NTNU Side 1 av 4 Institutt fo fysikk Fakultet fo fysikk, infomatikk og matematikk Løsningsfoslag til eksamen i FY3452 GRAVITASJON OG KOSMOLOGI Fedag 24. mai 2013 Dette løsningsfoslaget e på 4 side. Oppgave 1. Bevegelse utenfo et oteende legeme Til laveste ikke-tivielle oden i M / e linjeelementet utenfo et oteende legeme med masse M og deieimpuls J av fomen c 2 dτ 2 = d 2 2 dθ 2 + sin 2 θ dφ 2. 1 1 M c 2 dt 2 2 M + 2K J 2 sin2 θ c dt dφ 1 + M He e M = 2G N M J c 2, K J =, 2 Mc M de G N e Newton s konstant. Bevegelsen til en punktpatikkel utenfo dette legemet e bestemt av Lagangefunksjonen L = 1 2 gµνẋµ ẋ ν, 3 via Hamiltons pinsipp. He bety deivasjon med hensyn til egentid τ. Du kan velge å buke enhete de c = 1. a Lagangefunksjonen L avhenge ikke eksplisitt av t. Hvilken konsevet støelse gi dette opphav til? ɛ L ṫ = 1 M ṫ + KJ 2 M 2 sin2 θ φ. 4 b Lagangefunksjonen L avhenge ikke eksplisitt av φ. Hvilken konsevet støelse gi dette opphav til? l L φ = K M 2 J 2 sin2 θ ṫ 2 sin 2 θ φ. 5 c Lagangefunksjonen L avhenge ikke eksplisitt av τ. Hvilken konsevet støelse gi dette opphav til? h L ṫ ṫ + L ṙ ṙ + L θ θ + L φ φ L = 2L L = L, 6 since L is homogeneous of degee two in the fou-velocity ẋ µ.
Løsning FY3452 Gavitasjon og kosmologi, 24.05.2013 Side 2 av 4 d Anta at θ = 1 2 π, θ = 0, dvs. bevegelse i ekvatoplanet, e en løsning av bevegelsesligningene. Sett defo sin 2 θ = 1, θ = 0, og finn bevegelsesligningen fo τ. The Eule-Lagange equation is d dτ L = L ṙ. 7 The quantities L/ ṙ and L/ can be computed diectly fom the oiginal expession fo L. Howeve, these expessions depend on ṫ and φ which should be eliminated by use of 4 and 5 befoe poceeding. Oppgave 2. Estimat av støelsesoden Buk din geneelle kunnskap om fysiske fenomene og fysiske sammenhenge til å anslå støelsene nedenfo. Fokla hvodan du kom fam til anslagene. a Paameteen M /, de M e massen til joda og e jodas adius. The acceleation of gavity g 9.81 m/s 2, the oiginal definition the mete 1 2 = 10 4 km, and the speed of light c = 3 10 8 m/s allow us to find G N M. b Paameteen M /, de M e massen til sola og e solas adius. The length of the yea 365.25 24 60 60 seconds, and distance to the sun 150 million kilometes o 8 light-minutes allow us to find G N M. This next give us the atio M /M. Since the density of nomal matte does not vay much the sun has a somewhat lowe density than the eath this futhe allow us to estimate. This quantity may also be estimated fom its appaent size on the sky. c Paameteen K J = J fo joda, de J M c e deieimpulsen til joda. The angula momentum J = ω I, whee ω is the otation speed 2π/24 hous and I M. 2 The value of M dops out in the combination. d Paameteen K J = J fo sola, de J M c e deieimpulsen til sola. The angula momentum J = ω I, whee ω is the otation speed 2π/28 days and I M. 2 The value of M dops out in the combination. Oppgave 3. Einstein s gavitasjonsteoi til laveste oden I denne oppgaven skal du se litt på Einstein gavitasjonsteoi til føste oden i avviket fa flatt om. Dvs. at vi skive linjeelementet på fomen c 2 dτ 2 = {η µν + ε h µνx} dx µ dx ν, 8 de η µν = diag 1, 1, 1, 1, og bae egne til føste oden i paameteen ε. Dette e tilstekkelig til å elativt enkelt kunne finne linjeelemente som f.eks. 1. a Anta at vi gjø en liten tansfomasjon av koodinate, x µ = x µ + ε Λ µ x, 9 og egn ut den tilhøende tansfomasjonen, h µνx h µν x. 10 We inset to find Λ dx µ = d x µ µ + ε x λ d x λ, c 2 dτ 2 = { η µν + ε h µν + Λ µ,ν + Λ ν,µ + Oε 2 } d x µ d x ν, 11
