Rike oppgaver Kirkenes, 15.04.08 5-May-08
Rike oppgaver? Hva er det? Hvorfor er det noe som elevene bør få arbeide med? Hvordan kan vi finne og lage rike oppgaver? 5-May-08 2
Problem Et problem er en spesiell type oppgaver som 1) En person ønsker eller har bruk for å løse 2) Personen på forhånd ikke har en gitt oppskrift eller metode for å løse 3) Det kreves arbeid og anstrengelser fra han eller henne for å finne en løsning Merk at en oppgave kan være et problem for én person, men en rutineoppgave for en annen 5-May-08 3
Problemløsning Faser i en problemløsningsprosess (Polya, 1957): Å forstå problemet (Hva er den ukjente, hvilke opplysn. er gitt, tegn figur med mer.) Å legge en plan ( Sett noe lignende tidligere? Omformulering av probl., kan du løse et lign problem/et mer generelt/mer spesielt?) Å utføre planen (Kontrollere hvert steg, begrunnelse for at det er korrekt?) Å se tilbake (Sjekke resultatet, kontroller argumentasjonen, annen måte å finne løsn.?) 5-May-08 4
Rike oppgaver (Hedrén m. flere) En rik oppgave er et problem som byr på muligheter til diskusjoner med andre når det gjelder ideer til løsninger og forståelse av matematiske begreper. I tillegg skal en rik oppgave tilfredsstille følgende kriterier: 1. Det skal introdusere viktige matematiske ideer eller løsningsstrategier 2. Det skal være lett å forstå og alle skal kunne komme i gang og ha muligheter til å jobbe med det (lav inngangsterskel) 3. Det skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelse og tillates å ta tid 5-May-08 5
Rike oppgaver (Hedrén m. flere) 4. Det skal kunne løses på flere ulike måter, med ulike strategier og representasjoner 5. Det skal kunne initiere en matematisk diskusjon som viser ulike strategier, representasjoner og matematiske ideer 6. Det skal kunne fungere som brobygger mellom ulike matematiske områder 7. Det skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problemer (Hva hvis..? Hvorfor?) 5-May-08 6
Mynter i lomma Jeg har åtte mynter i lomma. Til sammen har jeg 50 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma mi? 5-May-08 7
fortsettelse myntoppgaven - Har du/dere funnet alle løsningene eller ikke? - Hvordan forklarer/begrunner du/dere det? - Hvordan forklarer elever dette? - Konkretiseringsmateriell og skriftliggjøring 5-May-08 8
fortsettelse myntoppgaven Hvis vi nå vet at det finnes to løsninger, så kan du få stille meg et spørsmål for å finne ut hvilke mynter jeg har i lomma. Jeg kan bare svare ja eller nei på det spørsmålet du stiller. Hva vi du spørre meg om? Hvordan stiller elever spørsmål i denne sammenhengen? 5-May-08 9
Mynter i lomma - 2.trinn Jeg har 4 mynter i lomma. Hvor mye penger har jeg i lomma? Jeg har 4 mynter i lomma. To av dem er like. Hvor mye penger har jeg i lomma mi? Jeg har 40 kroner i lomma. Hvilke mynter har jeg i lomma mi? Jeg har 40 kroner i lomma. To av myntene er like. Hvilke mynter har jeg i lomma mi? Jeg har 5 mynter i lomma. Til sammen har jeg 40 kroner. Hvilke mynter har jeg i lomma mi? 5-May-08 10
fortsettelse myntoppgaven Rike matematiske problemer har mange kriterier. En av disse er at problemet skal kunne lede elever og lærere til å formulere nye og interessante problem, dvs. stille nye spørsmål. Lag et rikt problem inspirert av myntproblemet og løs det. Oppgaven du/dere lager skal ha minst to løsninger. Hvilke nye problemer formulerer elevene? Hvordan følge opp elevenes oppgaveformuleringer. Eksempel på dette. 5-May-08 11
Myntoppgave 2 Jeg har nå fem mynter og har til sammen 20 kroner. Hvilke mynter kan det være? - Har vi funnet alle løsningene eller ikke? - Hvordan forklarer/begrunner du/dere det? - Hvordan forklarer elever dette? - Konkretiseringsmateriell og skriftliggjøring 5-May-08 12
