Kap. 4 Kapasitans og dielektrika Grunnleggende forståelse for HVA en kondensator er, HVORFOR den virker som den gjør, hvilke BEGRENSINGER den har og hvorfor et DIELEKTRIKUM er påkrevd i en kondensator. Kapasitans Energi i kondensatorer og ladningssamlinger generelt Beskrive et dielektrikum: polarisering, elektrisk flukstetthet D, relativ permittivitet ε r Gauss lov for dielektrika. Små kondensatorer og store kondensatorer.. Fra Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/capacitor Van de Graaf generator Y&F fig.7 Se også Wikipedia Oppgitt overslagsspenning kv ved cm 30 1 55 80 3 100 4 15 5,5 Van de Graafgenerator i Gamle fysikk, 195 Forskning i kjernefysikk. Opptil 000 kv Kulediameter ca 60 cm høytrykkskammer rundt Coronautladning ved E max = 30 kv/cm på overflata => V max = E max R = 70 kv 1
Jordkloden: Ladning og felt R = 6400 km E = 130 V/m (nedover) Q = CV = 0,59 MC 1C kule på 10 kg: C = 4πε 0 R = 0,71 mf V = ER = 0,83 GV F e = 1C 130 N/C = 130 N oppover mg = 10 kg 9,81N/kg = 98 N nedover Kap. 4 Kapasitans og dielektrika Kondensatorer = to ledere som kan lagre ladning Kapasitans: C = Q/V (enhet F = farad) der V = V V 1 for to ledere (Type A) eller V = V V for enkeltleder (Type B) Eks. 1: Enkeltkule: C = 4πε 0 R Eks. : arallellplatekondensator C = ε 0 A/d Eks. 3: Kulekondensator C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) 4πε 0 r a når r b Eks. 4: Sylinderkondensator (koakskabel) Seriekopling og parallellkopling Uttrykk for energi i kondensatorer Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering Elektrisk flukstetthetsvektor: D Gauss lov for dielektrika. arallellplatekondensator: C = ε 0 A/d Eks. 1: Enkeltkule (ladning q) Type B Eks. 3: Kulekondensator Type A = to kuleskall med ladning Q og Q =Ex. 4.3 Hvor stort areal for 1F kondensator hvis d = 1 mm? A = C d/ ε 0 = 1 F 1 mm / 9 10 1 F/m = 110 km!! C = 4πε 0 R (Fig 4.5) C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) 4πε 0 r b r a /r b = 4πε 0 r a når r b
Eks. 4: Sylinderkondensator = Y&F Ex. 4.4 = to sylinderskall med ladning λ og λ (C/m) = koaksialkabel Utregnes helt tilsvarende som kulekondensator. Uttrykk kapasitans C = ε r ε 0 (geometrifaktor) enhet: meter Koaksialkondensator: C = ε r ε 0 π /ln(r a /r b ) l arallellplatekondensator: C = ε r ε 0 A/d (Fig 4.6) 1) Finn E r ) integrer og finn V(r) (Metode ) ( Eks 9 Kap 3) 3) finn kapasitansen C = Q/V ab Metode 1: 1 qi V() r = 4 pe å 0 i ri 1 dq V() r = 4 pe òòò r Metode : V V = E d l b a 0 b ò a Kulekondensator: C = ε r ε 0 4π r b r a /(r b r a ) ε r ε 0 4π r a når r b Aud R: Hvor mye energi for å plassere inn mange 1C ladninger? Øking av avstand d i platekondensator: => C = ε 0 A/d avtar 1V=0 3V 31 V 3 U 1 =0 U 3 =(V 31 V 3 )Q 1. Tilkopla batteri: V konstant Q = CV avtar E avtar U = ½ QV avtar (gis til batteriet) V Q Q d U =V 1 Q V 1 o.s.v.. Frakopla batteri: Q konstant V = Q/C øker E konstant U = ½ QV øker (tilføres fra ytre kraft) Q Q F = QE d Beregning fra arbeid: U = F d = QE d 3
