EKSAMENSOPPGAVE MAT-0001 (BOKMÅL) Eksamen i : Mat-0001 Brukerkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 6. desember 2011. Tid : 09.00-13.00. Sted: : Adm. bygget, Aud. max. eller B154. Tillatte hjelpemidler : Alle trykte og skrevne. Kalkulator. Oppgavesettet er på 3 sider eks. forside, og inneholder 14 deloppgaver: 1abcde, 2abcd, 3ab, 4abc. Kontaktperson: Professor Andrei Prasolov, mobil 93 67 58 32.
1 OPPGAVE Firmaet Ferromedic AS skal produsere en drink rikt med jern (F e) og sink (Zn). Drinken er en blanding av sto A, sto B og vann. Ett gram av sto A inneholder 0.15 mg jern og 0.06 mg sink. Energiinnholdet er 12 kj pr 1 gram. Ett gram av sto B inneholder 0.18 mg jern og 0.14 mg sink. Energiinnholdet er 10 kj pr 1 gram. I følge reglene, skal 100 g av drinken inneholde minst 3.0 mg jern og 2.0 mg sink, og størst 4.2 mg jern og 3.0 mg sink. Firmaet vil produsere to typer drink, Athlet for idrettsmenn og Light for vanlige kunder. Energiinnholdet skal være maksimalt i Athlet drinken, og minimalt i Light drinken. Dette oppsummeres i tabellen nedenfor (dataene i de første to radene er gitt pr 1 gram sto ): Sto Energiinnhold F e Zn A 12 kj 0.15 mg 0.06 mg B 10 kj 0.18 mg 0.14 mg Minimalt innhold i 100 g drink 3.0 mg 2.0 mg Maksimalt innhold i 100 g drink 4.2 mg 3.0 mg Anta at det brukes x gram sto A og y gram sto B for å produsere 100 g av drinken. a) Begrunn kort hvorfor x og y må tilfredsstille følgende ulikheter: x 0; y 0; x + y 100; 300 15x + 18y 420; 200 6x + 14y 300: b) Skraver i et rettvinklet koordinatsystem alle tillatte kombinasjoner (x; y). c) Hva er energiinnholdet til 100 g av drinken uttrykt ved x og y? d) Ved hjelp av lineær programmering, nn kombinasjonen (x; y) av stoffene A og B som er optimal for drinken Athlet (dvs. har maksimalt mulig energiinnhold). Hva er energiinnholdet til 100 g av drinken Athlet? e) Ved hjelp av lineær programmering, nn kombinasjonen (x; y) av sto ene A og B som er optimal for drinken Light (dvs. har minimalt mulig energiinnhold). Hva er energiinnholdet til 100 g av drinken Light? 1
2 OPPGAVE Følgende tabell viser målinger av radioaktiviteten i en laboratorieprøve av 51 Cr ved forskjellige tidspunkter: Tid t (dager) 1 3 5 7 9 Radioaktivitet y (Ci) 19.4 18.7 17.9 17.0 16.0 a) Plott t mot Y = ln (y). Merknad: bruk minst 2 desimaler etter punktumet for verdier av Y. b) Tilpass en rett linje (på øyemål eller på en annen måte). Tegn linjen i samme ty -koordinatsystem. Finn likningen til linjen: Y = Y (t) = at + b: c) Bruk formelen for Y (t) til å nne en empirisk formel for y = y (t). d) Anslå halveringstiden T. Merknad: y (t + T ) = 1 2 y (t) : 3 OPPGAVE a) Bruk delvis integrasjon til å bevise at Z y sin (y) dy = sin y y cos y + C der C er en vilkårlig konstant. b) La g (x) = x 3 sin x 2 + 1 : Bruk substitusjonen y = x 2 + 1 og resultatet fra deloppgave a) til å vise at Z g (x) dx = 1 2 x2 cos x 2 + 1 + 1 2 sin x2 + 1 + C der C er en vilkårlig konstant. 2
4 OPPGAVE La funksjonen h være de nert ved h (x) = 1 x 2 e x for x i intervallet [a; b] = [ 1:1; 3:0] : I deloppgavene nedenfor betrakt kun verdiene til x som ligger i dette intervallet. Merknad 1: husk at e x > 0 for alle x. Merknad 2: bruk minst 2 desimaler etter punktumet i alle svarene. a) Finn punktene (x; y), 1:1 x 3:0, der grafen til h skjærer x-aksen og y-aksen. b) Beregn den deriverte dh dx = h0 (x). Avgjør på hvilke intervall h er voksende/avtagende. Finn alle lokale minimumspunkter og maksimumspunkter til h i det indre av intervallet [ 1:1; 3:0]. c) Finn det globale maksimumspunktet og det globale minimumspunktet til funksjonen i intervallet [ 1:1; 3:0]. LYKKE TIL! 3
EKSAMENSOPPGÅVE MAT-0001 (NYNORSK) Eksamen i : Mat-0001 Brukarkurs i matematikk. Dato : Tirsdag 6. desember 2011. Tid : 09.00-13.00. Stad : Adm. bygget, Aud. max. eller B154. Tillatne hjelpemiddel : Alle trykte og skrivne. Kalkulator. Oppgåvesettet er på 3 sider eks. forside, og inneheld 14 deloppgåver: 1abcde, 2abcd, 3ab, 4abc. Kontaktperson: Professor Andrei Prasolov, mobil 93 67 58 32.
