Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever i språket. Vi kan også tenke oss at de parene (x, y) A B som tilfredsstiller R utgjør en mengde, altså et matematisk objekt som vi kaller grafen til R. To relasjoner R og R er ekvivalente på A B dersom: x A y B R(x, y) R (x, y), (1) og dette er ekvivalent med at R og R har samme graf (på A B). Når G A B kan vi definere en relasjon R på A B ved at R(x, y) er påstanden (x, y) G. Grafen til denne relasjonen er da G. Dette gir oss muligheter til å bearbeide relasjoner ved hjelp av språket (bruk av konnektiver og kvantorer) men også mengdeteoretisk, med alle de verktøyene det innebærer. Vi har allerede møtt noen spesielle grafer, nemlig de funksjonelle, som er grafer til funksjoner. Vi skal nå se på noen andre mulige egenskaper ved relasjoner. Definisjon 5.1. La A være en mengde utstyrt med en relasjon som gitt (x, y) A A påstår at x y, som uttales «x triangel y». Vi sier at relasjonen er refleksiv dersom: x A x x, (2) symetrisk dersom: x, y A x y y x, (3) antisymetrisk dersom: x, y A (x y y x) = x = y, (4) transitiv dersom: x, y, z A (x y y z) = x z, (5) 1
Ekvivalenser Definisjon 5.2. Vi sier at en relasjon er en ekvivalens når den er refleksiv, symetrisk og transitiv. Eksempel 5.1. På enhver mengde er likhet en ekvivalens. La k Z være gitt. Relasjonen definert ved: er en ekvivalensrelasjon på Z. x k y k (y x) (6) Dersom f : A B kan vi definere en ekvivalens på A ved: x, y A x y f(x) = f(y). (7) Vi skal komme tilbake til ekvivalensrelasjoner senere. For eksempel skal vi vise at for enhver ekvivalens på A finnes det en mengde B og en avbildning f : A B slik at ekvivalensen tar formen (7). Ordener Definisjon 5.3. La A være en mengde og være en relasjon på A. Vi sier at er en orden når den er refleksiv, antisymetrisk og transitiv. La x, y A. Vi sier at x og y er sammenliknbare dersom: x y y x. (8) Vi sier at er en total orden dersom alle elementer er sammenliknbare (det vil si at (8) gjelder for alle x, y A). Hvis en orden ikke nødvendigvis er total, kan vi poengtere det ved å si at den er partiell. Eksempel 5.2. Likhet en orden på A. Den er ikke total med mindre A bare har ett element, eller ingen. På N er delbarhet en partiell orden. La U være en mengde. På P(U) er inklusjon (som gitt A, B U påstår at A B) en partiell orden. En vanlig notasjon for ordensrelasjoner er at den gitt (x, y) påstår at x y, som uttales «x er mindre enn y». Vi skriver x < y for påstanden (x y x y). Det uttales «x er strengt mindre enn y». Vi skriver x y and x > y for de respektive utsagnene y x og y < x. Vi noterer at når er en orden, tilfredsstiller også alle askiomene for å være en orden. Vi kaller for den motsatte ordenen til. 2
Bemerkning 5.1. Likhet er den eneste relasjonen som er både en orden og en ekvivalens. Definisjon 5.4. La A være utstyrt med en ordensrelasjon som vi skriver. La B være en delmengde av A og la a A. Vi sier at: a er en nedre skranke for B dersom ( x B a x). a er et minimalt element i B dersom a B og ( x B x a = x = a). Dette kan også skrives a B og ( x B (x < a)). a er et minimum i B dersom a B og ( x B a x). Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives min B. Vi kan også si at a er det minste elementet i B. Øvre skranke, maksimalt element, maksimum (max B, største element), defineres tilsvarende. Vi sier også at: a er et infimum av B dersom det er et maksimum i mengden av nedre skranker til B. Når dette er tilfellet er a entydig bestemt av B og skrives inf B. Supremum er definert på tilsvarende måte og skrives sup B når det eksisterer. Eksempel 5.3. La U være en mengde. Vi utstyrer P(U) med inklusjonsordenen. er det minste elementet i P(U), mens U er det største elementet i P(U). Dersom A P(U) har vi at A er et supremum til A mens A er infimum til A, forutsatt at A ikke er tom (i såfall er U infimum). Eksempel 5.4. På N utstyrt med standard ordenen, er 0 minste element og det finnes ikke noe største element. På N utstyrt med delbarhetsordenen er 1 minste element og 0 er største element (!). På N utstyrt med delbarhetsordenen er det ikke noe største element. Definisjon 5.5. La (A, ) og (B, ) være to ordnede mengder og la f : A B være en avbildning. Vi sier at f er voksende dersom: og strengt voksende dersom: x, y A x y = f(x) f(y), (9) x, y A x < y = f(x) < f(y). (10) Avtagende og strengt avtagende defineres ved å reversere ulikhetene blant bildene. Vi sier at f er monoton hvis den er voksende eller avtagende. 3
