øsning til øving 8 for FY4, høsten 7 Vi tar for oss en partikkel med masse m i en endimensjonal boks med lengde For < x < gjelder den stasjonære Schrödingerligningen h m d ψ Eψ, ( dx der E er energien Bølgefunksjonen ψ ψ(x skal oppfylle randkravene ψ( ψ( øsningene av Schrödingerligningen med randkrav er de stasjonære tilstandene (energiegentilstandene med de tilhørende energiene ψ n(x ( nπx sin for n,,3,, ( E n n π h m n E (3 a Vis at energiegenfunksjonen ψ n gitt i ligning ( er korrekt normert, altså at dx ψ n(x Vis også at energiegenfunksjonene ψ j og ψ n med j n er ortogonale, det vil si at dx ψj ψn dx (ψ j (x ψ n(x Hint: Du kan for eksempel bruke de trigonometriske identitetene som gir, blant annet, at Eller du kan bruke at cos(u ± v cos u cos v sin u sin v, sin(u ± v sinu cos v ± cos u sinv, sin u sinv cos(u v cos(u + v cos u eiu + e iu, sinu eiu e iu, i og omforme et produkt av trigonometriske funksjoner til en sum av komplekse eksponensialfunksjoner Normeringsintegralet (vi substituerer u x/: dx ψ n (x (i dx ( nπx sin du ( + du sin (nπu (e inπu e inπu du (e inπu + e inπu En snarvei til svaret er det faktum at funksjonen sin oscillerer mellom og, og middelverdien over en hel periode er / engden av integrasjonsintervallet (med x som integrasjonsvariabel er, derfor blir integralet av sin lik /
Ortogonalitet for j n: dx ψj ψ n dx ( ( jπx nπx sin sin du sin(jπu sin(nπu (i du (e ijπu e ijπu ( e inπu e inπu ( du e i(j+nπu e i(j nπu e i(j nπu + e i(j+nπu c Den mest generelle tidsavhenginge bølgefunksjonen for partikkelen i boksen er der Ψ(x, t a n ψ n(x e iωnt, (4 n ω n En h n π h m n ω, og der koeffisientene a, a,, a n, er komplekse tall som oppfyller normeringskravet a n n Vis at Ψ(x, t er normert til ethvert tidspunkt t, det vil si at dx Ψ(x, t Vi må se nærmere på absoluttkvadratet av Ψ(x,t: ( Ψ(x,t (Ψ(x,t Ψ(x,t a j (ψ j(x e iω jt a n ψ n (xe iωnt j n a j a n (ψ j (x ψ n (xe i(ω j ω nt Generelt gjelder at et produkt av to summer blir en dobbeltsum, ( A j B n A j B n A j B n j n n j n j A j B n A j B n n j n j Som regel tar vi oss friheter når det gjelder å bytte om på rekkefølgen av to summasjonstegn I en endelig sum kan vi alltid bytte om på summasjonsrekkefølgen, vi får samme resultat enten vi summerer i den ene eller andre rekkefølgen I uendelige summer, derimot, hender det at denne regelen ikke gjelder For eksempel er ( n ln n n
når vi summerer i den naturlige rekkefølgen + 3 4 + 5 Summerer vi alle de positive leddene først, får vi + 3 + 5 + 4 6 + 4 6 + Summerer vi alle de negative leddene først, får vi 4 6 + + 3 + 5 + + + 3 + 5 + Og summerer vi i andre rekkefølger, kan vi få hva vi måtte ønske mellom og + Det matematiske teoremet som vi har bruk for, er at vi kan bytte fritt om på summasjonsrekkefølgen i en uendelig sum hvis den er absolutt konvergent, det vil si, hvis vi får en konvergent sum når vi tar absoluttverdien av hvert