TMA4105 Matematikk2 Vår 2008

TMA4105 Matematikk2 Vår 2008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 5 11.4.1 Vi ser på kurven i xy-planet gitt ved r(t) ti + (ln(cos t))j π/2 < t < π/2. Vi skal finne enhetstangenten T, prinsipalnormalen N og krumningen κ langs denne kurven. Siden d 1 (ln(cos t)) cos t ( sin t) tan t, er hastighetsvektoren langs kurven gitt ved v(t) r (t) i (tan t)j. Farten, v(t) 1 + tan 2 t 1 + sin 2 t/ cos 2 t 1/ cos t cos 2 t + sin 2 t 1/ cos t. Dermed er enhetstangenten i punktet r(t), T(t) 1 v(t) cos ti sin tj v(t) Deriverer vi enhetstangenten med hensyn på tiden, får vi sin ti cos tj. Denne har lengde 1. Følgelig er kurvaturen, Prinsiplanormalen N finner vi ved κ(t) (t) cos t. v(t) 1 N(t) (t) (t) sin ti cos tj. 11.4.5 Her lar vi f være en to ganger kontinuerlig deriverbar reell funksjon. Vi parametriserer kurven y f(x) ved r(x) xi + f(x)j. a) Her skal vi finne en formel for kurvaturen til r. Vi begynner med å regne på en 13. februar 2008 Side 1 av 6

del hjelpestørrelser: v(x) i + f (x)j v(x) 1 + (f (x)) 2 T(x) 1 1 + (f (x)) i + f (x) 2 1 + (f (x) j 2 dx f (x)f (x) [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 i + f (x) [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 dx (f (x)) 2 (f (x)) 2 + (f (x)) 2 [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 f (x) 1 + (f [1 + (f (x)) 2 ] 3/2 (x)) 2 Dermed er kurvaturen κ(x) dx v(x) (f (x)) [1 + (f (x)) 2 ] 3/2. b) Nå skal vi bruke denne formelen på f(x) ln(cos x)). Vi får f (x) tan x, f (x) cos 2 x og følgelig κ(x) cos 2 x (1 + tan 2 x) 3/2 cos 2 x cos 3 x(cos 2 x + sin 2 x) 3/2 cos x. Dette stemmer med oppgave [11.4.1]. c) Siden f er to ganger derivervar er x er et infleksjonspunkt for f hvis og bare hvis f (x ) 0 og f (x ) 0. Dermed ser vi at er vi at hvis x er et infleksjonspunkt, så er kurvaturen κ(x f (x ) ) (1 + (f (x )) 2 ) 3/2 0 11.4.10 Vi ser her på romkurven parametrisert ved r(t) (cos t + t sin t)i + (sin t t cos t)j + 3k. Oppdraget er å finne enhetstangenten T(t), prinsipalnormalen N(t) og kurvaturen κ(t). Vi deriverer r(t), og får v(t) r (t) (t cos t)i + (t sin t)j. Hastigheten v(t) t. Dermed blir enhetstangenten T(t) (cos t)i + (sin t)j. så kurvaturen ( sin t)i + (cos t)j, κ(t) (t) 1 v(t) t 13. februar 2008 Side 2 av 6

og prinsipalnormalen N(t) (t) ( sin t)i + (cos t)j. (t) 11.4.18 Vi ser her på ellipsen parametrisert ved x(t) a cos t, y(t) b sin t, der a > b > 0. Den store aksen faller her sammen med x-aksen, mens den lille aksen faller sammen med y-aksen siden a > b. Vi skal altså se at kurvaturen er maksimal i skjæringen med x-aksen og minimal i skjæringen med y-aksen. Denne kurven har hastighetsvektor v(t) ( a sin t, b cos t) og akselerasjonsvektor a(t) ( a cos t, b sin t). Helt generelt har vi d v d 1 v v 2 v a (v a + a v) v v v, så når vi deriverer enthetstangentvektoren, får vi d (v/ v ) v a v a v v(t) v 2 Kvadratet av kurvaturen, (v v)a (v a)v v 3. κ 2 2 (v v)a (v a)v 2 v 2 v 8 (v v) 2 (a a) 2(v a) 2 (v v) + (v a) 2 (v v) 2 v 8 (v v)(a a) (v a) 2 2 v 6. Her kan vi sette inn for v og a. Da får vi (a κ(t) 2 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t)(a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t) ((a 2 b 2 ) sin t cos t) 2 2 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3 a 2 b 2 sin 4 t + a 2 b 2 cos 4 t + (2a 2 b 2 ) sin 2 t cos 2 t 2 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3 a 2 b 2 (sin 2 t + cos 2 t) 2 2 a 4 b 4 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3. Dermed ser vi at kurvaturen κ(t) a 2 b 2 (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2 Kurvaturen er altså maksimal når (a 2 sin 2 t+b 2 cos 2 t) er minimal, d.v.s når sin t 0, d.v.s i punktene der ellipsen vår skjærer x-aksen, altså på den store aksen. Tilsvarende er kurvaturen minimal når (a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) er maksimal, d.v.s når cos t 0, d.v.s i punktene der ellipsen skjærer y-aksen, altså på den lille aksen. 13. februar 2008 Side 3 av 6

