangentretninger. Følgelig er gradienten f Hx êêl i rommet hvor H Hxêê L,, H mhxêê L er en basis. Altså kan f Hx êêl skrives som en lineær kombinasjon av basisvektorene H Hxêê L,, H mhxêê L og faktorene i kombinasjonen er lagrange-multiplikatorene. ( etningen er jo lineærkombinasjonen. ) Merk at f Hxêê L ikke behøver å være êê i ekstremalpunktet på flaten. Dette er mulig siden ekstremalpunktet på flaten ikke behøver å være ekstremalt i n. Hvis punktet i tillegg til å være ekstremalt på flaten også er ekstremalt i n, så er f Hxêê L = êê. Dette gir at l = = l m =, når H,, H m er lineært uavhengige. à trategi. Vi finner alle punkter xêê œ D f Œ n, som er løsnimg av likningene (n stk. ) f HxêêL =l H HxêêL + +l m H m HxêêL og som også oppfyller føringene ( m stk.) H HxêêL = fl fl H m HxêêL =. Dette gir n + m likninger for n + m ukjente ( n koordinater til punktet og m lagrange- multiplikatorer ). Hvis vi skal bestemme ekstremalpunkter til funksjonen på en lukket og begrenset mengde så splittes problemet i to deler. Først bestemmes de kritiske punktene på det indre av området, dvs. det som er igjen etter at randa er tatt bort. Deretter brukes f. eks. Lagranges metode på randa ( med likningen for randa som føring ) til å bestemme eventuelle ekstremalpunkter på randmengden. Eventuelle punkter hvor funksjonen ikke er deriverbar må også inkluderes sammen med punkter hvor H,, H m er lineært avhengige. ( Eventuelle endepunkter for området må også behandles. ) Hvis funksjonens største og minste verdi skal bestemmes på den lukkede og begrensede mengden, så er det nok å beregne funksjonsverdiene i alle lokale ekstremalpunkter i mengden og finne største og minste verdi fra verdilista. Hvis en skal avgjøre om et stasjonært punkt er et lokalt ekstremalpunkt så kreves tilleggsdrøfting.videre er alle punkter som gir største verdi globale maksimumspunkter og alle punkter som gir minste verdi globale minimumspunkter. etningen om at enhver kontinuerlig funksjon definert på en lukket og begrenset mengde har størete og minste verdi sikrer eksistensen av globale ekstremalpunkter. Eksempel Bestem eventuelle ekstremalpunkter til funksjonen f Hx, yl = x + y langs linja y = x +. HHx, yl = y - x -. H = H-, L og f = H x, yl. Lagranges metode gir f =l H fl H x, yl =lh-, L. Her er lœ et ukjent tall. Dette gir likningene x =-l og y = l. Altså er x =-ÅÅÅÅ l og y = ÅÅÅÅ l. Disse mulige koordinatene må oppfylle føringsbetingelsen HHx, yl = y - x - =. Innsatt gir dette ÅÅÅÅ l - H- ÅÅÅÅ l L - = fll=. Altså har vi ett eneste punkt som kan være ekstremalt H- ÅÅÅÅ, ÅÅÅÅ L. Lenger kommer vi ikke med Lagranges metode. For å avgjøre om punktet virkelig er ekstremalt trenger vi ytterligere informasjon. Funksjonen er konstant på sirkler med sentrum i origo, og verdien

12 TRev3HEV.mm3.nb vokser med økende radius. Minste verdi er i H, L. Veksten er uten grenser. Følgelig vil funksjonen anta ett minimum langs linja når avstanden til origo er kortest. Fra dette følger at punktet er et globalt minimum. Merk at linja ikke er begrenset ( linja er lukket og funksjonen er kontinuerlig ) slik at setningen ikke garanterer eksistensen av globale ekstremalpunkter. Funksjonen mangler globalt maksimum langs linja. á à 7.8. Oppgaver. Oppgave Bestem største og minste verdi til f Hx, yl = x - y på flaten x + y =. Oppgave Bestem største og minste verdi til f Hx, y, zl = x + y + z på det lukkede og begrensede området ( kule med overflate ) x + y + z. Oppgave om forrige eksempel, men med f Hx, yl = ÅÅÅÅ Hx + y L på området ÅÅÅÅ x + y. Oppgave Bestem punktene nærmest origo og som ligger på flatene x - xy+ y - z = og x + y =.