ledd i summen, Tilsvarende regler gjelder for ombytting av integrasjonsrekkefølgen i et dobbeltintegral, eller for ombytting av rekkefølgen når vi både summerer og integrerer I vårt eksempel her har vi integralet av en dobbeltsum, og vi tar oss den friheten å bytte om slik at vi integrerer først og dobbeltsummerer etterpå Ortogonaliteten av energiegenfunksjonene ψ n reduserer dobeltsummen til en enkeltsum Denne måten å regne på gir at dx Ψ(x,t dx a j a n (ψ j (x ψ n (xe i(ω j ω nt a j a n e i(ω j ω nt dx (ψ j (x ψ n (x a j a j j d Anta at a 3 a 4 i lineærkombinasjonen (4, slik at Ψ(x, t a ψ (x e iωt + a ψ (x e iωt, med a + a Beregn forventningsverdien av posisjonen x, definert som x dx x Ψ(x, t Beregn også forventningsverdien av x, x dx x Ψ(x, t, og variansen av x, var(x (x x x x For hvilke verdier av de komplekse koeffisientene a og a er forventningsverdien og variansen av x tidsuavhengige? 3
Forventningsverdien av x er x dx x Ψ(x,t dx x a j a n (ψ j (x ψ n (xe i(ω j ω nt a j a n e i(ω j ω nt dx x ( ( jπx nπx sin sin a j a n e i(ω j ω nt du u sin(jπu sin(nπu a j a n e i(ω j ω nt du u [cos((j nπu cos((j + nπu] I tilfellet j n har vi at du u cos((j nπu du u Ellers får vi ved delvis integrasjon, for k j n eller k j + n >, at du u cos(kπu u sin(kπu kπ For j n og j n gir det at u kπ cos(kπ (kπ ( k (kπ du sin(kπu cos(kπu (kπ du u [cos((j nπu cos((j + nπu] For j, n og for j, n gir det at u Følgelig, du u [cos((j nπu cos((j + nπu] π + 9π 6 9π x ( a + a 6 9π [a a e i(ω ω t + a a e i(ω ω t ] Siden a + a, kan vi innføre vinkler α, β og β og skrive Det gir at a cos α e iβ, a sin α e iβ x 6 9π cos α sinα ( e i[(ω ω t β +β ] + e i[(ω ω t+β β ] 6 9π sin(α cos((ω ω t β + β 4
Forventningsverdien av x beregnes på tilsvarende måte: x dx x Ψ(x,t a j a n e i(ω j ω nt dx x ( jπx sin sin ( nπx a j a n e i(ω j ω nt du u sin(jπu sin(nπu a j a n e i(ω j ω nt du u [cos((j nπu cos((j + nπu] I tilfellet j n har vi at du u cos((j nπu To ganger delvis integrasjon gir for k at du u cos(kπu u sin(kπu kπ u du u sin(kπu kπ u cos(kπu (kπ u cos(kπu (kπ cos(kπ (kπ For j n og j n gir det at u u du u 3 du u sin(kπu kπ (kπ ( k (kπ sin(kπu (kπ 3 du cos(kπu u du u [cos((j nπu cos((j + nπu] 3 (jπ For j, n og for j, n gir det at du u [cos((j nπu cos((j + nπu] π + 9π 6 9π Med a cos α ( + cos(α/ og a sin α ( cos(α/ får vi at ( ( x 3 π a + 3 8π a 6 9π [a a e i(ω ω t + a a e i(ω ω t ] 3 (5 + 3cos(α 6π 6 9π sin(α cos((ω ω t β + β 5
Variansen blir da var(x x x (5 + 3cos(α 6π 56 8π 4 sin (α cos ((ω ω t β + β Vi ser at forventningsverdien og variansen av x er tidsuavhengige hvis og bare hvis enten a eller a I begge disse tilfellene er tilstanden en energiegentilstand, enten ψ eller ψ, det vil si at den er stasjonær, og dermed er alle forventningsverdier tidsuavhengige e Impulsen til partikkelen, i en dimensjon, representeres i kvantemekanikken ved derivasjonsoperatoren p h i x i h x a