Matematisk resonnement Å resonnere er synonymt med det å tenke, følge en logisk tankerekke eller bedømme noe ut fra fornuftgrunner. I et matematisk resonnement forklarer man og trekker fornuftslutninger med og ved hjelp av matematikk Lithner (2006) hevder at dersom en lærer får elever til å resonnere over noe utradisjonelt, noe nytt, vil det være lettere å få tak i og få fram hvordan elevene tenker 5-May-08 13
Hvorfor skal elevene arbeide med rike oppgaver? Målet med matematikk i skolen: Helhetlig matematisk kompetanse Det innebærer blant annet å - kunne kjenne igjen matematikken i ulike kontekster - kunne bruke basiskunnskapene sine på nye problemstillinger - kunne se sammenhenger - tenke matematisk og opparbeide et sett av løsningsstrategier 5-May-08 14
Rike oppgaver er et middel til å nå disse målene Dessuten - er slike oppgaver selvdifferensierende - oppmuntrer til samarbeid og finne hverandres sterke og svake sider - gir utfordringer til alle uavhengig av nivå - gir mestringsfølelese - utvikler og oppøver utholdenhet - er GØY å jobbe med!!! Både for elever og lærere ja til og med foreldre! 5-May-08 15
Hva kreves av læreren? Å kunne arbeide med en oppgave over tid, kanskje i flere omganger Åpen på innspill fra elevene Ikke bare være opptatt av svaret Faglig innsikt 5-May-08 16
Hvordan finne og lage rike oppgaver? De er rundt dere overalt! Dere må bare lære å se verden med matematiske øyne. De finnes i lærebøkene også, hvis vi bare ser godt nok etter! 5-May-08 17
Fra konkurranser: Kenguruoppgave Daniel har ni mynter hver verd 2 cent. Anne har åtte mynter hver verd 5. Hvordan kan de fordele pengene slik at begge får like mye? 5-May-08 18
Fra ei lærebok: Sirkel, 8. trinn (Torkildsen/Maugesten) Kim, Ove og Einar hadde 21 brusflasker: 7 var tomme, 7 var halvfulle og 7 var fulle. De delte slik at alle tre hadde like mange flasker og like mye brus. Hvordan klarte de det? Er det mer enn én måte å gjøre det på? 5-May-08 19
Fra kiosken.. K U L E I S 5-May-08 20
Kuleis Hanne skal kjøpe kuleis og kan velge mellom fire ulike smaker. Hun vil ha to iskuler. På hvor mange ulike måter kan hun velge isen sin? Plassering Smak Hver smak kan kun velges en gang per is Hver smak kan velges flere ganger per is Plasseringen av kulene er betyr ingenting Plasseringen av kulene betyr noe A C B D 5-May-08 21
fortsettelse kuleisoppgaven - Har du/dere funnet alle løsningene eller ikke? - Hvordan forklarer/begrunner du/dere det? - Hvordan forklarer elever dette? - Konkretiseringsmateriell og skriftliggjøring 5-May-08 22
Løsningsmetoder. Usystematisk leting: jv sv vb jb sj bs 5-May-08 23
Løsningsmetoder. Systematisk leting: To smaker Tre smaker, en ny smak, som kombineres med de andre to Fire smaker, en ny smak, som kan kombineres med de andre tre. 1 kombinasjon (1 + 2) kombinasjoner= 3 kombinasjoner (3 + 3) kombinasjoner = 6 kombinasjoner vanilje jordbær blåbær sitron vanilje - vj vb vs jordbær jv - jb js blåbær bv bj - bs sitron sv sj sb - 5-May-08 24
Løsningsmetoder. Retorisk: Jeg tar så mange smaker som finnes og multipliserer det med en smak mindre. Deretter tar jeg halvparten av det svaret jeg fikk. Symbolsk: Rekursjonsformel S S n = + n+ 1 n Sn = Sn 1 + ( n 1) Aritmetrisk tallfølge Sn S n = 1+ 2 + 3 +... + ( n 1) = nn ( 1) 2 5-May-08 25
Antall kuler (k) valgt ut blant antall smaker (n) Plassering Smak Plasseringen av kulene er betyr ingenting Hver smak kan kun velges en gang per is A n k Hver smak kan velges flere ganger per is B n+ k 1 k Plasseringen av kulene betyr noe n! C D k ( n k)! n 5-May-08 26
Åpne oppgaver Oppgaver hvor utgangspunktet og/eller målet for oppgaven ikke er eksakt gitt 5-May-08 27
Tallpyramiden 1 1 1 1 1 1 5-May-08 28