13 TRev3HEV.mm3.nb 3 à 7.9. Løsninger. Oppgave 7.3., Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = Hx - L Hy + L + 5 Hz - 3L 8. f Hx, y, zl = H4 Hx - L 3,6 Hy + L, Hz - 3L 7 L = H,, L, med eneste løsning H, -, 3L. Punktet er et lokalt ( og globalt ) minimum siden f Hx, y, zl = Hx - L Hy + L + 5 Hz - 3L 8 og f H, -, 3L =. Funksjonens hessematrise i punktet H, -, 3L har kun ett element som ikke er. Determinanten er dermed og ekstremalverdiproblemet er ikke avgjørbart ved determinantkriteriet. Det midtererste elementet på diagonalen i hesse- matrisen er 6, alle andre elementer er. Følgelig er to av egnverdiene og den tredje er 6. Dermed har alle egenverdier som ikke er samme fortegn og ekstremalverdiproblemet er ikke avgjørbart ved egenverdikriteriet heller. á Kommentar. Determinantkriteriet og egenverdikriteriet er ikke likeverdige. Hvis to egenverdier har motsatt fortegn så er det stasjonære punktet et sadelpunkt. Hvis i tillegg minst en egenverdi er så blir determinanten til hessematrisen og vi får ingen konklusjon fra determinantkriteriet, selv om punktet er et sadelpunkt. Hvis den første egenverdien er så blir alle de ledende prinsipale underdeterminantene ( de som inngår i kriteriet ) også og vi kan ikke forfine determinantkriteriet ved å se på underdeterminantene i kriteriet. Det er mulig å utvide kriteriet til å se på andre underdeterminanter. Dette svarer til å samle alle egenverdier som ikke er først og så se på fortegnsmønstret til underdeterminantene i kriteriet. Merk at avvik mellom metodene kun forekommer for sadelpunkter. à Oppgave Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = xy-xz+ yz+ ÅÅÅÅ 3 x3-4 x. f Hx, y, zl = Hy - z + x - 4, x + z, -x + yl = H,, L. Dette gir likningene y - z + x - 4 = fl x + z = fl -x + y =. De to siste likningene gir z =-x og y = x som innsatt i den første likningen gir x + x - 4 = fl x = - è!!!!!!!!!!! 4+3 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 4-6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å =-fi. Vi har to løsninger for x og må kombinere disse med de andre likningene for å bestemme alle mulige 4 løsninger. De andre likningene er lineære og gir kun en løsning. x =- fl y =-flz = og x = fl y = fl z =-. Dette gir to stasjonære punkter: H-, -, L og H,, -L. ( Klassifikasjonen er utført i eksempel ) á Oppgave Bestem de stasjonære punktene til f Hx, y, zl = x 3 y - Hy - L z. f Hx, y, zl = H3 x y, x 3 - Hy - L z, - Hy - L zl = H,, L. Dette gir likningene 3 x y = fl x = fi y =, x 3 - Hy - L z = fl x 3 = Hy - L z og - Hy - L z = fl y = fi z =. Vi må nå kombinere likningene slik at alle mulige løsninger kommer med. Likningene er uavhengige betingelser som skal gjelde samtidig. Første og siste likning gir fire muligheter: x = fl y =, x = fl z =, y = fl y = og y = fl z =. Den tredje muligheten y = fl y = er en motsigelse og gir intet bidrag. De andre tre gjenværende mulighetene må settes inn i den andre likningen x 3 = Hy - L z for å bestemme den siste koordinaten til punktene. etter inn x = fl y = som gir 3 = ÿ ÿ z fl z kan anta enhver verdi. etter inn x = fl z = som gir 3 = Hy - L ÿ fl y kan anta enhver verdi. etter inn y = fl z = som gir x 3 = H - L fl x =. De stasjonære punktene er da H,, L, H, y, L og H,, zl, hvor y og z er vilkårlige reelle tall. ( Funksjonen har altså uendelig mange stasjonære punkter og disse kan beskrives som H, y, zl med y ÿ z = ). á Oppgave 7.6. for oppgave Funksjonen i oppgave er f Hx, y, zl = x 3 y - Hy - L z og de stasjonære punktene er H,, L, H, y, L og H,, zl, hvor y og z er vilkårlige reelle tall. Vi prøver determinantkriteriet på funksjonen. Hesse-matrisen er i6 xy 3 x y 3 x - z -4 Hy - L z. I punktet H,, L blir determinanten til hesse- matrisen og ingen avgjørelse j k -4 Hy - L z -Hy - L z oppnås. Det samme gjelder i de andre punktene H, y, L og H,, zl siden x = gir at. rad inneholder bare -ere. Fra funksjonen ser vi at punktene H, y, L, origo inkludert, er sadelpunkter siden f Hx, y, L = x 3 y som kan være både

