TFY4106 Fysikk Eksamen 9. juni 2016 (Foreløpig versjon pr 7. mai 2016.) FORMLER: Fete symboler angir vektorer. Symboler med hatt over angir enhetsvektorer. Formlenes gyldighetsområde og de ulike symbolenes betydning antas forøvrig å være kjent. Symbolbruk og betegnelser som i forelesningene. MEKANISK FYSIKK INKL SVINGNINGER Newtons andre lov: F = dp/dt p = m mṙ Konstant akselerasjon: v 0 + at x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 Konstant vinkelakselerasjon: ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt2 Arbeid: dw = F dr Kinetisk energi: K = 1 2 mv2 r Konservativ kraft og potensiell energi: U(r) = F dr r 0 Friksjon, statisk: f µ s N kinetisk: f = µ k N Luftmotstand (liten v): f = kv Luftmotstand (stor v): f = Dv 2ˆv Tyngdepunkt: R CM = 1 r i m i 1 r dm Tyngdepunktbevegelsen: M M M R CM = F ytre i Sirkelbevegelse: rω Sentripetalakselerasjon: a = v 2 /r Baneakselerasjon: a = dv/dt = r dω/dt Dreiemoment: τ = (r r 0 ) F Statisk likevekt: ΣF i = 0 Στ i = 0 Dreieimpuls: L = (r r 0 ) p N2 rotasjon: τ = dl/dt Stivt legeme, refleksjonssymmetri mhp rotasjonsaksen: L = L b + L s = (R CM r 0 ) MV + I 0 ω Kinetisk energi, stivt legeme: K = 1 2 MV 2 + 1 2 I 0ω 2 Treghetsmoment: I = m i ri 2 r 2 dm i Stivt legeme, rotasjon om fast akse: K = 1 2 Iω2 N2 rotasjon, akse med fast orientering: τ = I dω dt Steiners sats (parallellakseteoremet): I = I 0 + Md 2 Gravitasjon: F = GMm r 2 ˆr U(r) = GMm r Enkel harmonisk oscillator: ẍ + ω0x 2 = 0 T = 2π/ω 0 f = 1/T = ω 0 /2π Masse i fjær: ω 0 = k/m Matematisk pendel: ω 0 = g/l Fysisk pendel: ω 0 = mgd/i Fri, dempet svingning, langsom bevegelse i fluid: mẍ + bẋ + kx = 0 ẍ + 2γẋ + ω0x 2 = 0 ω0 2 = k/m γ = b/2m Underkritisk demping (γ < ω 0 ) x(t) = Ae γt sin(ωt + φ) ω = ω0 2 γ2 Overkritisk demping (γ > ω 0 ) x(t) = Ae α1t + Be α 2t α 1,2 = γ ± γ 2 ω0 2 Kritisk demping (γ = ω 0 ) x(t) = Ae γt + Bte γt
Tvungen svingning, harmonisk ytre kraft: mẍ + bẋ + kx = F 0 cos ωt (partikulær-)løsning: x(t) = A(ω) sin(ωt + φ(ω)) amplitude: A(ω) = F 0 /m (ω 2 ω0 2)2 + (2γω) 2 halvverdibredde: Q-faktor: BØLGEFYSIKK Q = ω 0 / ω ω 2γ Harmonisk plan bølge (forplantning i positiv x-retning): ξ(x, t) = ξ 0 sin(kx ωt + φ) k = 2π/λ ω = 2π/T = 2πf Bølgeligning: Fasehastighet: 2 ξ(x, t) x 2 = 1 2 ξ(x, t) v 2 t 2 λ T = ω k Lineær respons i elastiske, isotrope medier (Hookes lov): mekanisk spenning = elastisk modul relativ tøyning S = strekk-kraft, B = bulkmodul, E = elastisitetsmodul, G = skjærmodul For transversale bølger på streng: S µ For longitudinale bølger (lydbølger) i fluider (gasser og væsker): For longitudinale bølger i tynn stang (fast stoff): B E For longitudinale (v P ) og transversale (v S ) bølger i faste stoffer (bulk): v P = B + 4G/3 ; v S = G Gruppehastighet: Tyngdebølger på dypt vann (for λ 1 cm): v g = dω dk ω(k) = gk
