ISTITUTO TECNICO STATALE COMMERCIALE E PER GEOMETRI "In Meoria dei Morti per La Patria" Viale Enrico Millo, 1-16043 Chiavari Laboratorio di Topografia - G.P.S. - G.I.S Anno scolastico 2009-2010 Soario Classe: 4^ "A" L.T.C. Sono noti 4 punti in coordinate cartesiane Allievo:... Probea di Marek. (Problea dei quattro punti inaccessibili). Il problea che risale al 1875 è tratto da: Technischen anleitung zur ausfuhrung der trigonoetrischen operationen des kataster i auftrage des konigl. Ungarischen Finanz Ministerius verfasst von I. Marek Budapest 1875, pag. 259 X A 100.41 X B 600.68 X C 1500.11 X D 1950.75 Y A 350.55 Y B 500.17 Y C 450.07 Y D 400.70 Da un punto chiaato P, stazionabile, è possibile eseguire letture angolari di direzione colliando con un teodolite i punti A, B e un terzo punto chiaato R, anch'esso stazionabile e dal quale è possibile la colliazione dei punti C, D oltre che P. θ PA 332.5665deg θ PB 30.7790deg θ PR 84.1355deg θ RC 5.2695deg θ RD 36.2985deg θ RP 268.4150deg La soluzione del problea fornisce le coordinate cartesiane dei due punto P, R La figura si disegna tenendo conto dell'ubicazione dei punti "P" rispetto ad "A" e "B" e "R" rispetto a "C" e "D". Nel caso in questione si hanno i punti "A", "B", "C" e "D" tutti a sinistra della congiungente i punti "P" ed "R" per un osservatore che da "P" guarda verso "R". Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 1 of 8
Riportando su un sistea cartesiano approssiativaente le posizioni reciproche di punti sopra richiaati, è possibile tracciare le circonferenze che passano per "A", "B", "P" e "C", "D", "R": 1) si tracciano gli assi dei segenti AB, AP, CD e CR; 2) l'intersezione dei prii due fornisce l'ubicazione del centro della pria circonferenza e l'intersezione dei secondi due fornisce l'ubicazione del centro della seconda circonferenza; 3) la retta passante per i punti "P" ed "R" individua i punti "Q" ed "S" sulla rispettive circonferenze (punti di Collins); 4) i segenti BP, AQ, BQ, DR, CS e DS; 5) l'indicazione degli angoli perette di seguire la procedura risolutiva proposta del problea. A B C D P Q R S RISULTATI X P 141.92 X R 1293.03 Y P 99.10 Y R 149.67 Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 2 of 8
PROCEDURA DI CALCOLO (CASO ILLUSTRATO IN FIGURA) 1) Calcolo degli angoli in "P" e in "R" α θ PA θ PR α 248.4310 deg β θ PB θ PR + 2π β 306.6435 deg φ θ RC θ RP + 2π φ 96.8545 deg ψ θ RD θ RP + 2π ψ 127.8835 deg 2) Calcolo degli eleenti del triangolo ABQ 2 + ( Y B Y A ) 2 AB X B X A AB 522.16 Φ AB atan X B X A Y B Y A Φ AB 73.3492 deg Φ BA Φ AB + π Φ BA 253.35 deg γ 2π β γ 53.3565 deg uguali perchè insistono sulla stessa corda ε β α ε 58.2125 deg uguali perchè insistono sulla stessa corda AQ BQ AB sin ε + γ sin ε AB sin γ sin ε AQ 571.29 BQ 492.90 Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 3 of 8
