TMA4240 Statistikk H2015 Kapittel 4: Matematisk forventning [4.1+start 4.3] Quiz kjørt med Kahoot! fra kahoot.it. Mette Langaas wiki.math.ntnu.no/emner/tma4240/2015h/start/
2 Høyde, kvinner Frequency 0 2 4 6 8 10 12 155 160 165 170 175 180
3 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f (x). Forventningsverdien (mean, expected value) til X er µ = E(X) = x x f (x) hvis X er diskret, og µ = E(X) = hvis X er kontinuerlig. x f (x)dx
4 Forsinket tog Vi betrakter ankomst- og oppholdstider for et bestemt lokaltog på en jernbanestasjon. Toget skal etter rutetabellen ankomme hver hverdag klokka 8:00, men kommer alltid etter dette tidspunktet. La X (minutter) betegne togets forsinkelse på en tilfeldig valgt hverdag. Vi antar at X er en stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f (x) = { 4xe 2x for x > 0 0 for x 0 Hva er forventingsverdien til X? I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at 0 x r e ax dx = r! når a > 0 og r er et heltall 0 ar+1
5 Togforsinkelse
6 Prosjektstyring X = tid for å samle inn data x 1 2 3 f (x) 0.10 0.60 0.30 Hva er forventingsverdien til X?
7 Prosjektstyring (forts.) X= tid for å samle inn data. Kunden har betalt 1200 kr for datainnsamlingen, og prosjektarbeideren som skal utføre datainnsamlingen får 500 kr timen. Hva er forventet inntekt for datainnsamlingen? 1 2 3 f (x) 0.10 0.60 0.30 g(x)
8 Forventing til funksjon av en stokastisk variabel TEO 4.1: La X være en stokastisk variabel med sannsynlighetsfordeling f (x). Forventningsverdien til den stokastiske variablen g(x) er µ g(x) = E[g(X)] = x g(x)f (x) hvis X er diskret, og µ g(x) = E[g(X)] = hvis X er kontinuerlig. g(x)f (x)dx
9 E(aX + b) TEO 4.5: Hvis a og b er konstanter, så er E(aX + b) = ae(x) + b COR 1: Setter vi a = 0 ser vi at E(b) = b COR 2: Setter vi b = 0 ser vi at E(aX) = ae(x)
10 E(sum eller differanse) TEO 4.6: Forventningsverdien til summen eller differansen av to eller flere funksjoner av den stokastiske variablen X, er summen eller differansen til forventningsverdiene til funksjonene. Det vil si, siden E[g 1 (X) ± g 2 (X)] = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)]. g(x) = g 1 (X) ± g 2 (X) E(g(X)) = E(g 1 (X) ± g 2 (X)) = [g 1 (X) ± g 2 (X)] f (x)dx = E[g 1 (X)] ± E[g 2 (X)].
11 Prosjektstyring Vi ser på to stokastiske variabler, X og Y. X = tid for datainnsamling. Y = tid for dataanalyse. Simultanfordelingen til X og Y er gitt ved: x 1 2 3 1 0.03 0.05 0.02 2 0.03 0.14 0.03 y 3 0.03 0.17 0.10 4 0.01 0.24 0.15 Finn E(Y /X) (forholdet mellom de to oppgavene) og E(X + Y ) (summen av de to oppgavene).
12 f (x, y): simultan sannsynlighetsfordeling X og Y diskrete: 1. f (x, y) 0 for alle (x, y) 2. x y f (x, y) = 1 3. P(X = x Y = y) = f (x, y) (punktsannsynlighet) For enhver region A is xyrommet så er P[(X, Y ) A] = A f (x, y). X og Y kontinuerlige: 1. f (x, y) 0 for alle (x, y) 2. f (x, y)dxdy = 1 3. P[(X, Y ) A] = A f (x, y)dxdy for enhver region A i (x, y)-pl anet.
13 Forventning til funksjon av to stokastiske variabler DEF 4.2: La X og Y være stokastisk variabler med simultan sannsynlighetsfordeling f (x, y). Forventningsverdien til den stokastiske variabelen g(x, Y ) er µ g(x,y ) = E[g(X, Y )] = x hvis X og Y er diskrete, og µ g(x,y ) = E[g(X, Y )] = g(x, y)f (x, y) y hvis X og Y er kontinuerlige. g(x, y)f (x, y)dxdy
14 Prosjektstyring (forts.) x 1 2 3 1 0.03 0.05 0.02 2 0.03 0.14 0.03 y 3 0.03 0.17 0.10 4 0.01 0.24 0.15 Er interessert i forholdet g(x, Y ) = Y X mellom varigheten av datainnsamling og dataanalyse. [ ] Y E X = x y y f (x, y) x = 1 0.03 + (1/2) 0.05 + (1/3) 0.02 + 2 0.03 + 1 0.14 + (2/3) 0.03 = 1.44 NB: E [ ] Y X E(Y ) E(X). + 3 0.03 + (3/2) 0.17 + 1 0.10 + 4 0.01 + 2 0.24 + (4/3) 0.15
17 Oppsummering Forventingsverdien til en SV kan beskrives som Diskrete SV: E(X) = x xf (x): et sannsynlighetsveid gjennomsnitt. Kontinuerlig SV: E(X) = xf (x)dx. Tyngdepunktet i fordelingen (hvor sette vipphuskefeste for å balansere). Noteres gjerne som µ. For to SV X og Y så ser vi på forventningsverdien til en funksjon g av de to SV: E[g(X, Y )]. Denne veies med simultansannynligheten f (x, y). Diskrete SV: E[g(X, Y )] = x y g(x, y)f (x, y) Kontinuerlig SV: E[g(X, Y )] = g(x, y)f (x, y)dxdy. Regneregler for E er basert på at E regnes ut ved en sum eller integral.