FY11/TFY4145 Meanis fysi. Institutt for fysi, NTNU. Høsten 211. Løsningsforslag til øving 1 Vi utleder aller først ligningen som fastlegger vinelen φ r, dvs overgangen fra ren rulling til sluring. N2 for rotasjon om CM, fr = I α, gir f = I α/r = cmr 2 (A/r)/r = cma. Vi setter dette inn for f i ligningen fra N2 langs banen, Mg sin φ r f = MA og løser mhp A: Mg sin φ r cma = MA A = g sin φ r c + 1. Under ren rulling er meanis energi bevart. Anta at V = ved φ =. Da er dvs Mg(r + R) = Mg(r + R)cos φ r + 1 2 (c + 1)MV 2, V 2 r + R = 2g(1 cos φ r). c + 1 Dette uttryet bruer vi i N2 normalt banen, ombinert med at f = fmax = µ s N ved overgangen til sluring: N = f = cma = cmg sin φ r µ s µ s µ s (c + 1) = Mg cos φ r M 2g(1 cos φ r). c + 1 Divisjon med Mg, multipliasjon med c + 1 og litt rydding gir endelig (c + 3)cos φ r 2 = c µ s sin φ r. Bordtennisballen Jeg har brut µ s = µ =.25, R = 78.5 cm og V (t = ) = V (1) = 1.5 cm/s. Figuren med 4 subplott blir da sli: 16 14 12 1 φ (grader) Ω (grader/s) N (N/g) φ (grader) φ, Ω, N og φ som funsjon av tid 6 5 4 Ω (grader/s) α (grader/s 2 ) N (N/g) Ω, α og N som funsjon av φ 8 3 φ r =27.4353 t r =1.764 6 4 2 2 1 φ =51.8625 t =1.311.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 Tid (s) 1 2 3 4 5 6 φ (grader) 2 Hastighetsomponenter som funsjon av tid 2 Hastighetsomponenter som funsjon av vinel 1 1 1 2 3 4.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 Tid (s) 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 φ (grader) 1
Overgang fra ren rulling til sluring Den erise løsningen viser at sluring starter ved vinelen φ r = 27.4353. Innsetting av denne verdien, sammen med µ s =.25 og c = 2/3, i ligningen ovenfor gir verdiene 1.254 og 1.229 for hhv venstre og høyre side av ligningen. Er dette tilstreelig samsvar til at vi an slå fast at erien fungerer godt? I det atuelle vinelområdet mellom og 9 grader er venstre side (VS) av ligningen for φ r en monotont vosende funsjon, mens høyre side (HS) er en monotont avtagende funsjon. Vi må derfor forvente at VS er større enn HS, fordi ved den erise φ r har vi fortsatt ren rulling, mens ved φ r + φ har vi ie lenger ren rulling. Vi ser at VS er større enn HS ved φ r. En utsrift av φ(jrulling + 1), dvs neste vinelverdi, viser at denne er.4895 radianer, dvs 28.46 grader, og innsetting av denne verdien gir VS = 1.236 og HS = 1.254. Med andre ord, de erise beregningene gir en overgang til ren rulling mellom φ(jrulling) og φ(jrulling + 1), som de sal. Numerien fungerer tilfredsstillende! Overgang til srått ast Numeris mister bordtennisballen ontaten med underlaget ved φ = 51.8625. Her har vi fortsatt ontat, så vi mister egentlig ontaten ved en litt større vinel. Her er vinelendringen pr tidssteg ca.6, så φ ligger et sted mellom 51.9 og 52.5. Det an være flere gode strategier for å bestemme den tilsvarende esperimentelle vinelen, φ. En av de mest nærliggende er å plotte avstanden fra origo som funsjon av vinelen. Har legemet ontat med underlaget, er denne avstanden onstant li R + r. Når legemet mister ontaten med underlaget, vil avstanden fra origo bli større. I programmet regnes begge størrelser ut, som resp og phiesp, og for bordtennisballen blir grafen seende sli ut: 87 Esperimentell avstand fra origo til CM som funsjon av vinel 86 85 Avstand fra origo til CM (cm) 84 83 82 81 8 79 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinel (grader) Her er datapuntene fra fila bordtennisball.txt avmeret med sirler. Vi ser at avstanden til origo er pratis talt onstant for vinler mellom 1 og 6, og ved å forstørre dette området anslår vi på øyemål en avstand 8.4 cm. Med r = 19 mm har vi derfor brut R = 78.5 cm i programmet. Vi noterer også at mellom 3 og 9 øer R + r omtrent lineært, fra 8. til 8.4 cm. Dette betyr at vartsirelen er litt flatlemt på toppen, noe som vil gi en mindre esperimentell baneaselerasjon A enn om banen hadde vært perfet sirulær. Dette ommer tydelig fram i figuren nedenfor, der vi sammenligner esperimentell og eris hastighet. Fra figuren ovenfor er det ie mulig å si nøyatig hvilet målepunt som er det siste med ontat til underlaget, men det er lart at φ ligger omring 6. Det ser ut som om målingen ved 6 eller det foregående har blitt noe unøyatig. Hvis puntet ved 6 er feil, tyder det på at φ an være noe mindre, ansje ned mot 57 eller 58. Hvis det foregående puntet er feil, tyder det på at φ er ca 6. Uansett 2