14 4 TRev3HEV.mm3.nb positiv og negativ avhengig av fortegnet til x. Funksjonsverdiene i punktene H, y, L er og dermed antar funksjonen både større og mindre verdier enn vilkårlig nært det stasjonære punktet H, y, L. ( Altså sadelpunkt. ) f H,, zl =-z. Vi skal studere funksjonstilveksten i nærheten av det stasjonære punktet: f Hx, y, zl - f H,, zl = x 3 y - Hy - L z - H-z L = x 3 y - y z + yz = yhx 3 + H - y L z L. Tilveksten avhenger av fortegnet til y og kan være både positiv og negativ ( y er så liten at - y hele tiden har samme fortegn ). Funksjonen vil dermed anta verdier større enn og verdier mindre enn funksjonsverdien -z vilkårlig nært det stasjonære punktet H,, zl, som derfor er et sadelpunkt. á Oppgave iden funksjonen er deriverbar i hele 3 og definisjonsmengden ikke har noen rand, så en alle ekstremalpunkter stasjonære. Derivasjon gir f =- e -Hx +y +z LHx, y, zl = H,, L med eneste løsning H,, L. Funksjonens hessei- + 4 x 4 xy 4 xz y matrise er Hx, y, zl = e -Hx +y +z L 4 xy y 4 yz. Hesse- matrisa i det stasjonære punktet blir j k 4 xz 4 yz z z i- y H,, L = - j z. Prinsipaldeterminantene blir» - H,, L»=-,» H,, L»= k - ƒ - ƒ = 4 og -» 33 H,, L»= - =-8. Vi ser at determinanten til hesse- matrisa er forskjellig fra og det ƒ - ƒ stasjonære punktet kan klassifiseres. Fortegnene alternerer og starter med minus. Dette er i overenstemmelse med at H-L r» rr HaêêL» >, r =,, 3 som viser at det stasjonære punktet er et lokalt maksimum. Eller ved egenverdikriteriet. Hesse- matrisen er diagonal, følgelig er egenverdiene elementene på diagonalen. Alle egenverdiene er negative så punktet er et lokalt maksimum. á Oppgave Bestem største og minste verdi til f Hx, yl = x - y på flaten x + y =. Her er føringen HHx, yl = x + y -. Lagranges metode gir vektorlikningen f =l H fl H x, - yl =lh x, yl. På komponentform gir dette likningene x =lx og - y =ly. Vi ser at likningene kan forenkles ved å forkorte felles faktorer. Hvis x så kan faktoren x forkortes i den første av likningene. Dette gir l =. Innsatt i den andre likningen gir dette - y = y fl y =. Følgelig har vi Hx, L, x som mulige ekstremalpunkter. Hvis x = så er den første likningen oppfylt for alle verdier av l. Hvis y så kan faktoren y forkortes i den andre likningen. Dette gir l =-. Altså er alle punkter på formen H, yl, y mulige ekstremalpunkter. iste mulighet er x = y = som passer i likninge for enhver verdi av l. Totalt er de mulige ekstremalpunktene på formen Hx, L, H, yl, x œ fl y œ. Disse punktene må oppfylle føringen HHx, yl = x + y - =. Innsatt gir dette y = fl x = fl x = fi x = fl y = fl y =. Vi set at H, L i føringen gir at - = og er derfor ikke en mulighet. iden f Hx, yl = x - y er kontinuerlig og flaten x + y = er lukket og begrenset er eksistensen av en største og en minste funksjonsverdi sikret. Funksjonsverdilisten blir f H-, L = f H, L = og f H, -L = f H, L =-. Fra verdilisten følger at H-, L og H, L er globale maksimumspunkter med verdi og at H, -L og H, L er globale minimumspunkter med verdi -. Dette viser at restriksjonen av funksjonen til flaten har verdimengden V f» D. á Oppgave Bestem største og minste verdi til f Hx, y, zl = x + y + z på det lukkede og begrensede området ( kule med overflate ) x + y + z. Dette er et todelt problem. Første del er å bestemme alle mulige ekstremalpunkter i det åpne området x + y + z <. Dette gjøres på vanlig måte ved å finne alle nullpunkter til den deriverte. Andre del er å bestemme alle mulige ekstremalpunkter på kuleflaten x + y + z =. Dette gjøres ved å bruke Lagranges metode med kuleflaten som føring. Til slutt må alle funksjonsverdiene beregnes for alle mulige ekstremalpunkter som er funnet. Punktene som gir minst verdi er globale minima, mens punktene som gir størst verdi er globale maksima. Merk at enhver kontinuerlg funksjon på en lukket og begrenset mengde antar en minste verdi og en største verdi på mengden. iden funksjonen ovenfor er kontinuerlig ( den er et polynom i tre variable ) og mengden er lukket og begrenset så eksisterer