Elektrisk energi 1. Uttrykt med ladning og potensial: U = ½ V Q = ½ C V = ½ Q /C (4.9) (utledet for kondenstor; all Q på samme V) U = ½ V dq (ulike dq på ulike V) (4.9C) Kap 3, eks.. resiseringer Energiberegning under oppbygging: q 1 først, så q : U = U 1 U = 0 q kq 1 /a q først, så q 1 : U = U U 1 = 0 q 1 kq /a Ferdig oppbygd: ved potensial energi q 1 V 1 =kq /a q 1 V 1 = q 1 kq /a q V =kq 1 /a q V = q kq 1 /a Sum: Σ q i V i = q kq 1 /a Regnet dobbelt! Konklusjon: Energi beregnet fra potensial i ferdig oppbygd ladning: U = ½ Σq i V i Brukes i Øving 5, oppgave a) Eks.5: Energi for homogent ladd kule Energi U uttrykt med Efeltet Beregna i Eks.8 kap. 3: 1 U = ()d òòò V r q 3 kq = 5 R æ r ö ç kq V() r = 3 R ç R çè ø inni kula (4.9C) OBS: dq = 0 utenfor kula idealisert d areal A volum = Ad U = ½ ε 0 E Ad u = U/τ = ½ ε 0 E 4
Elektrisk energi Eks. 6: Energi på lederkule med ladning q 1. Uttrykt med ladning og potensial: U = ½ V dq (= ½ V Q = ½ C V ) (4.9C). Uttrykt med elektrisk felt: U = u dτ = ½ ε 0 E dτ Hvor er energien lagra: I ladningene eller i det elektriske feltet? å platene eller mellom platene? To uttrykk for SAMME energi! (4.11B) U fra E: U = ½ ε 0 E dτ U fra V: U = ½ V dq = ½ V(R) q V(R) V(R) Eks.56 U = ½ V(r) dq Eks.6: Ladd lederkule: U = ½ kq /R Eks. 5: Homogent ladd kule: U = 3/5 kq /R = 6/5 U ladd lederkule Kap. 4 Kapasitans og dielektrika Gjennomgått: Kondensatorer = to ledere som kan ta opp ladning Kapasitans: C = Q/V (farad), med eksempler:» Enkeltkule:» arallellplate:» Kulekondensator: Seriekopling og parallellkopling Energi i kondensatorer Energi i ladningssamlinger C = 4πε 0 r a C = ε 0 A/d C = 4πε 0 r b r a /(r b r a ) U = ½ V Q = ½ C V U = ½ V dq U = ½ ε 0 E dτ Videre: Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering Elektrisk flukstetthetsvektor: D Gauss lov for dielektrika. 5
Dielektrika og elektrisk polarisering Materialer: Vakuum Ledere Dielektrikum Mellom plater i kondensator brukes alltid et dielektrikum Kapasitansen øker da med en faktor ε r. Kap. 4 Kapasitans og dielektrika Ferdig gjennomgått: Kondensatorer = to ledere som kan ta opp ladning Kapasitans: C = Q/V (farad) arallellplatekondensator: C = ε 0 A/d Seriekopling og parallellkopling. Energi: U = ½ V dq = ½ V Q = ½ CV Energi uttrykt med elektrisk felt Videre: Dielektriske materialer (forts): Elektrisk polarisering =χ e ε 0 E Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E Gauss lov for dielektrika: Noen anvendelser/eksempler σ i p σ i (fig 4.0) Kraftmoment dipol: t = d/ qe ( d/) (qe) = qd E = p E p Kraftmoment dreier p til å bli (om mulig) parallell med E p Dipolinnretting (polarisering) gir flateladning σ i (i = indusert ladning) El. nøytralt innenfor her σ i σ i p = χ e ε 0 E 6
Relative ermittivity ε r ε r σ σ i σ i σ Gaussflate S 0 Gaussflate S 1 Relative permittivity Dielectric strength ε r Luft: 3 X 10 6 Gauss lov: Gauss lov for fri ladning Q: og finn E fra D = ε r ε 0 E Gauss lov for indusert ladning Q i : ò d A=Q (11) i (1) Mest praktiske Eks. 7 arallellplatekondensator uten og med dielektrikum A. Frakopla batteri: Konstant: σ = D = Q/A Avtar: V 1 = V 0 /ε r Øker: C 1 = Q/V 1 = ε r C 0 = ε r ε 0 A/d Energi: U 1 = ½ QV 1 avtar Q Q Gauss lov for totalladning Q tot : (10) Q tot = Q Q i I alle tidligere formler kan ε 0 E erstattes av ε E, dvs. ε r ε 0 E f.eks: Øving 7!! B. Tilkopla batteri: Konstant: V 1 = V 0 Øker: σ 1 = D 1 = Q 1 /A = ε r D 0 Øker: C 1 = Q/V 1 = ε r C 0 = ε r ε 0 A/d Energi: U 1 = ½ QV 1 øker (tilføres fra batteriet) V 7