Tyngdebølger med vanndybde D: ω(k) = gk tanh(kd) Midlere energi pr lengdeenhet for harmonisk bølge på streng: ε = 1 2 µω2 y 2 0 Midlere energi pr volumenhet for harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge): ε = 1 2 ω2 ξ 2 0 Midlere effekt transportert med harmonisk bølge på streng: P = vε = 1 2 vµω2 y 2 0 (Midlere) Intensitet i harmonisk plan longitudinal bølge (lydbølge): I = vε = 1 2 vω2 ξ 2 0 Lydhastighet i gass (m = (midlere) molekylmasse, γ = C p /C V ): γk B T m Lydtrykk: Lydtrykksnivå: Dopplereffekt: p = B ξ x β(db) = 10 log I I 0 med I 0 = 10 12 W/m 2 f O = v + v m v O v + v m v S f S Svevning ( interferens i tid ): Interferens (romlig): f S = f 1 f 2 I max for d sin θ = n λ (n = 0, 1, 2,...) TERMISK FYSIKK Utvidelseskoeffisienter (lineær og volum), trykk-koeffisient, isoterm kompressibilitet: α = 1 L ( ) L T p β = 1 V ( ) V = 3α γ = 1 T p p ( ) p T V κ = 1 V ( ) V p T Første hovedsetning: dq = du + dw
Varmekapasitet C, pr masseenhet c, pr mol c m : C = dq dt, c = C/M, c m = C/n C p og C V : C p = (dq/dt ) p, C V = (dq/dt ) V For ideell gass: C p C V = nr. Atomær gass: C V = 3 2 nr. Toatomig gass: C V = 5 2 nr Den termodynamiske identitet: T ds = du + pdv Ideell gass: pv = Nk B T = nrt K trans = 3pV 2N = 3 2 k BT U = U(T ) = N K Atomær gass: U = 3 2 Nk BT. Toatomig gass: U = 5 2 Nk BT Adiabatisk prosess (dq = 0) for ideell gass: pv γ = konst T V γ 1 = konst pt γ/(γ 1) = konst (γ = C p /C V ) Virkningsgrad for varmekraftmaskin: η = W Q 2 Virkningsgrad for Carnot-varmekraftmaskin (Carnot-prosess: Q 2 /T 2 + Q 1 /T 1 = 0): η C = 1 T 1 T 2 Kjøleskap og varmepumpe, effektfaktor: ε K = Q 1 W, ε V = Q 2 W Entropi (dq er reversibelt tilført varme): ds = dq T ds = 0 Boltzmanns prinsipp: Clapeyrons ligning: Damptrykk-kurven: S = k B ln Ω dp dt = L T V [ ( l 1 p d (T ) = p d (T 0 ) exp 1 )] R T0 T (l = molar latent varme, T 0 = valgt referansetemperatur) Stefan-Boltzmanns lov (svart legeme: e = 1): j(t ) = e σ T 4 (e = emissivitet; σ = 2π 5 k 4 B/15h 3 c 2 = 5.67 10 8 W/m 2 K 4 )
Plancks fordelingslov: Wiens forskyvningslov: j(t ) = j(t ) = 0 0 dj df df med dj df = 2πhf 3 /c 2 exp(hf/k B T ) 1 dj dλ dλ med dj dλ = 2πhc 2 /λ 5 exp(hc/λk B T ) 1 Maksimal dj/dλ for λt = 2.90 10 3 m K Varmeovergang: j = α T Stasjonær varmeledning i en dimensjon (Fouriers lov; κ = varmeledningsevne, a = tykkelse): j = κ T/a Varmemotstand R (P = ja = effekt): T = RP = a κa P Seriekobling : R = j R j Parallellkobling : 1 R = j 1 R j MIDDELVERDI OG FEIL I MÅLINGER Gauss feilforplantningslov: ( q) 2 = n i=1 ( q a i a i ) 2 Middelverdi (gjennomsnittsverdi): x = 1 N Ni=1 x i ( Standardavvik (feil i enkeltmåling): δ x = 1 Ni=1 N 1 (x i x) 2) Standardfeil (feil i middelverdi): δ x = δ x / N KONSTANTER, OMREGNINGSFAKTORER OG DEKADISKE PREFIKSER Fundamentale konstanter: G = 6.67 10 11 Nm 2 /kg 2 g = 9.81 m/s 2 ) m e = 9.11 10 31 kg m p = m n = 1.67 10 27 kg Omregningsfaktorer: k B = 1.38 10 23 J/K R = 8.314 J/mol K 1 ev = 1.60 10 19 J 1 Å = 10 10 m 1 cal = 4.184 J 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = 1.013 10 5 Pa 1 mmhg = 133.3 Pa N A = R/k B = 6.02 10 23 mol 1 h = 6.63 10 34 Js h = h/2π = 1.05 10 34 Js e = 1.60 10 19 C c = 3.00 10 8 m/s σ = 5.67 10 8 W/m 2 K 4 Dekadiske prefikser: p = piko = 10 12, n = nano = 10 9, µ = mikro = 10 6, m = milli = 10 3, c = centi = 10 2, k = kilo = 10 3, M = mega = 10 6, G = giga = 10 9