15 TRev3HEV.mm3.nb 5 globale ekstremalpunkter ( både minimum og maksimum ). Første del gir at den deriverte, som er gradienten, skal være null. f = H,, L H,, L som betyr at funksjonen ikke har ekstremalpunkter i det indre av kula. Andre del behandler selve kuleflaten og gir: HHx, y, zl = x + y + z - =. Lagranges metode gir: f =l H fl H,, L =lh x, y, zl. Denne vektorlikningen er ekvivalent med de tre komponentlikningene: =lx, =ly, =lz. For at likningene skal kunne oppfylles må l. Dette gir: x = y = z = ÅÅÅÅÅÅÅ l. Innsatt i føringen blir dette 3 H ÅÅÅÅÅÅÅ l L = fll= è!!! 3 ÅÅÅÅÅÅÅÅ. Dette gir to mulige ekstremalpunkter I ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! M. Funksjonsverdiene gir at I ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! è!!! M er et globalt maksimum med verdi 3 og -I ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! M er et globalt minimum med verdi - è!!! 3. iden funksjonen er kontinuerlig så er verdimengden V f = A- è!!! 3, è!!! 3 E. á Oppgave om forrige eksempel, men med f Hx, yl = ÅÅÅÅ Hx + y L på området ÅÅÅÅ x + y. iden funksjonen er kontinuerlig på et lukket og begrenset område eksisterer både en minste og en største verdi. Første del er å bestemme eventuelle ekstremalpunkter i det åpne området ÅÅÅÅ x + y <. Disse er gitt ved at den deriverte av funksjonen er null: f = Hx, yl = H, L med eneste løsning x = y =. Andre del er eventuelle ekstremalpunkter på området ( ellipsen ) ÅÅÅÅ x + y =. Føringen er HHx, yl = ÅÅÅÅ x + y - =. Lagranges metode gir f =l H fl Hx, yl =lhx, yl. Vektorlikningen er ekvivalent med likningene x =lx fl y =ly. Hvis x så er l = som medfører at y =. Hvis x = så er den første likningen oppfylt for alle l. Hvis y så er l = ÅÅÅÅ. Vi ser at siste mulighet x = y = også er en løsning. De mulige ekstremalpunktene er alle på formen Hx, LfiH, yl. Føringen krever at x = è!!! og at y =. Origo gir at = og er i strid med føringen, og er dermed ikke en løsning. De fire mulighetene er I- è!!!,m, I è!!!,m, H, -L, H, L. Verdiene er f I- è!!!,m = f I è!!!,m = og f H, -L = f H, L = ÅÅÅÅ. Fra det åpne området har vi origo med verdi f H, L =. Følgelig er I- è!!!,m, I è!!!,m globale maksimumspunkter til funksjonen med største verdi og H, L er et globalt minimumspunkt med minste verdi. Merk at vi ikke kan si noe om hvorvidt punktene H, - L, H, L er lokalt ekstremale ut fra beregningene, siden disse kun avgjør om punktene er globale ekstremalpunkter. Funksjonen er kontinuerlig så V f D. á Oppgave Bestem punktene nærmest origo og som ligger på flatene x - xy+ y - z = og x + y =. Avstandsfunksjonen fra origo og til et vilkårlig punkt Hx, y, zl er dhx, y, zl = è!!!!!!!!!!!!!!!! x + y +!!!!!!!! z. Problemet inneholder føringer H Hx, y, zl = x - xy+ y - z - = og H Hx, y, zl = x + y - =. For å slippe med enklere beregninger observerer vi at avstanden er ekstremal hvis og bare hvis kvadratet av avstanden er ekstremal. Vi bruker derfor funksjonen d Hx, y, zl = x + y + z i stedet for avstandsfunksjonen. Lagranges likning gir d =l H +l H. Beregning gir: d = H x, y, zl, H = H x - y, y - x, - zl og H = H x, y, L. Lagranges likning på vektorform for problemet blir: H x, y, zl =l H x - y, y - x, - zl +l H x, y, L. Utskrevet på komponentform blir dette: x =l H x - yl +l x, y =l H