Figur 1: Kurven r(t) 2 ln(t)i (t 1/t)j med heltrukken strek. Smygsirkelen i punktet r(1) med stiplet strek. 11.4.22 Vi skal se på kurven parametrisert ved r(t) (2 ln t)i (t + (1/t))j for e 2 t e 2. Målet er å finne smygsirkelen (den oskulerende sirkelen) ved parameterverdi t 1. Hastighetsvektoren og farten Enhetstangenten, og følgelig er v(t) (2/t)i ((t 2 1)/t 2 )j, v(t) (t 2 + 1)/t 2. T(t) 2t t 2 + 1 i t2 1 t 2 + 1 j, (t) 1 (t 2 + 1) 2 ( (2 2t 2 )i (4t)j ) Vi skal også se på prinsipalnormalen N / (t) og kurvaturen κ(t) (t) / v(t), men vi behøver bare å se på verdiene i t 1: (1) j og (1) 1 N(1) j v(1) 2 κ(1) (1) 1 v(1) 2 Dermed får vi kurvaturradius 1 κ 2 og kurvatursentrum (0, 2) + 1 N 2j + 2( j) 4j (0, 4). κ Dermed har smygsirkelen ved t 1 sentrum i (0, 4) og radius 2, og er følgelig bestemt av ligningen x 2 + (y + 4) 2 4. Se forøvrig figur 1. 13. februar 2008 Side 4 av 6

11.5.4 Vi ser her på kurven parametrisert ved r(t) (t cos t)i + (t sin t)j + t 2 k. Denne har hastighetsvektor og fart Den deriverte av farten, v(t) (cos t t sin t)i + (sin t + t cos t)j + 2tk v(t) 1 + 5t 2. d v(t) 5t 1 + 5t 2. Dermed er (følgende av diskusjonen i boka ) komponenten av akselerasjonsvektoren langs enhetstangenten ved t 0, a T d v (0) 0. Akselserasjonsvektoren a(t) ( 2 sin t t cos t)i + (2 cos t t sin t)j + 2k har ved t 0 lengde a(0) 2 2 cos 2 0 + 2 2 2 2. Følgelig er komponenten av akselerasjonen langs prinsipalnormalen a N a 2 a 2 T 8 2 2. Dermed kan vi skrive akselerasjonsvektoren ved t 0 på formen a(0) 2 2N(0) 11.5.10 Vi skal atter en gang studere romkurven parametrisert ved r(t) (cos t + t sin t)i + (sin t t cos t)j + 3k. Fra oppgave [11.4.10] vet vi at enhetstangenten T(t) (cos t)i + (sin t)j, at prinsipalnormalen N ( sin t)i + (cos t)j og at kurvaturen κ(t) 1 t. Dermed får vi binormal i j k B T N cos t sin t 0 sin t cos t 0 k Siden binormalen er konstant er torsjonen τ(t) 0. 11.5.21 Vi skal verifisere formelen κ v a v 3. Først gjør vi noen generelle observasjoner. Kryssproduktet kan nemlig uttrykkes ved hjelp av skalarproduktet. For to villkårlige vektorer v, a som spenner ut en vinkel θ har vi v a 2 v 2 a 2 sin 2 θ v 2 a 2 (1 cos 2 θ) v 2 a 2 (v a) 2. (1) 13. februar 2008 Side 5 av 6

Dette er den første ingrediensen i beviset. Den andre ingrediensen er en formel for endringen av farten for en kurve r(t) med hastighetsvektor v(t) og akselerasjon a(t). Den deriverte av farten, d v d 1 v v 2 (v a + a v) v v v a (2) v. Vi kan regne ut ved å sette inn T v/ v, og vi får ved (2) d v v v a d ( v )v v 2 (v v)a (v a)v v 3. Vi beregner kvadratet av lengden av denne vektoren, og får ved (1) 2 (v v)2 (a a) 2(v v)(v a)(v a) + (v a) 2 (v v) v 6 v 2 a 2 (v a) 2 v a 2 v 4 v 4. Følgelig er kurvaturen κ v a v v 3 11.5.24 Vi ser på den parametriserte linjen r(t) (x 0 +At)i+(y 0 +Bt)j+(z 0 +Ct)j. Denne har hastighetsvektor v(t) Ai + Bj + Ck. Enhetstangenten T(t) er Ai+Bj+Ck A 2 +B 2 +B 2 konstant, så kurvaturen κ(t) 0. I denne situasjonen er ikke prinsipalnormalen N og binormalen B veldefinert. Dermed er heller ikke torsjonen definert. Oppgaven er altså ikke vel stilt. 11.6.2 Vi bruker her Newtons derivasjonsnotasjon, og skriver ġ istedenfor d g når vi deriverer funksjonen g. u r, u θ er definert som i kap 11.6 i boka. Her ser vi på en kurve i polarkoordinater. Det eneste vi vet er at r a sin(2θ) og θ 2t. Hastighetsvektoren, v d r(t)u r ṙu r + r u r ṙu r + r θu θ Nå er ṙ r (θ) θ 4at cos(2θ), så hastighetesvektoren blir v 4at cos(2θ)u r + 2at sin(2θ)u θ. På tilsvarende måte finner vi akselerasjonen a v ( r r θ 2 )u r + (r θ + 2ṙ θ)u θ. r r (θ) θ + r (θ) θ 2, så vi får ved å sette inn r (θ) 4a sin(2θ) a (4a cos(2θ) 20at 2 sin(2θ))u r + (2a sin(2θ) + 16at 2 cos(2θ))u θ 13. februar 2008 Side 6 av 6