Kap. 4: Oppsummering 1 Kondensatorer og kapasitans Kondensatorer = to ledere som kan ta opp ladning Kapasitans: C = Q/V (farad) Enkeltkulekondensator: C = 4πε 0 R (Eks. 1) arallellplatekondensator: C = ε 0 A/d (Eks. ) Kule(skall)kondensator: C = 4πε 0 r a r b (r b r a ) (Eks. 3) Sylinderkondensator (koakskabel): C = πε 0 /lnr b /r a (Eks. 4) arallellkopling: C = C 1 C Seriekopling: 1/C = 1/C 1 1/C Energi ved ladning og potensial: U = ½ V dq Energi ved elektrisk felt: u = ½ ε 0 E dvs. U = ½ ε 0 E dτ For kondensator gir dette: U = ½ VQ = ½ CV = ½ Q /C Kap. 4: Oppsummering Dielektrika og polarisering Dielektriske materialer: Elektrisk polarisering = dipoltetthet: = χ e ε 0 E der χ e er elektrisk susceptibilitet. Relativ permittivitet ε r = χ e 1 (dielektrisitetskonstant) Elektrisk flukstetthetsvektor: D = ε 0 E = ε r ε 0 E (forskyvningsvektor) Elektrisk fluks: Dd A Gauss lov for fri ladning Q = Q tot Q i : E Gauss lov for indusert ladning Q i : ò d D d A Q eller A d Q/ A=Qi Gauss lov for totalladning Q tot : I alle tidligere formler kan ε 0 E erstattes av ε E, dvs. ε r ε 0 E Mer utfyllende i Notat1: Dielektriske materialer. Gauss lov: Gauss lov for fri ladning Q: og finn E fra D = ε r ε 0 E Gauss lov for indusert ladning Q i : ò d A=Q (11) i Gauss lov for totalladning Q tot : (10) I alle tidligere formler kan ε 0 E erstattes av ε E, dvs. ε r ε 0 E f.eks: Ed AQ/ Øving 7!! Q tot (1) = Q Q i Mest praktiske Integralform: Differensialform: divd = Gauss lov 1 E d A= q e0 S òò 1 dive = r e divergensen til D div D= D= [ / x, / y, / z] D 0 F= òò D d A= q S divd =r 8
Spesielle dielektrika: ε r = χ e ε 0 E ε 0 E iezoelektriske materialer: Mekanisk strekk eller trykk polarisasjon (eller motsatt:) Efelt felt deformasjon Bruk: Kvartskrystaller, mikrofoner, pickup (platespillere vinyl ) χ e ε r = χ e 1 1/3 4/3 Electrets og ferroelektriske materialer: Materialer med permanent polarisasjon (tilsvarer permanente magneter) Overslag ( breakdown ): Overslag i dielektrika ved viss angitt grense ( dielectric strength ) Kondensatorer har oppgitt max spenning! 1 3 4 (# flukslinjer ) = χ e (# flukslinjer ε 0 E) D = ε 0 E endres ikke (ingen endring frie ladn.) Øving 6. Opg. 1 (lotte V() med Matlab/Octave) Definer og bruk dimensjonsløse variable i all numerisk analyse! D = ε 0 E 0 = D = ε 0 E = D = ε 0 E 0 avtar øker D = 1 ε 0 E = D = ε r ε 0 E = D = 1 ε 0 E = χ e ε 0 E der E er inni dielektriket, ikke ytre % Velg området < x < og < z < for plotting, ca 100 x 100 punkter i alt [x,z] = meshgrid( : /50 :,.01 : /50 : ); subplot(,,1); % Viser opptil fire figurer i xmønster % mesh(x,y,z) tegner opp et 3Dplott av z som funksjon av x og y mesh(x,z,ve); % Kommandoen axis([a b c d e f]) setter aksene for 3Dplot slik: % a < x < b, c < y < d, e < z < f axis([ 10 10]); % Kommandoen caxis([zmin zmax]) setter fargeskalaen slik at blått % tilsvarer zmin og rødt tilsvarer zmax caxis([10 10]); xlabel('x/a'); % Tekst på aksene ylabel('z/a'); zlabel('ve'); 9
Øving 6. Opg. 1 (lotte V() med Matlab/Octave) Flervalgsoppgaver fra «Thinking physics»: http://home.phys.ntnu.no/brukdef/undervisni ng/tfy4155/diverse/thinkingphysics/ Konstant ladning Q Lavere kapasitans C = ε 0 A/d => Høyere spenning V = Q/C => Mer energi U = ½ QV! eller: Konstant ladning Q => Konstant felt E = σ/ε 0 => Konstant energitetthet u = ½ ε 0 E => U = u (volum) øker! V = E d øker også Noen av Støvnengs flervalgsoppgaver E uendret. 10