Ψ(x, t være den samme tidsavhengige bølgefunksjonen som ovenfor, under punkt d, og beregn forventningsverdien av impulsen p, definert som Beregn også forventningsverdien av p, p dx Ψ pψ dx (Ψ(x, t ( i h Ψ(x, t x ( p dx Ψ p Ψ dx (Ψ(x, t ( i h Ψ(x, t x, og variansen av p, var(p (p p p p For hvilke verdier av de komplekse koeffisientene a og a er forventningsverdien og variansen av p tidsuavhengige? Forventningsverdien av impulsen p er ( h p dx (Ψ(x,t (pψ(x,t dx (Ψ(x,t i x Ψ(x,t dx a j a n (ψ j (x h i ψ n(xe i(ω j ω nt a j a n e i(ω j ω nt dx ( ( jπx h sin nπ nπx i cos a j a n e i(ω j ω nπ h nt du sin(jπu cos(nπu i a j a n e i(ω j ω nπ h nt du [sin((j nπu + sin((j + nπu] i For k er du sin(kπu, 6
og for k er Det gir at du sin(kπu cos(kπu kπ u cos(kπ kπ p a a e i(ω ω t π h ( i π + a a e i(ω ω t π h 3π i 8 h (a 3i a e i(ω ω t a a e i(ω ω t ( k kπ 8 h 3i cos α sin α ( e i[(ω ω t β +β ] e i[(ω ω t+β β ] 8 h 3 sin(α sin[(ω ω t β + β ] ( π 3π Forventningsverdien av p er enkel å regne ut, fordi hver ψ n er en egentilstand for p, p Ψ h x Ψ(x,t Følgelig er n a n ( h ψ n (xe iωnt n a n (nπ h ψ n (xe iωnt p j dx (Ψ(x,t (p Ψ(x,t dx a j (jπ h a j a n (ψ j (x (nπ h (π h ψ n (xe i(ω j ω nt ( a + 4 a (π h 5 3cos(α Og variansen av p blir var(p p p (π h 5 3cos(α 64 h 9 sin (α sin [(ω ω t β + β ] 7
Kommentar Når vi nå har formler for usikkerhetene i posisjon og impuls, x var(x og p var(p, kan vi sjekke at Heisenbergs usikkerhetsrelasjon er oppfylt Den sier at eller når vi kvadrerer, x p h, var(xvar(p h 4 Sett τ (ω ω t β + β, da er U 4var(xvar(p ( h 4 5 + 3cos(α 6π 56 8π 4 sin (α cos τ ( π (5 3cos(α 64 9 sin (α sin τ Dette uttrykket skal helst ikke bli mindre enn for noen verdi av α eller τ For de stasjonære tilstandene ψ (dvs for α og ψ (dvs for α π/ er variansene tidsuavhengige For α er For α π/ er U π 3,899 > U 4π,5947 >> 3 At ψ nesten minimaliserer Heisenbergs usikkerhetsrelasjon, kan vi forstå intuitivt Den er nemlig en funksjon med bare ett maksimum, og det representerer et kompromiss mellom to motstridende hensyn: vi ønsker å minimalisere spredningen i posisjon og samtidig minimalisere variasjonen i den deriverte At ψ ikke har noen sjanse til å minimalisere Heisenbergs usikkerhetsrelasjon, er heller ikke overraskende, ut fra et lignende resonnement Den har nemlig to topper, eller rettere en topp og en bunn, med et nullpunkt imellom Med numerisk regning finner vi, ganske overraskende, at α α,494963, τ gir en minimumsverdi U,935 > For denne verdien av α er usikkerhetsproduktet x p tidsavhengig Det er alltid større enn h/, og det meste av tiden er det mye større Den bølgefunksjonen som gjør usikkerhetsproduktet spesielt lite, er ( ( ( πx πx Ψ(x cos α ψ (x + sinα ψ (x cos α sin + sin α sin Figur viser hvordan denne bølgefunksjonen ser ut 8
6 4 8 6 4 4 6 8 x Figur : Eksempel på en bølgefunksjon som gjør usikkerhetsproduktet x p lite, i en boks med lengde 9