Forts. tallpyramiden Hva hvis det er multiplikasjon? Hva hvis tallpyramiden har fire etasjer? Hva hvis tallpyramiden har enda flere etasjer? 5-May-08 29
Tallpyramider eller 10 på topp Tangenten 4/2006, artikkel av Kurt Klungland Hvor mange mulige bunnlinjer kan det være i en tallpyramide med et gitt antall etasjer etter gitte regler? 2 2 0 2 1 1 2 0 2 15? 10 6 9? 9 6? 2 4 5 1? 5??? 5-May-08 30
Pascals tallpyramide (talltrekant) www.matematikk.org 5-May-08 31
Selvgående oppgaver Noen oppgaver er så spennende og motiverende at elevene arbeider og regner, mer eller mindre av seg selv, fordi de bare MÅ undersøke og finne svar på nye spørsmål. 5-May-08 32
Tallmønster 1 1 = 11 11 = 111 111 = Hva skjer? Finnes det et mønster? Er det uendelig? Hvorfor/hvorfor ikke? 1111 1111 = osv. 5-May-08 33
1x1= 1 11x11= 121 111x111= 12321 1111x1111= 1234321 11111x11111= 123454321 111111x111111= 12345654321 1111111x1111111=1234567654321 11111111x11111111= 123456787654321 111111111x111111111=12345678987654321 (10) 1111111111x1111111111= 123456790 0987654321 (11) 11111111111x11111111111= 123456790 12 0987654321 (19) 111111111111111111x111111111111111111= 123456790 098765432 0987654321 5-May-08 34
Hva med 2 2? Se etter et mønster/system. Beskriv det. Lag hypotese. Hva tror du skjer? Sjekk om det stemmer. Hva med 3 3? Hva med 4 4? Hva med 5 5 eller 9 9? 5-May-08 35
2x2=4 22x22=484 222x222=4 92 84 2222x2222=49 37 284 22222x22222=493 81 7284 222222x222222=4938 26 17284 49382 70 617284 493827 15 0617284 5-May-08 36
3x3= 9 33x33=1089 333x333= 110889 3333x3333=11108889 9x9= 81 99x99= 9801 999x999= 998001 9999x9999= 99980001 5x5= 25 55x55=3025 555x555= 308025 5555x5555=30858025 5-May-08 37
Trekk fire Kirkenes Arbeidsark Tallpyramiden/algebrapyramiden Materiell / idehefter Oppbygging av matematikkrom Satsingsplan Bjørnevatn skole Lokale planer Tid til erfaringsutveksling 5-May-08 38
De naturlige tallene Tenk deg summen av to eller flere påfølgende tall. Eksempel: 1 + 2 + 3 = 6 Hvilke tall må du velge hvis summen skal bli 30? Hva hvis summen er 17? Hva hvis summen er 28? Kunnskap om partall og oddetall Er det mulig å skrive alle hele positive tall som en sum av to eller flere tall som følger etter hverandre i heltallsrekka? Er det mulig å gjøre det på mer enn en måte? 5-May-08 39
Kvadrattall Plasser tallene fra 1 15 ved siden av hverandre slik at summen av to tall som står inntil hverandre blir et kvadrattall. Alle tallene skal brukes nøyaktig en gang. Forenklet utgave: Velg deg to tall fra mengden 1, 2, 3, 15. Summen av de to tallene du velger skal være et kvadrattall. Klarer du å lage flere enn fem løsninger uten at du bruker de samme tallene mer enn en gang? 5-May-08 40
Primtall (Hentet fra Sirkel 8a) Hvilke hele tall kan skrives som summen av to primtall? Sjekk tallene mellom 10 og 20 Matematikeren Goldbach påstod at alle partall større enn 3 kan skrives som en sum av to primtall I 1973 påstod kinesteren Jung-run Chen at alle partall kan skrives som a + b c, der a, b og c er primtall. Eks. 3 + 5 7 = 38 Undersøk påstanden for noen partall 5-May-08 41
Hvor mange flytt? Du kan flytte brikken til ei ledig naborute, men ikke på skrå. Den røde brikken skal opp til det tomme feltet. Hvor få flytt er det mulig å klare det på? 5-May-08 42
Hvor mange flytt? 2x2 8 x 2 11 = 5 3x3 8 * 3 11 = 13 4x4 8 * 4 11 = 21 5x5 8 * 5 11 = 29 nxn 8n - 11 5-May-08 43
Til neste samling. Gjennomfør en aktivitet i klassen/gruppen din. Lag et kort notat om: aktivitet, konkretiseringsmateriell begreper kompetansemål i LK06 ferdigheter, forståelse, anvendelse Erfaringer rundt gjennomføringen Erfaringsutveksling på neste samling, ta gjerne med kopieringsorginaler og elevarbeid 5-May-08 44