1 OPPGÅVE Firmaet Ferromedic AS skal produsere ein drink rikt med jern (F e) og sink (Zn). Drinken er ein blanding av sto A, sto B og vann. Eit gram av sto A inneheld 0.15 mg jern og 0.06 mg sink. Energiinnhaldet er 12 kj pr 1 gram. Eit gram av sto B inneheld 0.18 mg jern og 0.14 mg sink. Energiinnhaldet er 10 kj pr 1 gram. I følge reglane, skal 100 g av drinken innehelde minst 3.0 mg jern og 2.0 mg sink, og størst 4.2 mg jern og 3.0 mg sink. Firmaet vil produsere to typar drink, Athlet for idrettsmenn og Light for vanlige kundar. Energiinnhaldet skal være maksimalt i Athlet drinken, og minimalt i Light drinken. Dette oppsummerast i tabellen nedanfor (dataane i dei første to radane er gitt pr 1 gram sto ): Sto Energiinnhald F e Zn A 12 kj 0.15 mg 0.06 mg B 10 kj 0.18 mg 0.14 mg Minimalt innhald i 100 g drink 3.0 mg 2.0 mg Maksimalt innhald i 100 g drink 4.2 mg 3.0 mg Anta at det brukast x gram sto A og y gram sto B for å produsere 100 g av drinken. a) Grunngi kort kvifor x og y må tilfredsstille følgjande ulikhetar: x 0; y 0; x + y 100; 300 15x + 18y 420; 200 6x + 14y 300: b) Skraver i eit rettvinkla koordinatsystem alle tillatne kombinasjonar (x; y). c) Kva er energiinnhaldet til 100 g av drinken uttrykt ved x og y? d) Ved hjelp av lineær programmering, nn kombinasjonen (x; y) av stoffane A og B som er optimal for drinken Athlet (dvs. har maksimalt mulig energiinnhald). Hva er energiinnhaldet til 100 g av drinken Athlet? e) Ved hjelp av lineær programmering, nn kombinasjonen (x; y) av sto ane A og B som er optimal for drinken Light (dvs. har minimalt mulig energiinnhald). Hva er energiinnhaldet til 100 g av drinken Light? 1
2 OPPGÅVE Følgjande tabell viser målingar av radioaktiviteten i ein laboratorieprøve av 51 Cr ved forskjellige tidspunkt: Tid t (dager) 1 3 5 7 9 Radioaktivitet y (Ci) 19.4 18.7 17.9 17.0 16.0 a) Plott t mot Y = ln (y). Merknad: bruk minst 2 desimalar etter punktumet for verdiar av Y. b) Tilpass ei rett linje (på augemål eller på ein annan måte). Tegn linja i samme ty -koordinatsystem. Finn likninga til linja: Y = Y (t) = at + b: c) Bruk formelen for Y (t) til å nne ein empirisk formel for y = y (t). d) Anslå halveringstida T. Merknad: y (t + T ) = 1 2 y (t) : 3 OPPGÅVE a) Bruk delvis integrasjon til å vise at Z y sin (y) dy = sin y y cos y + C der C er ein vilkårleg konstant. b) La g (x) = x 3 sin x 2 + 1 : Bruk substitusjonen y = x 2 + 1 og resultatet frå deloppgåve a) til å vise at Z g (x) dx = 1 2 x2 cos x 2 + 1 + 1 2 sin x2 + 1 + C der C er ein vilkårleg konstant. 2
4 OPPGÅVE La funksjonen h vere de nert ved h (x) = 1 x 2 e x for x i intervallet [a; b] = [ 1:1; 3:0] : I deloppgåva nedanfor sjå berre på verdiane til x som ligg i dette intervallet. Merknad 1: husk at e x > 0 for alle x. Merknad 2: bruk minst 2 desimalar etter punktumet i alle svara. a) Finn punkta (x; y), 1:1 x 3:0, der grafen til h skjærer x-aksen og y-aksen. b) Rekn ut den deriverte dh dx = h0 (x). Avgjer på kva intervall h er voksande/avtakande. Finn alle lokale minimumspunkt og maksimumspunkt til h i det indre av intervallet [ 1:1; 3:0]. c) Finn det globale maksimumspunktet og det globale minimumspunktet til funksjonen i intervallet [ 1:1; 3:0]. TIL LYKKE! 3