y - xl +l y og z =-l z, som sammen med likningene fra føringskravene: x - xy+ y - z - = og x + y - = gir 5 likninger for de 5 ukjente x, y, z, l og l. En omskriving av likningene gir L Hl +l - L x = ÅÅÅÅ l y, L Hl +l - L y = ÅÅÅÅ l x, 3L z =-l z, samt føringslikningene 4L x + y - = og 5L x - xy+ y - z - =. Likning 3 inneholder tilfeller: z og l =- eller z = og intet krav på l. Første tilfelle gir ved innsetting i likning og : Hl - L x =-ÅÅÅÅ y og Hl - L y =-ÅÅÅÅ x. Hvis l fl x fl y så kan disse likningene divideres med hverandre. Divisjonen gir ÅÅÅÅ x y = ÅÅÅÅ y x fl I ÅÅÅÅ x y M = med løsninger x = y fi x =-y. Innsatt i likning 4 gir dette x = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!. Disse verdiene samt at x = y innsatt i likning 5 gir z =-ÅÅÅÅ, som ikke kan oppfylles. Muligheten x = y er herved utelukket. Tilsvarende gir disse verdiene med x =-y at z = ÅÅÅÅ, med løsningene z = ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!. Merk at det ikke er noen krav om sammenheng mellom fortegnet til z og fortegnene til x og y. Dette gir 4 kandidatpunkter: I ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, - ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! M, I ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, - ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, - ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! M, I- ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! M og I- ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!, - ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! M. Innsatt i avstandsfunksjonen gir alle 4 punktene samme verdi, "##### ÅÅÅÅ 3. Den andre muligheten som er at l fl x fl y ikke holder gir i alle tilfeller ved innsetting i likningene at x = y =. Innsatt i likning 4 gir dette motsigelsen =. Følgelig gir ikke den andre muligheten noen kandidatpunkter. Det gjenstår å drøfte det andre tilfellet med z =. Innsatt i likning 5 gir dette x - xy+ y - = som sammen med likning 4 gir kravet x + y - xy- = - xy- = xy=. Vi får at x = fi y =. Muligheten x = y = er allerede utelukket. Det gjenstår å drøfte kravene fra likning og. x fl y = gir at l = fl l =. Tilfellet x = fl y gir også at

16 6 TRev3HEV.mm3.nb l = fl l =. Likning 4 gir x = eller y =. Dette gir 4 kandidatpunkter H,, L, H-,, L, H,, L, H, -, L. Innsatt i avstandsfunksjonen gir alle 4 punktene samme verdi,. Følgelig har vi 4 kandidatpunkter H,, L, H-,, L, H,, L, H, -, L til å være globale minimumspunkter. Vi trenger et sluttargument for at kandidatpunktene virkeleig er globale minimumspunkter til avstandsfunksjonen, og dermed for at punktene ligger nærmest origo av alle punkter som ligger på begge flatene. Flaten x + y = er en sylinder med radius og som er ubegrenset i z- retningen. Innsatt i den andre flaten x - xy+ y - z = gir dette at for alle punkter som ligger på begge flatene er z =-xy. ( Herfra ser vi direkte at x og y må ha motsatt fortegn. ) Kravet x + y = gjør at skjæringskurven mellom flatene er begrenset, siden verken x eller y kan ha absoluttverdi større enn. Avstandsfunksjonen er kontinuerlig og skjæringskurven er begrenset. Det kan vises at snittet mellom to lukkede mengder selv er lukket. iden kurven er begrenset kan vi benytte to lukkede biter fra hver flate som inneholder skjæringskurven ( vi tar med områdets rand ). kjæringskurven er lukket og begrenset og avstandsfunksjonen er kontinuerlig. Den globale ekstremalverdisetningen sikrer eksistensen av avstandsfunksjonens største og minste verdi. Dermed er punktene H,, L, H-,, L, H,, L, H, -, L globale minimumspunkter, alle i avstand fra origo H,, L. Merk at vi også har vist at de andre 4 kandidatpunktene er globale maksimunspunkter og at største avstand fra origo til punkter på kurven er "##### ÅÅÅÅ 3. á