3) Calcolo degli aziut e dei controaziut dei lati Φ AQ Φ AB + γ Φ AQ 126.7057 deg Φ QA Φ AQ + π Φ BQ Φ BA π γ + ε Φ QA 306.7057 deg Φ BQ 184.9182 deg Φ QB Φ BQ π Φ QB 4.9182 deg 4) Calcolo delle coordinate del prio punto di collins "Q" e per verifica: X Q X A + AQ sin Φ AQ Y Q Y A + AQ cos Φ AQ X Qv X B + BQ sin Φ BQ Y Qv Y B + BQ cos Φ BQ X Q 558.42 Y Q 9.09 X Qv 558.42 Y Qv 9.09 5) Calcolo degli eleenti del triangolo CDS 2 + ( Y D Y C ) 2 CD X D X C CD 453.34 Φ CD atan X D X C Y D Y C + π Φ CD 96.2521 deg Φ DC Φ CD + π Φ DC 276.25 deg ζ π ψ ζ 52.1165 deg uguali perchè insistono sulla stessa corda ξ ψ φ ξ 31.0290 deg uguali perchè insistono sulla stessa corda Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 4 of 8
DS CS CD sin ζ sin ξ CD sin ξ + ζ sin ξ DS 694.12 CS 873.17 6) Calcolo degli aziut e dei controaziut dei lati Φ CS Φ CD + ζ Φ CS 148.3686 deg Φ SC Φ CS + π Φ DS Φ DC π ζ + ξ Φ SC 328.3686 deg Φ DS 179.3976 deg Φ SD Φ DS + π Φ SD 359.3976 deg 7) Calcolo delle coordinate del secondo punto di collins "S" X S X C + CS sin Φ CS Y S Y C + CS cos Φ CS e per verifica: X Sv X D + DS sin Φ DS Y Sv Y D + DS cos Φ DS X S 1958.05 Y S 293.38 X Sv 1958.05 Y Sv 293.38 NOTA: si osserva che essendo state calcolate le coordinate di "Q" e di "S", la figura potrebbe essere ora eseguita in scala e utilizzata coe disegno. Si ricorda inoltre che dal disegno possono essere lette, in scala, le coordinate dei punti "P" ed "R". Qualora il disegno fosse eseguito ediante procedura CAD allora potrebbero essere letti su di esso i risultati del problea con precisine adeguata. Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 5 of 8
8) Calcolo dell'aziut e del controaziut della retta passante per i punti "P" "Q", "R" e "S" Φ QS atan X S X Q Y S Y Q + π Φ QS 102.1946 deg Φ SQ Φ QS + π Φ SQ 282.1946 deg 9) Calcolo degli eleenti del triangolo QAP Φ QP Φ SQ Φ QP 282.1946 deg δ Φ QA Φ QP δ 24.5111 deg ρ 2π α AP QP AQ sin δ sin ρ AQ sin( ρ + δ) sin ρ ρ 111.5690 deg AP 254.86 QP 426.11 10) Calcolo degli eleenti del triangolo QBP η Φ QB Φ QP + 2π η 82.7236 deg ν 2π β BP BQ sin η sin ν ν 53.3565 deg BP 609.36 e per verifica BQ sin η + ν QP v sin ν QP v 426.11 Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 6 of 8
11) Calcolo degli aziut dei lati AP e BP Φ AP Φ AQ + π δ + ρ Φ BP Φ BQ + π η + ν Φ AP 170.6256 deg Φ BP 228.8381 deg 12) Calcolo delle coordinate del punto "P" X P X A + AP sin Φ AP Y P Y A + AP cos Φ AP X P 141.92 Y P 99.10 e per verifica X Pv X B + BP sin Φ BP Y Pv Y B + BP cos Φ BP X Pv 141.92 Y Pv 99.10 13) Calcolo degli eleenti del triangolo SCR Φ SR Φ SQ Φ SR 282.1946 deg σ Φ SC Φ SR σ 46.1740 deg λ π φ λ 83.1455 deg CR RS CS sin σ sin λ CS sin( λ + σ) sin λ CR 634.48 RS 680.37 Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 7 of 8
14) Calcolo degli eleenti del triangolo SDR μ Φ SD Φ SR + 2π μ 437.2030 deg ω π ψ DR DS sin μ sin ω ω 52.1165 deg DR 857.61 e per verifica DS sin ω + μ RS v sin ω RS v 680.37 15) Calcolo degli aziut dei lati CR e DR Φ CR Φ CS + π σ + λ Φ DR Φ DS + π μ + ω Φ CR 199.0491 deg Φ DR 129.9219 deg 16) Calcolo delle coordinate del punto "R" X R X C + CR sin Φ CR Y R Y C + CR cos Φ CR X R 1293.03 Y R 149.67 e per verifica X Rv X D + DR sin Φ DR Y Rv Y D + DR cos Φ DR X Rv 1293.03 Y Rv 149.67 Last saved 20/06/2010 at 21.41 Page 8 of 8