Ma3 - Flerdimensjonal Analyse Øving Øistein Søvik 7.3. Oppgaver 5.3 5. Find the moment of inertie about the -axis. Eg the value of δ x + y ds, for a wire of constant density δ lying along the curve : r re t cos t i + e t sin t j + t j, from t to t Her kan vi bruke en fin setning som sier at når vi parametriserer kurveintegralet vårt får vi fx, y, ) ds frt)) Her har vi frt)) e t cos t) + e t sin t) e t, videre så har vi rt) e t cos t i + e t sin t j + t k et cos t i e t sin t i + e t cos t j + e t sin t j + k e t cos t e t sin t) + e t sin t + e t cos t) + e t cos t + sin t ) e t cos t sin t + e t cos t sin t + e t + Og nå blir integralet vårt heldigvis svært enkelt, vi får fx, y, ) ds δ frt)) 7. Find δ e t e t + u e t + expπ) u 4 [ δ 4 δ e 4π + ) 3 ) 3 6 3 u3/ ] expπ) x ds along the line of the intersection of the two planes x y + and x + y +, from the origin to the point 3,, ) Vi finner først hvilken linje kurvene skjærer hverane i. x + y + x y + y. Setter vi dette inn i det første planet får vi x y y x 3y. Fra dette ser vi at en mulig parametrisering er y t, slik at x 3t, fra den ane likningen for planet får vi at y x t 3t t. retningsvektoren blir da r 3t i + t j t j 3 i + j j 3 + + ) 4
Nå blir integralet vårt svært simpelt fx, y, ) ds δ δ 3 4 frt)) 3t) 4 4 [3t 3] 4. Find ds along the part of the curve x + y +, x + y, where. Her er det enklest å parametrisere med tanke på x, slik at vi får x t y t t t) t t ) Siden > så må t t ) > slik at < t <, videre må vi regne ut retningsvektoren rt) t i + t) j + t t ) k i j + t) t t ) k + ) + ds ds t t t ) ) t t ) + t t ) + 4t + 4t ) t t ) t t ) Slik at integralet vår blir ds t t ) t t ) Oppgaver 5.4 Evaluate the line integral of the tangential component of the given vector field along the given curve 3. Fx, y, ) yi + j xk along the straight line from,, ) to,, ) En rett linje i R 3 kan bli skrevet som l t, t, t). Skriver vi om F til parameterform rt) t, t, t). Linjeintegralet kan da blir da φ F t, t, t),, ) t [ ] t 5. Fx, y, ) yi + xj + xyk from,, ) to,, ) along either direction of the curve of intersection of the cylinder x + y and the plane y Her kan vi sette for eksempel x t, da går integralet fra t til t. Videre får vi at y t.
Slik at y t φ F t, t t, t t ) t, t, t ) t t 3 + t t ) Vi ser her at integralet er null da integranden er odde. Siden ft) ft), slik at I I). Determine the values of A and B for which the vector field ) x F Ax ln i + By j + + y3 k is conservative. If is the straight line from,, ) to,, ), find x ln dx + y dy + y 3 d Dersom feltet skal være konservativt, må vi ha at curlf som er det samme som at F y F x Dette gir opphav til likningene, Ax, x F F 3 x og, By 3y F F 3 y Herfra får vi at A og B 3 for at feltet skal kunne være konservativt. Videre gir integrasjon oss at ) x φ) x ln i + 3y j + + y3 k φ x ln + y 3 + x ln + y 3) I del b) så må vi integrere x ln dx + y dy + y 3 d. På neste oppgave blir gjort på nesten samme her bruker vi parametriseringen x t og y, slik at F t log t + t ) log t + [ t log t ] t t + 4 log ) + 4 log. Evaluate y dx + x dy x + y a) counterclockwise around the circle x + y Her er det ganske åpenbart at det er lurt å benytte seg av parametrisering x a cos t) slik at x r cos t dx r sin t y r sin t dy r cos t 3
Vi ønsker å gå run en sirkel med radius a, slik at integralet blir y dx + x dy x + y cos t + sin t ) b) clockwise around the square with vertices, ),, ),, ), and, ) Her kan vi tenke oss at vi beveger oss i en sirkel slik at vi får., ) til, ), fra, ) til, ), fra, ) til, ) og tilslutt fra, ) til, ) Vi kan også se på dette som fire integral, hvor vi i første integral har x og y osv. Totalt sett vår vi y dx + x dy x + y I 4 π [ [ Over brukes det flittig at b y + dy + y + dy + x + dx a fx) dx a b x + dx + x + dx + x + ) dy + x + ) dx + fx) dx. Så brukes det substitusjon for å løse det gjenstående integralet. x tan u og sec u + tan u slik at 4 /4π π tan u + sec u du 4 [ ] π/4 u π c) counterclockwise around the boundary of the region x y 4, y Her måtte jeg få litt hjelp, utifra fin tegning fra en venn får vi at ] x + dx ] + y dy Integralene langs x-aksen er enkle å regne ut, her er y slik at dx + x x + y + dy + y De to neste integralene parametriserer vi, siden vi har en halvsirkel. På samme måte som før setter vi x a cos t hvor a er henholdsvis og 4. 3 4 π π π π a cos t + sin t ) π a cos t + sin t ) π 4
Slik at linjeintegralet vårt blir y dx + x dy x + y ) + + 3 + 4 ) + + π π Her legger vi merke til at radien til sirkelen ikke spiller noen rolle ) Oppgaver 5.5 7. Find S x ds over the part of the parabolic cylinder x / that lies inside the first octant part of the cylinder x + y 7. Find the total charge on the surface r e u cos v i + e u sin v j + u j u, v π) 5