Løsning FY3452 Gavitasjon og kosmologi, 24.05.2013 Side 3 av 4 Λµ whee Λ µ,ν x, and all tems on the ight hand side is evaluated at x. The diffeence ν between h µν x and h µν x is a contibution to the Oε 2 -tems. Hence we find h µν x = h µν x + Λ µ,ν x + Λ ν,µ x. 12 b Vis at det e mulig å velge Λ µ x slik at V ν h µ h µ ν 1 2 δµ h ν λ λ = 0. 13 I det følgende kan du anta at denne betingelsen alleede e oppfylt fo h µν, dvs. at V νh = 0. The equiement educes to the equation µ µ Λ ν + V ν Λ ν + V ν = 0, 14 whee V ν = µ h µν 1 2 η µνh λ λ. We may in pinciple always solve this equation fo Λν. c Bestem konneksjonskoeffisientene Γ µ νλ til føste oden i ε. We find Γ µ νλ = 1 2 h µν,λ + hµλ,ν µ h νλ ε + Oε 2. 15 d Vis at Riemann-tensoen kan uttykkes på fomen R µνλσ = 1 h 2 µσ,νλ + h νλ,µσ h νσµλ h µλ,νσ ε + Oε 2. 16 In matix fom the Riemann tenso is defined by the expession whee Hence we find to ode ε, R µ νλσ = λγ µ νσ λ Γ µ νλ = 1 2 and obtain 16 afte loweing the µ-index. R λσ = λ Γ σ σ Γ λ + Oε 2, R λσ µ ν R µ νλσ, Γ λ µ ν Γ µ νλ. h µ σ,νλ + h µ νλ, σ h µ νσ, λ hµ λ,νσ ε, e Hve av de fie indeksene til R µνλσ kan ta fie vedie 0, 1, 2, 3. Hvo mange uavhengige komponente ha R µνλσ fo en geneell symmetisk h µν? We see fom 16 that R µνλσ is antisymmetic unde the intechange µ ν keeping λ, σ fixed and λ σ keeping µ, ν fixed, and symmetic unde the intechange µ, ν λ, σ. Fo computation of independent components the pais µ, ν and λ, ν may theefoe be esticted to 1 2 4 3 = 6 values each, I, J = 0, 1, 0, 2, 0, 3, 1, 2, 1, 3, 2, 3, and the Riemann tenso viewed as a symmetic 6 6 matix R I,J. Such matices has 6 7 = 21 independent elements. This is consideed a sufficient answe. 1 2 Exta bonus to those who knows that thee is one moe independent estiction, leaving 20 independent components. R 0123 + R 0231 + R 0312 = 0, 17
Løsning FY3452 Gavitasjon og kosmologi, 24.05.2013 Side 4 av 4 f Beegn Ricci-tensoen R µν = R λ µλν. Buk betingelsen Vνh = 0 til å foenkle uttykket. Beegn Einsteintensoen G µν = R µν η µν R λ λ med den samme betingelsen. By caeful ewiting of indices, and contaction, we find fom 16, R µν = 1 2 [ hµν + µ V ν h + ν V µ h ] ε. 18 The last two tems vanishes when we use the condition V ν h = 0. Unde the same condition we obtain G µν = 1 2 ε h µν + Oε 2, 19 whee h µν = h µν 1 2 η µν h λ λ 20 is called the tace-evesed metic. Note that the condition V ν h = 0 simplifies to µ hµ ν = 0.
Some expessions which may be of use Eule-Lagange equations The Eule-Lagange equations fo a field theoy descibed by the Lagangian L = Lϕ a, µ ϕ a, x ae L µ = L. 21 µ ϕ a ϕ a The coesponding equations fo point paticle mechanics is obtained by esticting µ to only a time deivative d/dt. Nöthe s theoem Assume the action is invaiant unde the continuous tansfomations ϕ a ϕ a + ε δϕ a + Oε 2, moe pecisely that L L + ε µ Λ µ + Oɛ 2 unde this tansfomation. Then thee is an associated conseved cuent, J µ = L µ ϕ a δϕ a Λ µ. 22 I.e., µ J µ = 0. The coesponding expession fo point paticle mechanics is obtained by esticting µ to only a time deivative d/dt.