Eksempel 5.5. La f : A B være en avbildning. Vi lar f : P(A) P(B) være direktebilde avbildningen og f : P(B) P(A) være inversbilde avbildningen. Når potensmengdene er utstyrt med inklussjonsordenene er f og f voksende avbildninger. Eksempel 5.6. Utstyr N med delbarhetsordenen. For hver k N er avbildningen : x kx, fra N til seg selv, strengt voksende. For hver k N er avbildningen : x x k, fra N til seg selv, strengt voksende. 5.2 Binære operasjoner Vi vil være interessert i ordensrelasjoner på tall. For å karakterisere tall trenger vi en annen ingrediens, nemlig operasjoner. Definisjon 5.6. En binær operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Vi kan omtale en avbildning A A som en unær operasjon. Mer generelt kan vi la en n-ær operasjon være en avbildning A n A (forutsatt av vi har definert A n ). Siden vi skal studere binære operasjoner spesielt, dropper vi adjektivet binær og snakker bare om operasjoner. Definisjon 5.7. La : A A A være en operasjon. For x, y A skriver vi x y i stedet for (x, y). Vi sier at operasjonen er assosiativ dersom: x, y, z A (x y) z = x (y z). (11) Vi sier at e A er et neutralt element dersom: x A e x = x e = x. (12) Vi sier at to elementer x, y A kommuterer dersom x y = y x. Vi sier at operasjonen er kommutativ dersom x og y kommuterer for alle x, y A. Eksempel 5.7. La U være en mengde. (A, B) A B definerer en assosiativ og kommutativ operasjon på P(U), med som neutralt element. (A, B) A B definerer en assosiativ og kommutativ operasjon på P(U), med U som neutralt element. 4
Eksempel 5.8. La U være en ikke-tom mengde. La A bestå av avbildningene fra U til U. Avbildningen (g, f) g f er en assosiativ operasjon på A med id U som neutralt element. Operasjonen er ikke kommutativ når U har minst 2 elementer. La B bestå av bijeksjonene fra U til U. Igjen betrakter vi operasjonen som består i å komponere avbildninger. Merk at komposisjonen av to bijeksjoner er en bijeksjon. Operasjonen er assosiativ og har id U som neutralt element. Proposisjon 5.1. La A være utstyrt med en operasjon. Det finnes da høyst ett neutralt element i A. Definisjon 5.8. La A være utstyrt med en assosiativ operasjon og et neutralt element e. La x A. Vi sier at x er invertibel dersom det finnes y A slik at xy = yx = e. I såfall er y entydig bestemt av x og kalles inversen til x. Et neutralt element for en assosiativ lov er alltid invertibelt, med seg selv som invers. Eksempel 5.9. I (P(U), ) er det bare som er invertibel. I (P(U), ) er det bare U som er invertibel. Eksempel 5.10. Vi følger opp Eksempel 5.8. I A utstyrt med komposisjon er en avbildning f : U U invertibel hvis og bare hvis den er bijektiv, og inversen er inversfunksjonen. I B er alle elementer invertible. Når operasjonen skrives + vil x betegne inversen til x. Når operasjonen skrives vil x 1 betegne inversen til x (dersom inversen finnes). Proposisjon 5.2. La A være utstyrt med en assosiativ operasjon som skrives multiplikativt og med et neutralt element. Dersom x og y er invertible elementer i A vil xy være invertibel og (xy) 1 = y 1 x 1. Dersom x er et invertibelt element i A er x 1 invertibel, og (x 1 ) 1 = x. Bemerkning 5.2. De tilsvarende påstandene dersom operasjonen skrives additivt er (x + y) = y + x og ( x) = x. Som regel bruker man additiv notasjon bare når man vet at inverser alltid eksisterer og når operasjonen er kommutativ. 5
Følgende to definisjoner gir naturlige måter å bruke eksisterende operasjoner til å definere nye operasjoner. Definisjon 5.9. La A være utstyrt med en operasjon. Man sier at en delmengde B av A er stabil under dersom: x, y B x y B. (13) I såfall kan man utstyre B med den såkalte induserte operasjonen: B B B, (x, y) x y. (14) Definisjon 5.10. La B være utstyrt med en operasjon. La A være en ikke tom mengde. Vi utstyrer B A med en operasjon også kalt som følger. For f, g B A definerer vi f g B A ved: x A (f g)(x) = f(x) g(x). (15) Merk at vi bruker operasjonen på B i høyre ledd. Bemerkning 5.3. Vi betrakter forutsetningene for forrige definisjon. Hvis e er et neutralt element i B, vil den tilsvarende konstante avbildningen A B være neutralt element i B A. Hvis operasjonen på B er assosiativ, vil operasjonen på B A også være assosiativ. 5.3 Ringer Definisjon 5.11. Vi betrakter en mengde R, utstyrt med to avbildninger kalt addisjon (+) og multiplikasjon ( ): + R R R, (x, y) x + y. R R R, (x, y) xy. (16) og to utvalgte elementer 0 and 1. Vi sier at (R, +,, 0, 1) er en ring dersom: addisjon er assosiativ, kommutativ, har neutralt element 0 og hvert element x har en invers (som skrives x). multiplikasjon er assosiativ og har neutralt element 1. multiplikasjon distribuerer over addisjon, i den forstand at for alle x, y, z R har vi: (x + y)z = xz + yz, (17) z(x + y) = zx + zy. (18) 6