ser det ut til at φ er signifiant større enn den erise, som var omtrent 52. Her unne man ansje oppnå noe bedre samsvar ved å justere litt på frisjonsoeffisienter og starthastighet. Men minst lie vitig er no effeten av luftmotstand, noe vi har neglisjert fullstendig i de erise beregningene. Luftmotstand reduserer aselerasjonen, hastigheten ved en gitt vinel blir mindre, og bordtennisballen an omme lenger før normalraften N reduseres til null. Dette ommer fatis ganse tydelig fram hvis vi plotter eris og esperimentell hastighet som funsjon av vinelen: 35 3 V V Numeris og esperimentell hastighet som funsjon av vinel 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinel (grader) Vi ser at V (sirler) gjennomgående er større enn V (stjerner), i samsvar med at luftmotstand ie er helt uten betydning for bordtennisballen. Legg mere til støyen i V. Dette er et generelt tre ved eris derivasjon av esperimentelle data: Selv om den esperimentelle φ(t) ser glatt og pen ut, vil derivasjon blåse opp små neer i urven til tydelige sprang i den deriverte. Energibetratninger Meanis energi er li summen av potensiell og inetis energi, og inetis energi består av translasjons- og rotasjonsenergi: E me = U + K trans + K rot. I programmet regnes alle atuelle størrelser pr masseenhet, og meanis energi pr masseenhet blir I E me = gy + 1 2 M ω2 + 1 2 V 2. Her er I /M = cmr 2 /M = cr 2. Hvis vi har ren rulling, er ω = V/r, og E me = gy + 1 2 (c + 1)V 2. Hvis vi har sluring, er V > ωr, og legemets ontatpunt mot underlaget har hastighet v rel = V ωr >. I løpet av et tidsintervall dt vil underlaget nå utføre et frisjonsarbeid dw f = f ds = fv rel dt på det slurende legemet. Siden frisjonsraften f alltid er rettet mot relativhastigheten v rel, blir dette et negativt frisjonsarbeid, noe som bidrar til en redusjon i legemets meanise energi. Den totale energien, dvs meanis energi pluss utført frisjonsarbeid, er imidlertid bevart, så hvis vi plotter E = gy + 1 2 V 2 + 1 2 cr2 ω 2 + 3 t fv rel dt,
bør E være onstant hele veien. Dette ser ut til å stemme bra. I figuren nedenfor er urvene for total energi (grønn), total meanis energi (blå) og meanis energi med ren rulling antatt (lyseblå) sammenfallende fram til 28, som de sal. Her starter sluringen, og meanis energi avtar mens meanis energi med ren rulling antatt voser. Total energi (grønn urve), med orret uttry for meanis energi og frisjonsarbeidet inludert, forblir onstant. 11.5 11 E me tot E tot E (rulling antatt!) E (rulling antatt!) Numeris og esperimentell energi som funsjon av vinel 1.5 Energi pr masseenhet (J/g) 1 9.5 9 8.5 8 7.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinel (grader) Frisjonsarbeidet, dvs forsjellen mellom grønn og blå urve, er forholdsvis besjedent. I følge våre beregninger her utgjør det i tallverdi ie mer enn.328 J/g, dvs ca 89 µj dersom vi antar at bordtennisballen har en masse 2.7 g (som den visstno sal ha). Forøvrig merer vi oss at støyen i eris bestemte esperimentelle hastigheter selvsagt forplanter seg videre til den esperimentelle meanise energien (rød urve i figuren over). Vi an plotte størrelsen P f = fv rel, dvs effettapet pr masseenhet pga sluring:.35 Effettap Effettap pga sluring som funsjon av vinel.3.25 Effettap pr masseenhet (W/g).2.15.1.5 1 2 3 4 5 6 Vinel (grader) Vi noterer at effettapet først øer, pga øende relativ hastighet v rel, for deretter å avta igjen, pga minende normalraft n, og dermed også minende frisjonsraft f = µ n. Masimalt effettap, ca.275 W/g, har vi ved en vinel ca 46. For en bordtennisball på 2.7 g tilsvarer dette et masimalt effettap på ca.7 mw. Ie rare greiene! 4
Vi tar med figurer for v rel og f: 8 Kontatpuntets hastighet som funsjon av vinel V rel 7 6 5 4 3 2 1 1 1 2 3 4 5 6 Vinel (grader) 2 f Frisjonsraft som funsjon av vinel 1.8 1.6 1.4 Kraft pr masseenhet (N/g) 1.2 1.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 Vinel (grader) Frisjonsraften øer opp til masimal verdi ved overgang til sluring. Deretter avtar den pga avtagende normalraft. 5
Matlabprogrammet bordtennisball.m som er lagt ut på hjemmesiden genererer alle disse figurene, pluss et par til. I Figur 2 vises en animasjon av bordtennisballens bevegelse fram til den mister ontaten med underlaget, esperimentelt (røde stjerner) og eris (blå sirler). Siden ingen avsatte punter slettes underveis, inneholder sluttbildet alle de esperimentelle dataene, samt de erise for tilsvarende tidspunter: Rulling av bordtennisball nedover vartsirel 9 Numeris Esperimentelt 8 7 6 y (cm) 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x (cm) I srivende stund overlater jeg til den enelte å prøve ut det utlagte programmet for de tre andre legemene, sylinder, volleyball og taperull! Kommentar: Dette løsningsforslaget går selvsagt langt utover det som reves for å få øvingen godjent. Helt til slutt: Mange ta til Geir Solem på Finmeaniverstedet som laget den fine vartsirelen, og Jonas Persson på Institutt for fysi for produsjon av filmene og hjelp med programmet tracer, som ble brut til å framsaffe esperimentelle t,x,y data. Se http://www.cabrillo.edu/~dbrown/tracer/ 6