Vi minner om følgende: Proposisjon 5.3. I en ring har vi: Dersom 0 også er et neutralt element for addisjon har vi 0 = 0. Gitt x R finnes det en og bare én y slik at x + y = 0. Denne y noteres x. Vi skriver x y = x + ( y). Vi har (x + y) = x y. Vi har x + z = y + z x = y. Dersom 1 også er et neutralt element for multiplikasjon har vi 1 = 1. Gitt x R, sier vi at x er invertibel dersom det finnes y slik at xy = yx = 1. I såfall er y entydig bestemt av x og skrives x 1. Hvis x og y er invertible et xy invertibel og (xy) 1 = y 1 x 1. Vi har også (fortegnsregler): Proposisjon 5.4. I en ring har vi: Vi har ( x)y = x( y) = (xy) og ( x)( y) = xy. Hvis x er invertibel er x invertibel og ( x) 1 = x 1. Vi har 0x = x0 = 0. Definisjon 5.12. La R være en ring. Vi sier at R er triviell dersom 0 = 1. Da har vi R = 0}. Vi sier at R er kommutativ dersom multiplikasjonen er kommutativ. Dersom R er ikke-triviell, kommutativ og hvis vi har: x, y xy = 0 = (x = 0 y = 0), (19) sier vi at R er et integritetsdomene. Dersom R er ikke-triviell, kommutativ og alle elementer bortsett fra 0 har en multiplikativ invers, sier vi at R er en kropp. Bemerkning 5.4. Kropper er integritetsdomener: Hvis xy = 0 og x 0 har x en invers x 1 og vi kan skrive: y = 1y = (x 1 x)y = x 1 (xy) = x 1 0 = 0. (20) Her er et eksempel på en kropp: 7
Eksempel 5.11 (Binær kropp). La B = 0, 1}. Definer addisjon og multiplikasjon ved: 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 (21) 1 1 0 1 0 1 Man kan sjekke at dette er en kropp ved enumerasjon av tilfeller, eller et smartere triks. Noter at 1 + 1 = 0, i motsetning til hva vi er vant med. Vi kaller dette for den binære kroppen. At følgende er eksempler på kropper kan vi foreløpig ta som aksiomer, som oppsummerer kjente regneregler. Vi skal komme tilbake til hvordan man kan kontruere disse kroppene. Eksempel 5.12. Q er en kropp. R er en kropp. C er en kropp. Z er et integritetsdomene. Her er et eksempel som studeres i lineær-algebra: Eksempel 5.13 (Matriser). Velg en kropp K, for eksempel en av Q, R eller C. For n N utgjør n n matriser med koeffisienter i K en ring (med hensyn på matrise addisjon og matrise multiplikasjon). Den er ikke er kommutativ med mindre n = 1. Følgende konstruksjon gir også nye ringer fra gamle, og følger opp Definisjon 5.10. Eksempel 5.14 (Avbildningsringer). La R være en ring og A en ikke-tom mengde. Vi ser på mengden R A og definerer addisjon og multiplikasjon av elementer som følger. Gitt f, g : A R definer vi f + g og fg ved: f + g A R, x f(x) + g(x). fg A R, x f(x)g(x). (22) Merk at vi bruker addisjonen og multiplikasjonen på R til å definere addisjon og multiplikasjon på R A. Man sjekker at dette gjør R A til en ring. Vi snakker om punktvis addisjon og multiplikasjon av avbildninger. Bemerkning 5.5. Selv om R er en kropp vil ikke R A være et integritetsdomene, når A har mer enn to elementer. 8
Oppgaver Oppgave 5.1. (i) I Notat 4, sjekk at de kanoniske bijeksjonene i 4.4 virkelig er bijeksjoner. Beskriv invers-avbildningene. (ii) I Notat 4, bevis Proposisjon 4.11. Oppgave 5.2. La R være en ring. For hver x R definerer vi x 2 = xx og 2x = x + x. (i) La x, y R. Vis at x og y kommuterer hvis og bare hvis vi har: (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. (23) (ii) La x, y R. Vis at x og y kommuterer hvis og bare hvis vi har: (x + y)(x y) = x 2 y 2. (24) Oppgave 5.3. (i) Sjekk påstandene i Definisjon 5.10. (ii) Sjekk påstandene i Eksempel 5.14. Oppgave 5.4. La A være elementene i R på formen a + b 2 med a, b Q. (i) Sjekk at A inneholder 0 and 1 og er stabil under addisjon og multiplikasjon. (ii) Sjekk at A, utstyrt med de induserte operasjonene, er en kropp (spesielt at alle elementene bortsatt fra 0 er invertible). 9